ung dung dinh ly viete trong phuong trinh bac ba nguyen thanh hai

ax3 + bx + cx + d = ĐỊNH LÝ VIÈTE Cho phương trình nghiệm bội) Khi đó: b   x1 + x2 + x3 = − a  c   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a   d  x1 x2 x3 = − a  Thí dụ Cho phương trình là: x + 6x = ⇔ x = (không thỏa mãn) m =1 Kết luận: phương trình với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập x1 + x3 = x2 (1) x1 + x2 + x3 = (2) Thí dụ Gọi biết tiếp tuyến (C) N ( xN ; y N ) M cắt (C) điểm trị nhỏ Lời giải x3 − x − px + − q = ( *) Theo đề m =1 Điều kiện đủ:  Với phương trình là: x = x3 − x = ⇔  x = ± (thỏa mãn) ( *) vào 03 − 6m.0 + − 5m = ⇔ m = ±1 phương trình: (khác M) Tìm giá P = xM2 + xN2 x=0 Thay điểm thuộc (C ) : y = x3 − 3x + 2, Theo định lý Viète Từ (1) (2) M ( xM ; y M ) d : y = px + q M Giả sử tuyến (C) Khi ta có phương trình hồnh độ giao điểm: thành cấp số cộng, suy ra: x2 = ( kể m = −1  Với nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , có nghiệm x − 6mx + − 5m = ( a ≠ 0) xM , x N có hai nghiệm xM M nghiệm nghiệm kép (do tiếp điểm) Theo định lý Viète xM + xM + xN = ⇒ xN = − xM P = xM2 + ( − xM ) dẫn đến: Số 528 (62021) = xM2 − 12 xM + = ( 3xM − ) + ≥ xM = Đẳng thức xảy Thí dụ Cho hàm số P = Vậy f ( x ) = ax3 + bx + cx + d x1 = −2 x2 = có điểm cực trị Tìm tất giá trị tham số m để phương trình f ( x) = f ( m) −2 < m < Lưu ý: Những kết hay nhầm  11  m∈ − ; ÷  2 Thí dụ Cho hàm có đồ thị (C) M ( 1;1) , N ( 2; ) , P ( 3;9 ) Lời giải Không tổng quát ta cần xét qua điểm a>0 Các MN , NP, PM với Một tính chất đồ đường thẳng I thị hàm số bậc ba: Điểm uốn trung điểm hai điểm cực trị, đó: x + xCT b b xI = CD ⇔− = ⇔− = 3a a Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt f ( xCT ) < f ( m ) < f ( xCD ) ( *) Áp dụng định lý Viète cho trường hợp nghiệm bội f ( x ) = f ( −2 ) phương trình suy ra: b 11 + x1′ = − ⇔ −4 + x1′ = ⇔ x1′ = a 2 cắt đồ thị A, B, C điểm M , N, P (khác ) Xác định a, b, c, d hệ số biết tổng hoành độ A, B, C Lời giải Dễ thấy Parabol qua ba điểm y = x2 M , N, P có phương trình ( P) M , N, P điểm Suy ba giao ( C) đồ thị f ( x ) = f ( 3) xCT + x2′ = − Do đó: f ( x ) − x = a ( x − 1) ( x − ) ( x − ) Nên ⇔ f ( x ) = ax3 + ( − 6a ) x + 11ax − 6a Tương tự cho trường hợp nghiệm bội phương trình số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ ) có ba nghiệm phân biệt xCD 11  − < m <   11  ⇔ m ∈  − ; ÷ \ { −2;3} ( *) ⇔ m ≠ −2  2 m ≠   (*) Áp dụng định lý Viète ta được: suy ra: b ⇔ + x2′ = ⇔ x2′ = − a 2 − 6a   xM + xN + xA = − a  − 6a   xN + xP + xB = − a   − 6a  xP + xM + xC = − a  Số 528 (62021) Suy ra: x A + xB + xC + ( xM + xN + xP ) ⇔ + 2.6 = 18 − A′ = 18 − a Suy d ′ : y = ( + 4m ) x + 18 − 8n ⇔ a = a f ( x ) = 3x − 17 x + 33 x − 18 Vậy a = 3, b = −17, c = 33, d = −18 A′, B ′, C ′ thuộc đường thẳng có phương y = x3 − 3x + ( C ) Biết d : y = mx + n cắt (C) ba điểm A, B, C phân biệt Do ba điểm Kết luận: Thí dụ Cho hàm số suy d ′ : y = ( + 4m ) x + 18 − 8n trình thẳng hàng Thí dụ , tức ba điểm Cho Các tiếp tuyến ba điểm A, B, C đồ thị (C) cắt đồ thị (C) A, B, C hàm số có bảng biến thiên hình vẽ x f ′( x ) (tương ứng khác ) A′, B′, C ′ Chứng minh ba điểm thẳng hàng −∞ + − tiếp tuyến ( C) cắt n điểm thứ hai m, n Với số nguyên thuộc khoảng ( −10;10 ) Theo định lý Viète a + a + x′ = ⇒ x′ = −2 a ⇒ A′( −2a; −8a + 6a + 2) để phương f ( x+3) =5 trình biệt? có bốn nghiệm phân t = x+3 A ∈ d ⇒ a − 3a + = ma + n , nhân hai vế với −8 biến đổi ta được: −8a + 24a − 16 = −8ma − 8n ⇔ −8a + 6a + = ( + 4m ) ( −2a ) + 18 − 8n ⇔ y ′ = ( + 4m ) x′ + 18 − 8n ( m; n ) Có cặp A′ ( x ′; y ′ ) Do m −∞ ( C) +∞ + +∞ f ( x) A ( a, a − 3a + ) ∈ ( C ) A ba điểm Lời giải Gọi tọa độ bậc f ( x ) = ax + bx + cx + d A′, B′, C ′ Làm tương tự ta B ′, C ′ thuộc d ′ : y = ( + 4m ) x + 18 − 8n đường thẳng thuộc đường thẳng có phương trình Lời giải Đặt f ( t ) =5 thành trị phương trình cho trở x , t cho giá ngược lại Nên số nghiệm phương f ( x+3) =5 trình số nghiệm f ( t ) =5 phương trình Số 528 (62021) số f ( x ) = nghiệm phương trình x0 = −1 d : y = mx + n Do yêu ( m; n ) tiếp tuyến (C) Tính diện tích phần gạch chéo hình vẽ cầu tốn tương đương với tìm số cặp f ( x) = để phương trình có hai nghiệm y= f( x) dương phân biệt (do hàm số chẵn) Điểm uốn đồ thị trung điểm hai điểm b xU = − 3a cực trị có hồnh độ Suy b 2+4 b − = = ⇒ − = 3a a f ( x ) = n ⇔ ax + bx + cx + d − n = Xét Từ bảng biến thiên cho ta nhận thấy phương trình x2 = x3 = x1 có nghiệm đơn nghiệm kép x1 + x2 + x3 = − b a Theo định lý Viète thì: x = f ( x) = n ⇔  x = ⇔ x1 + + = ⇔ x1 = f ( x) Lại hàm số ( −∞;2 ) nên suy Vậy đồng biến khoảng f ( ) < f ( 1) = n Từ dựa y = f ( x) vào đồ thị hàm số f ( x) = Lời giải Đồ thị cắt trục hoành điểm −2, 1, có hồnh độ Theo định lý Viète suy ra: b − = ( −2 ) + + = a ( C) Xét phương trình tương giao đồ thị d đường tiếp tuyến : ax3 + bx + cx + d = mx + n n = < m ⇒ m ∈ { 6;7;8;9} TH2: Kết luận: Có 18 cặp có 14 cặp có cặp y = ax + bx + cx + d Thí dụ Cho hàm số đồ thị (C) hình vẽ, đường có thẳng ⇔ ax + bx + ( c − m ) x + d − n = (*) x = −1 Phương trình (*) có nghiệm kép x = α nghiệm đơn Áp dụng định lý Viète cho phương trình ta được: b ( −1) + α = − = ⇒ α = a g ( x ) = ( mx + n ) − ( ax3 + bx + cx + d ) dẫn đến: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ứng với hai trường hợp sau: m = > n ⇒ n ∈ { −9; −8; ; 4} TH1: ( C) Xét biểu thức g ( x) Do đa thức bậc ba có nghiệm kép x1 = x2 = −1 x3 = , nên suy ra: g ( x ) = −a ( x + 1) ( x − 3) g ( 1) = − = a= Mặt khác , từ tìm Suy diện tích phần gạch chéo: Số 528 (62021) 3 S = ∫ g ( x ) dx = ∫ −1 ( x + 1) ( x − 3) dx = −4 −1 Lập luận hoàn toàn tương tự ta thu 16 Thí dụ Cho hàm số bậc ba x3 = −2 x2 Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng MN (C), đường thẳng NP S2 = 16 S1 = a ( x3 − x2 ) M , N, P độ điểm MN Giả sử có y = mx + n phương trình Khi phương trình f ( x ) = mx + n x1 x2 có nghiệm (nghiệm kép) x1 + x2 = x2 = −2 x1 Theo định lý Viète: ⇔ f ( x ) − mx − n = a ( x − x1 ) Mặt khác: ( x + x1 ) = a ( x − x1 ) + 3ax1 ( x − x1 ) x2 = −2 x1 a ( x2 − x1 ) 4 − ax2 ( 3x2 ) S2 = 16 S1 (đpcm) Thí dụ Tìm tham số m để phương trình x − 3x = m x1 + x2 + x3 = + x1 , x2 , x3 thỏa mãn Lời giải Lập bảng biến thiên hàm số ( 0;+∞ ) y = x − 3x x y +∞ +∞ 0 x − 3x = m có ba m ∈ ( 0;2 ) x2 ∫  f ( x ) − mx − n  dx nghiệm dương phân biệt m ∈ ( 0;2 ) (*) Với < x1 < x2 < < x3 ba nghiệm x3 Dẫn đến tính được: = nên suy x1 a ( x2 ) Nhận thấy phương trình S1 = + 3ax2 ( x − x2 )  dx  có ba nghiệm dương phân biệt Lời giải Khơng giảm tổng quát ta cần xét f ( x ) = ax + bx hoành x1 , x2 , x3 + ax2 ( x3 − x2 ) = (C) Chứng minh Gọi ∫ a ( x − x ) x2 Do S1 , S2 x3 f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị (C) M điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm thứ hai N Tiếp tuyến (C) N lại cắt (C) điểm thứ hai P S2 = + ax1 ( x2 − x1 ) = a ( 3x1 ) 4 − ax1 ( 3x1 ) Suy ra: nghiệm phương trình x1 , x2 x3 − 3x = m , nghiệm phương − x2 , − x1 , x3 x − 3x = −m, trình ba nghiệm x − 3x − m = phương trình Theo định lý Viète giả thiết có hệ: Số 528 (62021)  − x1 − x2 + x3 = ⇒ x3 = +   x1 + x2 + x3 = + m = ( x3 ) − x3 = Nếu 3 + Từ tìm mãn (*)) m= c ∈ ( 0;1) ⇒ b = (vô lý) c ∈ ( 10;100 ) Vậy (đpcm) (thỏa BÀI TẬP CỦNG CỐ m 3 + Kết luận: Câu Tìm tất giá trị tham số Thí dụ 10 Cho số thực dương thị hàm số đường thẳng điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng m Tìm tất giá trị tham số để Câu x3 − x + ( m + 6) x − m = c ∈ ( 10;100 ) phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: Chứng minh  abc = 1000 ,   bc ( − a ) + a ( b + c ) = 110 Lời giải Từ suy ab + bc + ca = 1110  abc = 1000 cắt y = −x + thỏa a <   abc = 1000 bc − a + a b + c = 110 ) ( )  ( mãn: f ( x) Câu Cho hàm đa thức bậc có đồ thị hình vẽ Tiếp tuyến đồ thị hàm số M điểm a, b, c Do có hoành độ N ( 1;1) ba nghiệm x − mx + 1110 x − 1000 = để đồ y = x3 − ( m + 1) x − mx + 2m a , b, c thứ hai phương trình −2 cắt đồ thị điểm Ox cắt trục điểm có hồnh độ với m = a + b + c > ( x − 1) ( x − 10 ) ( x − 100 ) = ( m − 111) x ( *) x=a nghiệm Biết diện tích phần gạch chéo (*) ∫ f ( x ) dx −1 < a > 100 ac nên Tính tích phân ( m −111) a2 = ( a −1) ( a −10) ( a −100) < ⇒ m −111 <  ( c −1) ( c −10) ( c −100) = ( m −111) c <   ( b −1) ( b −10) ( b −100) = ( m −111) b < Dẫn đến: ⇒ b, c ∈ ( 0;1) ∪ ( 10;100 ) Số 528 (62021) m Câu Tìm tất giá trị thực tham số y = − mx để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ( C) Tiếp tuyến cho khác AB = BC y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) ( x2 ; y2 ) cắt ( x3 ; y3 ) có tọa độ tiếp tuyến Các đường thẳng MN , NP, PM lại cắt đồ thị điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) , C ( xC ; yC ) M , N, P A3 điểm thứ hai Cứ tiếp tục thế, ( C) Câu Cho hàm số có đồ thị qua điểm M ( −1;2 ) , N ( 1; −2 ) , P ( 0; −1) Tiếp tuyến ( C) A2 A2 khác An hai ( C) An −1 cắt khác có tọa độ Tính giá trị biểu T = 2a + b + c + d 2020 xn + yn + 22025 = biết a, b Cho hàm số điểm ( C) x1 = A1 có hồnh độ thuộc đồ thị trình minh rằng: a+b≤ , xét phương x − x + ax − b = y = x − 2020 x ( C ) Câu n Tìm Câu Cho hai số thực dương x A + xB + xC = −5 thức điểm thứ ( xn ; yn ) An −1 (khác ) Biết điểm thứ có tọa độ cắt A1 ( C) ba điểm phân biệt A, B, C A2 hai y = x − 3x − m + ( C) A1 a) có ba nghiệm Chứng 10 27 a − 2b ≤ b) 27 Số 528 (62021) ... Một tính chất đồ đường thẳng I thị hàm số bậc ba: Điểm uốn trung điểm hai điểm cực trị, đó: x + xCT b b xI = CD ⇔− = ⇔− = 3a a Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt f ( xCT ) < f ( m ) < f (... = mx + n cắt (C) ba điểm A, B, C phân biệt Do ba điểm Kết luận: Thí dụ Cho hàm số suy d ′ : y = ( + 4m ) x + 18 − 8n trình thẳng hàng Thí dụ , tức ba điểm Cho Các tiếp tuyến ba điểm A, B, C... Câu Cho hai số thực dương x A + xB + xC = −5 thức điểm thứ ( xn ; yn ) An −1 (khác ) Biết điểm thứ có tọa độ cắt A1 ( C) ba điểm phân biệt A, B, C A2 hai y = x − 3x − m + ( C) A1 a) có ba nghiệm