PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP -Dạng chuẩn tổng quát: y’ + p(x)*y = q(x) (1) p(x) q(x) hàm số cho trước -Nếu chưa dạng chuẩn phải đưa dạng chuẩn -Ta có cơng thức nghiệm tổng qt sau: VD: Giải phương trình vi phân sau & x2y’ + 2xy = sinx (1) Đây PTVPTT C1 dạng chuẩn hóa Bước 1: Đưa phương trình chuẩn hóa, đk x≠0 có p(x) = 2/x q(x) = sinx/x2 Bước 2: Tính y1 =? (1) Ta có y1 = e-ʃp(x)dx = e-ʃ2/x*dx = e-2lnx = -(1/x2) Bước 3: Tính Đặt u = x dv = d(cosx) => du = dx v = cosx => Thay vào công thức nghiệm tổng quát Chú ý: ʃudv = u*v - ʃvdu PHƯƠNG TRÌNH BERNOUNI Dạng chuẩn: y’ + p(x)y = yαq(x) Ta biến đổi dạng Ta đặt Z = yβ => Z’ = Trong đó: α≠1, α≠0, α=cont yαy’ + p(x)yβ = q(x) y’y β => y’ = Z’/yβ Thay vào pt cho ta có Z’ + P(x)Z = Q(x) làm tương tự Z1 = e-ʃP(x)dx Tìm Z vào Z = yβ nghiệm pt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG Dạng chuẩn hóa: Y” + PY’ + QY = F(X) gọi phương trình (1) Trong P, Q số cho trước, F(X) hàm số cho trước Phương pháp giải: Bước 1: Giải phương trình tương ứng: Y” + PY’ + QY = gọi phương trình (2) Giải phương trình đặc trưng k2 + Pk + q = gọi phương trình (3) tính hệ số - Nếu Δ > => nghiệm Ӯ = C1*ek1x + C2*ek2x Nếu Δ = => nghiệm Ӯ = (C1 + C2*x)*ekx Nếu Δ < => nghiệm Ӯ = eαx( C1cosβx + C2sinβx) Bước 2: Tìm nghiệm riêng Yr Nếu F(x) = eλxPn(x) ta so sánh λ với k1 k2 - Nếu λ = k1 or k2 Yr = x eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu λ = k1, k2 (nghiệm kép) Yr = x2 eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu λ ≠ k1 & k2 Yr = eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu F(x) = eλx (Pn(x) cosμx + Qm(x) sinμx) ta so sánh với - - Nếu ≠ Yr = eλx( Rl(x)cosμx + Sl(x)sinμx) Rl(x) Sl(x) hàm số có bậc cao Pn(x) Qm(x) – bậc ax+b, bậc ax2 + bx + c từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Rl(x) & Sl(x) Nếu λ=α μ=β Yr = x eλx( Rl(x)cosμx + Sl(x)sinμx) từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Rl(x) & Sl(x) Nếu F(x) khơng dạng thì: Yr = C1(x) y1 + C2(x) y2 Cần tìm C1(x) C2(x) cách giải hệ pt: C1’(x) y1 + C2’(x) y2 = C1’(x) y1’ + C2’(x) y2’ = F(x) từ hệ ta tính C1’(x) C2’(x) tính dc C1(x) C2(x) Kết luận: Nghiệm phương trình Yr = Yr1 + Yr2 F(x) = F1(x)+F2(X) Y = Ӯ + Yr CHUỖI HÀM SỐ Cho chuỗi hàm số có dạng Tiêu chuẩn Đa-lăm-be -Xét =======> Nếu tồn giới hạn D(x) -Giải bất phương trình │D(x)│ < nghiệm x thu khoảng nghiệm chuỗi hàm -Khảo sát hội tụ chuỗi hàm điểm nút, ta áp dụng số chuỗi so sánh: +α Phân kỳ với hội tụ với α > + Chuỗi chuỗi điều hịa phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân + Chuỗi chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân + Chuỗi n chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit có Un = 1/n với Và với n ta có dãy đơn điệu giảm Tiêu chuẩn COSI Nếu chuỗi đưa dạng ========= D(x) Nếu tồn giới hạn Tương tự ta giải bất phương trình D(x) < ta tìm khoảng nghiệm Khảo sát hội tụ đầu nút ĐỔI THỨ TỰ TÍCH PHÂN VD: đổi thứ tự tích phân I= Giải: D1 y = 2x D2 Cần đổi qua thứ tự tính x trước y sau Với miền D giới hạn đường sau: x = -3 ; x = 1; y = 2x ; y = 3-x -3 y = 3-x2 Chọn điểm đặc biệt x=-3 => y = -6 X=1 => y = ; x = => y = 3; x=-1 => y = Nhận xét: Miền D = D1 U D2 Xét D1: y: từ y=3-x2 ta có y = -6 đến y = Nhận xét nhánh hướng x vào x < nên hướng x Xét miền D2: đường vào đường y = đến y = Vậy ta có cơng thức biến đổi sau: Id = Id1 + Id2 = TÍNH DIỆN TÍCH (câu 2a) Ví dụ: Tính diện tích miền giới hạn đường y = ; x = x+y+1 = Lời giải: Miền D miền giới hạn đường thẳng y = ; x = y = -x – Ta vẽ trục tọa độ đường trên: Với: x= -1 => y = y x= => y = x= -3/4 => y = D Do y = > nên lấy phần y > Nhận xét: ta miền D có: x: x = -1 đến x = -1 Y: Đường y = -x -1 Đường y = x -1 Y=-x-1 Sd = CÂU 3a TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI PA1: với x: Xa đến Xb, y =f(x) PA2: với y: Ya đến Yb, x =g(y) VD: Tính I = C đoạn thẳng từ điểm A(0;1) đến B (1;4) B Lời giải: - Viết phương trình đoạn thẳng qua điểm A(0;1) B (1;4) PT đoạn thẳng AB có dạng y = ax+b vào điểm => a = b = Vậy phương trình đoạn thẳng AB y = 3x+1 => dy = 3dx Y=3x+ 1 A A(0;1) B (1;4) nên x: chạy từ x=0 đến x=1 Vậy: = =11/2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giải hệ Z’x = Z’y = tìm điểm x, y VD: Z = + 3x2 + 6xy – 12y + 2y3 A = Z”x ; B = Z” xy ; C = Z”y Giải: B2 – AC > khơng phải cực trị Giải hệ phương trình Z’x = Z’y = B2 – AC < điểm phải cực trị Z’x = 6x + 6y = Z’y = 6x – 12 + 6y2 = Với A>0 cực tiêu ta tìm điểm M1 (-2;2) M2( 1;-1) Với A cực đại Tính Z”x = = A ; Z”xy = = B Z”y = 12y = C F(m) – F(m0) < cực tiểu Xét biểu thức B2 – AC = 36 – 72y Tại M1(-2;2) thay vào biểu thức B2 – AC = 36 – 72y = 36 – 72*2 < điểm cực trị hàm số A = >0 nên điểm cực tiểu, thay vào tính Z = 1+3*(-2)2+6*(-2)*2-12*2+2*23= -19 Tại M2(1;-1) thay vào biểu thức B2 – AC = 36 – 72y = 36 – 72*-1 > điểm cực trị TÍCH PHÂN KÉP Chú ý: đặt x = rcosφ ; y = rsinφ ; │J│ = r Miền D đường tròn or phần đường trịn Ta có cơng thức: Cần dựa vào hình để xác định cận tọa độ cực: φ: từ φ1 đến φ2 r: r1(φ) đến r2(φ) VD: Tính I = với D miền giới hạn x2 + y2 4x y>0 Giải: D giới hạn đường x2 + y2 4x (x-2)2 + y2 = 22 => đường tròn tâm I(2;0) R=2 Do y>0 nên ta lấy phần dương hình trịn Do miền D có dạng hình tròn nên ta đổi qua tọa độc cực, đặt: x=rcosφ φ y=rsinφ cosφ= r/4 │J│ = r =>R = 4cosφ Cận cơng thức tích phân sau: φ: φ = đến φ = Π/2 r: r1(φ)=0 đến r2(φ) = cosφ từ pt x2 + y2 4x thay x=rcosφ y=rsinφ ta r2cos2φ + r2sin2φ = 4cosφ =>r=4cosφ Thay vào cơng thức ta có: I= Chú ý: inn xdx = osn xdx Nếu hàm đối xứng qua ox mà hàm lẻ với y S=0, lúc đót a tính S miền D1 S=2S1 Pt: x2+y2 ax r a.cosφ = n số lẻ = n số chẵn D2 D1 D1 Nếu hàm đối xứng qua 0y hàmle ẻ ới x S=0, nên ta tính miền D1 S=2S1 D2 = Π2/2*r2 Pt: x2+y2 by r b.sinφ ... M1(-2;2) thay vào biểu thức B2 – AC = 36 – 72y = 36 – 72*2 < điểm cực trị hàm số A = >0 nên điểm cực tiểu, thay vào tính Z = 1+3*(-2)2+6*(-2)*2-12*2+2*23= -19 Tại M2(1;-1) thay vào biểu thức... Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu F(x) = eλx (Pn(x) cosμx + Qm(x) sinμx) ta so sánh với - - Nếu ≠ Yr = eλx( Rl(x)cosμx + Sl(x)sinμx) Rl(x) Sl(x) hàm số có bậc cao Pn(x)... bx + c từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Rl(x) & Sl(x) Nếu λ=α μ=β Yr = x eλx( Rl(x)cosμx + Sl(x)sinμx) từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số