Bài 4 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 3 − x + x2 − 4x + x2 − 4x + ≥ x2 − 5x + x ≤ 1,x ≥ ⇔ y= y =  2 3 − x − x + 4x − x − 4x + ≤ −x + 3x 1≤ x ≤ Với x ∈ (−∞;1) U (3; +∞), y' = 2x – hay y' = 2( x – 2) − Ta thấy: y' < với x ∈ (−∞;1 y' > với x ∈ (3; +∞) Với x ∈ (1;3), y' = −2x + y' = ⇔ x = ∈ (1;3) + − Tại x = 1: y'(1 ) = −2(1) + = 1,y'(1 ) = 2(1) − = −3 ⇒ y'(1) không tồn Tại x = 3: y'(3+ ) = 2(3) − = 1, y'(3− ) = −2(3) + = −3 ⇒ y'(3) không tồn   lim y = lim x2  − + 1− + ÷ = +∞ x→±∞ x→±∞ x x x2  x y = , maxy không tồn Từ bảng biến thiên suy x∈¡ x∈¡  − x2 + x − x ∈ [1;2]  y =   − x2 + 1− x x ∈ [−2;1] ∗x ∈ (1;2) , y' = −x − x2 + 1= − x2 − x − x2   2 4 − x2 = x2 x2 = y' = ⇔  − x − x = ⇔  − x = x ⇔  ⇔ ⇔ x = x ∈ (1;2) x ∈ (1;2) x ∈ (1;2) x ∈ (1;2) ∗x ∈ (−2;1) , y' = −x − x2 − 1= −x − − x2 − x2 x ∈ (−2;1) x ∈ (−2;1)  y' = ⇔  ⇔ −x ≥ ⇔ x= − 2  − x = − x  − x2 = x2  1 + + , y'(1− ) = − − 1⇒ y'(1) không tồn Tại x = 1: y'(1 ) = − 3 Tại x = , x = −2 y' khơng xác định Từ bảng biến thiên suy maxy = 2 + , miny = x∈D x∈D Bài 2: 23 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Điều kiện : − x2 ≥ ⇔ x ∈ [− 5; 5] Ta có y' = 2(x2 − 4) − x2 ⇒ y' = ⇔ x = ±2 Vì f(± 5) = 0, f(2) = 1,f(−2) = nên maxf(x) = f(−2) = 5; ( ) f(x) = f ± = Hàm số xác định D = −  2;2 Ta có : y' = 1− x 4− x = − x2 − x 4− x ⇒ y' = ⇔ − x2 = x 0 < x ≤ ⇔ ⇔ x = Do y(−2) = −2;y(2) = 2;y( 2) = 2 nên 2 4 − x = x maxy = y( 2) = 2; y = y(−2) = −2 Hàm số xác định ⇔ 2x − x2 ≥ ⇔ ≤ x ≤ y' = 1+ 1− x 2x − x2 + 1− x ,x ∈ (0;2) 2x − x2 2x − x2 Tại hai điểm x = ,x = y’ khơng tồn x ∈ (0;2) 1 < x < 1< x < y' = 0,x ∈ (0;2) ⇔  ⇔ ⇔ 2 2  2x − x = x − 2x − x = x − 2x + 2x − 4x + = ⇔ x= = 2+  2+  y ( 0) = , y ( 2) = ,y  ÷ = + suy maxf(x) = + , minf(x) =  ÷ x∈D x∈D   Bài 3: y' = x2 − 2 (2x + x + 2) ⇒ y' = ⇔ x = −1,x = ⇒ y ( 1) = 2 ,y ( − 1) =    1 x2  1+ 1+ 2÷  x  = lim x2 = Tương tự lim y = lim 1 x→+∞ x→+∞  1  x→+∞ 2+ + x  2+ + ÷ x x2 x x   Từ bảng biến thiên suy maxy = x∈¡ 24 2 , miny = x∈¡ lim y = x→−∞ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta có: y' = 10x2 + 22x + ⇒ y' = ⇔ 5x2 + 11x + = ⇔ x = − ,x = −2 (3x + 2x + 1) Mặt khác: lim y = x→∞ 10 nên ta có bảng biến thiên sau: x +∞ + y' y − −2 -∞ − 10 10 + 5 Chú ý: Với tốn ta giải phương pháp miền giá trị sau: Dựa vào bảng biến thiên suy ra: maxf(x) = 7, minf(x) = y= 20x2 + 10x + ⇔ (20 − 3y)x2 + 2(5 − y)x + − y = (1) 3x + 2x + 20 ⇒ (1) có nghiệm * y= 20 ⇒ (1) có nghiệm ⇔ ∆ ' = −2y2 + 19y − 35 ≥ ⇔ ≤ y ≤ * Nếu y ≠ Vậy maxf(x) = 7, minf(x) = Bài 4: 2x + 2x − − Ta có y' = x2 + x + x2 − x + ⇒ y' = ⇔ (2x + 1) x2 − x + = (2x − 1) x2 + x + (1) Bình phương hai vế ta có phương trình hệ (2x + 1)2[(2x − 1)2 + 3] = (2x − 1)2[(2x + 1)2 + 3] ⇔ (2x + 1)2 = (2x − 1)2 ⇔ x = thay vào (1) ta thấy = −1 vô lý Vậy phương trình y' = vơ nghiệm hay y' không đổi dấu ¡ , mà y'(0) = > ⇒ y' > ∀x ∈ ¡ Vậy maxf(x) = f(3) = 13 − 7; f(x) = f(−2) = − [-2;3] [-2;3] 25 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả − x2 + 4x + 21≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện:  − x + 3x + 10 ≥ Xét miền −2 < x < 5, ta có : y = 25 − (x − 2)2 − 49 −  x − ÷ ,  2 x− −(x − 2) y' = + =0 nên 25 − (x − 2)2 49  3 − x− ÷  2 ⇔ (x − 2) 49  3  3 −  x − ÷ =  x − ÷ 25 − (x − 2)2  2     −2 < x <   3  x ∈  −2;  ∪  2;5)    3   ⇔ (x − 2) x − ÷ ≥ ⇔ 2  3 49    25 x − = (x − 2)2  ÷   2   2   (x − 2)2  49 −  x −  ÷ =  x −  25 − (x − 2)2  ÷  ÷    2 ÷  2    ( ⇔ x= Ta có y(−2) = 3; )  1  1 y  ÷ = 2; y(5) = Vậy max y = y  ÷ = − ≤ x ≤    3 Chú ý: Vì (−x2 + 4x + 21) − (− x2 + 3x + 10) = x + 11 > ⇒ y > ⇒ y2 = (x + 3)(7 − x) + (x + 2)(5 − x) − 2r(x + 3)(7 − x)(x + 2)(5 − x) = ( (x + 3)(5 − x) − (x + 2)(7 − x) x = ) + ≥ Suy y ≥ , dấu xảy Vậy y = Bài 5: 1− sin2 2x − 3sin2 2x = y = 1− sin2 2x − sin 2x Đặt t = sin2 2x, ≤ t ≤ Khi đó: y = Ta có g'(t) = 26 (2 − t)2 4− t = g(t) với ≤ t ≤ 1, 2− t > ⇒ maxy = maxg(t) = 3, miny = 0;1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đặt t = 2x 1+ x2 ⇒ t ≤ ⇒ y = sint + cos2t + = −2sin2 t + sint + Đặt u = sint ⇒ − sin1 ≤ u ≤ sin1⇒ y = −2u2 + u + Ta có y' = −4u + 1⇒ y' = ⇔ u = 17 y = −2sin2 1− sin1+ 2; maxy = Bài 6: 3 ≥ a + b2 + c2 ≥ a2b2c2 ⇒ abc ≤ Áp dụng BĐT Cô si, ta có: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 1 3 + + ≥ ⇒ P ≥ 8abc + 3 abc abc a b c Từ giả thiết P ≥ 8t + = f(t) t  1  1 Xét hàm f(t) có f '(t) = − < ⇒ f(t) ≥ f  ÷ = 25 ∀t ∈  0;  t  8  2 ⇒ P ≥ 25 Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = 2 Cách : Đặt t = abc ⇒ < t ≤ Đặt: u = x + y,v = xy ⇒ ( x + y ) xy = x2 + y2 − xy ⇔ uv = u2 − 3v ⇔ ( u + 3) v = u2 ⇔ v = Vậy A = x3 + y3 = u2 ( u ≠ −3) u+3 x3 + y3 ( xy) = u3 − 3uv v3 = ( u u2 − 3v v3 ) =u 2  u + 3 = ÷ v  u  4u2 u−1 ⇔ ≤ 1⇔ ≥ ( lưu ý u ≠ ) u+3 u+3 u+3 u+3 ⇔ u ≥ 1∨ u < −3 ⇒ > u u+3 −3 ⇒ f '( u ) = < ⇒ f ( u ) ≤ f ( 1) = ⇒ A ≤ 16 Xét hàm f ( u ) = u u2 Vì u2 ≥ 4v ⇒ u2 ≥ Đẳng thức xảy ⇔ x = y = Cách : Đặt a = Vậy GTLN A = 16 1 ;b = Khi giả thiết tốn trở thành x y a + b = a2 + b2 − ab ≥ a + b) ⇔ ≤ a + b ≤ ⇒ A ≤ 16 ( 27 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Đẳng thức xảy ⇔ a = b = ⇔ x = y = ( x + y ) xy = x2 + y2 − xy  Cách : Xét hệ phương trình :  1  3+ =A y x ( x + y ) xy = x2 + y2 − xy ( x + y ) xy = x2 + y2 − xy     ⇔  ( x + y ) x2 + y2 − xy ⇔  ( x + y) xy =A =A   3   ( xy ) xy ( )   x + y xy = x + y − 3xy SP = S2 − 3P ) ( ) (  S = x + y 2 ⇔  ⇔ ; với S2 ≥ 4P    S  x+ y P = xy = A    = A  ÷ ÷  P   xy  ( )  S Giả thiết suy  ÷ = A thỏa điều kiện A > , S = A P P Thay S = A P vào phương trình SP = S2 − 3P rút gọn ta ( A − A ) P = , để phương trình có nghiệm A − A ≠ tức < A ≠ Với < A ≠ suy P = A− A S = A −1     S2 ≥ 4P ⇔  ÷ ≥ 4 ÷ ⇔ A ≤ ⇔ < A ≤ 6, A ≠  A − 1 A − A  Vậy, GTLN A = 16 1 3 ⇒P≥ + 2xyz = + 2t3 = f(t) Bài 7: Ta có: + + ≥ 3 x y z t xyz xyz x2 + y2 + z2 Trong đó, ta đặt t = xyz ⇒ < t ≤ Xét hàm số f(t) , ta có: f '(t) = 6t − 3 t = 6t −   29 29 ⇒ f(t) ≥ f  Vậy minP = ÷= 9  3 Bài 8: Đặt t = cotx 28 t =  1 < ∀t ∈  0;  3  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ⇒ sin2x = ⇒ g(x) = g(x) = 2tanx 1+ tan2 x = 2cotx 1+ cot2 x = 2t 1+ t2 ; cos2x = t2 − t2 + ⇒ f(t) = t2 + 2t − t2 + (sin4 x + 2sin2 x − 1)(cos4 x + 2cos2 x − 1) (sin4 x + 1)(cos4 x + 1) sin4 xcos4 x + 8sin2 xcos2 x − sin4 xcos4 x − 2sin2 xcos2 x + u = sin2 xcos2 x; ≤ u ≤ = u2 + 8u − u2 − 2u + = h(u) , −5u2 + 4u + ⇒ h'(u) = >0 (u2 − 2u + 2)2  1 ∀u ∈  0;   4  1  1 h(u) = h  ÷ = ⇒ hàm số h(u) tăng 0;  nên max  1   25 u∈ 0;   4  h(t) = h(0) = −1  1 u∈0;   4 Vậy maxg(x) =  ; ming(x) = −1 25 x + my − = Bài 9: Xét hệ:  (*) có D = −m − 2x + (m − 2)x − = • Nếu m ≠ −2 ⇒ (*) có nghiệm (x0;y0) x = x0 ⇒ minP = Khi P ≥ 0, P = ⇔   y = y0 • m = −2 ta có: P = (x − 2y − 2)2 + (2x − 4y − 1)2 Đặt t = x − 2y − , ta có: P = t2 + (2t + 3)2 = 5t2 + 12t + Suy minP = Vấn đề Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn , giá trị nhỏ thỏa điều kiện cho trước Bài 1: y Điều kiện cần để m > y ( 1) > ⇒ 4a > ⇒ a > 1 Gọi m = x∈¡ 2  4ax + x − 4x + 3= x + 4(a − 1)x + , x ∈ (−∞;1]U [3; +∞) y= 2  4ax − x + 4x − = −x + 4(a + 1)x − , x ∈ [1;3] *Với x ∈ (−∞;1]U [3; +∞ ) : y' = 2x + 4( a – 1) y' = ⇔ x = 2(1− a) < * Với x ∈ [1;3] : y' = −2x + 4( a + 1) y' = ⇔ x = 2(a + 1) > 29 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Từ bảng biến thiên suy miny = m = y 2( 1− a)  =  4( 1− a) − 8( a − 1) + = − 4( a − 1) = 8a – 4a2 – 2 m > ⇔ 8a − 4a2 − > ⇔ 4a2 − 8a + < 0⇔ < a< 2 1 < a< ta giá trị tham số a cần tìm 2 msinx + Tìm tập giá trị E hàm số y, y ∈ E ⇔ phương trình y = cosx + (1) có nghiệm (1) ⇔ ycosx + 2y = msinx + 1⇔ ycosx − msinx = 1− 2y Kết hợp a > (1) có nghiệm ⇔ m2 + y2 ≥ (1− 2y)2 ⇔ 3y2 − 4y + 1− m2 ≤ ⇔ − 1+ 3m2 + 1+ 3m2 ,suy − 1+ 3m2 ≤ y≤ miny = 3 y < −1 ⇔ − 1+ 3m2 < −1 ⇔ 1+ 3m2 > 5⇔ 1+ 3m2 > 25 ⇔ m2 > ⇔ m ≤ −2 2,m ≥ 2 m y' = 8x – 4m ⇒ y' = ⇔ x = Xét trường hợp sau m ≤ −2 ⇔ m ≤ −4 Khi ∀x ∈ (−2;0) , y' > ⇒ Hàm số y đồng biến * (−2;0) , hàm số y liên tục [−2;0] ⇒ y = y ( −2)  = m2 + 6m + 16 x∈[−2;0] Miny = ⇔ m2 + 6m + 16 = ⇔ m2 + 6m + 14 = ,phương trình vơ nghiệm m ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ * −2 ≤  m Bảng biến thiên hàm số y [−2;0] ⇒ miny = y  ÷ = −2m  2 Miny = ⇔ −2m = ⇔ m = −1∈ [−4;0] * m > ⇔ m > ,khi ∀x ∈ (−2;0) , y' < ⇒ Hàm số y nghịch biến 2 [−2;0] ⇒ y = y ( 0) = m – 2m x∈[−2;0] Miny = ⇔ m2 − 2m = ⇔ m2 − 2m − = ⇔ m = 1± Vì m > nên nhận giá trị m = 1+ Vậy m = −1 m = 1+ 30 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  ax + b ≤4 ∀x ∈ ¡ , ∀ x +1  x ∈ ¡ ,y ≤  ⇔ Maxy = ⇔  ∃x1 ∈ ¡ : y(x1) = ∃x ∈ ¡ : ax1 + b =  x12 +  ∀x ∈ ¡ ,4x2 − ax + − b ≥ ⇔ ⇔ ∆1 = ⇔ a2 + 16b − 64 = (1) ∃x1 ∈ ¡ ,4x1 − ax1 + − b =  ax + b ≥1 ∀x ∈ ¡ , x +1 ∀x ∈ ¡ ,y ≥  ⇔ * Miny = ⇔  ∃x2 ∈ ¡ : y(x2) = ∃x ∈ ¡ : ax2 + b =  x22 +  ∀x ∈ ¡ ,x2 + ax + b + ≥ ⇔ ⇔ ∆ = ⇔ a2 − 4b − = (2) ∃x2 ∈ ¡ ,x2 + ax2 + b + = a2 + 16b − 64 = 20b − 60 = a = ±4  b = ⇔ ⇔ ⇔ Hệ  a − 4b − = a = 16 b = a − 4b − = Bài 2: Đặt t = x3 – 3x2 + 4, x 0;4 Tìm tập giá trị t t' = t' = 3x2 − 6x,  ⇔ x= x ∈ (0;4) Vì t ( 0) = 4, t ( 4) = 20, t ( 2) = , hàm số t liên tục có đạo hàm 0;4 , suy tập giá trị t 0;20 Hàm số y trở thành hàm f ( t) = t + m , t ∈ [0;20] Bài tốn quy về: Tìm f(t) đạt giá trị nhỏ tham số m để t∈max [0;20] t' O T(t) E(10) A(20) M(-m) t Trên trục t’Ot , gọi A, T, M điểm có hồnh độ 20 , t – m , MT = t + m T di động đoạn OA Từ suy * Nếu M ngồi đoạn OA maxMT = max{ MO,MA } ≥ OA * Nếu M đoạn OA maxMT = max{ MO,MA } ≥ maxMT = OA OA ⇔ M trùng với trung điểm E OA 31 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vậy maxMT đạt giá trị nhỏ ⇔ m = −10 y = t' = OA = 10 ⇔ M trùng E 2 x2 − x + − m(x − 2) x2 − x + = − m Đặt  t = x − x + , x ∈ [−1;1] x− x− x− x2 − 4x t' = ⇒ ⇔ x= (x − 2)2 x ∈ (−1;1) Từ bảng biến thiên suy tập giá trị t −  2; −1 Hàm số y trở thành f ( t) = t − m Bài tốn quy về: Tìm tham số m để max f(t) đạt giá trị nhỏ t∈[−2;−1] t' A(-2) T(t) E B(-1) M(m) t O Trên trục t’Ot , gọi A, B, T, M điểm có hồnh độ -2 , - , t m , MT = t − m = f ( t) T di động đoạn AB Từ suy * Nếu M ngồi đoạn AB maxMT = max{ MA ,MB} ≥ AB * Nếu M đoạn AB maxMT = max{ MA ,MB} ≥ AB AB ⇔ M trùng với trung điểm E AB AB ⇔ M trùng E ⇔ = Vậy maxMT đạt giá trị nhỏ 2 m=− maxMT = 32 ... (sin4 x + 2sin2 x − 1)(cos4 x + 2cos2 x − 1) (sin4 x + 1)(cos4 x + 1) sin4 xcos4 x + 8sin2 xcos2 x − sin4 xcos4 x − 2sin2 xcos2 x + u = sin2 xcos2 x; ≤ u ≤ = u2 + 8u − u2 − 2u + = h(u) , −5u2 + 4u... a2 − 4b − = (2) ∃x2 ∈ ¡ ,x2 + ax2 + b + = a2 + 16b − 64 = 20b − 60 = a = ? ?4  b = ⇔ ⇔ ⇔ Hệ  a − 4b − = a = 16 b = a − 4b − = Bài 2: Đặt t = x3 – 3x2 + 4, x 0 ;4? ?? Tìm tập. .. x= x ∈ (0 ;4) Vì t ( 0) = 4, t ( 4) = 20, t ( 2) = , hàm số t liên tục có đạo hàm 0 ;4? ?? , suy tập giá trị t 0;20 Hàm số y trở thành hàm f ( t) = t + m , t ∈ [0;20] Bài tốn quy về: Tìm f(t)