Thông tin tài liệu
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt HƯỚNG DẪN GIẢI Vấn đề Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Bài 1: y' = 3x2 − 6x,y'' = 6x − , y'' = ⇔ x = , y = Vậy ( C ) có điểm uốn I ( 1;2) y' = 4x3 − 12x,y'' = 12x2 − 12 , y'' = ⇔ x = ±1 , y = −3 Vậy ( C ) có điểm uốn I ( ±1; −3) Bài 2: uur Thực phép tịnh tiến theo OI Hệ trục Oxy ⇒ hệ trục IXY x = X + xI = X + Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yI = Y + Đối với hệ trục IXY, phương trình (C) Y + = (X + 1)3 − 3(X + 1)2 + = X + 3X + 3X + 1− 3X − 6X − + ⇔ Y = X − 3X = F(X) Vì ∀X ∈ ¡ ,F(−X) = − X + 3X = −F(X) nên Y = F(X) hàm số lẻ ,suy điểm I(1;2) tâm đối xứng uur Thực phép tịnh tiến theo OI Hệ trục Oxy → Hệ trục IXY x = X + xI = X − Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yI = Y + Đối với hệ trục IXY, phương trình (C) 3(X − 1) − 3X − 4 Y + 3= ⇒Y= − = − = F(X) X − 1+ X X Vì hàm số Y = F(X) hàm số lẻ nên điểm I(-1;3) tâm đối xứng (C) Bài 3: Hàm số viết lại : y = x + 1+ x−1 Giả sử ( C ) có tâm đối xứng I ( x0;y0 ) uur x = x0 + X OI Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = y0 + Y Phương trình ( C ) hệ : Y + y0 = ( x0 + X ) + 1+ 1 ⇔ Y = X + ( x0 + 1− y0 ) + X + ( x0 − 1) ( x0 + X ) − x0 + 1− y0 = x0 = ⇒ ⇔ I ( 1;2) Để hàm số lẻ : x0 − = y0 = 33 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I ( 1;2) Vấn đề 2: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Bài 1: Ta có : y' = − 3x2 6x + 6mx ⇒ y'' = − + 6m m m ( ) 6x + 6m = ⇒ x = m2 ⇒ I m2;2m5 − m m2 = m = ±1 ⇔ ⇔ m = ±1 Để đồ thị có tâm đối xứng I 2m − = m = Với y''=0 ⇔ − Vậy với m = ±1 , đồ thị có tâm đối xứng I Bài 2: Với m = ⇒ (C 2) : y = x3 − 5x2 + 6x + Gọi A(a;a3 − 5a2 + 6a + 3), B(b;b3 − 5b2 + 6b + 3) hai điểm thuộc (C) a = − b a = − b ⇔ đối xứng qua O ⇒ 3 a − 5a + 6a + = − b + 5b − 6b − a = Vậy hai điểm thuộc (C) đối xứng qua O : 33 33 A ; ÷ B − ; − ÷ 5 5÷ 5 ÷ Gọi M(x1;y1), N(x2;y2) hai điểm thuộc (C) x ,x ≠ x1,x2 ≠ M ,N đối xứng qua Oy ⇔ x1 = − x2 ⇔ x1 = − x2 y = y 2 x1 + 2m = ( ∗) Yêu cầu toán ⇔ ( ∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −2m > ⇔ m < Vậy m < giá trị cần tìm Vấn đề 3: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng r Bài 1: Ta có v = (3;4) véctơ phương dm uuuu r r Mặt khác, MN = nên k = ±1 Nếu Vì M ,N thuộc dm nên MN = k.v uuuu r u u u u r r r k = −1 MN = − v ⇔ NM = v Vì không cần xem xét thứ tự hai uuuu r r điểm M với N nên ta cần xét trường hợp MN = v r r Xét phép tịnh tiến Tv Gọi (C') = Tv (C) (C') : y − = (x − 3)3 − 3(x − 3) + ⇔ y = x3 − 9x2 + 24x − 11 34 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vì M ∈ (C) nên N = Tvr (M ) ∈ Tvr (C) = (C') Do đó, N giao điểm (C) (C') Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C') x3 − 3x + = x3 − 9x2 + 24x − 11 Phương trình có hai nghiệm x = x = * Khi x = 35 11 ta N ; ÷ Vì N ∈ dm nên m = 27 27 235 151 ta N ; ÷ Vì N ∈ dm nên m = 27 27 11 151 Kiểm tra ta thấy m = m = dm cắt (C) ba điểm 27 27 phân biệt uuuu r r Bài 2: Vì MN song song với trục hoành nên MN = k.i = (k;0) , với r i = (1;0) véctơ đơn vị trục hồnh Khi ta có MN = k r Xét phép tịnh tiến theo véctơ v = (k;0) * Khi x = Gọi (C k ) ảnh (C) qua Tvr (C k ) : y = (x − k)3 − 3(x − k) + Vì N = Tvr (M) ∈ Tvr (C) = (C k ) nên N giao điểm (C) (C k ) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C k ) 3x2 − 3k.x + k2 − = Phương trình có nghiệm ∆ = −3k2 + 36 ≥ ⇔ k ≤ Khi k = (C) (C k ) có điểm chung N ( ) 3;3 ( ) Khi k = −2 (C) (C k ) có điểm chung N − 3;3 Vậy MN = k lớn k = ±2 Vậy, hai điểm cần tìm N M ( ) ( ) ( ) ( ) 3;3 M − 3;3 N − 3;3 3;3 Bài 3: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị ( C ) , gọi I ( x0;0) uur x = x0 + X OI Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = Y Phương trình ( C ) hệ tọa độ : 35 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Y = ( x + x0 ) − 4( x + x0 ) + 7( x + x0 ) − 6( x + x0 ) + 4 ( ) ( ) ( ⇔ Y = X4 + ( 4x0 − 4) X + 6x02 − 5x0 X + 4x03 − 5x02 + 7x0 − X + x04 − 4x03 + 7x02 − 6x0 + Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không : 4x0 − = ⇔ 4x03 − 5x02 + 7x0 − = ⇒ x0 = x0 − 4x0 + 7x0 − 6x0 + = Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x = Bài 4: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị ( C ) , gọi I ( x0;0) uur OI x = x0 + X Chuyển : ( Oxy ) → ( IXY ) = y = Y Phương trình ( C ) hệ tọa độ : ( ) ( ) Y = X + ( 4x0 + 4) X + 6x02 + 3x0 + m X + 4x03 + 12x02 + 2mx0 X + x04 + 4x03 + mx02 4( x0 + 1) = x = −1 ⇒ Để hàm số chẵn : 4x0 + 120 + 2mx0 = m = Vấn đề 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Bài 1: Gọi điểm A x;x − 1− ÷∈ ( C ) ,B( x';y') ∈ ( C') x + 2 Khi A chạy ( C ) qua điểm I , B chạy ( C') , ( C') đối xứng với ( C ) qua I A B đối xứng qua I x = 2xI − x' x = −2 − x' 1 ⇔ ⇒ ⇔ − y' = −2 − x'− 1− ; ⇔ − y' = −x'− + −2 − x'+ x' y = 2yI − y' y = − y' Vậy, ( C') có phương trình : y = x + − x x4 − 3x2 + ,B( x';y') ∈ ( C') 2 Khi A chạy ( C ) qua điểm I , B chạy ( C') , Gọi điểm A ( x;y ) ∈ ( C ) ⇒ y = ( C') 36 đối xứng với ( C ) qua I A B đối xứng qua I Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x = 2.0 − x' ( −x') − −x' + ⇔ y' = − x'4 + 3x'2+ ⇒ − y' = ( ) 2 y = 2.2 − y' 4 Vậy, ( C') có phương trình : y = − x + 3x2 + 2 Bài 2: Gọi A ( x;y ) thuộc ( C ) B( x';y') thuộc ( C') Nếu ( C') đối xứng với ( C ) qua d , A B đối xứng qua d y − y' ÷ = −1 y − y' = −2( x − x') kAB.kd = −1 x − x' ⇒ ⇔ ⇔ I ∈ d x + x' − 2 y + y' − = x + x'− 2( y + y') − = ÷ y − y' = −2( x − x') ( 1) y + 2x = y'+ 2x' 5y = −3y'+ 4x'+ ⇔ ⇒ ⇒ 2y − x = x'− 2y'+ 5x = 3x'+ 4y'− y + y' = ( x + x'+ 2) ( 2) Từ phương trình hàm số : 10 10 5y = 5x + + ⇒ 4x'− 3y'+ = 4y'+ 3x'− + + 5x + 10 4y'+ 3x'− + 10 x− A x;y Gọi ( ) thuộc ( C ) B( x';y') thuộc ( C') đồng thời đối xứng ( C') : y = 1− x − với A qua Ox Khi : x = x' y = − y' Do A thuộc ( C ) : − y' = −2x'( + x') ⇔ y' = − −2x'( + x') Phương trình ( ∗) phương trình ( C') : y = ( ∗) −2x( + x) Nếu ( C ) cắt ( C') phương trình hồnh dộ điểm chung : x ≤4 y = 2x( − x) x − 2) ( y2 2 2 ⇔ ⇔ y = −2x + 8x ⇒ y + x − 4x + = ⇔ + =1 y = − −2x( + x) 2 y = −2x − 8x ( ) x − 2) y2 Vậy, ( C ) cắt ( C') E-Líp : ( + =1 Bài 3: ( C’) = Tur ((C)) u Gọi M’ (x’;y’) ảnh điểm M(x;y) qua phép tịnh tiến vectơ u r u = (1;2) ,ta có 37 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả uuuuu r u r x'− x = x = x'− MM ' = u ⇔ ⇔ y'− y = y = y'− M ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ y'− = (x'− 1)3 − 3(x'− 1) + ⇔ y'− = x'3− 3x'2 + 3x'− 1− 3x'+ ⇔ y' = x'3− 3x'2 + ⇔ M ' ∈ (C') : y = x3 − 3x2 + Vậy phương trình (C’) : y = x3 − 3x2 + Gọi M’ (x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(- 1;1), ta có x + x' = 2xI = −2 x = −2 − x' ⇔ I trung điểm MM’ ⇔ y + y' = 2yI = y = − y' M ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ 2– y’ = ( −2– x’) − 3( − 2– x’) + ⇔ M ' ∈ (C') : y = x3 + 6x2 + 9x + uur Cách khác : Tịnh tiến OI Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY x = X + xI = X − Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yI = Y + Đối hệ trục IXY , phương trình (C) : Y + = ( X − 1) – 3( X – 1) + ⇔ Y = (X − 1)3 − 3(X − 1) = F ( X ) (C’) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ I ,suy phương trình ( C’) : Y = − F ( − X ) ⇔ Y = − ( −X – 1) + 3( − X – 1) Suy phương trình (C’) hệ trục Oxy : y − 1 = − ( − x – 2) + 3( − x – 2) ⇔ y = x3 + 6x2 + 6x + 3 Gọi M(x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép đối xứng qua đường thẳng x + x' = x = − x' ⇔ (d) : x = ,ta có y = y' y = y' M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = x3 − 3x + ⇔ y' = (4 − x')3 − 3(4 − x') + ⇔ y' = −x'3+ 12x'2 − 45x'+ 53 ⇔ M ' ∈ (C') : y = −x3 + 12x2 − 45x + 53 Vậy phương trình ( C’) : y = −x + 12x − 45x + 53 uuu r Cách khác Tịnh tiến OE với E(2;0) Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục EXY x = X + xE = X + Công thức chuyển hệ tọa độ : y = Y + yE = Y Đối với hệ trục EXY: Phương trình (d) : X = Phương trình (C) : Y = ( X + 2) − 3( X + 2) + = G ( X ) (C’) đối xứng với (C) qua trục tung EY , suy phương trình (C’) : 38 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Y = G ( − X ) = ( − X + 2) – 3( − X + 2) + Suy phương trình (C’) hệ trục Oxy Y = ( 4– x) – 3( 4– x) + = − x3 + 12x2 − 45x + 53 39 ...Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I ( 1;2) Vấn đề 2: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Bài 1: Ta có : y' = − 3x2 6x... ⇒ I m2;2m5 − m m2 = m = ±1 ⇔ ⇔ m = ±1 Để đồ thị có tâm đối xứng I 2m − = m = Với y''=0 ⇔ − Vậy với m = ±1 , đồ thị có tâm đối xứng I Bài 2: Với m = ⇒ (C 2) : y = x3 − 5x2 + 6x + Gọi... x0 = x0 − 4x0 + 7x0 − 6x0 + = Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x = Bài 4: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị ( C ) , gọi I ( x0;0) uur OI
Ngày đăng: 18/10/2022, 12:09
Xem thêm:
