TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2021- 2022 MƠN THI: TỐN LỚP 11 Ngày thi: tháng năm 2022 (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Câu (4 điểm): Với số nguyên dương n lớn , chứng tỏ tồn số nguyên dương k 2( n − k ) n < Gọi kn số nguyên dương nhỏ thỏa mãn điều đó, k ≤ j ≤ n −1 j k chứng minh tồn lim n n nhỏ n thỏa mãn ∑ Câu (4 điểm): Tìm tất đa thức có hệ số thực P ( x ) thỏa mãn ( x − 1) P ( x ) nhận giá trị nguyên ( x + 2021) P ( x − 1) nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M điểm nằm đường trịn (O) Hình chiếu M xuống đường OA, OB, OC P, Q, R Gọi K tâm đường tròn nội tiếp ta giác PQR Gọi D hình chiếu M xuống BC a)Chứng minh K, D, Q, R thuộc đường tròn b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tại vị trí M để D, M, I thẳng hàng, AI giao BC F, AH đường cao tam giác ABC, E trung điểm BC Chứng minh rằng: ED = EF EH Câu (4 điểm): Với số nguyên dương m , giả sử a1 , a2 , , aϕ ( m) tất số nguyên dương không vượt m nguyên tố với m a)Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn a1 aϕ ( m) ≡ −1( mod m ) ϕ ( m) ϕ ( m) ϕ ( m) b) Tìm tất số nguyên dương m thỏa mãn a1 + a2 + + aϕ ( m) ≡ ϕ ( m ) a1.a2 aϕ ( m) ( mod m ) Câu (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số ( an ) sau: { } { } { } a1 = x ∈ ¥ * ( x; n ) > ; a2 = x ∈ ¥ * \ { a1} ( x; n ) > … ak = x ∈ ¥ * \ { a1; a2 ; ; ak −1} ( x; n ) > d Gọi S ( n ) = ∑ Chứng minh aS ( n ) − n ≤ S ( n ) − dn Người soạn: Nguyễn Bá Tuấn 0986427986 ……………………… HẾT ……………………