bai toan viet phuong trinh mat phang

CHỦ ĐỀ 15: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết vectơ pháp tuyến Một số cách xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng hay gặp:  ( P ) qua ba điểm phân biệt A, B, C có véc tơ pháp tuyến  ( P ) qua điểm A song song với ( Q ) ta chọn cho          nP =  AB; AC    nP = nQ   nP ⊥ nα    → nP =  nα ; nβ  ( P ) vng góc với hai mặt phăng phân biệt (α ), ( β )     nP ⊥ nβ      nP ⊥ a   → nP =  a; b  ( P ) song song với hai véc tơ a; b     nP ⊥ b      nP ⊥ AB → nP =  AB; nα  ( P ) qua điểm A,B vng góc với ( α )     nP ⊥ nα      nP ⊥ ud → nP = ud ; ud  ( P ) song song với hai đường thẳng d1; d     nP ⊥ ud    ( P ) chứa đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (α ) nP = ud ; nα     ( P ) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nP = ud ; u∆  Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm M ( 3; −1;1) vng góc với đường thẳng ∆ : A x − y + z − 12 = B x + y + z − = x −1 y + z − = = ? −2 C x − y + z + = Lời giải   Gọi ( P ) mặt phẳng cần tìm ta có: ( P ) ⊥ ∆ ⇒ n( P= u∆= ) ( 3; −2;1)  Phương trình mặt phẳng ( P ) qua M ( 3; −1;1) có VTPT n ( 3; −2;1) là: hay x − y + z –12 = Chọn A ( P ) : ( x − 3) – ( y + 1) + 1( z − 1) = D x − y + z + 12 = Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0; −2 ) ; B ( −1; 2; ) C ( 2;0;1) Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC là: B x − y − z + = A x − y − z – = 0 C x − y − z – = D x − y − z + = 0 Lời giải   Gọi ( P ) mặt phẳng cần tìm nP = BC = ( 3; −2; −3)  Mặt phẳng ( P ) qua A (1;0; −2 ) có VTPT nP = (3; −2; −3) ⇒ ( P) : x − y − z − = Chọn C Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M M ( 3; −1; −2 ) mặt phẳng Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với (α ) : x − y + z + = (α ) ? A x − y + z − = B x + y − z − 14 = C x − y + z + = D x + y − z + 14 = Lời giải   Gọi ( P ) mặt phẳng cần tìm ta có: ( P ) / / (α ) ⇒ n( P ) =n(α ) =( 3; −1; )  Mặt phẳng ( P ) qua M ( 3; −1; −2 ) có VTPT n(P)= (3; −1; 2) có phương trình là: x − y + z − = Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z + = x − y + z +1 đường thẳng d : = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) vng góc với đường thẳng d −5 1 qua tâm mặt cầu ( S ) A ( P ) : x − y + z − = B ( P ) : x + y − z − = C ( P ) : x + y − z + = D ( P ) : x − y + z + = Lời giải Ta có: ( S ) : ( x − 3) + ( y + ) + ( z − 1) =9 ⇒ ( S ) có tâm I ( 3; −2;1) bán kính R =  VTCP d là= u 2 (1;1; −5) Mặt phẳng ( P )  qua I nhận u làm VTPT Phương trình ( P ) là: ( P ) :1( x − 3) + 1( y + 2) − 5( z − 1) = hay ( P ) : x + y − z + Chọn C  x = + 3t x −1 y + z  = = mặt phẳng ( P ) : x + y − z = Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng d1  y =−2 + t ; d : −1 z =  Phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1 ( P ) , đồng thời vng góc với d A x − y + z + 22 = B x − y + z + 13 = C x − y + z − 13 = D x + y + z − 22 = Lời giải Gọi giao điểm d1 ( P ) M (1 + 3t ; −2 + t ; ) ∈ d1 Do M ∈ ( P ) ⇒ + 6t − + 2t − = ⇔ t = ⇒ M (4; −1; 2)   Mặt phẳng ( Q ) cần tìm có: n(Q= u= ) d2 ( 2; −1; ) Do phương trình mặt phẳng ( Q ) là: x − y + z − 13 = Chọn C Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng qua A (1;0; −4 ) vng góc đồng thời với mặt phẳng là: ( P ) : x + y + z − =0 ( Q ) : x − y − z + = A y + z = B x − y − z + = C x + y − z − = D x − y + z + = Lời giải  Ta có : n( = P)  (1;1;1) ; n(Q=) ( 2; −1; )      (α ) ⊥ ( P ) n ⊥ n( P ) Do  ⇒    ⇒ n = n( P ) ; n(Q )  =− −3(1; −2;1) ( 3;6; −3) = (α ) ⊥ ( Q ) n ⊥ n(Q ) Khi ( α ) qua A (1;0; −4 ) có VTPT (1; −2;1) ⇒ (α ) : x − y + z + = Chọn D Ví dụ 7: Phương trình mặt phẳng qua A (1; 2;0 ) vng góc với ( P ) : x + y = song song với đường thẳng d : x −1 y z +1 là: = = −4 −3 A x + y − z − = B x − y + z + = C x − y + z − =0 Lời giải D x − y + z + =  Ta có : n( P ) =  (1;1;0 ) ; ud = ( 2; −4; −3)      (α ) ⊥ ( P ) n ⊥ n( P ) Do  ⇒    ⇒ n = n( P ) ; ud  =− ( 3;3; −6 ) =−3(1; −1; 2) (α ) / / d n ⊥ ud > (α ) : x − y + z + = Chọn B Khi ( α ) qua A (1; 2;0 ) có VTPT (1; −1; ) = x y −1 z Ví dụ 8: Phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ song song với đường thẳng d1= = : 1 d2 : x +1 y z −1 là: = = −3 A x + y − z = B x − y + z = C x + y = D y + z = Lời giải   Ta có : u= u( d1= )  (1;1;1) ; u=2  u( d2= ) (1; −3; )      n ⊥ u1 (α ) ⊥ d1 ⇒    ⇒ n = u1 ; u2  = Do  (α ) / / d n ⊥ u2 ( 2; −6; ) = 2(1; −3; 2) Chọn B Khi ( α ) qua O ( 0;0;0 ) có VTPT (1; −3; ) ⇒ (α ) : x − y + z = Ví dụ 9: Phương trình mặt phẳng qua điểm A ( 2; 4;1) B ( 5;7; −1) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + =0 là: A x − y − z + = B x − y − z − = C y + z − 11 = D x + y + z − = Lời giải     Ta có: AB =( 3;3; −2 ) ⇒ n = AB; n( P )  =( 0; −8; −12 ) =−4(0; 2;3)    Mặt phẳng ( α ) cần tìm qua A ( 2; 4;1) có VTPT n ( 0; 2;3) ⇒ (α ) : y + z − 11 = Chọn C Ví dụ 10: Cho đường thẳng ∆ : x +1 y − z Phương trình mặt mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = = = −1 −3 phẳng qua O, song song với ∆ vuông góc với mặt phẳng ( P ) A x + y + z = B x − y + z = C x + y + z − = D x − y + z + = Lời giải ( P ) ⊥ ( Q )      (1; 2;1) Gọi mặt phẳng cần tìm ( Q ) ta có:  ⇒ n= = ∆ ( Q )  n( P ) ; u Q / / ∆ ( )  ⇒ (Q ) : x + y + z = Chọn A Ví dụ 11: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (1;0; −1) Mặt phẳng ( α ) qua M chứa trục Ox có phương trình A x + z = B y + z + =0 C y = D  0 x+ y+z = Lời giải   Mặt phẳng ( α ) nhận OM ; uOx  VTPT  OM   = (1;0; −1) Mà   ⇒ OM ; uOx  = (0; −1;0) uOx = (1;0;0) Kết hợp với ( α ) qua M (1;0; −1) ⇒ (α ) : − ( y − ) =0 ⇔ y =0 Chọn C Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0;1;1) , B ( 2;5; −1) Tìm phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B song song với trục hoành A ( P ) : y + z − = B ( P ) : y + z − = C ( P ) : y + z + = D ( P ) : x + y − z − = Lời giải   Ta có = AB (2; 4; −2) u(Ox ) = (1;0;0 ) suy     AB; u(Ox )  = (0; −2; −4) ⇒ n( P ) =   ( 0;1; )  Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A có n( P ) y − + 2( z − 1) = ⇔ y + z − = Chọn C Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng đường thẳng ( Q ) : x + y − 12 = x+ y−z−2= 0, x −1 y + z +1 d:= = Viết phương trình mặt phẳng ( R ) chứa đường −1 thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) A ( R ) : x + y − z − =0 ( P) : B ( R ) : x + 2y − z + = C ( R ) : x + y − z = D ( R ) :15 x + 11 y − 17 z − 10 = Lời giải  VTPT mặt phẳng ( P ) là= n1 (1;1; −1) , VTPT mặt phẳng ( Q )     d ' ( P) ∩ ( Q ) Khi vtcp d ' = Gọi = u  n1 ; n2=  ( 3; −1; )  n2 = (1;3;0 ) vtcp d ⇒ d / / d ' A(1; −2; −1) ∈ d ; B (0; 4; 2) ∈ d '     Ta có: AB(−1;6;3) VTPT ( R ) = là: n  AB ; u  = (15;11; −17 ) Phương trình mặt phẳng ( R ) là: Chọn D ( R) :15 ( x − ) + 11( y − ) − 17 ( z − ) = hay ( R ) :15 x + 11 y − 17 z − 10 = Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách  - Giả sử mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến nP = ( a; b; c ) , a + b + c ≠ - Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d nên ( P ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d vng góc với vectơ phương d ( P ) : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) Khi ta có    nQ ud = ⇔ a = f ( b; c ) - Từ kiện góc, khoảng cách ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo ẩn a, b, c Thay a = f ( b; c ) vào phương trình này, giải b = m.c b = n.c Chọn cho c = , từ tìm giá trị tương ứng a b ⇒ phương trình mặt phẳng ( P ) cần lập Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình có dạng x x x Ax + Bxy + Cy =0 ⇔ A   + B   + C =0 ⇒ =t ⇔ x =t y y  y  y 2 Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y − z + = ; (β) : x − y + = Lập ( P ) vng góc với hai mặt phẳng cho đồng thời khoảng cách từ điểm A ( 3;1;1) đến ( P ) 30 Lời giải       ( P ) ⊥ ( α ) n( P ) ⊥ n( α )  n( α ) ; n(β)  , n= Ta có:  ⇒    ⇒ n( P ) = (α)   ( P ) ⊥ ( β ) n( P ) ⊥ n(β) (1; 2; −1) ;  n(= β) ( 4; −2;0 )  ⇒ n( P ) =− ( 2; −4; −10 ) =−2 (1; 2;5) ⇒ Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: x + y + z + D = Lại có: d ( A; ( P ) )= 3+ 2+5+ D ⇔ = 30 + + 25  D = −2 ⇔ D + 10= ⇔  30  D = −18 0 ( P ) : x + y + z − 18 = Do ( P ) : x + y + z − = Ví dụ 2: Lập phương trình ( P ) qua A (1; −1;0 ) , B ( 2; −1; −1) cho khoảng cách từ M ( −2;1;3) đến ( P) Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( a; b; c ) , a + b + c ≠    Ta có: AB (1;0; −1) , ( P ) chứa AB nên n( P ) AB = ⇔ a − c = ⇔ a = c Khi đó: ( P ) : a ( x − 1) + b ( y + 1) + az = −3a + 2b + 3a Ta có: d ( M ; ( P ) ) = =⇔ 2a + b b = ⇔ 9b = 2a + b ⇔ 4b = a2 ⇔ a = ±2b 2a + b 2 • Với a = 2b chọn b = ⇒ a = = c ⇒ ( P ) : x + y + z − = • Với a = −2b chọn b =−1 ⇒ a =2 =c ⇒ ( P ) : x + y + z − =0 Ví dụ 3: Lập phương trình ( P ) chứa d : x +1 y z + cho khoảng cách từ A ( −3;1;1) đến ( P ) = = 1 −2 Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( a; b; c ) , a + b + c ≠   Mặt phẳng ( P ) chứa d nên n( P ) ud = ⇔ a + b − 2c = ⇒ b = 2c − a ( P) qua điểm ( −1;0; ) ⇒ ( P ) : a ( x + 1) + by + c ( z + ) = = d ( A; ( P ) ) −2a + b + 3c = a + b2 + c2 −2a + 2c − a + 3c = 2 a + ( 2c − a ) + c ⇔ ( 2a − 4ac + 5c ) = ( 3a − 5c ) −3a + 5c = 2a − 4ac + 5c 2 a = c ⇔ 19a − 74ac + 55c = 0⇔ 19a = 55c • Với a = c chọn a = c =1 ⇒ b =1 ⇒ ( P ) : x + y + z + = • Với 19a = 55c chọn a = 55; c = 19 ⇒ b =−17 ⇒ ( P ) : 55 x − 17 y + 19 z + 93 =0 Ví dụ 4: Cho ∆ : x − y +1 z = = ; ( P ) : 2x + y − z + = −1 Lập ( Q ) / / ∆ ; ( Q ) ⊥ ( P ) đồng thời khoảng cách từ A (1; 2;0 ) đến ( P )  Ta có: n= ( P)  u∆ ( 2;1; −1) ; = 30 Lời giải (1;3; −1)      Do ( Q ) / / ∆ ( Q ) ⊥ ( P ) ⇒ n= = ∆ ( Q )  n( P ) ; u ( 2;1;5) Phương trình mặt phẳng ( Q ) có dạng: x + y + z + D = Lại có: d ( A; ( P )= ) ⇔ 30 4+ D = + + 25 D = ⇔ D + 4= ⇔  30  D = −11 Suy phương trình mặt phẳng ( Q ) là: ( Q ) : x + y + z + = ( Q ) : x + y + z − 11 = Ví dụ 5: Lập phương trình ( P ) qua A ( −1; 2;1) , vuông góc với mặt phẳng ( xOy ) đồng thời khoảng cách từ điểm B (1;1; −3) đến ( P ) Lời giải  Giả mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( a; b; c ) , a + b + c ≠   Mặt phẳng ( P ) vng góc với mặt phẳng ( xOy ) : z = nên n( P ) n( xOy ) = ⇔ c = ( P) qua điểm A ( −1; 2;1) ⇒ ( P ) : a ( x + 1) + b ( y − ) = d ( B; ( P ) ) =  a = 2b ( a + b ) ⇔ 11a − 20a − 4b = 0⇔ = ⇔ ( 2a − b ) = a + b2 11a = −2b 2a − b • Với a = 2b chọn b =1 ⇒ a =2 ⇒ ( P ) : x + y =0 • Với 11a = −2b chọn a =2 ⇒ b =−11 ⇒ ( P ) : x − 11 y + 24 =0  x= + t  Ví dụ 6: Cho d :  y = − 2t điểm A (1;1; ) , B ( 3;1; −1)  z = −t  Lập ( P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( P ) hai lần khoảng cách từ B tới ( P ) Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( a; b; c ) , a + b + c ≠   Mặt phẳng ( P ) chứa d nên n( P ) ud = ⇔ a − 2b − c = ⇒ c = a − 2b ( P) qua điểm M ( 2;1;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − ) + b ( y − 1) + cz = Lại có: d ( A; ( P ) ) = 2d ( B; ( P ) ) ⇒ −a + 2c a + b2 + c2 = a−c a + b2 + c2 ⇔ a − 2c = 2a − 2c  a − 2c = 2a − 2c a = ⇔ ⇔ −2a + 2c 4c  a − 2c = 3a = • Với a = chọn b =1 ⇒ c =−2 ⇒ ( P ) : y − z =0 • Với 3a = 4c chọn a = ⇒ c = ⇒ b = 17 y ⇒ ( P ) : x + + 3z − = 2 hay ( P ) : x + y − z − 17 = x −1 y +1 z Ví dụ 7: Cho d : = = điểm A (1; 2; ) , B ( 4;3;0 ) −1 −2 Lập ( P ) chứa d cho khoảng cách từ A tới ( P ) khoảng cách từ B tới ( P ) Lời giải  Giả sử mặt phẳng cần lập có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( a; b; c ) , a + b + c ≠   Mặt phẳng ( P ) chứa d nên n( P ) ud = ⇔ 2a − b − 2c = ⇒ 2c = 2a − b ( P) qua điểm M (1; −1;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + b ( y + 1) + cz = Lại có: d ( A; ( P ) ) = d ( B; ( P ) ) ⇒ 3b + 2c 2 a +b +c = 3a + 4b a + b2 + c2 ⇔ 3b + 2c = 3a + 4b 3a + 4b −2b  2a + 2b = a = ⇔ 3b + 2a − b = 3a + 4b ⇔ 2a + 2b = 3a + 4b ⇔  ⇒ −3a − 4b 5a = −6b  2a + 2b = • Với a = −2b chọn b =−1 ⇒ a =2; c = ⇒ ( P ) : x − y + z − 10 =0 • 17 Với 5a = −6b chọn a =6 ⇒ b =−5; c = ⇒ ( P ) :12 x − 10 y + 17 z − 22 =0 Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;0 ) hai đường thẳng x −1 y + z − x −1 y − z −1 ; d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với d1 d1 : = = −1 1 −1 d đồng thời cách M khoảng Lời giải  u=    (1; −1;1) u1 ; u2=  Vì ( P ) / / d1 ; d nên ( P ) có cặp VTCP là:   ⇒ n(= P)   ( −1; 2; −3) u2 = (1; 2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: x + y + z + D = Lại có: d ( M ; ( P ) ) =6 ⇔ ( P1 ) : x + y + z + = D = =6 ⇔  ⇒  D = −9 ( P2 ) : x + y + z − = 3+ D Lấy K (1;3;1) ∈ d1 N (1; −3; ) ∈ d thử vào phương trình (1) ( ) ta có N ∈ ( P1 ) nên d ⊂ ( P1 ) Suy phương trình mặt phẳng cần tìm là: ( P2 ) : x + y + z − = Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = hai đường thẳng d : 2 x − y z −1 x y z −1 , ∆: = = Phương trình phương trình = = −1 1 −1 mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) , song song với d ∆ ? A y + z + = B x + z + = C x + y + z = D x + z − =0 Lời giải   Các VTCP d ∆ là: u1 (1; 2; −1) , u2 (1;1; −1) ⇒ VTPT mặt phẳng cần tìm là:    u1 ; u2  =− n= −1(1;0;1)   ( 1;0; −1) = Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + z + m = Ta có: −1 − + m = 12 + 12 m = Chọn B 2⇔ m =  Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) nhận n = ( 3; −4; −5) vectơ pháp tuyến ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = Phương trình mặt phẳng ( P ) là: A x − y − z − 15 = x − y − z − 25 = B x − y − z + 15 = x − y − z − 25 = 2 x = t   Ta có: ( xOy ) : z = ⇒ ∆ :  y = −5 + 2t ⇒ u∆ = (1; 2;0 ) z =  Do ( Q ) chứa đường thẳng ∆ ⇒ ( Q ) qua điểm ( 0; −5;0 ) Giả sử ( Q ) :   1  x y z ( a; c ≠ ) ⇒ n(Q ) =  ; − ;  + + = a −5 c a c   Ta có: n(Q ) u∆ = ⇒ − = ⇒ a = a Lại có: VOABC= y 125 125 abc= ⇒ ⇒ c= ± ⇒ ( ABC ) : x − ± z= 5.c= 36 36 5 Hay x − y ± z − = Ví dụ 4: Cho hai điểm M (1; 2;1) , N ( −1;0; −1) Viết ( P ) qua M, N cắt trục Ox , Oy theo tứ tự A, B (khác O) cho AM = 3BN Lời giải Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) C ( 0;0;c ) giao điểm ( P ) với trục tọa độ Phương trình mặt phẳng ( P ) là: x y z + + = ( abc ≠ ) a b c 1 1 −1  1  + =  a + b + c = −1 a c  + = Do ( P ) qua điểm M (1; 2;1) , N ( −1;0; −1) ⇒  ⇒ ⇒ a c −1 = 2 = − b =  a c  b Lại có: AM= 2  3BN ⇔ AM= 3BN ⇔ ( a − 1) + += (1 + b + 1)=  −3  a =3⇒ c =  ⇔ ( a − 1) =4 ⇔   a =−1 ⇒ =0 ( loai )  c x y 4z Khi ( P ) : + − hay ( P ) : x + y − z − = = 3 Ví dụ 5: Cho hai điểm M (1;9; ) Viết ( P ) qua M cắt trục tọa độ theo thứ thự A, B, C (khác O) cho 8.OA = 12.OB + 16 = 37.OC , với x A > 0; yB > 0; zC < Lời giải Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) C ( 0;0;c ) với a > 0; b > 0; c < Khi phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: Do M (1;9; ) ∈ ( ABC ) ⇒ x y z + + = a b c + + = a b c Mặt khác OA = a = a; OB = b = b; OC = c = −c a > 0; b > 0;c < Do 8.OA = 12.OB + 16 = 37.OC ⇒ 8a = 12b + 16 = −37c Ta có: 8a =12b + 16 =−37c ⇒ a = 35 − 4a + + =1 ⇔ =1 ⇔  a 8a − 16 − a a − 2a  a = −7 ( loai ) 12 37 b = x y 37  Với a =5 ⇒  −40 ⇒ ( P ) : + − z =1 hay ( P ) : x + 20 y − 37 z − 40 = 40 c = 37 Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng qua điểm A ( 3;0;0 ) B ( 0;6;0 ) cắt trục Oz tai C cho thể tích tứ diện O ABC 12 là: A x y z + + = B x y z + − = C x y z + + = D Cả A B Lời giải Giả sử C ( 0;0; c ) ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + = c 1 Ta có OA, OB, OC đơi vng góc nên VOABC = OA.OB.OC = 3.6 c = 12 ⇔ c =±4 6 Chọn D Ví dụ 7: Gọi A, B, C giao điểm mặt phẳng ( P ) : x + y z + = ( bc ≠ ) với trục tọa độ Diện tích b c tam giác ABC bằng: A b + c + bc B bc C b2 + c + b2c 2 D bc Lời giải   Ta có: A (1;0;0 ) ; B ( 0; b;0 ) ; C ( 0;0; c ) AB = ( −1; b;0 ) ; AC = ( −1;0; c ) Khi= đó: S ABC   =  ( bc; c; b )  AB; AC  2= b2 + c + b2c Chọn C Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;0;0 ) H (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, H cho ( P ) cắt tia Oy , Oz B, C cho diện tích tam giác ABC A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x + y + z − = Lời giải x y z Gọi B ( 0; b;0 ) C ( 0;0; c ) (điều kiện b, c > ) suy ( P ) : + + = b c 1 + = b c   2  AB; AC  = = ( bc ) + ( 2c ) + ( 2b ) = ⇔ b2c + 4b2 + 4c = 384   2 Vì H ∈ ( P ) nên S ABC u 8;= v 16 = u = b + c v = 2u b + c = Đặt  ⇒ ⇔ ⇒ ⇔ b =c =4 + − = = − = − v u v 384 u 6; v 12 loai = bc 16 ( ) ( ) v bc    Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) x y z hay x + y + z − = + + = Chọn D 4 Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) C ( 0;0; c ) với a , b, c > Biết ( ABC ) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) A 14 B qua 1 3 M ; ;  7 7 điểm tiếp xúc với mặt 1 72 = Tính giá trị + + a b c 7 C D Lời giải Phương trình mặt phẳng ( ABC ) x y z + + = Vì M ∈ ( ABC ) ⇒ + + = a b c a b c 14 72 2 Xét mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = có tâm I (1; 2;3) , bán kính R = 7 → mp ( ABC ) là= Khoảng cách từ I  d ( I ; ( ABC ) ) + + −1 a b c = 1 + + a b2 c2 1 + + a b2 c2 Vì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mp ( ABC ) mp ( ABC ) ⇒ d ( I ; ( ABC ) ) =R ⇒ 1 + + = Chọn D a b2 c2 cầu BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 2;1; ) , N ( 3; −1; ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Khi mặt phẳng ( Q ) qua hai điểm M, N vng góc với mặt phẳng ( P) có phương trình A x + y − = B x − y − z + = C x − y − z − =0 D y + z − = Câu 2: Trong không gian với hệtọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình Viết phương trình mặt phẳng ( P) x y − z +1 = = −8 vng góc với đường thẳng d biết mặt phẳng ( P) qua điểm M ( 0; −8;1) A ( P ) : x − y − z + 19 = B ( P ) : x − y − z − 27 = C ( P ) : x − y − z − 19 = D ( P ) : −8 x − y − z − 19 = Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − 15 = điểm E (1; 2; −3) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua E song song với ( Q ) A ( P ) : x + y − z + 15 = B ( P ) : x + y − z − 15 = C ( P ) : x − y + z + 15 = D ( P ) : x − y + z − 15 = 0 Phương trình mặt Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) : x + y − z + = phẳng ( P ) chứa trục Oy vng góc với mặt phẳng ( Q ) là: A x − z = B x + y + z = C x + z = D x + z = Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A ( 2; −1; ) , song song với trục Oy vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = A x − z − = B x − z − = C x − z − = D x − z + = Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −1; −5 ) , B ( 0;0; −1) hai mặt phẳng , ( Q2 ) : x − y + z + =0 Gọi ( P ) ( Q1 ) : 3x − y + z + = mặt phẳng qua A, vng góc với hai mặt phẳng ( Q1 ) ( Q2 ) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( P ) bằng: A B C Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm D A ( 0;0;1) hai mặt phẳng ( Q1 ) : x + y − =0 , ( Q2 ) : x − z − =0 Gọi ( P ) mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng ( Q1 ) khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt phẳng ( P ) là: ( Q2 )  x − y + 2z − = A   x − y + 2z + =  x − y + z − =0 B   x − y + 2z − =  x − y + 2z = C   x − y + 2z − =  x − y + 2z = D   x − y + 2z − = Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;1; −4 ) , B (1;0; −2 ) mặt phẳng Gọi ( P ) ( Q ) : x + z + = mặt phẳng qua A, B vng góc với mặt phẳng ( Q ) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng ( P ) bằng: A B C D 3 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Gọi ( P ) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng ( Q ) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng ( P) bằng: A B C D Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua G (1; 2;3) cắt Ox , Oy , Oz A, B, C cho G trọng tâm cùa tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A 18 x + y + z − = B x + y + z − = C 18 x + y + z − 18 = D x + y + z − 18 = Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua G (1; 2;3) cắt Ox , Oy , Oz A, B, C cho G trực tâm cùa tam giác ABC Khoảng cách từ điểm M (1;0;0 ) đến mặt phẳng ( P ) là: A 13 14 B 14 C D 14 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( α ) mặt phẳng qua hình chiếu A ( 5; 4;3) lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng ( α ) A 12 x + 15 y + 20 z − 60 = C x y z + + = B 12 x + 15 y + 20 z + 60 = D x y z + + − 60 = Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( 5; 4;3) cắt tia Ox , Oy , Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC có phương trình A x + y + z − 12 = B x + y + z = C x + y + z + = D x − y + z = Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( α ) mặt phẳng qua điểm M (1;1;1) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ Phương trình ( α ) là: A x + y + z − = B x + y − z + = C x − y − = Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P) D x − y + z − = mặt phẳng qua M (1;1;1) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y + z − = B x + y + z − =0 C x + y + z + = D x + y + z − = Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua M ( 2;1; ) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y − z − = B x + y + z − = C x + y + z − = D x + y + z − = Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua M ( 2;1; ) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ bằng: A 34 B 32 C 36 D 35 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua M (1;1; ) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Khoảng cách từ điểm N ( 0;0; ) đến mặt phẳng ( P ) bằng: A B C D Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua M ( 2; 2;1) cắt Ox , Oy , Oz A, B, C cho = OA 2= OB 2OC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x − y + z − =0 B x + y + z − = C x − y − z + = D x − z = Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −1; 2; −3) Gọi M , M , M điểm đối xứng M qua mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oxz ) , ( Oyz ) Viết phương trình mặt phẳng ( M 1M M ) A x + y + z + = B x − y + z + = C x − y + z + = D x − y − z + = Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H (1; 2; −3) Tìm phương trình mặt phẳng ( α ) cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC A ( α ) : x + y − z − 14 = B ( α ) : x + y − z + = C ( α ) : x + y − z − 18 = D ( α ) : x + y − z + = Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua M (1; 4;9 ) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ Mặt phẳng ( P ) qua điểm điểm sau đây? A M (12;0;0 ) B M ( 0;6;0 ) C M ( 0;12;0 ) D M ( 0;0;6 ) Câu 23: Mặt phẳng (a) qua điểm M ( 4; −3;12 ) chắn tia Oz đoạn dài gấp đôi đoạn chắn tia Ox , Oy có phương trình là: A x + y + z + 14 = B x + y + z + 14 = C x + y + z − 14 = D x + y + z − 14 = Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (1;0;0 ) , N ( 0; 2;0 ) , P ( 3;0; ) Điểm Q nằm mặt phẳng (Oyz ) cho QP vuông góc với mặt phẳng ( MNP ) Tọa độ điểm Q là: 11   A  0; − ;  2  B ( 0; −3; )  11  C  0; ; −   2  11  D  0; ;   2 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;3) , D (1; −1; ) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D tứ diện DABC Viết phương trình mặt phẳng ( ADH ) ? A x + y + z − = B x − y − = C x − y − z − 12 = D −7 x + y − z + 14 = Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua ( P ) : ax + by + cz − 27 = hai điểm Tính tổng S = a + b + c A ( 3; 2;1) , B ( −3;5; ) vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z + = A S = −2 B S = C S = −4 D S = −12 Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua M ( 2;1; −2 ) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = , (β ) : x − y + 3z + = A x − z − = B x − y + z − = C − x + y − z − 12 =0 Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − =0 cách M (1;0;3) khoảng ( P) D x − y + z + = song song với mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y + z − = x + y + z − = B x + y + z − = x + y + z − =0 C x + y + z − 10 = D x + y + z − =0 x + y + z − = Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;3) , D (1;1;1) E (1; 2;3) Hỏi từ điểm tạo tất mặt phẳng phân biệt qua điểm điểm đó? A mặt phẳng B 10 mặt phẳng C 12 mặt phẳng D mặt phẳng Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −3) , E (1; 2;1) ( P ) : x + y + z − = Nếu C điểm ( P ) cho ba điểm A, B, C thẳng hàng tổng hồnh độ tung độ C nhận giá trị sau đây? A B C −2 D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN   MN= (1; −2; )      ( −4;1;3) Câu 1: Ta có:   ⇒ nQ =  MN ; nP  = 2; 1;3 n = − )  P ( Mà ( Q ) qua M ⇒ ( Q ) : ( x − ) − ( y − 1) − ( z − ) ⇔ x − y − z − =0 Chọn C  Câu 2: ( P ) qua M ( 0; −8;1) nhận ud = ( 8; −3; −5 ) VTPT ⇒ ( P ) : x − ( y + ) − ( z − 1) =0 ⇔ x − y − z − 19 =0 Chọn C  Câu 3: ( P ) qua E (1; 2; −3) nhận n= ( 2; −1;5) VTPT Q ⇒ ( P ) : ( x − 1) − ( y − ) + ( z + 3) = ⇔ x − y + z + 15 = Chọn C   Câu 4: Trục Oy ⇒ uOy = ( 0;1;0 ) ( Q ) : x + y − z + = ⇒ n(Q ) = ( 2;1; −1)    Oy ⊂ ( P )  Ta có  n( P ) uOy ; n= ⇒= (Q )  P Q ⊥ ( ) ( )  (1;0; ) Phương trình mặt phẳng ( P ) x + z = Chọn C   Câu 5: Trục Oy ⇒ uOy = ( 0;1;0 ) ( Q ) : x − y + 3z − = ⇒ n(Q ) = ( 2; −1;3)    ( P ) / / Oy Ta có  ⇒ n( P ) = uOy ; n(Q )  = ( 3;0; −2 ) ( P ) ⊥ ( Q ) Phương trình mặt phẳng ( P ) x − z − = Chọn A  ( P ) ⊥ ( Q1 )  ⇒ n( P ) = ( P ) ⊥ ( Q2 )  Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, có n= ( P ) ( 2;1; −2 )  Câu 6: n(Q= 1) ( 3; −2; ) ,  n(Q= 2) ( 5; −4;3)    n(Q ) ; n(Q )  = ( 2;1; −2 )   ( x − 3) + y + − ( z + ) = ⇔ x + y − z − 10 = Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( P ) = d ( B; ( P ) ) ( −2 ) ( −1) − 10 = Chọn A 22 + 12 + ( −2 )    Câu 7: nP = nQ1 ; nQ2  =( −1;1; −2 ) ⇒ ( P ) : x − y + z + m =0 m+2 m = 2 Mà d ( A; ( P ) ) = ⇒ Chọn D = ⇒ 6  m = −4     Câu 8: AB =(1; −1; ) ⇒ nP =  AB, nQ  =( −1;1;1) ⇒ ( P ) : x − y − z + m =0 Mà (P) qua A =( 0;1; ) ⇒ − − (−4) + m =0 ⇔ m =−3 ⇒ ( P ) : x − y − z − =0 Ta có d ( O, ( P= )) 0−0−0−3 = 12 + 12 + 12 = 3 Chọn A Câu 9: Do ( P ) mặt phẳng qua A (1;0;0 ) song song với ( Q ) nên ( P ) : x + y + z − =0 Khi d ( O, ( P ) ) = + 2.0 + − 1 Chọn B = 2 2 + +1 ( ) Câu 10: Phương trình mặt phẳng ( P ) : x y z + + = với A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) a b c Do G (1; 2;3) trọng tâm ∆ABC nên a = , b = , c = x y z ⇒ ( P ) : + + =1 ⇔ x + y + z − 18 =0 Chọn D Câu 11: Do OA, OB, OC đơi vng góc với G trực tâm ∆ABC  Nên OG ⊥ ( ABC ) ⇒ OG = (1; 2;3) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt phẳng ( P ) 1( x − 1) + ( x − ) + ( z − 3) =0 ⇔ x + y + z − 14 =0 Khoảng cách từ điểm M (1;0;0 ) đến mặt phẳng ( P ) là= d ( M ; ( P )) − 14 = + 22 + 32 Câu 12: ( α ) qua điểm M ( 5;0;0 ) , N ( 0; 4;0 ) , C ( 0;0;3) x y z Phương trình đonạ chắn ⇒ ( α ) : + + = ⇔ 12 x + 15 y + 20 z − 60 = Chọn A Câu 13: A ( a;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C ( 0;0; a ) ( a > ) Phương trình đoạn chắn ⇒ x y z + + =1 ⇔ x + y + z =a a a a Mà ( α ) qua M ( 5; 4;3) ⇒ a = + + = 12 ⇒ ( α ) : x + y + z − 12 = Chọn A Câu 14: Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ( a, b, c > ) Ta = có VOABC 1 1 OA.SOBC OA = OB.OC OA OB.OC abc = = 3 6 Phương trình đoạn chắn ⇒ ( α ) : Mà ( α ) qua M (1;1;1) ⇒ = Dấu “=” xảy ⇔ x y z + + =1 a b c 1 27 + + ≥3 ⇒ abc ≥ 27 ⇒ VOABC = abc ≥ = a b c 6 abc 1 1 = = = ⇔ a =b =c =3 a b c x y z Khi ( α ) : + + = ⇔ x + y + z − = Chọn A 3 13 Chọn A 14 Câu 15: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) x y z + + = a b c Ta có OA, OB, OC đơi vng góc với nên = VO ABC Vì M (1;1;1) ∈ ( P ) ⇒ 1 1 + + = a b c Theo bất đẳng thức Cosi, có Khi VO ABC = 1 abc OB.OC = OA = a.b.c 6 1 1 + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 27 a b c abc abc 27 ≥ = Dấu = xảy a= b= c= 6 Suy ( P ) : x + y + z − = Chọn D Câu 16: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) x y z + + = a b c Ta có OA, OB, OC đơi vng góc với nên = VO ABC Vì M ( 2;1; ) ∈ ( P ) ⇒ 2 + + = a b c Theo bất đẳng thức Cosi, có Khi VO ABC = 1 abc OA = a.b.c OB.OC = 6 2 + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 108 a b c abc abc 108 ≥ = 18 6 Dấu = xảy a= b= 2c Suy ( P ) : x + y + z − = Chọn D Câu 17: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) x y z + + = a b c Ta có OA, OB, OC đơi vng góc với nên = VO ABC Mà M ( 2;1; ) ∈ ( P ) ⇒ 1 abc OA = a.b.c OB.OC = 6 + + = a b c Theo bất đẳng thức Cosi, có + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 216 a b c abc abc 216 Khi VO ABC = ≥ = 36 ⇒ {VO ABC } = 36 Chọn C 6 Câu 18: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) x y z + + = a b c Ta có OA, OB, OC đơi vng góc với nên = VO ABC Mà M (1;1; ) ∈ ( P ) ⇒ 1 abc OB.OC = OA = a.b.c 6 1 + + = a b c Theo bất đẳng thức Cosi, có 1 2 abc 54 + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 54 ⇒ VO ABC= ≥ = a b c abc 6 a= b= Dấu = xảy  ⇒ ( P ) : x + y + z − = ⇒ d ( N ; ( P ) ) = Chọn A c = Câu 19: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) x y z 2 + + = Ta có M ( 2; 2;1) ∈ ( P ) ⇒ + + = a b c a b c 2b  a = a = 2b a Mà OA = 2OB = 2OC ⇔  ⇔ ⇔ b =c = a = 2c  a = c Khi x y z + + = ⇔ = ⇔ a = ⇒ b = c = ⇒ ( P ) : + + = ⇔ x + y + z − = Chọn B a a a a 4 Câu 20: Tọa độ điểm M , M , M M ( −1; 2;3) , M ( −1; −2; −3) , M (1; 2; −3)   M ( 2;0; −6 ) Ta có M 1M = ( 0; −4; −6 ) , M 1=    Khi n( M1M M ) = M 1M ; M 1M  =( 24; −12;8 ) =4 ( 6; −3; ) hay x − y + z + = Phương trình mặt phẳng ( M 1M M ) ( x + 1) − ( y − ) + ( z − 3) = Chọn C Câu 21: Do A, B, C thuộc trục Ox , Oy , Oz Nên ta có OA ⊥ OB ⊥ OC Khi OC ⊥ ( OAB ) nên AB ⊥ OC (1) Do H trực tâm tam giác ABC ⇒ CH ⊥ AB ( ) Từ (1) ( ) ⇒ AB ⊥ ( OCH ) ⇒ AB ⊥ OH Tương tự ta có: BC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC )   ⇒ n( ABC= ) OH (1; 2; −3)  n Phương trình mặt phẳng ( α ) qua H (1; 2; −3) có VTPT là= (1; 2; −3) là: x + y − z − 14 = Chọn A Câu 22: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) điểm thuộc tia Ox , Oy , Oz với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( ABC ) theo đoạn chắn Do mặt phẳng ( P ) qua M (1; 4;9 ) nên x y z + + = a b c + + = a b c Khi OA + OB + OC = a + b + c 1 9 Mặt khác theo BĐT Bunhiacopsky ta có: ( a + b + c )  + +  ≥ (1 + + 3) = 36 a b c b2 c2 b c Dấu xảy ⇔ a = = ⇒a= = Mà x y z + + =1 ⇒ + + =1 ⇒ a =6; b =12; c =18 ⇒ ( P ) : + + =1 a b c a a a 12 18 Do ( P ) qua điểm M ( 0;12;0 ) Chọn C Câu 23: Giả sử mặt phẳng ( α ) cắt tia Ox , Oy , Oz điểm A ( m;0;0 ) , B ( 0; n;0 ) , C ( 0;0; p ) với m, n, p > phương trình mặt phẳng ( α ) Theo ta có: x y z + + = m n p 12 14 12 =1 ⇔ p =14 − + = p =2m =2n ⇒ − + =1 ⇔ p p p p m n p 2 x y z Do p = 14, m = n = ⇒ ( α ) : + + = ⇒ ( α ) : x + y + z − 14 = Chọn C 7 14  Câu 24: Gọi Q ( 0; b; c ) ⇒ QP = ( 3; −b; − c )  Lại có MN =    QP ⊥ MN ( −1; 2;0 ) ; MP = ( 2;0; ) , QP vng góc với mặt phẳng ( MNP ) ⇒    QP ⊥ MP    b = −  = 2b −3 −= QP.MN  Chọn A ⇔    ⇔ ⇔ + 16 − c = 11  QP.MP = c =  Câu 25: Phương trình mặt phẳng ( ABC ) theo đoạn chắn   Ta có: n( ABC ) = ( 3; 2; ) ; AD = ( −1; −1; ) x y z + + = hay x + y + z − = 3      n ⊥ AD Mặt phẳng ( ADH ) có vectơ pháp tuyến n    ⇒ n ⊥ n( ABC ) n ⊥ DH    Khi n = AD; n( ABC )  =−   ( 6;8;1) =− ( 6; −8; −1)  Mặt phẳng ( ADH ) qua A ( 2;0;0 ) có VTPT n ( 6; −8; −1) ⇒ ( ADH ) : x − y − z − 12 = Chọn C   Câu 26: AB = ( −6;3;1) ; n(Q ) = ( 3;1;1)   n( P ) ⊥ AB     Do ( P ) chứa AB vng góc với ( Q ) nên    ⇒ n( P ) =  AB; n(Q )  =   n( P ) ⊥ n(Q ) ( 2;9; −15) hay x + y − 15 z − = Phương trình mặt phẳng ( P ) : ( x − 3) + ( y − ) − 15 ( z − 1) = a =  Suy ( P ) : x + 27 y − 45 z − 27 =0 ⇒ b =27 ⇒ a + b + c =−12 Chọn D c = −45  Câu 27: Gọi d = ( α ) ∩ ( β ) = x + y = x Cho z = 0⇒ ⇔ ⇒ A (1;3;0 ) ∈ d −1  y = 2 x − y = y − 2z = =  y 10 Cho x = ⇔ ⇒ B ( 0;10;3) ∈ d 0⇒ − y + z =−1  z =3   Mặt phẳng cần tìm qua điểm A, B, M ta có: MA = ( −1; 2; ) ; MB = ( −2;9;5)     MA; MB  = Do n( ABM ) = − ( 8; −1;5 )   ( −8;1; −5 ) = Phương trình mặt phẳng ( ABM ) là: x − y + z − = Chọn B Câu 28: Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: x + y + z + D = Do d ( M ; ( P ) ) = 3⇔ 4+ D 12 + 12 + 12 =  D = −1 ⇔ D+4 = 3⇔   D = −7 Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là: x + y + z − =0 x + y + z − = Chọn D Câu 29: Phương trình đoạn chắn mặt phẳng qua điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;3) là: x y z hay x + y + z − = + + = 3 Do điểm D ∈ ( ABC ) , E ∉ ( ABC ) ⇒ từ điểm A, B, C, D, E Chọn điểm thuộc mặt phẳng ( ABCD ) điểm E có C42 = mặt phẳng Cộng thêm mặt phẳng ( ABCD ) suy có tổng cộng mặt phẳng tạo thành từ điểm Chọn D Câu 30: Gọi C ( a; b; c ) ∈ ( P ) ta có: 2a + b + c − = ( 2)   Mặt khác AC = ( a − 2; b − 1; c + 3) ; AB = ( −1;1; )   a − b −1 c + Do A, B, C thẳng hàng nên AC =k AB ⇔ = = (1) −1  a =   2a + b + c − =   Từ (1) ( ) ta có:  a − b − c + ⇔ b = ⇒ a + b = Chọn B = =  −1   11 c = 