Bài 2 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng Tính giá trị biểu thức – Rút gọn Bài 1: A log7 32 =7 B = log 52 5−1 + C = alga + D= − ( log9 270 − log9 10) = log7 − log 33 10 lg3 10 = − = −3 − log5 10 −1 17 − = −2 + − = 5 15 a2 a2 − − alga = lga lga ( lg − ) 20 ( + lg + 1 3+ 4lne + 5lne ) 20 ( )( ) lg  − +   =  2+ 20 = lg1 =0 10 20 775 −3) − = − ( 3 72 log7 log11 + log7 log11 2( log6 + log6 3) 2log6 F= = = = 3 3 log2 3.log3 2 Bài 2: Để ý : 1350 = 32.5.30 E= log30 1350 = log30 32.5.30 = log30 32 + log30 + log30 30 = 2a + b + 1  −1 −1  − − 2 2 2  ÷ = log5 = log5 + log5 + log5 log5  ÷ 15   1 5a − b − = a− b− = 2 2 log2 24 + log2 = Ta có: log25 24 = log2 25 2log2 log2 15 = alog2 ( 1− a) log2 + log2 = a ⇔ Từ giả thiết ⇒  log2 18 = blog2 12 ( − b) log2 + = 2b  2b − log2 = − b 5− b ⇒ ⇒ log25 24 = 2( ab + a − 2b + 1) lg = ab + a − 2b +  2− b 163 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: log24 14 = log2 14 log2 24 = 1+ log2 + log2 Mặt khác: ab = log2 3.log3 = log2 ⇒ log24 14 = Bài 3: 1+ ab 3+ a 1 6  2n  −10 5  ÷ A = 3m log5 a + log5 b + log5 a − log5 b5 ÷+ log5 a − log5 b  ÷ 5 ÷     3  2n   = 3m  log5 a + log5 b÷ +  −10log5 a − log5 b ÷ + log5 a − log5 b 5 5      9m   3m 12n  = − 4n + 1÷log5 a +  − − 1÷log5 b 25      9m  55  − 4n + =  m = 51 ⇔ ⇒ A không phụ thuộc vào a,b ⇔   3m − 12n − = n = 25   25 34   B = m  + 6log7 a + log7 b ÷− 2n ( 2log7 b − − 6log7 a)   + ( log7 a + log7 b)  1 m 1 =  6m + 12n + ÷log7 a +  − 4n + ÷log7 b + 2m + 6n      10  6m + 12n + = m = − 33 ⇔ ⇒ B không phụ thuộc vào a,b ⇔   m − 4n + =  n = 29   264 Bài 4: loga bx loga b + loga x = logax ( bx) = loga ax 1+ loga x n logx a + logx a + + logx a = n + + + loga x loga x loga x 1+ + + n n ( n − 1) = loga x 2loga x Bài 5:  26x y   22x 11y  − − 1÷log2 a +  − Ta có: A =  ÷log2 b 20   15 20   15 = 164 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5 Từ ta tìm được: x = ;y =  2y 4x   4y 8x  16x − − 3÷log3 a +  − − 3÷log3 b − Ta có: B =  21 21     Từ tìm được: x = − Dạng 63 27 ;y = 16 Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức Bài 1: 1 log2 < < log log0.3 0.2 < 1< log0.2 0.3 log2 + 3log3 − 4 ≥ − > > log5 16 3 35.104 > 53 ⇒ 35.1010 > 53.106 ⇒ (300)5 > (500)3 ⇒ 300500 > 500300  1− log  log125 ÷ log  81 + 25 49 = 19  ÷    log 9−log − log 45 7 < = 72 492 +5   4 ÷ ÷  Bài 2: Từ giả thiết, ta có : a2 + b2 = c2 ⇔ a2 = ( c + b) ( c − b) ⇒ loga a2 = loga ( c + b) ( c − b) ⇔ = loga ( c + b) + loga ( c − b) ⇒ 2= log( c+ b) a + log( c− b) a ⇔ logc+ b a + logc− b a = 2logc+ b a.logc− b a Từ giả thiết : a2 + b2 = 7ab ⇔ a2 + b2 + 2ab = 9ab ⇔ ( a + b) = 9ab 2  a+ b a+ b ⇔ = ab ( a > 0,b > 0) ÷ = ab ⇔   a+ b ⇒ log2012 = log2012 ab = ( log2012 a + log2012 b) 3 a a > 3b > Ta có: 2lg ( a − 3b) − lg4 = lga + logb ⇔ lg ( a − 3b) = lg ( 4ab) ⇔ ( a − 3b) = 4ab 165 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 2a + 3b = 21 a = 2a + 3b = 21 ⇔ ⇔ Ta có hệ :   a − 10ab + 9b = ( a − b) ( a − 9b) = b =  4373 a= a + 2b = 3−3  81 ⇔ b  2a + b =  b = − 2185  81 Ta có: 3log2 a + 2log2 c = log b3 ⇔ log2 a3 + log2 c3 = log2 b6 ⇔ a3c3 = b6 ⇔ ac = b2 logx a + logx c = 2logx b ⇔ logx ac = logx b2 ⇔ ac = b2 logc+ b a + logc− b a = 2logc+ b alogc− b a ⇔ 1 + = loga ( b + c) loga ( c − b) loga ( c + b) loga ( c − b) ( ) ⇔ lga ( b + c) + loga ( c − b) = ⇔ loga c2 − b2 = ⇔ c2 − b2 = a2 ⇔ c2 = a2 + b2 ⇔ ∆ABC vuông C Bài 3: Giả sử ba số lớn ⇒ log2012 a,log2012 b,log2012 c > ⇒ logabc 2012 = 1 + + ≥ log2012 a log2012 b log2012 c log2012 abc ⇒ logabc 2012 ≥ 9logabc 2012 ⇔ logabc 2012 ≤ ⇒ abc ≤ vơ lí  a+ b a+ b Ta có:  = ( log2012 a + log2012 b) ÷ = ab ⇒ log2012   Bài 4:  a+ b a+ b lna + ln b ≤ 2( lna + ln b) = 2lnab ≤ 2ln  ÷ = ln   Đẳng thức xảy ⇔ a = b Ta có: alogb c = clogb a logb c ⇒a loga b +c logb a =c log c a b loga b +c log a +b c logb a+ loga b ≥2 c log a b c log b +c a Tương tự: ≥ 2a; Cộng ba BĐT lại với nhau, ta có: logb c a logc a +b loga b +c ≥ 2b ≥ a + b + c ≥ 33 abc Đẳng thức xảy Bài 5: Bất đẳng thức cho trở thành: 166 ≥ 2c Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt log2 a2 log2 ( b + c) + log2 b2 log2 ( c + a) + log2 c2 log2 ( a + b) ≥ ( ∗) 1 + ≤ hay a + b ≤ ab a b Suy log2 ( a + b) ≤ log2 ( ab) , tương tự log2 ( b + c) ≤ log2 ( bc) Vì a,b,c ≥ nên log2 ( c + a) ≤ log2 ( ca) Đặt x = log2 a,y = log2 b,z = log2 c suy x,y,z ≥ Khi VT ( ∗) ≥ 2log2 a log2 bc Ta cần chứng minh: + 2log2 b log2 ca + 2log2 c log2 ab = 2y 2x 2z + + y + z z + x x+ y 2y 2x 2z + + ≥ ; x,y,z ≥ y + z z + x x+ y 2y 2x 2z + + ≥3 y + z z + x x+ y Thật vậy,  1  ⇔ ( 2x + 2y + 2z )  + + ÷≥  x+ y y + z z + x Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho vế trái, ta điều phải chứng minh x,y,z ≥ Đẳng thức xảy  tức a = b = c = x = y = z Bài 6: Đặt a = ,b = với a > 0,b > Khi : P = y x ( a3 + b3 + ab2 + ba2 ) ab a2 + b2 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân tử mẫu 4ab  2 a3 + b3 + ab2 + ba2 = ( a + b)  a + b + ÷ ≥ 4( a + b) ab a + b   ( ) ab ab ( a + b) ab a + b = 2ab a2 + b2 ≤ 2 2 ( ) Suy P ≥ Vậy, minP = , a = b tức x = y  1 1 Ta có:  a − ÷ ≥ ⇔ a2 − a + ≥ ⇔ a2 ≥ a − 2 4  1 Tương tự : b2 ≥ b − ,c2 ≥ c − ,d2 ≥ d − 4 1     1 a,b,c,d ∈  ;1÷ ⇒ l oga b2 ≤ loga  b − ÷ ⇒ loga  b − ÷ ≥ 2loga b 4 4 4    167 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  1  1 Tương tự : logb  c − ÷ ≥ 2logb c,logc  d − ÷ ≥ 2logc d, 4 4    1 logd  a − ÷ ≥ 2logd a ⇒ F ≥ 2( loga b + logb c + logc d + logd a) ≥   ⇒ MinF = ⇔ a = b = c = d = 2 logx a + 2b  a + 2b  = logx ab ⇔  ÷ = ab   ⇔ a2 − 5ab + 4b2 = ⇔ a = 4b ( a > b) ⇒ P = 29 36 Bài 7: 3sin2 x + 3cos2 x ≥ 3sin2 x+ cos2 x = Giả sử ba số lớn ⇒ log2010 a,log2010 b,log2010 c > ⇒ logabc 2010 = log2010 a + log2010 b + log2010 c ≥ log2010 abc ⇒ logabc 2010 ≥ 9logabc 2010 ⇔ logabc 2010 ≤ ⇒ abc ≤ vơ lí  a+ b a+ b Ta có:  = ( log3 a + log3 b) ÷ = ab ⇒ log3   Bài 8: 1 Xét hàm số f(x) = ln(1+ x) − x + x2 với x ≥ x2 − 1+ x = ≥ ∀x ≥ 1+ x x+ ⇒ f(x) ≥ f(0) = ∀x ≥ ⇒ (1) Chứng minh tương tự câu Có f '(x) = Dạng Tìm tập xác định hàm số Bài 1:   ≥0  ≥1 ln ⇔ ⇔ 1< x ≤ ⇒ D = ( 1;2  x − x− x − > x >   x ≥    2 ⇔ x≥ 2 ln  x + x − ÷ ≥ ⇔ x + x − ≥ ⇔  x < −2    2  x − ≥ ( 1− x) 168 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x2 + − >  ⇔ x ≥ ⇒ D =  3; +∞ 3x − ≥   x − >  1 ≤ x≤ −2x2 + 5x − ≥  ⇔ ⇔ 1< x ≤ ⇒ D = ( 1;2   x < −1  x − >   x > )  x ≥ x2 − 4x + ≥   x ≤   ⇔  ⇔ − < x ≤ 1⇒ D =  − ;1  2    25 − 4x > − < x <  0 < 2x + ≠ x ≥ −   ⇔  ⇒ D =  − ; +∞ ÷\ { 0}   0 < 3x + ≠ x ≠   x> − 0 < 3x + ≠      ⇔ ⇒ D =  − ; +∞ ÷\ − ,0      1− 1− 4x >  x ≠ − ; x ≠  Bài 2: 4 − x2 ≥ −2 ≤ x < −1  ⇔ ⇒ D = [ − 2; −1) ∪ (1;2] Điều kiện:  x − >0 1< x ≤  x+ x2 − 4x + ≥  ⇒ D = [3; +∞) Điều kiện: 0 < x ≠  x − >  x2 + − x >  ⇒ D = (3; +∞) Điều kiện:  x + ≥1  x− 0 < x ≠ ⇒ D = (−1+ 17; +∞) Điều kiện:   x + 2x − > Bài 3: 169 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  x2 − mx + > (3)   x − x+ ⇔ Hàm số xác định với ∀x ∈ ¡   x − mx + ≤ (4)   x − x+ ∀x ∈ ¡ x2 − ( 3m − 2) x + >  ∆ = 9m − 12m < ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔  2 x + ( 2m − 3) x + ≥ ∆ = 4m − 12m + ≤  0 < m < ⇔ ⇔ ≤ m< 1 ≤ m ≤  2 17 Điều kiện: 2x2 + 3x + 2m − > ∀x ∈ ¡ ⇔ m > 16 Điều kiện: x2 + 2mx + m + x2 + > ∀x ∈ ¡ ⇔ −1< m <  x2 + mx + >0  ∀x ∈ ¡ , không tồn m Điều kiện:  3x − 2mx + 2m −  3x − 2mx + 2m − ≠ Dạng Tính giới hạn đạo hàm Bài 1: ex − H = lim x→0 x + 1− = lim x→0 ( ex − )( x + 1− ) x + 1+ ( ex − ex − lim x + + = 1.2 = Vì lim =1 x→0 x x→0 x→0 x   I = lim  − 1÷ln 1+ tan2 x = limcot2 xln + tan2 x x→0 sin2 x x→0  ( H = lim ) ( I = lim ( ) = Vì ln 1+ tan2 x tan2 x x→0 ) x + 1+ ) lim x→x0 ( ( ln 1+ u ( x) u ( x) ) ) = ( 1+ x) α − = eα ln( 1+ x) − α ln ( 1+ x) x x α ln ( 1+ x) α ln 1+ x e ( ) − α ln ( 1+ x) J = lim =α x→0 α ln ( 1+ x) x α * ( 1+ x) − = eα ln(1+ x) − 1⇒ 170 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a   x − a x a a x−a  − − aa  1+ − * a −x =a a ÷ a      ( ) a  x − a  1+ a ÷ − x a x−a a −x a − a−1   ⇒ = aa −a x− a x−a x− a a a  x − a  1+ a ÷ − x−a a − a−1 a  K = aa lim − a lim  = aa lna − aa−1.a = aa ln x−a x→a x − a x→a e a Bài 2: ( 2x + 1) ' y' = ( 2x + 1) 3 y' = y' = 6x2 = ( ) 5.5 2x3 + 3x lnx 3cos3x 10 10 sin9 3x x x  2  1 1 ln2 −  ÷ ⇒ y' = + = y =  ÷ xln5 xln5( ln2 − ln5)   5 xln ( 3x y' = ( 3x ) 6x + = 2x − 2 − 2x + x2 − 2x + x2 + 2x + = 4x2 − 12 x4 + 2x2 + ) + 2x + ' x +1− x  y' = e ( 3x + 2x + 1) ln3 − 2x +  ÷ = ln ( x − 2x + 3) − ln ( x + 2x + ÷  + 2x + ln3  x2 y = ln   x2  ⇒ y' = ) + 2x + '  3x−1 ( 3x − 1) 'ln3  x + − x÷ +   '    ÷ 2x = e x +1− x  − 1÷ + 33x ln3  ÷  33 x + ÷   ( ) 171 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả Dạng Ứng dụng – chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức Bài 1: Ta có y' = cosx.esin x ⇒ y'' = − sinx.esin x + cos2 x.esin x ⇒ y'' = − sinx.y + cosx.y' ⇒ y'cosx − y.sinx − y" = đpcm Ta có: y' = − tanx ⇒ y'' = −1− tan2 x = −1+ y'.tanx ⇒ y'.tanx − y''− =  x   1− x ÷' 1− x  = ∀ x ∈ 0;1 ( ) , ta có y' =  = x ( 1− x) x x( 1− x) 1− x Suy y'( 1− x) ey = 1− x e x x 1− x 1− x x = x 1− x   Ta có: y' = 3cos( lnx) + 4sin ( lnx) + x  − sin ( lnx) + cos( lnx)  x x   ln = y' = 7cos( lnx) + sin ( lnx) ⇒ y'' = − sin ( lnx) + cos( lnx) x x  2 Do đó: x y''− xy'+ 2y = x  − sin ( lnx) + cos( lnx)  − x  x  − x 7cos( lnx) + sin ( lnx)  + 2x  3cos( lnx) + 4sin ( lnx)  = −7xsin ( lnx) + xcos( lnx) − 7xcos( lnx) − xsin ( lnx) + +6xcos( lnx) + 8xsin ( lnx) = Bài 2: 1.Ta có: f '( x) = ex − 1⇒ f '( x) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên, ta thấy f ( x) ≥ f ( 0) = ∀x ∈ ¡ Xét hàm số f ( x) = ex − 1− x − x2 với x ≥ , ta có: f '( x) = ex − 1− x ≥ ∀x ∈ ¡ (theo kết câu 1) ⇒ f ( x) ≥ f ( 0) = ∀x ≥ đpcm Xét hàm số f ( x) = ln ( 1+ x) − x + x2 với x ≥ x2 − 1+ x = ≥ ∀x ≥ 1+ x x+ ⇒ f ( x) ≥ f ( 0) = ∀x ≥ ⇒ ( 1) Có f '( x) = Bài 3: 172 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x > 0,x ≠ Ta có: y = xlogx = x ln2 x  lnx − 1 = ln2 ⇒ y' = ln2. ÷ lnx lnx  ln2 x   lnx − 1 y' ≤ ⇒ ln2. ÷ ≤ ⇔ lnx − ≤ ⇔ lnx ≤ ⇔ < x ≤ e  ln2 x  Vậy bất phương trình có nghiệm : < x ≤ e x ≠ 2 y' = ( −2x + 1) e− x +x ( ) ( ) y'+ y'+ 2y = ⇔ 4x2 − 6x + e− x  x + x2 + 1 '  ÷  = y' =  +x +x = ⇔ 2x2 − 3x + = ⇔ x = Khi đó: 2x.y'− = ⇔ 2 , y'' = 4x2 − 4x − e− x x+ x + x +1 x ≥ ⇔ 2x = 1+ x2 ⇔  ⇔ x= 4x = 1+ x Bài 4: Hàm số cho xác định : − x4 − 3x2 + > ⇔ −1< x < Ta có : y' = −4x3 − 6x = ( 2x 1+ x2 ,x = =1 ) 2x 2x2 + − x4 − 3x2 + x4 + 3x2 − Trên khoảng ( −1;1) : y' = ⇔ x = Lập bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến khoảng ( −1;0) nghịch biến khoảng ( 0;1) Bài 5: Hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ 2a3 + 3a2 − 2a − > ( ) ⇔ ( a − 1) 2a2 + 5a + > ⇔ ( a − 1) ( a + 1) ( 2a + 3) > ⇔ − < a < −1 a > x = ⇒ y' = ⇔  x = x2 + x2 +  Lập bảng biến thiên, ta có :  1 Hàm đồng biến khoảng  −∞; ÷ ( 2;+∞ ) 2  2a y' = − 5x = 2x2 − 5x + 1  Hàm nghịch biến khoảng  ;2÷ 2  173 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả   x    x x ÷ − 1÷ = 5x  x2 + − x ÷ ln5 − 2b y' = ln5 x + − x ÷+   ÷ ÷      x2 +   x +1   x2 + − x > x2 − x ≥  ⇒ y' > ∀x ∈ ¡ Ta có:  1 ⇒ ln5 − >0 ln5 > > x2 + x2 +  Vậy hàm số đồng biến ¡ Bài 6: y = y ( −1) = 2, maxy = y ( 1) = 12 y = y ( ±1) = 18 Bài 7: ( ) ( b c d a d c b a b c d a d c b a a b c d ≥ a d c b ⇔ ln a b c d ≥ ln a d c b ) ⇔ blna + cln b + dlnc + alnd ≥ dlna + clnd + blnc + alnb ⇔ ( d − b) ( lnc − lna) ≥ ( c − a) ( lnd − ln b) ( 2) Nếu c = a b = d Thì bất đẳng thức ln Xét c ≠ a b ≠ d c ln lnc − lna lnd − ln b a ≥ ≥ ⇔ Khi đó: ( 2) ⇔ c− a d−b c  a − 1÷ a  ln d b d  b − 1÷ b   x − 1− xlnx Xét hàm số: f ( x) = lnx ( 1;+∞ ) ta có: f '( x) = x( x − 1) x− Đặt: g ( x) = x − 1− xlnx ⇒ g' ( x) = − lnx < 0,∀x > 1⇒ g ( x) nghịch biến ( 1; +∞ ) ⇒ g ( x) < g ( 1) = f '( x) < 0,∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( x) nghịch biến ( 1;+∞ )  c  d   c d ⇒ f ÷ ≥  ÷  1< ≤ ÷ a b a b      c d c d ln ln ln a ≥ b ⇒ a ≥ b ⇒ c d c   d  đpcm −1 − a − 1÷ b − 1÷ a b a  b  x+ y x+ y > 1,t = ⇔ tx = x + y ⇔ y = x ( t − 1) Đặt: t = x x ln 174 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Do đó: 2x( t − 1) 2y t−1 = =2 2x + y 2x + x( t − 1) t+1 Bài toán trở thành chứng minh: lnt > t−1 với t > t+1 ( t − 1) ≥ ∀t > 1 = Xét hàm số: f ( t) = lnt − , t ≥ f'( t ) = − t ( t + 1) t ( t + 1) t+1 2( t − 1) t−1 với ∀t > đpcm t+1 ln b lna > Bất đẳng thức cần chứng minh ⇔ 1+ b 1+ a2 lnt , 0< t < Xét hàm số f ( t) = 1+ t2 1+ t2 − 2tlnt 1+ t2 − 2t2 lnt t = Ta có: f '( t) = 2 1+ t2 t 1+ t2 ⇒ f ( t) > f ( 1) = ∀t > hay lnt > ( ) ( ) ( Do < t < 1⇒ lnt < ⇒ f '( t) > ∀t ∈ ( 0;1) ) ⇒ f ( t) hàm đồng biến ( 0;1) nên với > b > a > ta có f ( b) > f ( a) ⇔ ln b lna > (đpcm) 1+ b 1+ a2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b a ( ) ( ) b a  a 1  b 1 a b 2 + a ÷ ≤ 2 + b ÷ ⇔ +1 ≤ +1     ( a ) ( ) b ⇔ bln + ≤ aln + ⇔ Xét hàm số : f ( t) = Ta có : f '( t) = ( 0;+∞ ) t ( ( ) ≤ ln ( + 1) ln 4a + b a b ) , t ∈ ( 0;+∞ ) ( 1) ln 4t + t ( t ) ( t ( + 1) ) < 0,∀t > nên hàm số nghịch biến ln4 − 4t + ln 4t + t Vậy : a ≥ b > ⇒ f ( a) ≤ f ( b) ⇔ ( ) ≤ ln ( + 1) ⇒ ( 1) ln 4a + b a b Bài 8: Trước hết, ta chứng minh: xα ≥ αx − α + với ∀x > Thật vậy: 175 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có f ( x) hàm liên tục D = ( 0; +∞ ) f '( x) = αx − α = α ( x − 1) , ∀x > ⇒ f ' ( x) = ⇔ x = Vì f '( x) đổi dấu từ − sang + x qua x = nên f ( x) ≥ f ( 1) = ∀x > Hay xα ≥ αx − α + 1,∀x > Đẳng thức xảy ⇔ x = 1 k k  k Tiếp theo, ta chứng minh :  a + b ÷ ≤ a + b  ÷   ( ∗) k k k  k 2bk Đặt m =  a + b ÷ ,x = a ,y = b ⇒ xk + yk = 2a + =2  ÷ m m ak + bk ak + bk   ( ∗) trở thành: x + y ≥ ( ) k ( ) ≥ 1+ xk − k ( ) k ( ) k y − ( 2) k Cộng ( 1) ( 2) theo vế ta đước x + y ≥ suy ( ∗) chứng minh Ta có: x = xk ( 1) , y = yk ≥ 1+ Áp dụng ( ∗) ta : 1  ak + bk  k  bk + ck  k  ck + ak  k a + b b + c c + a + + = a+ b+ c  ÷ + ÷ + ÷ ≤  ÷  ÷  ÷ 2 2       k k k k k k k k Ta có: a b a + b = a ( 1− a) a + ( 1− a)  = f ( a)   k k k k Xét hàm số : f ( a) = a ( 1− a) a + ( 1− a)  , a ∈ ( 0;1)   k k k k −1  k k k −1 k f '( a) = ka ( 1− a) a + ( 1− a) − ka ( 1− a) a + ( 1− a)      ( ) k k −1 +ak ( 1− a)  kak−1 − k ( 1− a)   Lập bảng biến thiên ta đpcm  2 Xét hàm số: f ( x) = ln  1+ 1+ x ÷− − lnx, x >   x ⇒ f '( a) = ⇔ a = Ta có: f '( x) = x2 + − x x 1+ x > ⇒ f ( x) hàm tăng ( 0;+∞ )  1+ x2 + 1  − ÷ = ⇒ f ( x) < ∀x > Mặt khác: lim  ln x→+∞  x x÷   176 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Xét hai hàm số f ( x) = ln ( 1+ x) − x g ( x) = ln ( 1+ x) − x+ b  x+ a Xét hàm số f ( x) =  ÷  x+ b ⇒ f '( x) x với x > x+  x+ a ⇒ lnf ( x) = ( x + b) ln  ÷  x+ b   x + a  b − a  x+ a b− a = ln  ⇒ f '( x) = ln   f ( x) ÷+ ÷+ f ( x)  x+ b x+ a   x + b  x + a ( b − a)  x+ a  b− a ⇒ g'( x) = − < suy g ( x) Đặt g ( x) = ln  ÷+  x+ b x+ a ( x + a) ( x + b) g ( x) = ⇒ g ( x) > 0, ∀x > ⇒ f '( x) > nghịch biến, mà xlim →+∞ b  a Suy f ( x) đồng biến 0; +∞ ) ⇒ f ( x) > f ( 0) =  ÷ ,∀x >  b ( Ta có: 2x + 3x )