ly thuyet va bai tap phuong trinh mat cau

www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam Lý thuyết tập phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:  x  a    y  b    z  c   R (1) 2 2 2 2 Dạng 2: x  y  z  2ax + 2by + 2cz + d =  a  b  c  d   (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R  a  b  c  d Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng    Tính: d  I ,   Nếu: d  I ,    R :      C    ; d  I ,    R :      C  điểm phân biệt; d  I ,    R :    ,  C  tiếp xúc nhau,    gọi tiếp tuyến mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng  P  : Ax + By + Cz + D = Tính: d  I ,  P    Aa +Bb +Cc+D A2  B2  C Nếu: 1) d  I ,  P    R :  P    C    ;  2 2) d  I ,  P    R :  P    C  đường tròn H ; r  R  d  I ;  P    với H hình chiếu I (P) Vậy đường trịn khơng gian có phương trình: 2 2   x  a    y  b    z  c   R    Ax + By + Cz + D = 3) d  I ,  P    R :  P  ,  C  tiếp xúc điểm H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C) II Các dạng toán: Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa dạng www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam Cách 2: Kiểm tra điều kiện a  b  c  d   tâm bán kính Ví dụ: Cho phương trình: x  y  z  2m x  4my +8m  = Tìm điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu Khi tìm tập hợp tâm họ mặt cầu Giải: Pt cho   x  m2    y  m   z  m  4m  phương trình mặt cầu 2  m  4m    m     m   Khi tâm I (m ; 2m;0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: xI  Vậy tập hợp tâm I parabol x  yI2 y2 nằm mp Oxy bỏ điểm: M (2; 2;0) N (2; 2 2;0) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước Đi xác định tâm bán kính mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau tìm bán kính Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Giải: Phương trình mp(ABC): x y z   1 x  y  z 3  3 Bán kính mặt cầu: R  d  I ,  ABC     Phương trình mặt cầu:  x  4   x  3   x    12 2 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam 5x  y +3z  20 = phương trình:  điểm A, B cho AB = 16  3x  y + z  = Giải: r u   2;1;   R d A H B (d) qua M(11; 0; -25) có véc tơ phương Gọi H hình chiếu I (d) Có: uuu r r  MI , u    IH  d  I , AB    15  Bán kính mặt cầu: r u  AB  R  IH     17 Vậy phương trình mặt cầu:    x  2   y  3   z  1  289 2 x 1 y  z    2 Bài 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: hai mặt phẳng  P1  : x + 2y + 2z  = 0;  P2  : 2x + y + 2z 1= Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm (d) tiếp xúc với mặt phẳng Giải: I   d   I  2t  1; t  2; 2t  3 Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  d  I ,  P1    d  I ,  P2   t  8t   9t   8t   9t     18 t  t    t   17  t =  I1  1; 2;3 ; R1   Pt m / c  S1  :  x  1   y     z    2 www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam 2 18 19   16   15   19 16 15   t    I   ; ; ; R2   Pt m / c  S  : x    y    z   17 17 17   17   17  289  17 17 17   Chú ý: Nếu  P1  P P2  : 1) d song song không cách  P1   P2  nằm  P1   P2  : Không có mặt cầu thoả mãn 2) d song song cách  P1   P2  : Có vơ số mặt cầu thoả mãn 3) d khơng song song, không nằm  P1   P2  : Có mặt cầu thoả mãn Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) D(1; -1; 2) Giải:  IA2  IB  2 Cách 1: Gọi I(x; y; z)   IB  IC  I  1;1;1 , R  IA   IC  ID  Cách 2: 2 2 2 Gọi phương trình mặt cầu là: x  y  z  2ax + 2by + 2cz + d =  a  b  c  d   Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên: 2a  2b  d   6a  2b  4c  d  14     a  b  1; c  2; d  2a  2b  4c  d    2a  2b  4c  d   Kết luận: Phương trình mặt cầu là:  x  1   y  1   z    2 Chú ý: Bài tốn (ĐH KD-2004): Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Cách giải toán tương tự cách toán Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A uu r Cách giải: mp(P) qua A nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Bài toán 2: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết r véc tơ pháp tuyến (P) là: n   A; B; C  Cách giải:  P  : Ax + By + Cz + D = Có: d  I ,  P    R  Aa +Bb +Cc+D A2  B2  C  R  tìm D suy phương trình mp(P) Chú ý: Trong tốn cho biết véc tơ pháp tuyến dạng: - Biết  P  song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vng góc với đường thẳng cho trước Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước Cách giải: - Xét đường thẳng (d) dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua (d); - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mp(P) Bài tốn 4: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) qua điểm C và: 1) Song song với đường thẳng (d) cho trước 2) Vng góc với mặt phẳng (Q) cho trước Cách giải: 1) Gọi:  Q    d ; C  ; a   P    Q   a qua A song song với d nên có pt xác định Bài tốn trở thành viết phương trình mp(P) qua a tiếp xúc với mặt cầu (S) 2) Tương tự với: d qua A vng góc với mp(Q) Dạng 4: Đường trịn khơng gian Bài tốn 1: Xác định tâm, tính bán kính đường trịn giao mặt phẳng với mặt cầu cho www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam trước: Cách giải: Sử dụng tính chất phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường trịn Bài tốn 2: Tìm tâm bán kính đường trịn giao mặt cầu (S), (S') có tâm I, I'; bán kính R, R' Cách giải: - Đưa pt đường tròn giao mặt cầu pt đường tròn giao mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q) - Tâm đường tròn O  II '  Q  ; bán kính r  R  d  I ;  P   Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn sau kẻ từ A cho trước: 2   x  a    y  b    z  c   R    Ax + By + Cz + D =  1 Cách giải: Gọi B tiếp điểm Để ý B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1) Lại có: tiếp tuyến AB đường tròn đồng thời tiếp tuyến mặt cầu tâm O nên: uuu r uuu r uuu r uuu r  AB  OB  AB OB    từ (1) (2) suy toạ độ B  tiếp tuyến AB Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số toán đại số Bài 1:  x  y  z 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó:  (1) 2 x  y  z  m Giải: Nghiệm hệ phương trình (nếu có) tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): x  y  z 1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = mặt phẳng    :2 x  y  z  m  Do hệ (1) có nghiệm (S) () tiếp xúc www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam  d  O, ( )   m m  1   22  (1)  22 m   TH1:m = nghiệm hệ hình chiếu vng góc H O (1): 2x – y + 2z – =  x  2t  đường thẳng  qua O vng góc với (1) có phương trình  y   t  t  R   z  2t  giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (1)  t = H 2 2  ; ;  3 3 TH2: m = -3 Gọi H’ hình chiếu vng góc O (2): 2x – y + 2z + =   2  H’   ; ;   (tương tự TH1) 3    2 Vậy m = hệ có mghiệm  x  ; y   ; z   m = - hệ có 3    2 mghiệm  x   ; y  ; z    3   x  y  z   1  2 Bài 2: Giải hệ phương trình:  x  y  z     3  x  y  z   3 Giải: Mặt cầu (S): x  y  z  , tâm O bán kính R = tiếp xúc với d  O,( )   3 12  12  12 mp(): x + y + z – =  3R  x  y  z   1 Do hệ phương trình  có nghiệm nhất, dễ thấy nghiệm x = 2  x  y  z    y = z = nghiệm thỏa (3) Vậy hệ cho có nghiệm x = y = z = Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x  y  z 1 Tìm GTLN GTNN của: www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam F  2x  y  z  Giải: Xét mặt cầu (S): x  y  z 1 , tâm O, bán kính R = mặt phẳng (): x  y  z  =  x  2t  Đường thẳng  qua O vng góc với () có phương trình  y  2t  t  R  giá trị tham số t z   t  tương ứng với giao điểm  (S) t =  2  1   1   (S) cắt điểm: A  ; ;   B   ;  ;  3 3 3 d  A, ( )   4   9 3    1 2  ; d  B, ( )   Lấy M(x; y; z)  (S), d  M , ( )   Ln có  4    9 3    1 2 4 2x  y  z   F 22  22   1 d  A, ( )   d  M , ( )   d  B, ( )    Vậy Fmin = đạt x = y =  F    F  12 ;z=  3 Fmax = đạt x = y =  ; z = Bài tập vận dụng: 2x  y  z  1= Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):  mặt cầu (S) có  x  y  z  4= phương trình: x  y  z  4x  6y + m = Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN = Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + = I(1; 2; -2): www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mp (P) đường trịn có chu vi 8 b) CMR; mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C)  x   y     z  1   S   Bài 3: Cho điểm M(0; 2; 0) đường tròn (C):    x+ y+z =2 a) CMR: M nằm ngồi (C) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp tiếp điểm Bài 4: Cho mặt cầu (S):  x  2   y  3   z  3  mp(P): x - 2y + 2z + = 2 a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn Lập phương trình đường trịn (C) giao tuyến tìm tâm, tính bán kính đường trịn b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) tâm nằm mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0 Bài 5: Cho mặt cầu:  S1  :  x     y  3   z  3   S  :  x  3 2   y     z  1  20 2 a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường trịn giao tuyến m/c b) Tìm tâm bán kính đường trịn Bài 6: Cho mặt cầu (S):  x  1   y     z  3  mp(P): x - 4y - 3z + = 2 Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) vng góc với mp(P)  x2  y  z  2x  y  6z   Bài 7: Giải hệ phương trình: 3 x  y  z   3 x  y  z 12   ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN: Bài 1:  S  : I  2;3;0  , R  13  m  m  13 r 65 d : A  0;1; 1 ; vtcp a   2;1;  , d  I , d   3, IM  IH  d  I , d   m   www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam Bài 2: 2 a) Bán kính đường trịn r = 4, d  I ,  P     R    x  1   y     z    25 b) d  I ,       R  đpcm c) 2x - 11y + 10z - 35 = Bài 3: 2   x   y     z  1   S  a) Gọi tiếp điểm H(x; y; z) Vì H thuộc (C) nên:  (1)   x+y+z =2 uuu r uuuu r uuu r uuuu r Lại có:  IH  MH  IH MH   x  y  z      16  Từ (1) (2) có: H1  2;0;0  ; H   ; ;   pttt  7 7 b) Gọi T tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1) Lại có: MT  R  MI  2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2 có pt: x   y    z  (2) Từ (1) (2) tập hợp T giao m/c (S), (S') nên mp có phương trình 2   x   y  2  z    2 y  z  Bài 4:  7 11  a) Đường tròn tâm H  ; ; ; r  3 3  b) Tâm J m/c nằm đường thẳng IH  J  IH   Q   J  3; 5; 1 l  d  J ,  P     bán kính m/c: R '2  r  l  20 Bài 5: 2    x     y  3   z  3  a) R2  R1  I1 I  R2  R1  ĐPCM Pt:    x  y  2z       7 11  b) Tâm O  I1 I      H  ; ; ; r  3 3  www.Dethiviet.com – Thư viện tài liệu học tập lớn Việt Nam 4 x  y   Bài 6: Lập pt đường thẳng d qua A vng góc với (P):  3 x  z  Bài toán trở thành lập pt mp qua d, tiếp xúc với (S) Bài 7: Nghiệm hệ tọa độ điểm chung của: 3x  y  z   3x  y  z  12  Mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z  đường thẳng :  r  qua M(0; 4; 0) có VTCP u = (-2; 6; 3)  x   2t    có phương trình tham số:  y   6t  t  R   z  3t  Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (S)  nghiệm phương trình: t   2t     6t    3t    2t     6t   6.3t   t   10  49 2  20 136 30  ;    (S) có hai điểm chung A  0; 4;0  A  ; 49   49 49  20 136 30  ;  Vậy hệ (3) có hai nghiệm  0; 4;0   ; 49   49 49