ÔN TOÁN CAO CẤP

Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Mục Lục HÀM SỐ _ GIỚI HẠN ĐẠO HÀM-VI PHÂN ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH KINH TẾ (1 BIẾN) HÀM NHIỀU BIẾN 12 ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ (NHIỀU BIẾN) 15 TÍCH PHÂN 19 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ HÀM SỐ _ GIỚI HẠN   x 2  x   1 2      x ln  cos3 x   x ln  cos3x    x  cos3x  1  9    L1  lim  lim  lim  lim  lim      3 x 0 arctan sin x x 0 x  x  x  sin x x arctan  sin x   2    ln 1  u  ~ u (1)  ; u  0; arctan u ~ u   L2  lim x 0  u2  cos u ~     ;u  sin u ~ u  1 sin x  x sin x  x sin x  x   sin x  x sin x  x  L  cos x   L   lim  lim  lim   lim   lim  x 0 x 0 x ln  cos x  x 0 x ln 1   cos x  1  x 0 x  cos x  1 x 0  x  x3 3x x     sin x  2 lim  x 0 6x L3  lim  arctan x  1 : ln 1  u  ~ u; u  u2   : 1  cos u  ~ ; u  2 x  x2 x Đặt y arctan x x  x2    ln y  x  x ln  arctan x   1  lim ln y  lim x  x ln  arctan x   lim x ln  arctan x   lim x 0 x 0  lim x 0 lim ln y L3  e x0 x 0 x 0 2 2 x 2 x 2 x  lim  lim  0;  2  x arctan x x 0  x x x 0  x     ln  arctan x   lim x 0 x 2 1  x arctan x    x2  1 :  x  x  ~ x; x    :arctan x ~ x; x 0  e0       tan x  cos x  x  L  tan  tan x  sin x  x  tan x  sin x   x  L   lim  lim  x 0 x 0 x 0 x5 5x 20 x tan x  tan x   tan x  cos x  tan x  tan x  sin x  3x  L   lim  lim  x 0 x 0 10 x 30 x 24 tan x  tan x  16 tan x  tan x  sin x tan x  tan x  cos x   L   lim  lim  x 0 x 0 30 x 60 x 16 tan x sin x  16 1  tan x  lim  tan x  tan x   tan x   0    x 0 15 x 60 x 60 x  60 60  L4  lim             1  tan 5x   1 1  tan x  x * tan x  x tan x  x  L  tan x L5  lim    lim  lim  lim  lim  lim  x 0 x x x 0 x 0 x 0 15 x tan 5x  x 0 5x tan 5x x 0 5x 5x 25x 75x   tan 5x   lim    ; x 0  5x  * :tan u ~ u, u  Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà  L6  lim x  3x x   x  ln x  lim ln y lim x :Đặt y x  3x x  L6  lim y  e4 ln3 x  x x  ln y    lim  x  L L7  lim   x ln : Đặt y x ln 3 x x x2 x 0 lim ln y  lim x 0 ln  3x  x ln 3 x2 x 0 L7  lim y  e ln x 0 ln   lim   L x   ln y  x2  x x  3x x  x  81 x  ln x  3x x ln x  3x ln   lim L 4.3x ln 3  L  4.3x ln  lim  ln x   3x ln x  3x ln 3 ln  3x  x ln 3 x2 ln 1   3x  x ln  1  * 3x  x ln   L  3x ln  ln  L  3x ln ln  lim  lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x2 2x 2 * : ln 1  u  ~ u, u  ; : Đặt y e  sin x   ln y  x ln  e  sin x     5e  cos x  10  14e lim ln y  lim  lim  lim  L8  lim e x  5 x  sin x x x  ln e5 x  sin x x 5 x 5 x x  _Hoàng Bá Mạnh _ 5 x L x  x e 5 x  sin x x  5x cos x  e sin x 5x Ta thÊy: lim e5 x  0; sin x  1; cos x   lim e5 x sin x  lim e5 x cos x   lim ln y  x  x  L8  lim y  e x  x  10   10 1 10 x   6x  L9  lim   cos3x   x  tan3 x 6x : Đặt y    cos3 x    tan3 x  6x   ln y  tan x ln   cos3 x      6x  6x ln 1    cos3x    *  cos3x   L   3sin x  x     lim ln y  lim tan 3x ln   cos3 x   lim   lim   lim   1     cot 3x cot x  x x x x  3  cot x   x  6 1 L9  lim y  e x   ; * ln 1  u  ~ u, u  Bài Tìm k để hàm số liên tục 1) f    k lim f  x   lim 1  sin x  x 0 1 cos3 x x 0 : ln f  x   ln 1  sin x   cos3x ln 1  sin x  * 2.sin x  sin x  lim ln f  x   lim  lim  lim   lim f x  e    x  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0  cos3x    3x  *  : ln 1  u  ~ u; u  4 f  x  liên tục x   lim f  x   f    e  k  k  e x 0 Vậy k  e Mọi thắc mắc quý vị vui lòng liên hệ Hoàng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312   Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà        0; lim f  x   lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  2 Do lim f  x   lim f  x   nên lim f  x   Lại có f    k 2) lim f  x   lim  x   arctan x 2  x  2 _Hoàng Bá Mạnh _ arctan    x 2 x 2 x 2 f  x  liên tục x   lim f  x   f     k  k  x 2 Bài Xét tính liên tục hàm số 1) Xét x  , f  x  hàm sơ cấp nên f  x  liên tục x  (1) Xét x  , ta có: f     lim   x   cos  (theo quy tắc kẹp) x  x 2 x 2 Do lim f  x   f    nên f  x  liên tục x  (2) lim f  x   lim   x  cos x 2 x 2 x 2 Từ (1) (2) ta thấy f  x  liên tục 2) Xét x  , y hàm sơ cấp nên y liên tục x  (1) Tại x  , ta có: y    e2  tan x  ln    tan x   tan x  x  x  lim y  lim  : ln y  ln   x 0 x 0 x  x  x2  x    tan x    tan x  tan x ln 1      *  ln  1   tan x  tan x  x  L  x   x    x lim ln y  lim  lim  lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x2 x2 x3 3x   tan x   lim    ; x 0  x   lim y  e * :ln 1  u  ~ u, u  x 0 Do lim y  e  y    e2  y không liên tục x  (2) x 0 Từ (1) (2) ta thấy y liên tục x  DAO HÀM-VI PHÂ N Bài 1 x x x 1) y  x  x  x   arcsin x   3  x2  x2  x2 x  x  x  x  3x 3x  3x   arcsin x   arcsin x  x  x  arcsin x 2 1 x 1 x 2 x 1 x  x2 1 y   x     1 x2 2 1 x 1 x 1 x x x 2) y  ln x  x  16    ln x  x  16  y  2 x  16 x  16 x  16       Bài Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312  Spring 2017 1) y  Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ ln x  ln x  x  x  x ln x 3  ln x ; y  ; y   x x x4 x3 2) y   x  3 3 x    x  3  x   2 4y y  x  3x  y  x    y  x   y   y y y y y y   4  8 3 2 2 x  3x   x  3  3x    x  3  x   y   x  3 x     x  3  x      x  3 y  y   3x   y  3y  y  x  3   x  3 y  y 3x    3x   y  y  2 4  x  3  3x    x  3 3x   4 y y y y y y   16 6  32  18  2 3 x  3x  2 x  3 x  2 x  3 x          Bài 1) y   tan x   e x2 x ln  tan x    2x2 x2 x ln tan x  y   x ln  tan x   e    2 x ln  tan x   tan x     cos2 x tan x    4x2  x2  2 x ln  tan x     tan x  sin x   3cos x  cos x  2) y  ecos x lnarctan3 x   y  cos x ln  arctan 3x  ecos x lnarctan3x     sin x ln  arctan 3x   arctan 3x    9x   Bài y  1 1 1 cos  ln x   sin  ln x   y   cos  ln x   sin  ln x   sin  ln x   cos  ln x    cos  ln x  x x x x x x x   1  Ta có: x y  xy  y  x  cos  ln x   x  cos  ln x   sin  ln x   sin  ln x   cos  ln x    dpcm  x  x  x  Bài MXĐ: D  Xét x0  , ta có: f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0  2017 lim x  x0   x  x ln 2017 2017 x0 2017 x  x0  2017 x  2017 x0 e  1 x0  lim  lim  2017 lim  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0  x  x0  ln 2017 x  x0 e u  ~ u   2017 x0 lim ln 2017  2017 x0 ln 2017 x  x0 Vậy f   x    2017 x   2017 x ln 2017 Bài Khi x  , f  x     x  arc cot  x 5 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _        f   x      x   arc cot    x   arc cot    xarc cot  5  x   x 5 x 5 x 5     x  5 1  2  x  5  5  x      xarc cot  x     x  2 Khi x  , xét: f  x   f  5 lim x 5 x 5 x 5 x 5  lim  lim 5  x  arccot arccot x 5 x 5  lim x 5 x 5 x 5 f  x   f  5 Do lim 5  x  x 5 f  x   f  5 lim f  x   f  5 x 5 x 5  x   lim x  5.arc cot   0.  x 5 x 5  x   lim x  5.arc cot   0.0  x 5 x 5 nên tồn f   5  lim f  x   f  5 x 5 x 5 0   5  x  87    x arc cot  ; x   Vậy, f   x    x     x  52  ; x    Bài 1) Xét lim f  x   lim x 2 x 2  x  2 sin 1  , lại có f  2    lim  x    sin x  x2 x2  lim f  x   f  2    f  x  liên tục x  2 x 2 Xét lim f  x   f  2  x 2 x   2   lim  x  2 x 2 Thật vật, chọn dãy điểm x1k  2  lim x1 k 2 lim x2 k 2  x1k   sin sin x2 0 x2  lim x 2  x  2 sin , giới hạn không tồn tại! x2 1 x2 k  2  tiến tới 2 k   , ta có:  k 2  k 2  lim 4k 2 sin  k 2   lim  k  x1k  k        sin  lim   k 2  sin   k 2   lim   k 2    k  k  x2 k  2  2  2   x2 k   Do lim sin  lim x1k  x2 k 2 sin   lim x 2 x2 k  sin 5  x1k    x2 k    x  2 Dễ thấy f  x  hàm sơ cấp xác định , nên f  x  liên tục f  x   f 2 x  2.sin   x   sin   x  Ta có lim  lim  lim  x  1.0  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2  x  x1 k 2 2) 2 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312   f   2  x2 Spring 2017 Vậy, f     lim Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà f  x   f 2 _Hoàng Bá Mạnh _ 0 x 2  x  3 tan  x   ; x  3   3) f  x    ; x  3  2  x  3 tan  x   ; x  3    Xét liên tục f  x  x  3 , ta có: x 2 f  3     lim f  x   lim    x  3 tan x    tan 18    x 3 x 3   lim f  x   lim f  x    lim f  x    f  3  x 3 2 x 3 x 3  lim f  x   lim  x  3 tan x    tan 18  x 3  x 3 Nên f  x  liên tục x  3   Xét khả vi f  x  x  3 , ta có: lim f  x   f  3 x   3 x 3 lim f  x   f  3 x   3 x 3 Do lim  lim  lim x   3  x 3 x 3  x  3 tan  x    x 3 f  x   f  3 x 3    x  3 tan x   x 3   tan 18  lim x 3    lim   tan x     tan 18 x 3    lim tan x   tan 18 x 3 f  x   f  3 x   3  tan 18   lim f  x   f  3 x 3 x   3 nên  f   3 Bài 1  1  1) f  x    x   ln  x   3  3  1 1 1  f    ln  ln 31   ln 3; f   x   ln  x     f      ln    ln 3 3 3  54 4 f   x     f     3; f   x     f     9; f   x   f      54 3x   3x  1  3x  1 x 3  f  x    ln  1  ln 3 x  x  x  x  o x 2 2 x 3x  2) f  x   e   f    2; e2 x f x  2 f  x    f     2 f    f     3x  2 3x  f  x  f  x  f   x   2 f   x     f     2 f     f     f    2 2 3x  2  3x   f   x   2e 2 x 3x   f   x   2 f   x   f x f   x  f   x  f  x     27 2 3x  2  3x    3x    3x    f     2 f     27 13 f     f     f 0  4 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _   13 x  x2  x  o x3 12 3) Trước hết ta khai triển Mac Laurin hàm số f  x   sin x với phần dư Peano:  f x   g x 2x   2x  3! 2x    x   o x n1    1    2n  1! n 1 n 1 5! Nhân vế với x , cộng tiếp với 2, ta khai triển cần viết là: x5 x7 x n 1 n 1 y  x g  x     x  23  25    1 22 n 1  o x n 1 3! 5! n  !     4) Trước hết ta khai triển Mac Laurin hàm số g  x   arcsin x đến cấp 2, phần dư Peano: g    0; g  x   1  x2  g    1; g  x    x 1  x   x2  g       g  x   x  o x3   Nhân vế khai triển với x , ta khai triển cần viết là: f  x   x  o x Bài 1) MXĐ: D  f  x  2 x   x    5x  4   5x 55  x  10 x   x     5x  5   5x    x   30 x  50 x  5   5x    x   x   2  x   25  865 25  865  =>điểm tới hạn: 5; ; ; ; f   x    5  x    x  5 30 30 30 x  50 x     25  865  x   30 Bảng biến thiên: 2 25  865 25  865   x  5 5 30 30    0    y yC§1 yC§2 y yCT Kết luận: (tự làm) 2) MXĐ: D   1;1 1 1 1 x   f   x   x arcsin x   x    1 x2  x   2  1 x2 4 1 x2 1 x   1 x2  x2   4  x  arcsin x     x  arcsin x     6    1 x   Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà x  x    f x    arcsin x   x    Bảng biến thiên: x 1 y 0   yC§ y _Hồng Bá Mạnh _  yCT Kết luận: (tự làm) Bài 10 1) D  f   x   3x  x    x  1    x  => f  x  có hàm ngược f 1  x  => f  x  đơn điệu tăng   Đặt a  f 1 1  f  a    a3  3a2  4a    a3  3a2  4a     a  1 a2  2a     a    a  2a    a  Vậy f 1 1    a 1 2) MXĐ: D   0;     x   f  x  đơn điệu tăng => f  x  có hàm ngược f 1  x  x f 1  x   f 1   1   f     lim x 2 x 2 1 Đặt a  f    f  a    2a2  ln a   a   f 1    f  x   4x  Đặt t  f 1  x   x  f  t   2t  ln t  x   f 1  x   f 1    t   f 1     lim   t 1  L t 1 1  lim  2t  ln t  t 1 4t  t Bài 11 1) 8,1   0,1 Xét y  x , ta có: dy  ydx  33 x2 dx; y  y  x0  x   y  x0   dy  x0   y  x0  dx Với x0  8; x  0,1  y 8  0,1  y 8  y 8 0,1  8,1   2) df  x   f   x  dx  x dx  df    f    dx  3 0,1  1 121  8,1    60 60 60 dx x  0,01  dx  0,01  df    0,01  0,0025  f    df    0,0025 UNG DUNG PHÂ N TICH KINH TẾ (1 BIẾN) Bài Hàm tổng doanh thu: TR  PQ   40  0,03Q  Q  40Q  0,03Q Mọi thắc mắc quý vị vui lòng liên hệ Hoàng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Hàm lợi nhuận:   TR  TC  0,03Q2  30Q  120 Điều kiện cần:    0,06Q  30   Q  500 Điều kiện đủ    0,06   Q      500   Vậy Q  500 mức sản lượng cần tìm Bài a) Hàm tổng chi phí TC  Q ATC  12  0,5Q2  0,25Q3  10Q Hàm chi phí cận biên MC  TC  0,75Q2  Q  10 b) Hàm tổng doanh thu TR  PQ  106Q Hàm lợi nhuận   TR  TC  0,25Q3  0,5Q2  96Q  12 Q  12  Điều kiện cần:    0,75Q2  Q  96     Q  12 Q   32   Điều kiện đủ:    1,5Q     12   17  nên Q  12 cực đại hàm lợi nhuận Vậy Q  12 mức sản lượng cần tìm Bài a Hàm tổng doanh thu: TR  Q AR  240Q  0,5Q2 , hàm doanh thu cận biên MR  TR  240  Q b Hàm lợi nhuận:   TR  TC , hàm lợi nhuận cận biên: M     TR  TC  MR  MC   240  Q   12  4Q  0,75Q2   0,75Q2  3Q  228 Bài Hệ số co dãn cầu theo giá   Tại p      dQd p p 8 2p  8  p   dp Qd 8p  p 8 p , mức giá này, giá tăng 3% lượng cầu giảm xấp xỉ 2% Bài Hàm tổng doanh thu TR  pQ  4.100 L  400 L Hàm tổng chi phí: TC  C0  20 L Hàm lợi nhuận   TR  TC  400 L  C0  20 L Điều kiện cần:    200 L  20   L  10  L  100 Điều kiện đủ     100 L L   L     100   Vậy L  100 mức sử dụng lao động cần tìm Bài a) Hàm chi phí biến đổi: VC  Q AVC  Q3  12Q2  14Q Hàm tổng chi phí TC  VC  FC  VC  Q3  12Q2  14Q b) Hệ số co dãn chi phí theo sản lượng   dTC Q Q 3Q2  24Q  14   3Q2  24Q  14   dQ TC Q  12Q2  14Q Q2  12Q  14 3.102  24.10  14 37  Tại Q  10 ta có:   (Đề bị lỗi nên hệ số âm) 10  12.10  14 10 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Bài  p 1  113  p  p    113  p  p  p  2 p  p  112     Thị trường cân  Qd  Qs   p   p  113  p  113  p      p  113   p       p  7    1  p  113 Q* a Thặng dư tiêu dùng: CS   p   p*  64  Q*  7 7 686  D1  Q  dQ  p*Q*   113  Q2 dQ  7.64   113Q  Q3   448  0   Q* Thặng dư sản xuất: PS  p Q   S * * 1 Q  dQ  7.64   1  Q  1  Q  dQ  448  b Hệ số co dãn cầu theo giá là:     832 dQq p 1 p p   dp Qd 113  p 113  p 226  p 32 64 32 (%)  cho biết p*  64 , giá tăng 1% lượng cầu giảm xấp xỉ 49 226  2.64 49 p dQ p p   Hệ số co dãn cung theo giá :   s dp Qs p p  p  Tại p*  64    Tại p*  64    4  cho biết p*  64 giá tăng 1% lượng cung tăng xấp xỉ  %  2.8  7 Bài P  180  0,5Qd2  Qd  360  p ; P  30  2Qs2  Qs  0,5 p  15 1) Thị trường cân  Qd  Qs  360  p  0,5 p  15  360  p  0,5 p  15  p  150  Q  15 dQd p 1 p p   dp Qd 360  p 360  p 360  p 150    2,5 cho biết p*  150 , giá tăng 1% lượng cầu giảm xấp xỉ 2,5% Tại p*  150    360  2.150 dQ p 0,5 p p   Hệ số co dãn cung theo giá là:   s dp Qs 0,5 p  15 0,5 p  15 p  60 150   0,625 cho biết đây, giá tăng 1% lượng cung tăng xấp xỉ 0,625% Tại p*  150    2.150  60 2) Hệ số co dãn cầu theo giá   15 3) Thặng dư tiêu dùng CS   180  0,5Q  dQ  150.2 15  40 15 15 Thặng dư sản xuất: PS  150.2 15    30  2Q  dQ  160 15 Bài 1) Thị trường cân  Qd  Qs  0,7 p  150  0,3M  0,5 p  120  p  0,25M  225 11 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Vậy giá cân p*  225  0,25M lượng cân Q*  7,5  0,175M dp*  0,25  nên giá cân tăng theo thu nhập (đồng biến theo thu nhập) dM dQ*  0,175  nên lượng cân tăng theo thu nhập dM dp* M M M 2) Hê số co dãn giá cân theo thu nhập    0,25  * dM p 225  0,25M 900  M 3M0 M0 Tại M  M0 ta có   , cho biết lúc thu nhập tăng 3% giá cân tăng xấp xỉ  % 900  M0 900  M0 HÀM NHIỀU BIẾN Bài a) fxy  x; y    fx  x; y y Xét x  y2  : f  x; y   fx  x; y  x y  xy   x   3 x  x y  xy3 x  y2  y  x  y  x y  xy   x    y2  x    24 x y  y  x  y   x 8x y  xy   x  y  2 2 x y  28 x y  y x  y2  2x y  7x y fxy  x; y   2x 4  y5  x  y2   2  21x y  5y  21x y  5y 4 y 2 2 2 2 2 2x 4 y     x  y    x y  x y  y   x  y    x  y   y  x  y 8x y  28x y  y   x  y   x  y   y 8x y  28x y  y   x  25x y x  y  x 2 4 Xét x  y  f  x;0   f  0;0  00 lim  lim  lim   fx  0;0   x 0 x 0 x 0 x 0 x y 4  f   0; y   fx  0;0  y lim x  lim  lim  4   4  fxy  0;0   4 y 0 y 0 y 0 y 0 y  x  25x y  152 x y  5y6 ; x  y2  4 Vậy, fxy  x; y    x  y2  ; x  y0    12 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312  152 x y  5y  y2  3 Spring 2017 b) Xét lim Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà g  0; y   g  0;0  y 0 y 0 Xét lim g  x;0   g  0;0  x 0 x 0 _Hoàng Bá Mạnh _  4 y arc cot  lim  lim   nên không tồn gy  0;0  y 0 y 0 y y    x arccot1  lim  lim 43   nên không tồn gx  0;0  x 0 x 0 x x Bài    a) Ta có w  x;2; z   3zx  x cos 6 x  wz  x;2; z   3x cos  6 x   wzx  x;2; z   x cos  6 x   54 x sin  6 x   wzx  1;2;0   9cos6  54sin 3 x yx  u  x y f  v; w  b) Đặt v  ; w  tan y x wx  x y  f  v; w   x y  f  v; w   x  yx y 1 f  v; w   x y vx fv  v; w   wx fw  v; w      x 1  y  yx  yx y 1 f  v; w   x y  fv  v; w     tan fw  v; w     x  x  y  xy yx   yx y 1 f  v; w   fv  v; w   x y 2 y   tan fw  v; w  y x    wx  2;2   f 1;0   fv 1;0   fw 1;  Bài 3 a) Đặt F  x; y   x  y  xy  3y  f  x   Fx 12 x  y  Fy 3y  x  Theo ta có: y 1  nên f  1   12.1  y 1 3y 1      13 12  y 3y2  x    y.y  112 x  y   12 x  y   f x    f  1   6  13  1 13    2 y  x    3y  x   b) Đặt F  x; y   y  ln y  x  Fx 4 x x3 x3y y       1  y2 Fy 2y  y y y  x6 y  x y3  3x y  y       3x y  x y  y  1  y y.2 x y y 1 y  x y3  x y  x y  x y3   y    2 2  y  y     1  y2  c) x  y2  2e arc cot y x  ln x  y2  arc cot   y y  ln  ln x  y2  arc cot  ln x x 13 Mọi thắc mắc quý vị vui lòng liên hệ Hoàng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ y x x2  x y y2 x  y2   2 y F x  y2 y  x x2   x  y Đặt F  x; y   ln x  y  arc cot  ln ta có: y   x    y x x Fy yx  2 2 y x y x y  x 2 y x y 1 x    Bài a) dw  wx dx  wy dy  wzdz cos z 1 cos z 1  x  z   x  z  x cos2 z  x  z  wx  cos z        3 y3  y x  y   y  cos z 1 cos2 z 1  2 x  3z cos2 x  x  z   2x  z   2x  z  wy  cos z       3 y4  y  y   y  2x  z Đặt u  ; v  cos2 z  w  f  u; v   uv y3 2   wz   f  u; v  z  uz fu  vz fv  cos2 z  x  x    v.uv 1  sin x.uv ln u     y y  y3  x cos2 z  x  z  Vậy dw    y3  y  cos2 z 1  cos2 z  x  x cos     y  y3   b) du  ux dx  uy dy 6 x dx  z 1  cos2 z 1  3z cos2 x  x  z    y4  y   2x2  z   sin x    y  cos2 z  2x2  z   sin x    y  cos2 z 1 dy   x  z  ln    dz  y    y2  x  y    xy   xy  x   y2  ux      2 2  xy    x  y   2x  y   2x  y   1  1      xy    xy  uy   x  y      xy  y  2x2  1  xy    2x2  2x  y  1  xy    x  y  1     xy   y2 1 2x2 Vậy du   dx  dy 2 2 1  xy    x  y  1  xy    x  y  c) du  ux dx  uy dy  2x  y  1     xy  2 2 14 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 cos2 z  2x2  z  ln    y  Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà  xy ux  f  sin  y  xy _Hoàng Bá Mạnh _ x  x  y  xy  xy  xy 2x xy  xy f   sin cos f   sin   cos   f  sin   yxyx xy  xy y  x  y   x  y xy  xy x  x  y  x  x  y  xy  xy f sin f   sin     cos  y xy yxyy xy  xy  uy    x  xy 2x2 xy  xy f sin  cos f   sin    2 y x  y  y  x  y xy  xy  Vậy 1  xy 2x xy  x  y   du   f  sin cos f sin     dx  x  y   x  y 2 xy  x  y   y    x  xy 2x2 xy  x  y     f  sin  cos f sin     dy x  y  y  x  y 2 xy  x  y   y   Bài d z  zx2 dx  zy2 dy  2zxy dxdy 3 Đặt F  x; y; z   x  ln y  z  3xy  z 1  3x  3x Fy Fx 3x  3y 3x  3y y y zx      ; zy      Fz 3z  3z  Fz 3z  3z  2 x  3z  1   x  y  z.zx zx   3z  zy2   1 1  3z  1  z.zy   3x   y y   3z  1  x  3z  1  z  x  y   3z  1 3x  3y 2 2 x z   z x  y     3z   3z2  1  3x 1  3z  y   z  3x   y 3z   y    3z  1   3z  1  z 1  xy   y  3z  1  3x y 2 2 3  3z  1  z.zy  x  y  3  3z  1  z 3z   x  y  y  3z  1  z 1  xy   3x  3y  zxy  zyx    2 2 z  z  y  3z  1     Vậy : d z    3z  1 x 3z   z 3x  3y  dx 3z     z 1  3xy    y 3z  dy     3y 3z   z 1  3xy  3x  3y UNG DUNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ (NHIỀU BIẾN) Bài a) Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối đa sản lượng điều kiện K  3L  960 15 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312   y 3z   dxdy Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Hàm Lagrange: l  K 0,7 L0,9    960  K  3L   L0,9 K 0,7    0,1  0,3 lK  2,8K L  2   K  210 K 5L     Điều kiện cần lL  3,6 K 0,7 L0,1  3   6 K  L   L  180 l  960  K  3L  2 K  3L  960   1,2.2100,7.1800,1        0,3 0,9  M  210;180  với   0 Điều kiện đủ: g1  2; g2  3; L11  lK2  0,84 K 1,3 L0,9  ; L22  lL2  0,36 K 0,7 L1,1    2,52 K 0,3 L00,1  L12  L21  lKL 2 L11 L21 L12  L12  L21  L11  L22  nên M cực đại Q  K 0,7 L0,9 L22 Vậy  K; L    210;180  mức sử dụng tư lao động cần tìm Qmax m m   m Qmax Qmax 960   1,6 Với m  960   1,2.2100,7.1800,1 ; Qmax  4.2100,7.1800,9    1,2.2100,7.1800,1 0,7 0,9 4.210 180 Lúc này, thu nhập cho tiêu dùng tăng 1% sản lượng cực đại tăng xấp xỉ 1,6% 0,7 0,9 c) Với t  ta có: Q  tK; tL    tK   tL   t1,6 4.K 0,7 L0,9  t1,6 Q  K ; L   t.Q  K ; L  Vậy, doanh nghiệp có hiệu sản xuất tăng theo quy mơ Q L L  3,6 K 0,7 L0,1  0,9 d) Hệ số co dãn riêng sản lượng theo lao động là:   0,7 0,9 L Q 4.K L Ý nghĩa: tăng sử dụng thêm 1% lao động, đồng thời giữ nguyên K, sản lượng đầu tăng xấp xỉ 0,9% Q K K  2,8K 0,3 L0,9  0,7 Hệ số co dãn riêng sản lượng theo tư là:   K Q 4.K 0,7 L0,9 Ý nghĩa: tăng sử dụng thêm 1% tư bản, đồng thời giữ nguyên K, sản lượng đầu tăng xấp xỉ 0,7% b) Hệ số co dãn sản lượng cực đại  Qmax  theo ngân sách sản xuất  m  là:   Câu a) Cần xác định  x; y  để người tiêu dùng tối đa hóa U điều kiện 15x  10 y  20000 Hàm Lagrange: L  15x 0,3 y0,7    20000  15x  10 y   3y0,7 21x 0,3      x  400  Lx  4,5x 0,7 y0,7  15  10 x 0,7 20 y0,3   M  400;1400      Điều kiện cần:  Ly  10,5x 0,3 y 0,3  10   7 x  y   y  1400 0,7   15x  10 y  20000  0,7 víi  =0,3  3,5   0,3  3,5  L  20000  15x  10 y    Điều kiện đủ: g1  15; g2  10; L11  3,15x 1,7 y0,7  0; L22  3,15x 0,3 y1,3  0; L12  L21  3,15x 0,7 y0,3  0 15 15 L11 10 L21 10 L12  150 L12  150 L21  100 L11  225L22  nên M cực đại U L22 Vậy,  x; y    400;1400 cấu tiêu dùng cần tìm 16 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Umax m m  m Umax Umax 20000 0,7 b) Hệ số co dãn lợi ích cực đại ( Umax ) theo thu nhập cho tiêu dùng  m  là:   Tại m  20000 , ta có   0,3  3,5 ;Umax  15  400  0,7 0,3 1400 0,7    0,3  3,5 15  400  Vậy, m  20000 thu nhập cho tiêu dùng tăng 1% lợi ích cực đại tăng xấp xỉ 1% 0,3 1400 0,7 1 0,3 0,7 U U  y y c) MUx   10,5x 0,3 y 0,3  10,5    4,5x 0,7 y0,7  4,5   ; MUy  y x x x Tại trạng thái tiêu dùng tối ưu ta có: 0,7 MUx  4,5  3,5 : cho biết, lúc tiêu dùng thêm đơn vị hàng hóa thứ (tăng x lên đơn vị), đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ (giữ ngun y), lợi ích cực đại tăng xấp xỉ 4,5  3,5 đơn vị lợi ích 0,7 MUy  10,3  3,5 0,3 : cho biết tiêu dùng thêm đơn vị hàng hóa thứ (tăng y thêm đơn vị), đồng thời giữ nguyên mức tiêu dùng hàng hóa thứ (giữ ngun x), lợi ích cực đại tăng xấp xỉ 10,3  3,5 ích 0,3 đơn vị lợi Câu a) Với t  ta có: Q  tK; tL   50  tK   tL   t 0,8 50K 0,5 L0,3  t 0,8Q  K ; L   tQ  K ; L  Vậy, doanh nghiệp có hiệu sản xuất giảm theo quy mơ b) Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí sản xuất C  5K  L điều kiện 50K 0,5 L0,3  450 0,5 0,3  Hàm Lagrange: l  5K  L   450  50K 0,5 L0,3   K 2L   0,3  lK   25 K 0,5 L0,3  5L 5K 0,5    Điều kiện cần: lL   15 K 0,5 L0,7    K  L   0,5 0,3 0,5 0,3 l  450  50 K L  K L   0,5 0,7   K   K0   M  K0 ; L0     L   L0 víi  =0  0,5 0,3   0,2 K0 L0  0       Điều kiện đủ: g1  25K 0,5 L0,3  0; g2  15K 0,5 L0,7  0; L11  12,5 K 1,5 L0,3 ; L22  10,5 K 0,5 L1,7 ; L12  L21  7,5 0,5 L0,7 Tại M ta có: L11 ; L22  0; L12  L21  nên: g1 g2 g1 L11 g2 L12  g1g2 L12  g2 g1 L21  g22 L11  g12 L22  L21 L22 Nên M cực tiểu chi phí sản xuất C Vậy  K; L    K0 ; L0  kết hợp đầu vào cần tìm   c) MPPK  25K 0,5 L0,3  MPPK  K0 ; L0   25.20,3 0,25 Ý nghĩa: mức sử dụng đầu vào  K0 ; L0  , tăng sử dụng thêm đơn vị tự bản, đồng thời giữ nguyên lượng lao   9  động, sản lượng đầu tăng xấp xỉ 25.20,3 MPPL  15K 0,5 L0,7  MPPL  K0 ; L0   15.20,7 0,25 đơn vị sản lượng 0,25 Ý nghĩa: mức sử dụng đầu vào  K0 ; L0  , tăng sử dụng thêm đơn vị lao động, đồng thời giữ nguyên lượng  tư bản, sản lượng đầu tăng xấp xỉ 15.20,7  0,25 đơn vị sản lượng Câu 17 Mọi thắc mắc quý vị vui lòng liên hệ Hoàng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ a) Cần tìm  x; y  để người tiêu dùng tối thiểu chi phí tiêu dùng C  x  y điều kiện  x   y  216 Hàm Lagrange: L  x  y   216   x   y      y  x   Lx    y   x  14      Điều kiện cần:  Ly     x      y   x     y  12  M 14;12  víi  = 0,5      x   y  216    0,5  L  216   x   y     Điều kiện đủ: g1  y; g2  x  4; L11  0; L22  0; L12  L21   y y x   x4   2  x   y  M 14;12  với   0,5 ; nên M cực tiểu C Vậy  x; y   14;12  kết hợp hàng hóa tiêu dùng cần tìm Cmin  U0 Tại U0  216 ta có   0,5 cho biết: lúc này, muốn nhận thêm đơn vị lợi ích ( U0 tăng đơn vị) lượng chi phí (cực tiểu) phải tăng thêm xấp xỉ 0,5 ($) c) MUx  y  MUx 14;12   12 =>ý nghĩa: Tại mức tiêu dùng  x; y   14;12  sử dụng thêm đơn vị hàng hóa thứ nhất, đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ 2, lợi ích tăng thêm xấp xỉ 12 đơn vị lợi ích MUy  x   MUy 14;12   18 =>ý nghĩa: mức tiêu dùng  x; y   14;12  sử dụng thêm đơn vị hàng hóa thứ 2, đồng thời giữ nguyên mức tiêu thụ hàng hóa thứ nhất, lợi ích tăng thêm xấp xỉ 18 đơn vị lợi ích b) Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, với Cmin chi phí tiêu dùng cực tiểu, ta có: Câu Q Q  VC   MCdQ    3,5  0,05Q  dQ  3,5Q  0,025Q2 0   3,5Q  0,025Q Q TC  VC  FC  3,5Q  0,025Q2  FC  FC  3,5  Q1  Q2   0,025  Q1  Q2  TR  p1Q1  p2Q2   24  0,15Q1  Q1  18  0,075Q2  Q2  24Q1  18Q2  0,15Q12  0,075Q22 Hàm lợi nhuận:   TR  TC  20,5Q1  14,5Q2  0,15Q12  0,075Q22  0,025  Q1  Q2   Q  20,5  0,3Q1  0,05  Q1  Q2   0,35Q1  0,05Q2  20,5 Q1  50   a) Điều kiện cần:  => M  50;60  0,05 Q  0,2 Q  14,5 Q  60    14,5  0,15 Q  0,05 Q  Q      2  Q2 Điều kiện đủ: a11   Q2  0,35; a22   Q2  0,2; a12  a21   Q1Q2  0,05 D1  a11  0,35  0; D2  0,35 0,05  0,0675  =>M cực đại  , 0,05 0,2 =>  Q1 ; Q2    50;60  mức sản lượng cần tìm Thay  Q1 ; Q2    50;60  vào đường cầu tương ứng ta mức giá cần tìm  p1 ; p2   16,5; 13,5 b) Hệ số co dãn Q2 theo p2 là:   0,075.13,5 dQ2 p2 0,075 p2  0,016875  Tại p2  13,5    60 dp2 Q2 18  0,075 p2 18 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Như vậy, p2  13,5 ; giá thị trường thứ tăng lên 3% lượng cầu thị trường giảm xấp xỉ 3.0,016875 %  0,050625 % TICH PHÂ N I1   I2     dx  1  x x 1   dx   ln  arctan ln      2  10 0 x 2 x 3  x 2 x 3 x  3    xdx 3x      1   30 1  d  x2   dx dx 1 3     x2   ln x  x   C   3 3 3 3x  x2  x2  3 2dt 2d 1  t  x 2dt 2t 2dt 2  t2 I3 :Đặt t tan dx ; sin x   I    C   C 2 2    2t x 1 t 1 t  t  2t 1 t 1 t  1  tan  t2 I4  lim  x 3e2 x dx t  t du  x dx 0 u  x 3 2x 2x 2t 2 x  I  t    x e dx : Đặt x e dx   t e   x e dx 2x  I t   x e 2x t t 2t dv  e dx v  e t  du  xdx 0 u1  x  2t  2 x 2t 2t 2x Đặt  I t   t e  x e  xe dx   t e  t e  xe2 x dx      2x   2x 2 t v  e t t   dv1  e dx  du2  dx 2t 2t  x x x u2 x Đặt    I t   t e  t e  e  e dx       2x 2x 22 t t dv2  e dx v2  e   2x t 3   t 3e2 t  t e2 t  te2 t  e2 x  4   3 1 1   t 3e2 t  t e2 t  te2 t  e2 t   2t  3t  6t  e t  4 4 1 1 2t  3t  6t   L  1 I4  lim I  t   lim  2t  3t  6t  e t      lim 2t  3t  6t  e t    lim  t  t  4 t  4 t  4e 2 t   L 6t  6t   L  12t   L  12 1    lim    lim    lim   0    t  t  t t  8e t  16e t  21e 4    19 Mọi thắc mắc quý vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312  Spring 2017 2 I5  dx  x  Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà  x2 2 dx   ln x   x 2  _Hoàng Bá Mạnh _  x2 dx  ln  I51 x 2   x  3sin t  x2  dx  3cos tdt dx : Đặt   x2 t    ;    x  3cos t    I I  I5  3cos t.3cos tdt 3cos t  x2 x   dt   dt   cot t  t  C    t  C    arcsin  C   2  9sin t 3sin t x  sin t    x2 x2 2 ln    arcsin   ln   arcsin  2  arcsin  x  3  t I6  lim  e 2 x sin xdx t  t I  t    e 2 x sin 3xdx   t t t t 2 x 1 2 x 2 t 2 x sin xd e   e sin x  e cos3 xdx   e sin t  cos3xd e 2 x     20 20 40     t  t 3 3   e 2 t sin 3t   e 2 x cos3x  3 e 2 x sin 3xdx    e 2 t sin 3t  e 2 t cos3t   I  t  4 0 4  13 sin 3t  3cos3t sin 3t  3cos3t I t     I t    2t 4 4e 13 13e2 t sin 3t  3cos3t  sin 3t  3cos3t  I6  lim I  t   lim     lim  2t t  t  13 t  13e 13e2 t   13 sin 3t 3cos3t 3 Ta thÊy: lim t  0; sin 3t  1; cos3t   lim  lim   Theo quy t¾c kĐp   I6       t t t  e t  13e t  13e 13 13  I7  lim  t  t dx  x 1  x  I t    t d 1  x  dx  x 1  x   t  x 2  x   t 2d  1 6x  1  x    arctan 1 6x t    arctan  6t      I7  lim I  t   lim   arctan  6t    arctan  1  t  t   I8  lim t 1 dx x x8  t   d  dx dx 1 42 1   1  x I t            arcsin  arcsin     arcsin  t x t t 4  t 24 1 t x x 1 t x5  1 x x   1    1 I8  lim I  t   lim  arcsin        t 1 t 1  t 24    24 12 I9   dx x2  4x   dx  x  2   d  x  2  x  2   ln x    x  2 9 C 20 Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 ...  16       Bài Mọi thắc mắc q vị vui lịng liên hệ Hồng Bá Mạnh_FB: 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312  Spring 2017 1) y  Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh... viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà x  x    f x    arcsin x   x    Bảng biến thiên: x 1 y 0   yC§ y _Hồng Bá Mạnh _  yCT Kết luận: (tự làm) Bài 10 1) D  f   x ... 0986.960.312 _ SĐT: 0986.960.312 Spring 2017 Hội sinh viên NEU phát cuồng TCC 1, Đáp án tập nhà _Hoàng Bá Mạnh _ Bài  p 1  113  p  p    113  p  p  p  2 p  p  112     Thị