ôn tập TOÁN CAO cấp

Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất?. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có vô số nghiệmb. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho vô nghiệm.. Cho hệ phương trình tuyến t

TÀI LIÊ ̣U ÔN TẬP

MỤC LỤC TÓM TẮT

Contents

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH_INPUT-OUTPUT 4

MA TRẬN ĐI ̣NH THỨC 4

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 6

INPUT_OUTPUT 7

BÀI TẬP TỔNG HỢP: 7

CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ 10

QUY TẮC L’ HOSPITAL 10

MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ 10

BÀI TẬP TỔNG HỢP 12

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN 13

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP 13

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 13

CỰC TRỊ RÀNG BUỘC 15

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN 17

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TI ́NH CẤP 1 17

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 18

BÀI TẬP VẬN DỤNG 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

LỜI NÓI ĐẦU

Xin chào mọi người, mình là Nguyễn Phước Hưng IBC13-K43 đại diện nhóm thực hiện khóa học này Lời đầu tiên mình xin gửi lời cám ơn đến tất cả các bạn đã ủng hộ khóa Tổng ôn toán cao cấp Trong tập tài liê ̣u này, mình đã tóm tắt toàn bộ kiến thức cũng như các bài tập tình huống vận dụng Minh hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích được cho bạn, từ đó có thể giúp ba ̣n ôn

tập đa ̣t kết quả cao

Trong quá trình biên soạn, do kiến thức còn hạn hẹp và thời gian thực hiện không được nhiều nên tài liệu không tránh khỏi nhiều sai sót hạn chế nhỏ về giọng nói, cách quay, độ phân giải khi up lên, … Mặc dù đã cố gắng thiết kế tính toán một cách chi tiết mạch lạc, các thông số đôi khi còn mang tính lý thuyết chưa thực tế Mình mong có sự góp ý và sửa chữa để “quyển sách

tự chế” này có tính khả thi và hiệu quả hơn, sẽ giúp được nhiều hơn cho các khóa sau UEH

Mọi ý kiến đóng góp, các bạn vui lòng gửi về: phuochung26010401@gmail.com

😊 😊 😊 😊 😊

CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5

2 Cho hệ phương trình tuyến tính sau A={

𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚2𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = 𝑚 + 1

𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 1

a Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất?

b Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có vô số nghiệm?

c Với giá trị nào của m thì hệ đã cho vô nghiệm?

3 Cho hệ phương trình tuyến tính:

Phát biểu nào sau đây là sai?

4 Cho hệ phương trình {

𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚

𝑚𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −1

a Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a12 ; a13 ; a01 trong ma trận A

b Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính giá trị của sản lượng nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho nó

c Hệ số a03 bằng bao nhiêu? Từ đó hãy tính ngành mở phải đóng góp bao nhiêu cho ngành 3 khi giá trị sản lượng ngành 3 là 1000

d Tìm mức sản lượng của 3 ngành nếu ngành mở D=(

7010030)

Chú ý: Trong trườ ng hơ ̣p dưới đây, khi đề bài chưa cho ta mô hình input-output, ta phải tự thiết lập mô hình I-O, vì đây là dữ kiê ̣n thực tế, trong khi đó các hê ̣ số 𝑎𝑖𝑗 là những hê ̣ số bé hơn 1

Ví dụ: Cho ma trận đầu vào-đầu ra

6, ta tính tương tự với các hê ̣ số khác

Hãy tìm tổng giá trị chi phí mà ngành mở cung cấp cho các ngành

BÀI TẬP TỔNG HỢP:

1 Cho A là ma trận vuông cấp 6 với det(A)=3 và B=2A.Tính det(B)

2 Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det(A)=2 Tính det(3AT)

3 Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, giả sử C= (7

9𝐴)(10

7 𝐵𝑇) 𝐾ℎ𝑖 đó A.C-1=10

9A-1(B-1)T B.C-1=10

9(B-1)TA-1 C.C-1=9

10A-1(B-1)T D.C-1=9

10A-1(B-1)T

4 Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch với định thức của ma trận phụ hợp -216.Khi đó

5 Cho A là ma trận vuông cấp 5 khả nghịch với det(A)=5 Khi đó định thức của ma trận phụ hợp là:

13 Tìm m để định thức sau có giá trị bằng 0: A=(

15.Trong mô hình mở input-output gồm hai ngành kinh tế, biết ma trận hệ số đầu vào là :

18.Cho A=(aij)n*n là ma trận có aij=0 với ∀i>j và thỏa mãn AT+2A=In.Phát biểu nào sau đây sai

3 𝑛

CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ

1 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) lim

𝑥→0+(1

𝑥→0(𝑒𝑥+ 𝑥)

1 𝑥

a) Tỉ số sự thay đổi của giá bán so với sản lượng :

Cho biết p=100-q2 là hàm cầu về sản phẩm của một nhà sản xuất (q là mức sản lượng) Tìm tỉ

số sự thay đổi của p theo q Giá bán sẽ thay đổi như thế nào khi q=5 ?

b) Tỉ số sự thay đổi lượng người ghi danh :

Một nhà xã hội học đang nghiên cứu các chương trình được đề nghĩ để hỗ trợ giáo dục cho các

em mầm non trong một thành phố Họ tin rằng cứ sau x năm kể từ lúc chương trình bắt đầu thực hiện thì sẽ có f(x) ngàn trẻ em mẫu giáo ghi danh, trong đó :

f(x)=24x-2x2 ( 0≤ 𝑥 ≤ 12)

Hãy tính tỉ số của sự thay đổi của lượng ghi danh sau ba năm kể từ khi chương trình bắt đầu

c) Hàm chi phí của một nhà sản xuất c=f(q) :

Tỉ số sự thay đổi của c đối với q gọi là chi phí biên

Ví dụ : cho hàm c=0.1q2+3 Tính chi phí biên khi mức sản lượng là 50 và cho biết ý nghĩa kinh

tế của giá trị tính được

Chi phí trung bình: 𝒄̅=𝒄

𝒒

Ví dụ: Cho hàm chi phí trung bình của một xí nghiệp là 𝑐̅=0.008q2-q+60+3500

𝑞 với q là mức sản lượng Tính chi phí biên tại mức sản lượng q=30

d) Doanh thu biên r=f(q)

Tỉ số sự thay đổi của doanh thu đối với mức sản lượng gọi là doanh thu biên

Ví dụ: Cho hàm r=2q2.Tính doanh thu biên khi mức sản lượng là 10 và cho biết ý nghĩa kinh tế của giá trị tính được

Ví dụ: Hàm cầu của một xí nghiệp sản xuất độc quyền có dạng

MPC=𝒅𝑪𝒅𝑰

b Hàm tiết kiệm: MPS=1-MPC

1 Cho hàm tiêu dùng C=9√𝐼+0.8√𝐼3−0.3𝐼

√𝐼 với I là tổng thu nhập quốc gia Tại I=25, giá trị của

xu hương tiết kiệm biên là:

−1 ln(1+3𝑥 7 ) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0

𝑎

𝑏(𝑝ℎâ𝑛 𝑠ố 𝑡ố𝑖 𝑔𝑖ả𝑛) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0 Để 𝑓 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥 = 0 𝑡ℎì:

6 Cho hàm số y=30-4x-x2 Tính A=x.𝑑(𝑙𝑛𝑦)

A.−10

3 B.−70

7 Cho hàm f thỏa mãn f(6)=1 ; f’(6)=-2 và hàm g(x) thỏa mãn g(x)=𝑑[𝑥

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN

Cho hàm z = 𝑥3𝑦- 2𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑦3 Tính 𝑧′𝑥,𝑧′𝑦 và các đạo hàm riêng cấp 2 của z

Ví du ̣: Cho hàm u=3x2z2-4xy3z2.Tính 𝑢′′′xyz(1,2,3)

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP

Vi ́ du ̣: Cho hàm z= cos (x+2y) , x=2𝑡2 + 𝑡 + 1, y= 𝑡32

Tính 𝑑𝑧

𝑑𝑡

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

− Điều kiện cần của cực trị: Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại (a,b) và f

có các đạo hàm riêng tại (a,b) thì 𝑓𝑥′(𝑎, 𝑏)=0 và 𝑓𝑦′(𝑎, 𝑏)=0

− Điểm (a,b) được gọi là điểm dừng cả hàm z=f(x,y)

− Điều kiện đủ của cực trị cho hàm z=f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (x,y) gần điểm dừng (a,b) Xét ma trận Hesse

H(a,b)= ( 𝑓𝑥𝑥

′′(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑥𝑦′′(𝑎, 𝑏)

𝑓𝑦𝑥′′(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦𝑦′′(𝑎, 𝑏) )

Và đặt 𝑯𝟏 = 𝒇𝒙𝒙′′ (𝒂, 𝒃) và 𝑯𝟐=|𝐇(𝐚, 𝐛)| Khi đó, ta có:

− Nếu 𝐻1 < 0 và 𝐻2 > 0 thì đạt cực đại tại (a,b)

− Nếu 𝐻1 > 0 và 𝐻2 > 0 thì đạt cực tiểu tại (a,b)

− Nếu 𝐻2 <0 thì f không đạt cực trị tại (a,b) (ta nói a,b là điểm yên ngựa của f)

− Nếu 𝐻2 =0 thì ta chưa thể kết luận được gì về cực trị tại (a,b) mà cần phải xét thêm

Ví dụ: Ti ̀m cực tri ̣ của các hàm số sau

2 Cho hàm z=x2-2x+y2 Hãy chọn khẳng định đúng

A z đạt cực đại tại M (1;0) B z đạt cực tiểu tại M(1; 0)

C z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị

3 Cho hàm z=x2-2xy+1.Hãy chọn khẳng định đúng

A z đạt cực đại tại O (0;0) B z không có cực trị

C z đạt cực tiểu tại O (0;0) D Các khẳng định trên sai

4 Cho hàm f(x, y)=x+y+27

𝑥𝑦

A Hàm f đạt cực đại tại M (-3,-3) B Hàm f đạt cực tiểu tại M (-3,-3)

C Hàm f đạt cực tiểu tại M (3,3) D Hàm f đạt cực tiểu tại M (3,3)

5 Xét hàm f(x,y) =x𝑦2(1 − 𝑥 − 𝑦) và điểm M(0,1) Chọn kết luận đúng A.Hàm f đạt cực tiểu tại M B Hàm f đạt cực đại tại M

C M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của f

D M không phải là điểm dừng của hàm f

6 Cho biết M(1,1) và N(0,2) là hai trong số các điểm dừng của hàm số f(x,y)=3x2y+y3-3x2.Phát biểu nào sau đây là sai

A.f đạt cực đại tại M, cực tiểu tại N B.f đạt cực tiểu tại M, cực đại tại N

C.f không đạt cực trị tại M, đạt cực đại tại N D.f không đạt cực trị tại M, đạt cực tiểu tại N

A z đạt cực đại tại M(-3,10) và N(1,2)

B z đạt cực tiểu tại M(-3,10) và N(1,2)

C z đạt cực đại tại M(-3,10) và cực tiểu tại N(1,2)

D.Các khẳng định trên đều sai

2 Tìm cực trị của hàm z=x2+y2 với điều kiện x2-3x+y2-4y=0

3 Tìm cực trị của hàm f(x,y)=2x+3y thỏa điều kiện 3x2+2y2=210

4 Tìm cực trị của hàm z=exy với điều kiện x2+y2=8 (với x,y>0)

Chu ́ ý: Vi phân cấp 1 và cấp 2

− dz = 𝑓𝑥′dx 𝑓𝑦′dy

− 𝑑2𝑧 = 𝑓𝑥𝑥′′𝑑𝑥2 + 𝑓𝑥𝑦′′𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦′′d𝑦2

Vi ́ du ̣:

1.Cho hàm z = 4𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3 − 3𝑥𝑦 Tính dz và 𝑑2𝑧

2.Vi phân cấp hai của hàm hai biến z=x2y3 là

A.d2z=2y3dx2+12xy2dxdy+6x2dy2

B.d2z=2y3dx2-12xy2dxdy+6x2ydy2

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình vi phân là một phương trình có dạng:

Bước 2: Nhân cả 2 vế của (1) cho 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙

Bước 3: “Gom tất cả vào đạo hàm”

Bước 4: “Phá dấu phẩy”

Ví dụ:

a y’ - 𝑦

𝑥 = 𝑥2

b y’+2xy=x𝑒−𝑥2

c y’ – y.sin x = sin x cos x

d Giả sử y = f(x) là nghiệm của PTVP y’ + 𝑦

𝑥 = 0 thỏa điều kiện f(𝜋) = 1 Khi đó f(-𝜋

2) có giá trị là?

e Giả sử y = f(x) là nghiệm của PTVP y’ - 𝑥𝑦

3+𝑥2 = 0 𝑡ℎỏ𝑎 f(1)=2.Khi đó giá trị của f(2) có giá trị là

A √3 B √5 C.2 D.Đáp án khác

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2

Dạng tổng quát y’’+ay’+by=f(x) (1)

Phương pháp giải:

Bước 1:Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Y(x)

Xét phương trình thuần nhất y’’+ay’+by=0 (2)

TH 1: có hai nghiệm thực k1≠k2:nghiệm tổng quát của (2) là

Y(x)=C1𝒆𝒌𝟏 𝒙 + C2𝒆𝒌𝟐 𝒙 (với C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ)

TH 2: có nghiệm kép k0: nghiệm tổng quát của (2) là

Y(x)= 𝒆𝒌𝟎 𝒙(C1+C2x)

TH 3: có hai nghiệm phức k=𝜶 ± 𝒊𝜷 nghiệm tổng quát của (2) là

Y(x)= 𝒆𝜶𝒙[𝑪𝟏𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒙) + 𝑪𝟐𝐬𝐢𝐧(𝜷𝒙)]

Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình (1) tùy thuộc vào vế phải f(x)

có một trong các dạng đặc biệt sau đây:

TH 1: f(x) = 𝑒𝛼𝑥 𝑃𝑛(𝑥) với α là hằng số và 𝑃𝑛(𝑥) là đa thức bậc n của x

a Nếu α không phải là nghiệm của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng

BÀI TẬP VẬN DỤNG

1 y” - 4y’ + 3y=0

2 y” +6y’ +9y=0

3 y” – 3y’ + 2y= 1+x

b Tìm nghiệm riêng của (1) thỏa y(0) = 1, y’(0) = -2

8 y” – 2y’ = 2 co𝑠2x

9 y” – 5y’ = 2𝑒𝑥-1

10 y’’-4y’+5y=e-x

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.Xét phương trình vi phân y’’-4y’+4y=𝑒2𝑥(3𝑥 + 1) Phương trình này có một nghiệm riêng có dạng

A.u(x)=e2x(ax3+bx2) B.u(x)=e2x(ax2+bx)

C.u(x)=e2x(ax2+bx+c) D.Cả ba câu trên đều sai

2.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phâN y’+2𝑦

𝑥=0

3.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’cos2x+y=0

A.y=Cxe-cosx B.y=Cx+esinx C.y=Cetanx D.y=Ce-tanx4.Gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’-y=1 là Y(x) Chọn kết luận đúng

5 Gỉa sử y=y(x) là nghiệm của phương trình vi phân y’-y=ex+1 thỏa y(0)=

-1 Khẳng định nào sau đây là sai

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’+y’-6y=x2𝑒−2𝑥 có dạng: A.y=(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥 B.y=x.(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Gia ́ o trình toán cao cấp dành cho kinh tế và quản tri ̣

Ba ̀ i tập toán cao cấp dành cho kinh tế và quản tri ̣

Như vậy chúng ta đã hoàn thành toàn bộ khóa Tổng ôn Toán cao cấp Mình chúc ba ̣n có những trải nghiê ̣m thú vi ̣ cùng khóa ho ̣c và đa ̣t được kết quá cao trong kì thi sắp tới! Cảm ơn bạn đã ủng hộ Hưng trong thời gian qua!

Trân trọng,

Nguyễn Phước Hưng