CHỦ ĐỀ 17: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CHỦ ĐỀ 17: BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU  Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu Phương pháp giải: • Phương trình tắc mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R2 2 • Phương trình tổng qt mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d với tâm I ( a; b; c ) bán kính R= a + b2 + c2 − d Chú ý: - Nếu A, B thuộc mặt cầu ( S ) ⇒ IA = IB = R     OB − OA2 - Nếu IA = IB ta có: AB.OI = OB − OA2 ⇔ AB.OI =       Chứng minh: Ta có: IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ IA = IB ⇔ IO + OA = IO + OB ( ) ( )      OB − OA2 ⇔ IO OB − OA = OB − OA2 ⇔ AB.OI = ( ) - Với toán: Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D ta làm sau: Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu thì: IA = IB = IC = ID I ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình:    OB − OA2  AB.OI =   IA = IB    OC − OA2  OI IA IC = ⇔  → CASIO suy tọa độ điểm I   AC=  IA = ID      OD − OA2  AD.OI =  Trong O ( 0;0;0 ) gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy tọa độ điểm I Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu ( S ) biết: a) Tâm I thuộc Oy, qua A (1;1;3) ; B ( −1;3;3) b) Tâm I thuộc Oz, qua A ( 2;1;1) ; B ( 4; −1; −1) Lời giải a) Gọi I ( 0; y;0 ) ta có: IA2 = IB ⇔ + ( y − 1) + =1 + ( y − 3) + ⇔ y = ⇒ R = IA = 14 2 Suy ( S ) : x + ( y − ) + z = 14 b) Gọi I ( 0;0; z ) ta có: IA2 = IB ⇔ + + ( z − 1) = 16 + + ( z + 1) ⇔ z =−12 ⇔ z =−3 ⇒ I ( 0;0; −3) ; R = 21 Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 3) = 21 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) biết: x= 1+ t  a) Tâm I thuộc d :  y = t qua A ( 3;0; −1) ; B (1; 4;1)  z = 2t  x − y −1 z b) Tâm I thuộc d : = = qua A ( 3;6; −1) ; B ( 5; 4; −3) −1 Lời giải a) Gọi I (1 + t ; t ; 2t ) tâm mặt cầu ta có: IA2 =IB ⇔ ( t − ) + t + ( 2t + 1) =t + ( t − ) + ( 2t − 1) 2 2 ⇔ −12t = −12 ⇔ t = ⇒ I ( 2;1; ) ⇒ R = 11 Phương trình mặt cầu là: ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 11 2 b) Gọi I ( − t ;1 + t ; 2t ) tâm mặt cầu ta có: IA2 = IB ⇔ ( t + 1) + ( t − ) + ( 2t + 1) = ( t + 3) + ( t − 3) + ( 2t + 3) 2 2 2 ⇔ −16t = ⇔ t = ⇒ I ( 2;1;0 ) ⇒ R = 3 Phương trình mặt cầu là: ( x − ) + ( y − 1) + z = 27 2 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu ( S ) biết ( S ) a) Đi qua điểm A ( 2; 4; −1) ; B (1; −4; −1) ; C ( 2; 4;3) ; D ( 2; 2; −1) b) Đi qua điểm A ( 3;3;0 ) ; B ( 3;0;3) ; C ( 0;3;3) ; D ( 3;3; −3) Lời giải    OB − OA2  AB.OI =     OC − OA2 Áp dụng: IA = IB = IC = ID I ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình:  AC.OI =     OD − OA2  AD.OI =     OB − OA2 −45   AB.OI = x=   = IA IB      OC − OA2  a) Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu ta có:  IA = IC ⇔  AC.OI = ⇒ z =   y = =  IA ID    OD − OA2    AD.OI =  45  2421 2  Phương trình mặt cầu:  x +  + ( y − 3) + ( z − 1) =     x = − ( 0; −3;3)( x; y; z ) =    b) Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu ta có: ( −3;0;3)( x; y; z ) =⇔ − y =   ( 0;0; −3)( x; y; z ) =   z = −  2 3  3   171  Phương trình mặt cầu:  x +  +  y +  +  z +  = 2  2  2  Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu ( S ) biết a) ( S ) qua A ( 2;0;1) ; B (1;0;0 ) ; C (1;1;1) I ∈ ( P ) : x + y + z − = b) ( S ) qua A ( −2; 4;1) ; B ( 3;1; −3) ; C ( −5;0;0 ) I ∈ ( P ) : x + y − z + = Lời giải Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu    OB − OA2  AB.OI = −2 ( −1;0; −1)( x; y; z ) =  x = 2    OC − OA   a) Ta có:  AC.OI = ⇔ ( −1;1;0 )( x; y; z ) = −1 ⇔  y =  x + y + z =  z =  x + y + z − =   Khi ( S ) : ( x − 1) + y + ( z − 1) = 2    OB − OA2  AB.OI = ( 5; −3; −4 )( x; y; z ) =−1  x =  2    OC − OA   b) Ta có:  AC.OI = ⇔ ( −3; −4; −1)( x; y; z ) =2 ⇔  y =−2  2 x + y − z =−3 z =   2 x + y − z + =   Khi ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 49 2 Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu qua ba điểm M ( 2;3;3) ; N ( 2; −1; −1) ; P ( −2; −1;3) có tâm thuộc mặt phẳng: (α ) : x + y − z + =0 A x + y − x + y − z − 10 = B x + y + z − x + y − z − = C x + y + z + x − y + z + = D x + y + z − x + y − z − = Lời giải Giả sử mặt cầu có tâm I ( x; y; z )    ON − OM  MN OI = ( 0; −4; −4 )( x; y; z ) =−8  x = 2    OP − OM   Ta có:  MP.OI = ⇔ ( −4; −4;0 )( x; y; z ) =−4 ⇔  y =−1  2 x + y − z =−2 z =   2 x + y − z + =   Phương trình mặt cầu là: ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 16 hay x + y + z − x + y − z − = 2 Chọn B Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; −4;0 ) , B ( 0;0; ) , C ( −1;0;3) Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A x + y + z − x + y + z = B x + y + z − x + y − z = C x + y + z − x + y − z = D x + y + z − x + y − z = Lời giải    OA2 OI OA = 10 ( 2; −4;0 )( x; y; z ) =  x =     OB  Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu ta có: OI OI = ⇔ ( 0;0; )( x; y; z ) = −2 ⇔ y =   z =  ( −1;0;3)( x; y; z ) =    OC = OC OI   Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = hay x + y + z − x + y − z = Chọn D 2 Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; 2; −3) ; B ( −1; −2;1) mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu ( S ) ( P) : x + y + z = vng gốc tọa độ O có tâm I thuộc ( P ) qua A, B cho tam giác OIA A ( S ) : ( x + ) + ( y − ) + ( z + 1) = 84 B ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = 84 C ( S ) : ( x + ) + ( y − ) + ( z + 1) = 42 D ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = 42 2 2 2 2 2 2 Lời giải Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: ( Q ) : x + y − z − = x = t  Gọi d = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ d  y = − t ⇒ I ( t ;1 − t ; −1)  z = −1    Ta có: OI OA = ⇔ 3t + − 2t + = ⇔ t = −5 ⇒ I ( −5;6; −1) Vậy PT mặt cầu ( S ) : ( x + ) + ( y − ) + ( z + 1) = 84 Chọn A Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ phương Oxyz, trình mặt cầu qua điểm là: A ( 3;1;1) ; B ( 0;1; ) ;C ( −1; −3;1) có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 81 D ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 81 2 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu    OB − OA2  AB.OI = ( −3;0;3)( x; y; z ) =  x = 2    OC − OA   Ta có:  AC.OI = ⇔ ( −4; −4;0 )( x; y; z ) =0 ⇔  y =−1   x + y − z =−4 z =   x + y − 2z + =   Khi phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = Chọn A 2 cắt trục Oz đường Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = thẳng d : x −5 y z −6 A B Phương trình mặt cầu đường kính AB = = −1 A ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) = B ( x + ) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 C ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) = 36 D ( x + ) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 Lời giải Ta có A ∈ Oz ⇒ A ( 0;0; a ) mà A ∈ ( P ) ⇒ 2.0 + 6.0 + a − = ⇔ a = ⇒ A ( 0;0;3) 2  x= + t  Lại có d= :  y 2t ( t ∈  ) mà B ∈ d ⇒ B ( t + 5; 2t ;6 − t )  z= − t  Hơn B ∈ ( P ) ⇒ ( t + ) + 6.2t + ( − t ) − = ⇔ 13t + 13 = ⇔ t = −1 ⇒ B ( 4; −2;7 ) Mặt cầu đường kính AB có tâm I trung điểm AB ⇒ I ( 2; −1;5 ) Mặt cầu đường kính AB có bán kính R = AB  2 2 Mà AB =( 4; −2; ) ⇒ AB = 42 + ( −2 ) + 42 =6 ⇒ R =3 ⇒ ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) =9 Chọn A  Dạng 2: Bài tốn mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Có hai đặc điểm quan trọng toán trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu • Điều kiện tiếp xúc d ( I ; ( P ) ) = R • Tâm I nằm đường thẳng ∆ qua điểm tiếp xúc vng góc với mặt phẳng ( P ) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc ( P ) : x + y + z − = điểm M (1; −2;3) qua A ( −1;0;1) Lời giải Do ( S ) tiếp xúc với ( P ) M (1; −2;3) nên IM ⊥ ( P ) ⇒ IM qua M (1; −2;3) có vectơ phương   = u n= ( P)  x = + 3t  ( 3;1;1) suy IM :  y =−2 + t  z= + t  Gọi I (1 + 3t ; −2 + t ;3 + t ) Ta có IM = IA2 ⇔ 11t = ( 3t + ) + ( t − ) + ( t + ) 2 ⇔ 12t + 12 =0 ⇔ t =−1 Suy I ( −2; −3; ) ; R = IA = 11 ⇒ ( S ) : ( x + ) + ( y + 3) + ( z − ) = 11 2 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc ( P ) : x + y + z + 10 = điểm M ( 2; −3; −2 ) qua A ( 0;1; ) Lời giải Do ( S ) tiếp xúc với ( P ) M ( 2; −3; −2 ) nên IM ⊥ ( P ) ⇒ IM qua M ( 2; −3; −2 ) có vectơ   phương= u n= ( P)  x= + t  (1; 2;3) suy IM :  y =−3 + 2t  z =−2 + 3t  Gọi I ( + t ; −3 + 2t ; −2 + 3t ) Ta có IM =IA2 ⇔ 14t =( t + ) + ( 2t − ) + ( 3t − ) 2 ⇔ 36 − 36t = ⇔ t = ⇒ I ( 3; −1;1) ; R = IA = 14 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 1) = 14 2 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I ( −1; 2; −1) 0? tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 2 Lời giải Bán kính mặt cầu tâm I là: R d= = ( I ; ( P )) ( −1) − − − = +1+ Do phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = Chọn D 2 đồng thời tiếp xúc với mặt Ví dụ 4: Có mặt phẳng song song với mặt phẳng (α ) : x + y + z = cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z = 0? A B C vơ số D Lời giải Mặt cầu có tâm I (1;1;1) ; R = : x + y + z + m ( Do ( P ) / / (α ) ⇒ m ≠ ) Mặt phẳng cầm tìm có dạng ( P )= Điều kiện tiếp xúc: d ( I ; ( P ) ) = R⇔  m = ( loai ) Chọn A = 3⇔ m = −  m+3 x = t  Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −1 hai mặt phẳng  z = −t  Phương trình mặt cầu ( S ) ( P ) : x + y + z + =0 ( Q ) : x + y + z + = hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) có phương trình là: có I ∈ d tiếp xúc với 2 A ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = 4 2 B ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = 9 2 C ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) = 4 2 D ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) = Lời giải Gọi I ( t ; −1; − t ) ∈ d , ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ( Q ) nên: d ( I ; ( P )) = d ( I ; (Q )) = R ⇔ 1− t 5−t = ⇔ t = 3⇒ R = 3 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = Chọn B x −1 y +1 z Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng 1 Phương trình mặt cầu ( S ) ( P ) : 2x + y − 2z + = có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với ( P ) qua điểm A (1; −1;1) là: A ( x − 1) + ( y + 1) + z = B ( x − 1) + ( y + 1) + z = C ( x + 1) + ( y − 1) + z = D ( x + 1) + ( y − 1) + z = 2 2 2 2 Lời giải Do I ∈ d ta gọi I (1 + 3t ; −1 + t ; t ) IA d= = ( I ; ( P )) R t =0 ⇒ R =1 5t + 2 ⇔ 11t − 2t + = = R ⇔ (11t − 2t + t ) = ( 5t + 3) ⇔  24 77 t = ⇒R= 37  37 Do ( S ) có bán kính nhỏ nên ta chọn t =0; R =1 ⇒ I (1; −1;1) ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z =1 2 Chọn A Ví dụ 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) qua điểm A ( 2; −2;5 ) tiếp xúc với mặt phẳng (α ) : x = 1; ( β ) : y = −1; ( γ ) : z = Bán kính mặt cầu ( S ) bằng: A 33 B C D Lời giải Gọi I ( a; b; c ) ta có: d= ( I ; (α ) ) d= ( I ; ( β ) ) d ( I ; (γ ) ) suy R = a − = b + = c − Do điểm A ( 2; −2;5 ) thuộc miền x > 1; y < −1; z > nên I ( a; b; c ) thuộc miền x > 1; y < −1; z > Khi I ( R + 1; −1 − R; R + 1) Mặt khác IA =R ⇒ ( R − 1) + ( R − 1) + ( R − ) =R ⇔ R =3 Chọn D 2  Dạng 3: Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp giải:  Mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường trịn bán kính r R2 d ( I ; ( P ) ) < R Khi d ( I ; ( P ) ) + r =  Tâm đường tròn giao tuyến ( S ) ( P ) hình chiếu vng góc xủa điểm I mặt phẳng ( P ) Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho I (1; 2; −2 ) ( P ) : x + y + z + = Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cho giao tuyến ( S ) ( P ) đường trịn có chu vi 8π Lời giải Do chu vi đường tròn giao tuyến C = 2π r = 8r ⇒ r = Ta có: = d ( I ; ( P )) Bán kính mặt cầu R = r2 + d = 2+4−2+5 = + +1 42 + 32 = Phương trình mặt cầu là: ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 25 2 mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + ) = Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α ) : x + y − z + = 2 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) song song với (α ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 6π Lời giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + ) = có tâm I (1;0; −2 ) bán kính R = 2 Do diện tích đường tròn giao tuyến S = π r = 6π ⇒ r = ⇒ d ( I ; ( P )) = R2 − r = Mặt phẳng ( P ) song song với (α ) ⇒ ( P ) : x + y − z + D = Ta có: d ( I ; ( P= )) 1+ + D = D = 3⇔  D = −6 x + y − z + = Do ( P ) : x + y − z = x − y − z −1 Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt cầu −2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt phẳng qua M ( S ) : x + y + z − x + y − z − 19 = vng góc với d cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có chu vi 8π Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −1; ) , bán kính R = Do C= 2π r ⇒ r= mặt phẳng qua M vng góc với d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính  VTCP d là= ud ( 2;1; −2 ) M ∈ d ⇒ ( + 2t ; + t ;1 − t ) Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng ( x − − 2t ) + ( y − − t ) − ( z − + 2t ) =0 Hay x + y − z − 9t − = Ta có: d ( I ; ( P ) ) = R − r =3 ⇔ 9t + t = =3 ⇔  t = −2 Từ suy M ( 3; 2;1) , M ( −1;0;5 ) điểm cần tìm Ví dụ 4: Trong khơng gian cho mặt cầu có phương trình ( S ) : ( x + 3) + ( y − ) + ( z − ) = mặt phẳng Biết mặt cầu ( S ) ( P) : x − y + z + = 2 cắt mặt phẳng ( P ) theo đường tròn ( C ) Tính chu vi đường trịn ( C ) A 8π B 4π C 2π D 4π Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −3;5;7 ) bán kính R = −3 − + + = Khoảng cách từ tâm I đến = ( P ) là: d Bán kính đường trịn ( C ) là: r = R2 − d = − = Chu vi đường tròn ( C ) là:= C 2= π r 2π Chọn C Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi 8π A x + z = B x + z + = C x − z = D x − z = Lời giải Ta có: ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 16 ⇒ ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R = 2 Bán kính đường tròn là: r= C = 4= R ⇒ đường tròn qua tâm mặt cầu ( S ) 2π  Vtcp Oy u ( 0;1;0 ) , điểm A ( 0;1;0 ) ∈ Oy     Ta có: IA =(1;1;3) ⇒ n = IA; u  =( −3;0;1) Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x +1 y z −1 điểm I ( 2;1;0 ) Viết = = −1 phương trình mặt cầu ( S ) tâm I cắt d điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vng  Ta có:= ud Lời giải (1; 2; −1) , gọi H trung điểm AB ta có: IH ⊥ AB    Khi H ( −1 + t ; 2t ;1 − t ) ⇒ IH ( −3 + t ; 2t − 1;1 − t ) ⇒ IH ud = ⇔ −3 + t + 4t − + t − = ⇔ t = ⇒ H ( 0; 2;0 ) Tam giác IAB vuông cân I nên ta có:= R 2= IH 4= +1 10 Do phương trình mặt cầu ( S ) cần tìm là: ( x − ) + ( y − 1) + z = 10 2 x − y − z −1 mặt cầu Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = −1 Viết phương trình đường thẳng ( S ) : x2 + y + z − x + y = Δ qua M (1; −1;0 ) cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu ( S ) A, B cho AB = Lời giải   Ta có: I (1; −2;0 ) , R = Gọi N ( − t ;3 + 2t ;1 + t ) Ta có: u= MN (1 − t ; + 2t ;1 + t ) Δ  AB  Mặt khác  R ⇒ d ( I ;Δ ) =  + d ( I ;Δ ) =      IM ; MN  2t +   d ( I ;Δ ) =  = =1 ⇔ 4t + 16t + 16 =0 ⇔ t =−2 6t + 16t + 18 MN  x = + 3t  Với t =−2 ⇒ Δ:  y =−1 đường thẳng cần tìm  z = −t  Ví dụ 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Δ1 : ( P ) : x − y − z + 10 = đường thẳng x − y z −1 x−2 y z +3 Δ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc Δ1 đồng thời = = = = 1 1 tiếp xúc với Δ ( P ) Lời giải  Gọi I ( + t ; t ; t + 1) ∈ Δ1 tâm mặt cầu Δ xác định qua M ( 2;0; −3) , uΔ2 = (1;1; ) Ta có: d ( I ;Δ ) = d ( I ; (= P ) ) Khi d ( I ; ( P ) ) + t − 2t − (1 + t ) + 10 10 − 3t = 1+ +  IM ( −t ; −t ; −4 − t ) ⇒ d= ( I ;Δ ) Cho 10 − 3t = 3t − ⇔t=    IM ; uΔ    =  uΔ 2 ( 3t − ) 3t − = + + 16  13 10  ⇒I ; ;  3 3 2   10   13   Vậy phương trình mặt cầu ( S ) :  x −  +  y −  +  z −  = 3  3  3  Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −2; −4;5 ) Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A cắt trục Oz hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) = 40 B ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) = 82 C ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) = 58 D ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) = 90 2 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi H ( 0;0;5 ) hình chiếu vng góc A xuống trục Oz Khi tam giác OHB vng cân H suy OH = R ⇒ R = OH = 10 Suy ( S ) : ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) = 40 Chọn A 2 x − y −1 z +1 Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = điểm −1 2 I ( 2; −1;1) Viết phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I A ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = B ( x + ) + ( y − 1) + ( z + 1) = C ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = 80 2 D ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = 2 2 2 2 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d ⇒ H ( 2t + 2; 2t + 1; −t − 1) Đường thẳng d có  vecto pháp tuyến= ud ( 2; 2; −1) Sử dụng Hoặc ta = có IH d= ( I;d )    1 IH ud =0 ⇔ t =− ⇔ H  ; − ; −  ⇒ IH =2  3 3    IM ; ud    =   ud Tam giác IAB vuông cân I nên R = IA = 2.IH= 2 Suy phương trình mặt cầu là: ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = Chọn C 2  x= t  x= + 2t   Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−6 + t ;Δ :  y =1 + t mặt  z =2 − t  z =−1 − t   phẳng ( P ) : x + y − z − =0 Mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với Δ ( P ) Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A B C −4 D −2 Lời giải Gọi I ( t ; −6 + t ; − t ) tâm mặt cầu R bán kính mặt cầu ( S ) t + ( −6 + t ) − ( − t ) − 5t − 21 = (1) 11 12 + 32 + ( −1)  Điểm A ( 5;1; −1) ∈ ( Δ ) ⇒ AI = ( t − 5; t − 7;3 − t ) suy VTCP Δ là= u Ta có R d= = ( I ; ( P ))   u; AI    =  u Mặt = khác R d = ( I ; (Δ )) Từ (1), (2) ta 5t − 21 11 2t − 20t + 98 ( 2;1; −1) ( 2) 2t − 20t + 98 ⇒ t = ⇒ xI = ⇒ yI = −4 Chọn C = Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 2 điểm A ( 2;3; −1) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng = AM tiếp xúc với ( S ) M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y + 11 = B x + y + = C x + y − = D x + y − 11 = Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; −1; −1) , bán kính R =  Ta có: = IA ( 3; 4;0 ) ⇒ = IA Vì AM tiếp tuyến mặt cầu nên ta có: AM ⊥ IM ⇒ AM = IA2 − IM = Gọi ( S ′ ) mặt cầu tâm A, bán kính R′ = Ta có phương trình mặt cầu ( S ′ ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 16 2 Vì AM = nên điểm M ln thuộc mặt cầu ( S ) Vậy M ∈ ( S ) ∩ ( S ′ ) ⇒ tọa độ điểm M nghiệm hệ: ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = (1) (1) −( )  → x + y − 11 = −7 hay M ∈ ( P ) : x + y − = Chọn C  2 16 ( ) ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu ( S ) tâm I ( a;b;c ) bán kính 1, tiếp xúc mặt phẳng ( Oxz ) A a = B b = C c = D a + b + c = Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −2; 3) đường d có phương trình x +1 y − z + Tính đường kính mặt cầu ( S ) có tâm A tiếp xúc với đường thẳng d = = −1 B 10 A C D Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường tròn có chu vi 8π A x + z = B x + z + = C x − z = D x − z = Câu 4: Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( S ) tâm I ( 2; 3; ) cắt trục Ox hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 10 Viết phương trình mặt cầu ( S ) A ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 26 B ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 50 C ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 25 D ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 29 2 2 2 2 2 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z + =0 ( S ) : x + y + z − x + y − z + =0 Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) mặt cầu chứa trục Ox cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính A ( Q ) : y − z = C ( Q ) : y − z = B ( Q ) : y + z = D ( Q ) : x − z = x +1 y +1 z Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt cầu −2 ( S ) : x + y + z − x + y − z − =0 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ( S ) đồng thời ( P ) vuông góc với d, ( P ) tiếp xúc với cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x − y + z + = B x − y + z − 16 = C x − y + z − 10 = D x − y + z − = Câu 7: Trong không gian ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) tính bán kính R 2 với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( Oxy ) cắt mặt cầu = 14 theo giao tuyến đường tròn tâm H, bán kính R Tìm tọa độ tâm H A H (1; 2; ) ,R = B H ( −1; −2; ) ,R = C H (1; 2; ) ,R = D H (1; 0; ) ,R = x+7 y+9 z +7 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 2; 3; −1) đường thẳng d : = = −2 Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B thỏa mãn AB = 40 A ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 252 B ( x + ) + ( y + 3) + ( z + ) = 252 C ( x − ) + y + ( z + 1) = 25 D ( x − ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 25 2 2 2 2 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( S ) : ( x − ) + ( y + 5) + ( z + ) 2 2 ( P ) : 3x + y − 3z + = mặt cầu = 25 Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn bán kính r bao nhiêu? A r = B r = C r = D r = Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 mặt phẳng ( P ) : x + y + z + =0 Diện tích hình trịn thiết diện ( P ) A 25π B 9π ( S ) C 16 D 16π ( P ) : x + y + z − =0 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) ( S ) : x + y + z − x − y + 10 z + 14 = mặt cầu theo đường trịn Tính chu vi đường trịn A 2π B 8π D 3π C 4π x = t  x= + 2t   Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−6 + t ∆ :  y = + t  z= − t  z =−1 − t   mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 Mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với ∆ ( P ) Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A B C -4 D -2 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; 0; ) ,B ( 0; 4; ) C ( 0; 0; ) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 56 B ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 28 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 28 2 2 2 2 2 2 Câu 14: Cắt mặt cầu S ( I ,R ) mặt phẳng ( P ) cách tâm I khoảng R ta nhận giao tuyến đường trịn có chu vi bao nhiêu? A π R B π R D 2π R C 2π R Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu ( S ) tâm I (1; −3; 3) theo giao tuyến đường tròn tâm H ( 2; 0;1) , bán kính r = Phương trình ( S ) A ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = B ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = C ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 D ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = 18 2 2 2 2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( S ) : ( x − ) + ( y + 5) + ( z + ) 2 2 2 ( P ) : 3x + y − 3z + = mặt cầu = 25 Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn Tính bán kình r đường trịn giao tuyến A r = B r = C r = D r = Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I ( −2; 3; ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) ? A ( x + ) + ( y − 3) + ( z − ) = B ( x + ) + ( y − 3) + ( z − ) = C ( x − ) + ( y + 3) + ( z + ) = D ( x − ) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = điểm 2 M (1; −2;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M A ( P ) : x + y + z + − =0 B ( P ) : z − =0 C ( P ) : y = −2 D ( P ) : x + y − z = Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = có tâm I 2 thời điểm A ( 0; −2;1) Một mặt phẳng ( P ) cắt vng góc với đoạn thẳng IA cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn có bán kính r = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) A x + z − − = B x + z − − = x + z − + = C x + z − + = D x + z + − = Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = Mặt phẳng ( P) 2 cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường tròn lớn cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A ( a; 0; ) ,B ( 0;b; ) ,C ( 0; 0; 3)( a,b > ) Tính tổng T= a + b thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ A T = 18 B T = C T = 11 D T = A ( −1; 3; ) Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ( P ) : 3x + y − z − = A ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − ) = C ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − ) = 49 2 D ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − ) = 49 2 2 2 2 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng Viết ( S ) : x2 + y + z − x − y − z = phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với ( S ) điểm A ( 3; 4; 3) A (α ) : x + y + z − 25 = B (α ) : x + y + z − 17 = C (α ) : x + y − z − 22 = D (α ) : x + y + z − 10 = Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + z − =0 cắt mặt phẳng ( Oxy ) theo giao tuyến đường trịn Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn  1  A I  − ; ;  ,r =  2   1  B I  − ; ;  ,r =  2  2  1  C I  − ; ;  ,r =  2  D I ( −1;1; ) ,r = Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 6; ) ,B ( 5;1; 3) ,C ( 4; 0; ) ,D ( 5; 0; ) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) 2 A ( x − ) + y + ( z − ) = 223 2 B ( x − ) + y + ( z − ) = 446 2 C ( x + ) + y + ( z + ) = 223 2 D ( x − ) + y + ( z − ) = 223 Câu 25: Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường thẳng x y+3 z Biết ( S ) có bán kính R = 2 cắt mặt phẳng Oxz theo đường trịn có bán d= : = 1 kính Tìm tọa độ tâm I A I (1; −2; ) ,I ( 5; 2;10 ) B I (1; −2; ) ,I ( 0; −3; ) C I ( 5; 2;10 ) ,I ( 0; −3; ) D I (1; −2; ) ,I ( −1; 2; −2 ) Câu 26: Trong hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua A ( −1; 2; ) ,B ( −2;1;1) có tâm nằm trục Oz A x + y + z − z − = B x + y + z + = C x + y + z − x − = D x + y + z − y − = Câu 27: Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A ( 0; 0;1) ,B ( 0; 0; −2 ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + z + =0 4 x + y = B  z = A x + y = 0 4 x + y = C  y = D z = Câu 28: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A (1; 2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8π A ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 25 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 16 2 2 2 2 2 Câu 29: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng 2 ( P) : x + y − 2z − = Phương trình phương trình mặt cầu ( S ) (Q ) : x + y − 2z + = có tâm thuộc trục Ox tiếp xúc với hai mặt phẳng cho? A ( x − 3) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = 2 2 Câu 30: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A (1; 2; −4 ) ,B (1; −3;1) ,C ( 2; 2; 3) Tính bán kính mặt cầu ( S ) qua A, B,C có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) A B 34 26 C 34 D 26 Câu 31: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A ( 2; 0; ) ,B ( 0; 4; ) ,C ( 0; 0; ) D ( 2; 4; )     Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC + MD = A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = D ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 2 2 2 2 2  x= m + t  Câu 32: Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử đường thẳng ∆ :  y = n + 2t cắt mặt cầu  z= − mt  ( S ) : x2 + ( y − 2) + ( z − 2) A ( m;n ) = (1; ) = tạ hai điểm A,B cho AB = Tìm cặp số ( m;n ) B ( m;n ) = (1; ) C ( m;n ) = ( 2; ) D ( m;n ) = ( 0; ) điểm Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z = A ( 2; 2; ) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc mặt cầu ( S ) , có hồnh độ dương tam giác OAB A x − y − z = B x − y − z = C x − y + z = D x − y + z = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: R = d ( I ; ( Oxz ) ) = b ⇒ b = Chọn B  Câu 2: Ta có ud = ( 2;1;1) , M ( −1; 2; −3) ∈ d Ta có Ta có R d= = (M ,d )   ud , AM    =  ud    ud , AM  = 2; − 14; − 10 , AM =− ( ) ( 2; 4; −6 )   22 + ( −14 ) + ( −10 ) = Chọn A 22 + 12 + ( −1) 2 Câu 3: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Do (α ) chứa Oy nên (α ) : ax + cz = Bán kính thiết diện r = = R ⇒ (α ) qua I (1; 2;3) ⇒ a + 3c = ⇒ chọn a = 3, c = −1 Do phương trình mặt phẳng (α ) x − z = Chọn C Câu 4: Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( b;0;0 ) Ta có IA =IB ⇔ ( a − ) + 32 + 42 =( b − ) + 32 + 42 ⇔ b =4 − a 2 Gọi M trung điểm AB ⇒ M ( 2;0;0 ) Ta có S IAB = S IAB 2.10 IM AB ⇒ AB = = = IM a = Ta có AB = ⇔ − 2a = ⇔ − a = ⇔  ⇒ R = IA = 29 a = Do phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 29 Chọn D 2 Câu 5: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −2;1) , bán kính R = Do ( Q ) chứa Ox nên ( Q ) : by + cz = Ta có d ( I ; ( Q ) ) = R2 − r = 32 − 22 = Ta có d ( I ; ( Q ) ) = 5⇔ −2b + c b2 + c2 = ⇔ b + 4bc + 4c = ⇔ b =−2c ⇒ chọn b =2, c =−1 ⇒ ( Q ) : y − z =0 Chọn A  Câu 6: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;1) , bán kính R = Đường thẳng d có ud = ( 2; −2;1) , M ( −1; −1;0 ) ∈ d   Do ( P ) vng góc với d nên nP = ud = ( 2; −2;1) ⇒ ( P ) : x − y + z + m = Do ( P ) tiếp xúc với ( S ) ⇒ d ( I ; ( P ) ) = 3⇔ m+7 m = 3⇔  =  m = −16 Do ( P ) cắt Oz điểm có cao độ dương nên chọn m =−16 ⇒ ( P ) : x − y + z − 16 =0 Chọn B Câu 7: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R′ = 14 Ta có d ( I ; ( Oxy ) ) =3 ⇒ R = R′2 − d ( I ; ( Oxy ) ) = Tâm H hình chiếu I (1; 2;3) lên ( Oxy ) ⇒ H (1; 2;0 ) Chọn C Câu 8: Gọi H trung điểm AB ⇒ IH ⊥ AB ⇒ IH = d ( I;d )  Ta có u= d   ud , IM    15 ( 2;1; −2 ) , M ( −7; −9; −7 ) ∈ d Ta có ud , IM  = ( 30; −30;15) ⇒ d ( I ; d ) =   = ud Bán kính mặt cầu R = AH + d ( I ; d ) = 202 + 152 = 25 ⇒ ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 252 Chọn A 2 Câu 9: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4; −5; −2 ) , bán kính R = Ta có d ( I ; ( P ) ) = 19 Bán kính giao tuyến r = R2 − d ( I , ( P )) = Chọn D 52 − 19 = Câu 10: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1;1) , bán kính R = Ta có d ( I ; ( P ) ) = Bán kính thiết diện r = R2 − d ( I ; ( P )) = ⇒ diện tích π r = 16π Chọn A Câu 11: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; −5 ) , bán kính R = Ta có d ( I ; ( P ) ) = Bán kính thiết diện r = R2 − d ( I ; ( P )) = ⇒ chu vi 2π r = 4π Chọn C Câu 12: Do I ∈ d ⇒ I ( t ; −6 + t ; − t ) Ta có d ( I ; ( P ) ) = 5t − 21 11  Ta có uΔ= ( 2;1; −1) , M ( 5;1; −1) ∈ Δ   ( −4 ) + ( t − 1) + ( t − ) 2t − 20t + 98   Ta có uΔ , IM  =− = ( 4; t − 1; t − ) ⇒ d ( I ;Δ ) = 6 2 5t − 21 2t − 20t + 98 = 11 Mà ( S ) tiếp xúc với Δ ( P ) nên d ( I ; ( P ) ) = d ( I ;Δ ) ⇔ ( 5t − 21) ⇔ = 11 t = 2t − 20t + 98 ⇔  49 ⇒ I ( 2; −4;0 ) Chọn A t = ( l )  Câu 13: Giả sử I ( x; y; z ) tâm mặt cầu  x2 + y + z = ( x − 2) + y + z =  IO IA x     2 2 Ta có  IO = IB ⇔  x + y + z = x + ( y − ) + z ⇔  y =  IO IC  z 2 2 =    x + y + z = x + y + ( z − ) Suy tâm I (1; 2;3) , bán kính R = IO = 14 ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 Chọn C 2 2 R R Câu 14: Bán kính giao tuyến r = R −   = ⇒ chu vi 2π r = π R Chọn A 2  Câu 15: Ta có IH= (1;3; −2 ) ⇒ IH= 12 + 32 + ( −2 ) = 14 ⇒ R= 18 ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 Chọn C IH + r = 2 Câu 16: Mặt cầu có tâm I ( 4; −5; −2 ) bán kính R = Ta có d ( I ; ( P )= ) 3.4 − − ( −2 ) + = 2 + + ( −3) 19 ⇒ r= R − 19= Chọn C Câu 17: ( Oyz ) : x =0 ⇒ R =d ( I ; ( Oyz ) ) =2 ⇒ ( S ) : ( x + ) + ( y − 3) + ( z − ) =4 Chọn B 2 Câu 18: Mặt cầu có tâm I (1; −2;3)  Mặt phẳng ( P ) qua M nhận MI = ( 0;0; ) VTPT ⇒ ( P ) : ( z − 1) = ⇔ z − = Chọn B  Câu 19: Ta có I (1; −2;3) ⇒ AI = (1;0; ) VTPT ( P ) ⇒ ( P ) : x + z + m = ⇒ d ( I ; ( P= )) m−3 ( m − 3) += = h  → h + r= R2 ⇒ ⇔= m ± Chọn D 5 Câu 20: Ta có ( P ) : Lại có = VOABC Ta có x y z 1 2 + + = qua tâm I ( 2;1;1) ⇒ + + =1 ⇔ + = a b a b a b 1 OC = OA.OB a.b.3 ab = 6 2 2 = + ≥ ⇒ ab ≥ 18 ⇒ VOABC ≥ a b a b 2 >0 b = = Dấu “=” xảy ⇔  a b Chọn B ⇔ ⇒ a+b = a = ab = 18 ( −1) + 6.3 − 2.2 − 2 Câu 21: Ta có R =d ( A; ( P ) ) = =1 ⇒ ( S ) : ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − ) =1 Chọn B 32 + 62 + ( −2 ) Câu 22: Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = có tâm I (1; 2; )  Mặt phẳng (α ) qua A nhận IA = ( 2; 2;1) VTPT 2 ⇒ (α ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − 3) =0 ⇔ x + y + z − 17 =0 Chọn B Câu 23: Ta có ( Oxy ) : z = 2 1  1  1   1 1 Mặt cầu ( S ) :  x +  +  y −  +  z +  =có tâm K  − ; ; −  bán kính R = 2  2  2   2 2 Ta có h = d ( I ; ( Oxy ) ) = ⇒r= R − h2 =  1 1  1  Đường trịn cần tìm có tâm I hình chiếu K  − ; ; −  ( Oxy ) ⇒ I  − ; ;0  Chọn A  2 2  2    AB   = ( 4; −5;1) Câu 24: Ta có   ⇒  AB; AC  =− ( 14; −13; −9 ) VTPT ( ABC ) AC = 3; − 6; ( )   ⇒n= (14;13;9 ) VTPT ( ABC ) ⇒ ( ABC ) :14 ( x − 1) + 13 ( y − ) + ( z − ) = ⇔ 14 x + 13 y + z − 110 = 14.5 + 13.0 + 9.4 − 110 = ⇒ R d ( D= ; ( ABC ) ) 2 14 + 13 + ⇒ ( S ) : ( x − 5) + y = + ( z − 4) 2 Chọn D 223 x = t  Câu 25: Ta có d :  y =−3 + t ⇒ I ( t ; t − 3; 2t )  z = 2t  Lại có ( Oxz ) : y = ⇒ h = d ( I ; ( Oxz ) ) = t − ⇒ I (1; −2; ) t = Ta có R = h + 22 ⇒ = ( t − 3) + ⇔  Chọn A t= ⇒ I ( 5; 2;10 )   AI  AI= (1; −2; t ) = t +5 Câu 26: Ta có tâm I ∈ Oz ⇒ I ( 0;0; t ) ⇒   ⇒  BI = ( 2; −1; t − 1)  BI = ( t − 1) + ⇒ R = AI = Ép cho AI = BI ⇒ t = 21 2 1 21  ⇒ ( S ) : x2 + y +  z −  = ⇔ x + y + z − z − = Chọn A 2  Câu 27: Gọi ( P ) : ax + by + cz += d ( a + b2 + c2 > ) c + d = Ta có A, B ∈ ( P ) ⇒  ⇒ c = d = ⇒ ( P ) : ax + by = −2c + d = Mặt cầu ( S ) : ( x + ) + ( y − 1) + ( z + ) =1 ⇒ I ( −2;1; −2 ) , R =1 Ta có d ( I ; ( P ) ) = 2 a = =R =1 ⇒ 4a + b − 4ab =a + b ⇔  a +b 3a = 4b −2a + b 2 ⇒ ( P) : y = +) Với a = +) Với 3a = 4b , chọn a = ⇒ b = ⇒ ( P ) : x + y = Chọn C Câu 28: Đường trịn có bán kính= r Ta có d ( A; ( P ) ) = Chọn A 2.1 + 2.2 − + 2 2 + +1 8π = 2π =3 ⇒ R = 32 + 42 =5 ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) =25 2 Câu 29: Ta có tâm I ∈ Ox ⇒ I ( t ;0;0 ) Ta có d ( I ; ( P ) ) =d ( I ; ( Q ) ) ⇔ t −2 t +4 = ⇔ t =−1 ⇒ R =d ( I ; ( P ) ) =1 3 Chọn C ⇒ ( S ) : ( x + 1) + y + z =   AI = ( a − 1)2 + ( b − )2 + 16  AI =( a − 1; b − 2; )    2  Câu 30: Gọi tâm I ( a; b;0 ) ⇒  BI = ( a − 1; b + 3; −1) ⇒  BI = ( a − 1) + ( b + 3) +    2 CI = ( a − 2; b − 2; −3) CI =( a − ) + ( b − ) +  IA = IB 20 − 4b =10 + 6b b =1 Ta có  ⇒ ⇔ ⇒ R = IA = IC 17 − 2a =− 13 4a −2  IA = a =   AM= ( x − 2; y; z )    BM = ( x; y − 4; z ) Câu 31: Gọi M ( x; y; z ) ⇒   = CM ( x; y; z − )    DM =( x − 2; y − 4; z − )     ⇒ AM + BM + CM + DM =( x − 4; y − 8; z − 12 )     ⇒ AM + BM + CM + DM = 26 Chọn B ( x − ) + ( y − 8) + ( z − 12 ) 2 = ⇔ ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Chọn A 2 Câu 32: Mặt cầu có bán kính R= 3= AB ⇒ AB qua tâm I ( 0; 2; )   0 = m + t m + t =   ⇒ 2 =n + 2t ⇔ n + 2t =2 ⇒ m =0; n =2 Chọn D 2= − mt  m=0     t = Câu 33: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) , bán kính R = Ta thấy O, A ∈ ( S ) Ta có OA = 2 ⇒ ROAB = OA Gọi H tâm tam giác OAB = 3 Do O, A, B ∈ ( S ) ⇒ IH = d ( I ; ( OAB ) ) = R − ROAB = 3 Giả sử ( OAB ) : ax + by + cz = A ∈ ( OAB ) ⇒ 2a + 2b =0 ⇔ a =−b ⇒ ( OAB ) : ax − ay + cz =0 Ta có d ( I ; ( OAB ) ) = c 2a + c = a = c ⇔ a2 = c2 ⇔   a = −c Với a = c chọn a =1, c =1 ⇒ ( P ) : x − y + z = ⇒ B ( −2; 2; ) (loại) Với a = −c chọn a =1, c =−1 ⇒ ( P ) : x − y − z =0 ⇒ B ( 2; −2; ) Chọn B ... −1;0;1) Lời giải Do ( S ) tiếp xúc với ( P ) M (1; −2;3) nên IM ⊥ ( P ) ⇒ IM qua M (1; −2;3) có vectơ phương   = u n= ( P)  x = + 3t  ( 3;1;1) suy IM :  y =−2 + t  z= + t  Gọi I (1 +... Lời giải Do ( S ) tiếp xúc với ( P ) M ( 2; −3; −2 ) nên IM ⊥ ( P ) ⇒ IM qua M ( 2; −3; −2 ) có vectơ   phương= u n= ( P)  x= + t  (1; 2;3) suy IM :  y =−3 + 2t  z =−2 + 3t  Gọi I (... −2  ( P) M (1;0; −2 ) cắt d A, B cho AB = 2 Lời giải  Đường thẳng d qua E (1; −2; −2 ) có vectơ phương ud (1; −1;0 ) x= 1+ t  t Gọi I tâm mặt cầu suy đường thẳng IM ⊥ ( P ) ⇒ IM :  y