Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ 16: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng Viết phương trình đường thẳng biết vectơ phương Đường thẳng qua điểm M(x 0; y 0; z ) với vecto phương u = (a; b;c) có: x x + at = - Phương trình tham số: = y y + bt (t ∈ ) = z z + ct x − x y − y0 z − z0 với điều kiện abc ≠ - Phương trình tắc là: = = a b c Phương pháp giải Đường thẳng d có véctơ phương u d biết Đường thẳng d song song đường thẳng ∆, suy u d = u ∆ Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P), suy u d = n P Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1; −2; 3) trung điểm BC với B(2; 1; −3) C(2; 3; 5) x −1 y + z − A = = −2 x −1 y + z − B = = 2 x − y − z −1 C = = −2 x −1 y + z − D = = −2 Lời giải Trung điểm BC M(2; 2; 1) ⇒ u= AM= (1; 4; −2) ⇒ d : x − y − z −1 Chọn C = = −2 Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 2); B(−2; 3; 5);C(4; 0; −7) Điểm M thuộc cạnh BC cho SABM = 2SACM Phương trình đường thẳng AM là: x y +1 z − A.= = −3 x y +1 z − B.= = 2 x − y −1 z + C = = 2 −5 x y +1 z − D.= = 2 Lời giải Ta có SABM = 2SACM M thuộc cạnh BC nên BM = 2MC ⇔ (x M + 2; y M − 3; z M − 5)= 2(4 − x M ; − y M ; −7 − z M ) ⇒ M(2; 1; −3) ⇒ AM= (2; 2; −5) x − y −1 z + Phương trình dường thẳng AM là: = = Chọn C 2 −5 Dạng Viết phương trình đường thẳng biết cặp vectơ pháp tuyến u d ⊥ a Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến a b tức u d = a; b u d ⊥ b Một số trường hợp thường gặp: Đường thẳng d vng góc hai đường thẳng ∆1 ∆2, suy u d = u ∆1 ; u ∆2 Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) (Q), suy u d = n P ; n Q Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) vng góc với thường thẳng ∆, suy u d = n P ; u ∆ Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), suy u d = n P ; n Q Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng ∆, suy u d = n P ; u ∆ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng x +1 y −1 z − d: = = mặt phẳng (P): x − y − z − =0 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;1; −2) , song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d Lời giải ∆ / /(P) u ∆ ⊥ n (P) Do ⇒ ⇒ u ∆ = n (P) ; u d = (2;5; −3) ∆ ⊥ d u ∆ ⊥ u d x −1 y −1 z + Suy phương trình đường thẳng ∆ = = −3 Ví dụ 2: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho (P) : x + y += z + 0, (Q) : x − y += z − điểm A(1; −2;3) Phương trình đưới phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) (Q)? x =−1 + t A y = z =−3 − t x = B y = −2 z= − 2t x = + 2t C y = −2 z= + 2t x = + t D y = −2 z= − t Lời giải 2(1;0; −1) Đường thẳng cần tìm song song với (P) (Q) nên= u d n (p) ; n= (Q) x =−1 + t Do d: y = Chọn A z =−3 − t Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-1;0;2) song song với hai mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 6z + = 0 (Q) : z + y − 2z + = x = −1 A y = 2t z= − t x = B y = 2t z= − t x = −1 C y = 2t z =−2 + t x = −1 D y = 2t z= + t Lời giải n= (2; −3;6) P Ta có (0;10;5) ⇒ n P ; n Q = n Q (1;1; −2) = Đường thẳng d qua A(-1;0;2) nhận n P ; n Q = (0;10;5) VTCP x = −1 ⇒ d : y = 2t ( t ∈ ) Chọn D z= + t x −1 y +1 z Ví dụ 4: Cho mặt phẳng (P) : 4x − y − z − =0 đường thẳng d : = = Phương trình đường −2 thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vng góc với d là: x −1 y − z − A = = 1 −2 x −1 y − z − B = = 2 x −1 y − z − C = = −2 x −1 y − z − D = = −2 −1 Lời giải (3;6;6) Ta có: u d = (2; −2;1); n (p) = (4; −1; −1) Suy= u ∆ u= = 3(1; 2; 2) d ; nP Do ∆ : x −1 y − z − Chọn B = = 2 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua ∆ trọng tâm G tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) x = − 3t A ∆ : y =+ t z = x = − 3t B ∆ : y =− 2t z= − t x = C ∆ : y =+ 2t z= − t Lời giải 1+1+1 = x G = + +1 = ⇒ G(1; 2; 2) Giả sử G(x G ; y G ; z G ) Khi đó: y G= +1+ = z G = x = − 3t D ∆ : y = z = Ta có: AB = (0; −1; −1); AC = (0; −2;1) ⇒ u ∆ = AB; AC = (−3;0;0) = −3(1;0;0) x = − 3t Đường thẳng qua G nhận u ∆ vtcp ⇒ ∆ : y =2 Chọn D z = Ví dụ 6: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) hai đường thẳng ∆: x −1 y + z −1 x +1 y z = = ;∆': == Phương trình phương trình đường thẳng qua 1 −2 M, vng góc với ∆ ∆’? x = −t A y = + t z= + t x =−1 − t B y = − t z= + t x =−1 − t C y = + t z = + 3t x =−1 − t D y = + t z= + t Lời giải Các vtcp ∆ ∆’ là: u1= (3; 2;1); u 2= (1;3; −2) ⇒ vtcp đường thẳng cần tìm là: Ví dụ u1 ; u = u= 7(−1;1;1) Chọn D (−7;7;7) = 7: Trong không gian toạ độ cho Oxyz, điểm A (1; −2;3) hai mặt phẳng (P) : x + y += z + 0, (Q) : x − y += z − Phương trình phương trình đường thẳng qua A, song song với (P), (Q)? x = A y = −2 z= − 2t x =−1 + t B y = z =−3 − t x = + 2t C y = −2 z= + 2t x = + t D y = −2 z= − t Lời giải Các vtpt (P) (Q) : n= (1;1;1); n= (1; −1;1) , vtcp đường thẳng cần tìm là: (2;0; −2)= 2(1;0; −1) Chọn D u= n1 ; n = x y +1 z −1 x +1 y z + Ví dụ 8: Cho đường thẳng d1= d : Phương trình đường thẳng : = = = −1 −1 4 qua A ( −2;3;0 ) vng góc với d1 d ? x + y−3 z A = = x + y−3 z B = = −3 x −2 y+3 z C = = x + y−3 z D = = −2 Lời giải u d ⊥ n d d ⊥ d1 Gọi d đường thẳng cần tìm Ta có: ⇒ 1 d ⊥ d u d ⊥ u d2 Khi u = u d1 ; u d2 =(3; −6;12) =3(1; −2; 4) ⇒ d : x + y−3 z = = Chọn D −2 Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d vng góc với ∆ (hoặc song song với (P)) Phương pháp giải Giả sử d’ cắt d điểm B, gọi tọa độ điểm B ∈ d theo tham số, ta có AB ⊥ ∆ ⇒ AB.u ∆ = ⇒ tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm AB Chú ý: Trong trường hợp d’//(P) ta có AB ⊥ n (P) ⇒ AB.n (P) = Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng ∆ : x −1 y +1 z = = Lập −1 phương trình đường thẳng d qua M, cắt vng góc với ∆ Lời giải Ta có: = u ∆ (2;1; −1) Gọi H(1 + 2t; −1 + t; − t) ∈ ∆ giao điểm d ∆ Suy MH = (2t − 1; t − 2; − t) , MH ⊥ u ∆ ⇒ MH.u ∆ = ⇔ 2(2t − 1) + (t − 2) − (− t) = ⇔ t = Do d ≡ MH : ⇒ u d = (1; −4; −2) 3 x − y −1 z == −4 x − y −1 z − Phương trình đường thẳng qua A Ví dụ 2: Cho điểm A (1; 2; −1) đường thẳng d : = = 2 cắt vuông góc với d là: x −1 y − z +1 A = = −2 x y z +1 B = = −2 x −1 y − z +1 C = = 2 x y z −1 D = = −2 Lời giải Gọi H(2 + 2t;1 + t;3 + 2t) ∈ d ⇒ AH =(1 + 2t; t − 1; + 2t) Ta có: AH.u d =4t + + t − + 4t + =0 ⇔ t =−1 ⇒ H(0;0;1) ⇒ AH : x y z −1 Chọn D = = −2 Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) đường thẳng x − y −1 z + Đường thẳng qua A, vng góc với d cắt Ox có phương trình : d: = = −2 x =−1 + 2t A y = 2t z = 3t x = + t B y= + 2t z= + 2t x =−1 + 2t C y = −2t z = t x = + t D y= + 2t z= + 2t Lời giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm, ta có B = ∆ ∩ Ox ⇒ B(x;0;0) Khi AB = (x − 1; −2; −3), u d = (2;1; −2) Do ∆ ⊥ d ⇒ AB.u d =2(x − 1) − + =0 ⇔ x =−1 ⇒ B(−1;0;0) ⇒ AB(−2; −2; −3) x =−1 + 2t 2t Vậy ∆ : y = Chọn A z = 3t Ví dụ 4: Cho đường thẳng d : x −1 y z +1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0; 2) , vuông = = 1 góc cắt d A ∆ : C x −1 y z − == 1 x −1 y z − = = 2 B x −1 y z − = = 1 −1 D x −1 y z − = = −3 Lời giải Gọi H(1 + t; t; −1 + 2t) ∈ d hình chiếu điểm A đường thẳng d Ta có := AH (t; t; t − 3) suy AH.u d = t + t + 4t − = ⇔ t = ⇒ H(2;1;1); AH = (1;1; −1) Suy ∆ ≡ AH : x −1 y z − Chọn B = = 1 −1 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng ∆: x −1 y +1 z = = Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M, cắt vng góc với ∆ −1 x= + t A d : y = − 4t z = −2t x= − t B d : y = + t z = t x = + t C d : y =−1 − 4t z = 2t Lời giải Giả sử d cắt vng góc với ∆ H(1 + 2t; −1 + t; − t) ∈ ∆ Khi đó: MH = (2 t − 1; t − 2; − t) , MH ⊥ ∆ ⇒ MH.u = 2(2 t − 1) + t − = +t ∆ ⇔ 6t = ⇔ t = ⇒ MH = ; − ; − ⇒ u MH = (1; −4; −2) 3 3 x= + 2t D d : y = + t z = − t x= + t Vậy d : y = − 4t Chọn A z = −2t Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) mặt phẳng (P) : 2x + y − 4z + = Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số đường thẳng (d) x = + t A y= + 6t z= + t x = t B y = 2t z= + t x = + 3t C y= + 2t z= + t x = − t D y= + 6t z= + t Lời giải Giả sử đường thẳng cắt trục Oz B(0;0;a) Ta có AB =(−1; −2;a − 3) Mà d song song với (P) ⇒ AB.n P = ⇔ 2.(−1) + 1.(−2) − 4(a − 3) = ⇔ a = ⇒ B(0;0; 2) x = t Khi AB =(−1; −2; −1) ⇒ AB : y =2t Chọn B z= + t Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) hai đường thẳng x −2 y+ z −3 x −1 y −1 z +1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc d1 : = = ;d : = = 2 −1 −1 với d1 cắt d2: A ∆ : x −1 y − z − = = −3 x −1 y − z − C = = x −1 y − z − B = = −5 x −1 y − z − D = = −3 −5 Lời giải Gọi (P) mặt phẳng qua A(1; 2;3) vng góc với d1 ⇒ n P = (2; −1;1) ⇒ (P) : 2x − y + z − = Khi gọi = B (P) ∩ d Tọa độ điểm B nghiệm hệ PT sau: x = 2x − y + z − = x − y − z + ⇔ y =−1 ⇒ B(2; −1; −2) = = z = −2 −1 Đường thẳng cần lập đường thẳng AB: qua A(1; 2;3) có vecto phương u AB = (1; −3; −5) x −1 y − z − đường thẳng cần tìm Chọn D ∆ ≡ AB : = = −3 −5 Chú ý: Đối với toán viết phương trình đường thằng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d ta làm sau : Bước 1: Tìm giao điểm A d mặt phẳng (P) u ∆ ⊥ n (P) n (P) ; u d , dường thẳng cần tìm qua A có vectơ phương u ∆ Bước 2: Do ⇒ u ∆ = u ∆ ⊥ u d Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − = đường thẳng có phương trình d : x +1 y z + Phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt = = vng góc với đường thẳng d là: A ∆ : x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 x −1 y +1 z −1 B = = −1 x −1 y −1 z −1 C = = x +1 y + z −1 D = = −1 Lời giải Gọi M = (∆) ∩ (d ) ⇒ M ∈ d ⇒ M (2t − 1; t ;3t − 2) Mà M ∈ ( P) ⇔ 2t − + 2t + 3t − − = ⇔ t = ⇒ M (1;1;1) u∆ ⊥ n( P ) x −1 y −1 z −1 Ta có ⇒ u∆ = n( P ) ; ud = (5; −1; −3) ⇒ phương trình ∆ : Chọn A = = −1 −3 u∆ ⊥ ud Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y − z + = đường thẳng có phương trình d : x +1 y z + Phương trình đường thẳng ∆ = = −1 nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d là: x =−1 + t A y = −4t z = −3t x= + t B y =−2 + 4t z= + t x= + t C y =−2 − 4t z= − 3t x= + 2t D y =−2 + 6t z= + t Lời giải Gọi M = (∆) ∩ (d ) ⇒ M ∈ d ⇒ M (−1 + 2t ; −t ; −2 + 2t ) Mà M ∈ ( P) ⇔ (−1 + 2t ) + (−t ) − (−2 + 2t ) + =0 ⇒ t =2 ⇒ M (3; −2; 2) x= + t u∆ ⊥ n( P ) n( P ) ; ud = Ta có ⇒ u∆ = (−1; 4;3) ⇒ phương trình ∆ : y =−2 − 4t Chọn C z= − 3t u∆ ⊥ ud x −1 y − z − Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng (α ) : x + y − z − = Đường thẳng nằm (α) , đồng thời vng góc cắt d x −5 y−2 z−5 A = = −2 x+2 y+4 z+4 B = = −3 −1 x−2 y−4 z−4 C = = −2 x −1 y −1 z D = = −2 Lời giải Gọi d’ đường thẳng cần tìm, gọi A = d ∩ (α ) ⇒ A ∈ d ' x = + t Ta có d : y =2 + 2t (t ∈ ) ⇒ A(t + 1; 2t + 2; t + 3) z= + t Mà A ∈ (α ) ⇒ (t + 1) + (2t + 2) − (t + 3) − = ⇔ t = ⇒ A(2; 4; 4) ud = (1; 2;1) ⇒ ud ; n(α ) = (−3; 2; −1) VTCP d’ Lại có (1;1; −1) n= (α ) Kết hợp với d’ qua ⇒ A ( 2; 4; ) ⇒ d : x−2 y−4 z−4 x −5 y −2 z −5 Chọn A = = ⇔ = = −3 −1 −2 Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 d2 đồng thời song song với d (hoặc vng góc với (P), qua điểm M) Phương pháp giải Giả sử ∆ cắt d1 d2 A B, ta tham số hóa điểm A ∈ d1 ; B ∈ d theo ẩn t u Do ∆ / /d ⇒ u ∆ = k.u d ⇔ AB = k.u d ⇒ t; u ⇒ tọa độ điểm A,B Phương trình đường thẳng cần tìm AB Chú ý: Trường hợp: ∆ ⊥ (P) ⇒ = AB k.n (P) ⇒ t u Trường hợp: ∆ qua điểm M ⇒ M, A, B thẳng hàng ta giải = MA k.MB ⇒ t; u k Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng x =−1 + t x −1 y +1 z (P): (P) : x + y + z − =0 đồng thời cắt hai đường thẳng d1 : = = d : y = −1 −1 z = − t Lời giải Lấy M ∈ d1 ⇒ M (1 + 2t ; −1 − t ; t ); N ∈ d ⇒ N (−1 + u; −1; −u ) Suy MN = ( u − 2t − 2; t; −u − t ) Do d ⊥ (P) ⇒ MN = k.n (P) u= u − 2t − t −u − t −3 −2 ⇒ == ⇔ ⇒ M ; ; 1 5 5 t = − x− y+ z+ = 5 Phương trình đường thẳng d là: d1 : = 1 x −1 y + z +1 Ví dụ 2: phương trình đường thẳng d qua A(1; −1;1) biết d cắt hai đường d1 : = = −2 x= − t d2 : y = t z = 3t Lời giải Gọi B(1 + 2u; −3 − u; −1 + 2u ) ∈ d1 C (2 − t; t ;3t ) ∈ d Ta có: AB =( 2u; u − 2; 2u − ) ; AC = (1 − t; t + 1;3 t − 1) 2u = k (1 − t ) 2u − k + kt = u = Do A, B, C thẳng hàng nên AB =k AC ⇒ u − =k (t + 1) ⇔ u − k − kt =2 ⇔ k =−1 2u − =k (3t − 1) 2u + k − 3kt =2 kt =−1 x = Suy u =0; t =1 ⇒ u d =(0;1;1) ⇒ d : y =−1 + t z = + t x −3 y−3 z + x − y +1 z − Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = d : = = −1 −2 −3 mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z − = Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 d2 có phương trình x −1 y +1 z A = = x − y − z −1 B = = x −3 y−3 z + C = = x −1 y +1 z D = = Lời giải Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 M , N ⇒ M (1 − t1 ;3 − 2t1 ; −2 + t1 ), N(5 − t ; −1 + 2t2 ; + t2 ) Ta có MN = ( t1 − 3t2 + 2; 2t1 + 2t2 − 4; −t1 + t2 + ) nP = (1; 2;3) 3t2 + k = t −= t1 M (1; −1;0) Mà d vng góc với (P) nên MN = k nP ⇒ 2t1 + 2t2 − = 2k ⇔ t2 = ⇒ N (2;1;3) −t = k + t2 + 3k = MN = (1; 2;3) ⇒ d : x −1 y +1 z = = Chọn A Giả sử đường thẳng cần lập có véc tơ phương = u d (a; b;c), a + b + c ≠ Đường thẳng d song song với (P) vng góc với ∆ ud n(P) = Khi ta có ⇒ F (a; b; c) = ⇒ a = f (b; c) ud u∆ = Từ liệu góc, khoảng cách ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo ẩn a, b, c Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải b = m.c b = n.c Chọn c = 1, từ tìm giá trị tương ứng a b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình có dạng x x x Ax + Bxy + Cy =0 ⇔ A + B + C =0 ⇒ =t ⇔ x =t y y b y 2 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(−9;0;0) , nằm mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + = tiếp xúc với mặt cầu có phương trình (S) : x + y + z − 4x + 2y − = Lời giải Đường thẳng ∆ có véc tơ phương u d (a; b;c), (a + b + c > 0) = Mặt cầu (S) : x + y + z − 4x + 2y − = có tâm I(2; −1;0), R = Do ∆ ∈ ( P) ⇔ u ∆ n P =0 ⇔ a + 2b − 2c =0 ⇒ a =2c − 2b ⇒ u ∆ =(2c − 2b; b; c) Ta có AI = (11; −1;0) AI , u =(−c; −11c;9 b + c) AI , u c + 121c + (9b + 2c) Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): d ( I ; ∆) = = R⇔ = u (2c − 2b) + b + c ⇔ 81b + 36bc + 126c 2= 9(5b − 8bc + 5c ) ⇔ c + 12bc + 4b = ⇔ (3c + 2b) = ⇔ 3c + 2b = ⇒ b = 3;c = −2 x +9 y z Suy u = = = (−10;3; −2) , phương trình đường thẳng ∆ −10 −2 x= + 3t x − y +1 z Ví dụ : Cho hai đường thẳng d : y =−3 + t d ' : = = Phương trình đường thẳng thuộc −2 z= − 2t mặt phẳng chứa d d’ đồng thời cách hai đường thẳng x −3 y+ z −2 A = = −2 x +3 y−2 z−2 B = = −2 x +3 y−2 z+2 C = = −2 x −3 y−2 z−2 D = = −2 Lời giải Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách d d’ nên ∆//d ⇒ u ∆ = (3;1; −2) Đường thẳng d qua điểm A(2; −3; 4) , đường thẳng d’ qua điểm B(4; −1;0) Trung điểm AB là: I(3; −2; 2) x −3 y+ z −2 Khi ∆ qua I(3; −2; 2) có VTCP : = Chọn A = = u ∆ (3;1; −2) nên ∆ : −2 Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu (S) : (x + 1) + (y − 1) + z = điểm A(1;0; −2) Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A tạo với trục Ox góc α cho cosα = là: 10 A ∆ : x −1 y z + = = −8 B ∆ : x −1 y z + == −5 C ∆ : x +1 y z − = = −8 D ∆ : x +1 y z − == Lời giải Gọi u ∆ (a; b;c), (a + b + c ≠ 0) vectơ phương đường thẳng ∆ = Mặt cầu (S) có tâm I(−1;1;0) Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A nên: IA(2; −1; −2) ⊥ u ∆ ⇔ 2a − b − 2c = ⇔ b = 2a − 2c (1) Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox góc α với cosα = a 2 a +b +c = nên 10 ⇔ b 2= 89a − c (2) 10 Từ (1) (2) ta có phương trình 85a + 8ac − 5c = (3) Với c = 0, suy a = 0, b = (không thỏa mãn) a a a a Với c ≠ , ta có (3) ⇔ + − = ⇔ = = − c 17 c c c Với a x −1 y z + = , ta chọn a = = = 1, c = ⇒ b =−8 Suy phương trình ∆ : c −8 Với x −1 y z + a = − , ta chọn a = = = 5, c =−17 ⇒ b =44 Suy phương trình ∆ : 17 44 −17 c Chọn A Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S) : (x − 1) + (y + 2) + z = điểm M(2;0; −2) Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) M tạo với mặt phẳng (P) : x + y − = góc 30 : x = A d : y = t z =−2 + t x = B d : y = t z =−2 − t x = C d : y = − t z =−2 + t x = D d : y = − t z =−2 − t Lời giải Gọi = u d (a; b;c), (a + b + c ≠ 0) vectơ phương đường thẳng d Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2;0) Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) M nên: Ta có: IM = (1; 2; −2) ⊥ u d ⇔ a + 2b − 2c = ⇔ a = 2c − 2b Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) góc 30 nên: Ta= có: sin 30 cos = ud ; n( P ) ( ) a+b = a + b2 + c2 2c − b = 2 5b + 5c − 8bc b = c ⇔ 2(b − 2c) = 5b + 5c − 8bc ⇔ 3b = 3c ⇔ b = −c x = Với b = c chọn b= c= 1; a= ta có: d : y = t z =−2 + t x= + 4u Chọn A Với b = - c chọn b = 1; a = ta có: d : y = −u −1; c = z =−2 + u Ví dụ : Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x + y + z − 4x + 2y + 6z − 12 = đường thẳng (d) : x = + 2t; y = 4; z = + t Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(5;0;1) ∆ tạo với d góc ϕ cho cosϕ = x= − 3t A y = −5t z = − t là: x= + 3t B d : y = 5t z = − t x= + 3t C d : y = −5t z = − t x= − 3t D d : y = −5t z = + t Lời giải Ta có (S) : (x − 2) + (y + 1) + (z + 3) = 26 ⇒ (S) có tâm I(2; −1; −3) bán kính R = 26 = IM (3;1; = 4), u1 (2;0;1) VTCP d Giả sử u = (a; b;c) VTCP đường thẳng ∆, (a + b + c ≠ 0) Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) M ⇒ IM ⊥ u ⇔ 3a + b + 4c =0 ⇔ b =−3a − 4c (1) Mà góc đường thẳng ∆ đường thẳng d ϕ u1.u ⇒ cos u1 , u = cosϕ ⇔ = u1 u 2a + c ⇔ = a + b2 + c2 2a= +c a + (3a + 4c) + c ( ) Thay (1) (2) ta (2) a = −3c ⇔ 7(4 a + 4ac + c ) =5(a + 9a + 24 ac+ 16 c + c ) ⇔ 22 a + 92ac + 78c =0 ⇔ a = − 13 c 11 2 2 2 2 x= + 3t Với a = −3c , a + b + c ≠ ⇒ c ≠ Chọn c = −1 ⇒ a = 3; b = −5 ⇒ ∆ : y = −5t z = 1− t x= + 3t 13 Chọn C Với a = − c chọn c = −11 ⇒ a = 13; b = ⇒ ∆ : y = 5t 11 z = − 11t Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng vng góc chung đường thẳng chéo Phương pháp giải Giả sử lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1; d2 Ta thực sau: Chuyển đường d1 d2 dạng tham số t u Tham số hóa điểm A ∈ d1 B ∈ d theo ẩn t u ud ⊥ ud AB.ud d ⊥ d1 t Do d đường vng góc chung d1; d2 nên ⇔ ⇔ 1 → u d ⊥ d ud ⊥ ud2 AB.ud2 Phương trình đường thẳng cần tìm AB Ví dụ : Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 biết x = x = + t d1 : y = d : y= − 2u z= + 3u z =−5 + t Lời giải Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u d1 = (1;0;1) u d= (0; −2;3) Gọi A(1 + t;0; −5 + t) ∈ d1 B(0; − 2u;5 + 3u) ∈ d suy AB(−1 − t; − 2u;10 + 3u − t) u ⊥ u d ⊥ d1 d d AB.ud Do d đường vng góc chung d1; d2 nên ⇔ 1 ⇔ 1 d ⊥ d ud ⊥ ud2 AB.ud2 −1 − t + 10 + 3u − t =0 −2t + 3u =−9 t =3 A(4;0; −2) ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ AB = (4; −6; −4) −8 + 4u + 30 + 9u − 3t =0 −3t + 13t =−22 u =−1 B(0;6; 2) Phương trình đường thẳng AB là: d : x−4 y z+2 = = −3 −2 x − y −1 z − Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d1 : = = −1 x y − z −1 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 là: = d= : −1 1 x = A y = − t z= + t x= + 2t B d : y = + t z= − t x = C d : y = + t z= + t x= − t D d : y = + t z= + t Lời giải Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u= (2; −1;1) u d= (1; −1;1) d1 Gọi M(2 + 2t;1 − t; + t) ∈ d1 ; N(u; − u;1 + u) ∈ d ⇒ MN = (u − 2t − 2;3 − u − t; −1 + u − t) t −1 = 2(u − 2t − 2) + u + t − + u −= u MN ud1 = Khi ⇔ ⇔ ⇔ M (2;1; 2); N (2; 2;3) − t −1 = u − 2t − + u + t − + u= t MN ud2 = x = Suy MN(0;1;1) ⇒ MN : y = + t Chọn C z= + t x +1 y + z −1 Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d1 : = = 1 x + y −1 z + Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 d2 : = = −4 −1 qua điểm điểm sau A A(3;1; −4) B B(1; −1; −4) C C(2;0;1) D D(0; −2; −5) Lời giải Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u d1 = (2;1;1) u d2 = (−4;1; −1) Gọi M(−1 + 2t; −2 + t;1 + t) ∈ d1 ; N(−2 − 4u;1 + u; −2 − u) ∈ d ⇒ MN = (−4u − 2t − 1; u − t + 3; −u − t − 3) MN ud = −8u − 4t − + u − t + − u − t − =0 u =−1 M (1; −1; 2) Khi 1 ⇔ ⇔ ⇔ 16 u + t + + u − t + + u + = t + = t MN u = N (2;0; −1) d2 x = + t Suy MN(1;1; −3) ⇒ MN : y =−1 + t ⇒ A(3;1; −4) ∈ MN Chọn A z= − 3t Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải Cách 1: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d vng góc với (P) Khi n(α ) = ud ; n( P ) - Bước 2: Viết phương trình đường thẳng = ∆ (α ) ∩ ( P) Cách 2: Lấy điểm A ∈ d , tìm tọa độ hình chiếu H A d, ∆ qua H ) ⇒ u∆ n= ; n n ; u ; n Do ∆ ⊥ (α ) ∆ ⊂ ( P= (P) α (P) d (P) Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm A= d ∩ ( P) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu đường x −1 y − z +1 mặt phẳng (P) : x − y + z − =0 d: = = −1 −1 Lời giải Gọi A(1 − t; + t; −1 − t) =d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P) ⇒ − t − − 2t − − t − =0 ⇒ t =− 7 1 Suy A ; ; − u∆ = n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (1; −1;1);(1;0; −1) ] = (1; 2;1) 4 4 Vậy ∆ : 1 y− z+ 4= 2= x− Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu đường x − y +1 z − mặt phẳng (P) : 2x + y − 3z + = d: = = Lời giải Gọi A(2 + t; −1 + t;3 + 2t) =d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P) ⇒ + 2t − + t − − 6t + =0 ⇒ t =−1 Suy A (1; −4;1) u∆= n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (2;1; −3);(−11;7; −5) ]= (16; 43; 25) Vậy ∆ : x −1 y + z −1 = = 16 43 25 Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình phương trình hình chiếu x + y +1 z đường thẳng d : = = mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z + = −1 x = + 31t A y = + 5t z =−2 − 8t x = − 31t B y = + 5t z =−2 − 8t x = + 31t C y= + 5t z =−2 − 8t x = + 31t D y = + 5t z= − 8t Lời giải Gọi A(−3 + t; −1 + t; − t) ∈ d , cho A ∩ (P) ⇒ −3 + 2t + − 3t − 2t + 6= ⇔ t= ⇒ A(1;1; −2) ∈ ∆ Lại có u∆ = n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (1; −3; 2);(−1; −5; −7) ]= (31;5; −8) x = + 31t Vậy ∆ : y = + 5t Chọn D z= − 8t Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình phương trình hình chiếu x −1 y + z − đường = = mặt phẳng (Oxy)? x = + t x = + t A y= − 3t B y =−2 + 3t z = z = x = + 2t C y =−2 + 3t z = x = + t D y =−2 − 3t z = Lời giải Ta có: (Oxy): z = 0, điểm A(1; −2;3), B(3;1; 4) ∈ d Gọi A’ hình chiếu A lên (Oxy) ⇒ A '(1; −2;0) Gọi B’ hình chiếu B lên (Oxy) ⇒ B'(3;1;0) x = + 2t ⇒ AB(2;3;0) Phương trình đường thẳng hình chiếu là: y =−2 + 3t Chọn C z = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −1 y +1 z = = điểm A(2; 1; 0) −1 Phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt đường thẳng ∆ có phương trình x= + t A y = 1− 4t z = 2t x =−2 + t B y = 1− 4t z = 2t x= + t C y = 1− 4t z = −2t x= + t D y =−1− 4t z = 2t Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y − = z − 0, (Q) : x + 3= y − 12 0và x −1 y + z +1 đường thẳng d : = = Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d giao tuyến −1 hai mặt phẳng (P), (Q) A (R) : 15x + 11y − 17z − 10 = B (R) : x + y − z − =0 C (R) : x + y − z + =0 D (R) : x + y − z = Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y z + mặt phẳng = = −3 (P) : x + + z + =0 Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm (P), cắt (d) vng góc với (d) A ∆ : x+3 y+2 z−4 = = −7 B ∆ : x+3 y+2 z+4 = = −7 C ∆ : x −3 y+2 z−4 = = −5 D ∆ : x−4 y+7 z−7 = = −5 x −7 y−3 z−9 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = −1 x − y −1 z −1 Tìm phương trình đường vng góc chung (d1), (d2) d2 : = = −7 x −7 y−3 z−9 A = = x −7 y−3 z−9 B = = 1 x −7 y−3 z−9 C = = x −7 y−3 z−9 D = = x = 1+ t Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = + t Đường thẳng d qua z= 13− t A(0; 1; −1) cắt vng góc với đường thẳng ∆ Phương trình sau phương trình đường thẳng d? x = 5t ' A d : y = 1+ 5t ' z =−1+ 8t ' x = t ' B d : y = 1+ t ' z =−1+ 2t ' x = C d : y= 5+ t ' z= 10 − t ' x = 5+ 5t ' D d : y= + 5t ' z= + 8t ' Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z + = = −1 x +1 y −1 z − Đường vng góc chung d1 d2 cắt d1, d2 A B Tính diện tích S d2 : = = −1 tam giác OAB A S = B S = C S = D S = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − =0 đường thẳng d: x +1 y z + Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt = = vng góc với đường thẳng d x + y −1 z − A = = 1 x − y +1 z + B = = 1 x −1 y −1 z −1 C = = −1 −3 x +1 y +1 z +1 D = = −1 −3 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng ∆ : x −1 y +1 z = = Gọi −1 d đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với ∆ Tìm vecto phương u đường thẳng d A u = (−3; 0; 2) B = u (2; −1; 2) C u = (0; 3; 1) D u = (1; −4; −2) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng d có phương trình x +2 y−2 z Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), (P) : x + y − 3z + = d : = = 1 −1 vng góc cắt đường thẳng d x =−1− t A ∆ : y = 2− t z = −2t x =−3− t B ∆ : y = 1− t z = 1− 2t x =−3+ t C ∆ : y = 1− 2t z = 1− t x =−1+ t D ∆ : y = − 2t z = −2t Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) đường thẳng d : phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt với d A x −1 y z − = = 1 B x −1 y z − = = 1 −1 C x −1 y z − = = 2 D x −1 y z − = = −3 1 x −1 y z +1 Viết = = 1 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x − y − z −1 mặt phẳng = = 1 (α) : x + y + z − =0 Gọi d đường thẳng nằm (α) đồng thời cắt đường thẳng ∆ trục Oz Một vec tơ phương d A u = (2; −1; −1) B u= (1; −2; 1) C.= u (1; 2; −3) D.= u (1; 1; −2) x +1 y + z +1 Câu 12: Cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 3z − = Viết đường thẳng d : = = phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng (P) x −1 y −1 z −1 A d ' : = = 1 C d ' : x −1 y z − = = −1 1 x +1 y +1 z − B d ' : = = 1 −1 x y z−2 D d ' : = = −1 −1 x y −1 z + Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d= , mặt phẳng : = 2 (P) : x + y + 2z − = điểm A(1; 1; −2) Phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) vng góc với d A ∆ : x −1 y −1 z + = = 2 −3 B ∆ : x −1 y −1 z + = = −2 C ∆ : x −1 y −1 z + = = −2 D ∆ : x −1 y −1 z + = = 2 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + y + z − =0 đường thẳng d: x +1 y z + Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (α), đồng thời cắt vng góc = = với đường thẳng d x −1 y −1 z −1 A = = −1 −3 x +1 y + z −1 B = = −1 x −1 y +1 z −1 C = = −1 x −1 y −1 z −1 D = = x y z−2 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d : = = điểm N(3; −2; 3) Viết 1 −1 phương trình đường thẳng ∆ qua N, cắt vng góc với d A ∆ : x − y + 3− z = = −1 B ∆ : x y z−2 = = −1 C ∆ : x −3 y+2 z−3 = = −3 D ∆ : x −6 y+4 z−4 = = −2 x= + 3t , đường thẳng d qua A cắt Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; −2; 3), ∆ : y = z = 1− t vng góc với ∆ có vecto phương A vectơ a = (5; 2; 15) B vectơ a = (4; 3; 12) C vectơ a = (1; 0; 3) D vectơ a = (−2; 15; −6) Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; 2; 4) Một mặt phẳng (α) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C tương ứng cho thể tích khối chóp O.ABC 36, với điểm O gốc tọa độ Mặt phẳng (ABC) cắt đường thẳng (∆) : A I(−2; 2; 2) x y−4 z−4 điểm I Tọa độ I = = 1 B I(−1; 3; 3) C I(0; 4; 4) D I(1; 5; 5) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN x = + 2t Câu 1: B = d ∩ ∆ : y = −1 + t ⇒ B(2t + 1; t − 1; −t ) ⇒ AB = (2t − 1; t − 2; −t ) z = −t Ta có u∆ = (2;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.u∆ = ⇔ 2(2 t − t ) + t − + t = ⇔ t = ⇒ AB = ; − ; − 3 3 x= + t − 4t Chọn C ⇒ u = (1; −4; −2) VTCP d ⇒ d : y = z = −2t Câu 2: Gọi d’ giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) z−2 = y −= z Cho x = ⇒ ⇔ ⇒ A(0; 4; 2) ∈ d' ⇒ A(0; 4; 2) ∈ ( R ) − 12 = 3 y= y Đường thẳng d qua B(1; −2; −1), C(4; −3;1) ⇒ B, C ∈ ( R) AB = (1; −6; −3) Ta có ( 15; −11;17) VTPT (R) ⇒ AB AC =− AC = (4; −7; −1) ⇒ = n (15;11; −17) VTPT (R) Mà (R) qua A(0; 4; 2) ⇒ ( R) :15 x + 11( y − 4) − 17( z − 2) =0 ⇔ 15 x + 11 y − 17 z − 10 =0 Chọn A x = + 2t Câu 3: Gọi A = ∆ ∩ d ⇒ A = (P) ∩ d mà ⇒ d := ⇒ A(2t + 1; t ; −3t − 2) y t z =−2 − 3t Ép cho A ∈ ( P) ⇔ 2t + + 2t − 3t − + =0 ⇔ t =−2 ⇒ A(−3; −2; 4) = ud (2;1; −3) Ta có ⇒ ud nP = (7; −5;3) VTCP ∆ nP = (1; 2;1) x+3 y+2 z −4 x−4 y+5 z −7 Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : = = Chọn D ⇔ = = −5 −5 Câu 4: Gọi AB đoạn vng góc chung A ∈ d1 ; B ∈ d ⇒ A(7 + a;3 + 2a;9 − a ), B(3 − 7b;1 + 2b;1 + 3b) ⇒ AB = (−a − 7b − 4; −2a + 2b − 2; a + 3b − 8) AB ⊥ d1 (−a − 7b − 4) + 2(−2a + 2b − 2) − (a + 3b − 8) = ⇔ ⇔ a =b =0 Ta có −7(−a − 7b − 4) + 2(−2a + 2b − 2) + 3(a + 3b − 8) = AB ⊥ d ⇒ AB =(−4; −2; −8) ⇒ u =(2;1; 4) VTCP AB x −7 y −3 z −9 = = Chọn A Câu 5: Gọi B =d ∩ ∆ ⇒ B(t + 1; t + 2;13 − t ) ⇒ AB =(t + 1; t + 1;14 − t ) Mà AB qua A(7;3;9) ⇒ AB : Ta có u∆ = (1;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.u∆ = ⇔ t + + t + + t − 14 = ⇔ t = ⇒ AB = (5;5;10) VTCP d ⇒ u = (1;1; 2) VTCP d x = t ' Mà d qua A ⇒ d : y = + t ' Chọn B z =−1 + 2t ' Câu 6: Ta có B(b − 1;7b + 1;3 − b), A(2a + 1; −a; a − 2) ⇒ BA= (2a − b + 2; −a − 7b − 1; a + b − 5) AB ⊥ d1 2(2a − b + 2) − (−a − 7b − 1) + (a + b − 5) = Ép cho ⇔ ⇔ a =b =0 (2a − b + 2) + 7(−a − 7b − 1) − (a + b − 5) = AB ⊥ d A(1;0; −2) OA.OB = ⇒ OA.OB = (2; −1;1) ⇒ S = 2 B(−1;1;3) Chọn C Câu 7: Gọi A =∆ ∩ d ⇒ A = ( P) ∩ d ⇒ A(2t − 1; t ;3t − 2) Mà A ∈ ( P) ⇔ 2t − + 2t + 3t − − = ⇔ t = ⇒ A(1;1;1) nP = (1; 2;1) Ta có ⇒ nP ; ud = (5; −1; −3) VTCP ∆ ud = (2;1;3) x −1 y −1 z −1 Chọn C Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : = = −1 −3 Câu 8: Gọi B= d ∩ ∆ ⇒ B(2t + 1; t − 1; −t ) ⇒ MB= (2t − 1; t − 2; −t ) Ta có u∆ = (2;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ MB.u∆ = ⇔ 4t − + t − + t = ⇔ t = ⇒ MB = ; − ; − VTCP d ⇒ u = (1; −4; −2) VTCP d Chọn D 3 3 Câu 9: Gọi A =∆ ∩ d ⇒ A = ( P) ∩ d ⇒ A(t − 2; t + 2; −t ) Mà A ∈ ( P) ⇔ t − + 2t + + 3t + =0 ⇔ t =−1 ⇒ A(−3;1;1) = nP (1; 2; −3) Ta có ⇒ nP ud = (1; −2; −1) VTCP ∆ ud (1;1; −1) = x =−3 + t Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : y = − 2t Chọn C z = 1− t Câu 10: Gọi B= d ∩ ∆ ⇒ B(t + 1; t ; 2t − 1) ⇒ AB= (t ; t ; 2t − 3) Ta có u∆ = (1;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.ud = ⇔ t + t + 4t − = ⇔ t = x −1 y z − Chọn B ⇒ AB = (1;1; −1) VTCP ∆ ⇒ ∆ : = = 1 −1 Câu 11: Gọi A= d ∩ ∆; B= d ∩ Oz ⇒ A, B ∈ (α ) A(a + 2; a + 2; 2a + 1) ⇒ a + + a + + 2a + − =0 ⇔ a =−1 ⇒ A(1;1; −1) Ta có B(0;0; b) ⇒ + + b − = ⇒ B (0;0;1) ⇒ BA = (1;1; −2 ) VTCP d Chọn D Câu 12: Gọi M= d ∩ ( P) , M ∈ d → M (2t − 1;3t − 2; 2t − 1) Do 2t − + 2(3t − 2) + 3(2t − 1) − = 0⇔t= ⇒ M (1;1;1) Gọi N (−1; −2; −1) ∈ d Và H hình chiếu N (P) x =−1 + a Phương trình đường thẳng NH y =−2 + 2a z =−1 + 3a Vì = H NH ∩ ( P) suy H (0;0; 2) Ta có MH = ( −1; −1;1) x= 1− t Vậy phương trình đường thẳng MH y = − t Chọn B z = 1+ t ∆ / /(P) Câu 13:= Ta có u∆ (1; ⇒ u∆ =ud ; n( P ) =(−2; −2;3) = 2; 2), n( P ) (2;1; 2) Vì ∆ ⊥ d x −1 y −1 z + Mặt khác ∆ qua A(1;1; −2) → ∆ : = = Chọn A 2 −3 Câu 14: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm ∆ M = d ∩ ∆ ⇒ M ∈ ( P) Ta có M (−1 + 2t ; t ; −2 + 3t ) mà M ∈ ( P) ⇒ −1 + 2t + 2t − + 3t =4 ⇔ t =1 ⇒ M (1;1;1) ∆ ⊂ (α ) Lại có ⇒ u∆ = n(α ) ; ud = (5; −1; −3) ∆ ⊥ d x −1 y −1 z −1 Vậy phương trình đường thẳng ∆ = = Chọn A −1 −3 Câu 15: Gọi M = d ∩ ∆ ⇒ M (t ; t ; − t ) ⇒ MN = (3 − t ; −2 − t ;1 + t ) Vì d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ 1.(3 − t ) + 1.(−2 − t ) + (−1).(1 + t ) = ⇔ t = x −3 y + z −3 Do MN =(3; −2;1) ⇒ Phương trình ∆ : Chọn D = = −2 Câu 16: Gọi B= d ∩ ∆ ⇒ B(2 + 3t ; 4;1 − t ) ⇒ AB= (3t − 2;6; −2 − t ) Vì d ⊥ ∆ suy AB.u∆ = ⇔ 3.(3t − 2) + 0.6 + (−1)(−2 − t ) = ⇔ t = 12 Do AB = (− ;6; − ) =(−2;15; −6) Vậy a = (−2;15; −6) Chọn D 5 Câu 17: Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ⇒ ( ABC ) : x y z + + = a b c OA.OB.OC abc Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC = = =36 ⇔ abc =216 6 Ta có M (1; 2; 4) ∈ (ABC) ⇒ = + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 33.8 = 216 a b c abc a = x y z Dấu xảy = = = ⇒ b = ⇒ ( ABC ) : + + = a b c 12 c = 12 t t+4 t+4 Gọi I (t ; t + 4; t + 4) ∈ ∆ mà I = ∆ ∩ (ABC) ⇒ + + = 1⇔ t = 12 Vậy I (0; 4; 4) Chọn C
Ngày đăng: 13/10/2022, 07:12
Xem thêm:
