ôn tập TOÁN CAO cấp

trang ́ Toán cao câp TÀI LIỆU ÔN TẬP Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com ́ Toán cao câp trang MỤC LỤC TÓM TẮT Contents LỜ I NÓ I ĐẦU CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH_INPUT-OUTPUT MA TRẬ N ĐI ̣NH THỨ C HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH INPUT_OUTPUT BÀI TẬP TỔNG HỢP: CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ 10 QUY TẮC L’ HOSPITAL 10 MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ 10 BÀ I TẬ P TỔNG HỢ P 12 CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN 13 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP 13 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 13 CỰC TRỊ RÀNG BUỘC 15 CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁ CH BIẾN 17 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TI ́NH CẤP 17 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 18 BÀ I TẬ P VẬ N DỤ NG 19 TÀ I LIỆU THAM KHẢ O 21 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp LỜ I NÓ I ĐẦU Xin chào người, Nguyễn Phước Hưng IBC13-K43 đại diện nhóm thực khóa học Lời xin gửi lời cám ơn đến tất bạn ủng hộ khóa Tổng ơn toán cao cấp Trong tâ ̣p tài liê ̣u này, tóm tắt tồn kiến thức tập tình vận dụng Minh hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn, từ có thể giúp ba ̣n ơn tâ ̣p đa ̣t kế t quả cao Trong trình biên soạn, kiến thức hạn hẹp thời gian thực không nhiều nên tài liệu không tránh khỏi nhiều sai sót hạn chế nhỏ giọng nói, cách quay, độ phân giải up lên, … Mặc dù cố gắng thiết kế tính tốn cách chi tiết mạch lạc, thơng số đơi mang tính lý thuyết chưa thực tế Mình mong có góp ý sửa chữa để “quyển sách tự chế” có tính khả thi hiệu hơn, giúp nhiều cho khóa sau UEH Mọi ý kiến đóng góp, bạn vui lòng gửi về: phuochung26010401@gmail.com 😊😊😊😊😊 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH_INPUT-OUTPUT MA TRẬN ĐI ̣NH THỨ C Ma trận gì? A= (4 6) a12= ? a23=? a33=? Ma trận đơn vị In? I3=(0 0 I2=( ) 0) Ma trận chuyển vị? AT= (2 3 A=( ) 5) Ma trận bậc thang? A=(0 0 3) B=( 0 ) →A, B ma trận bậc thang C=(0 0 0) D=(0 0) 0 →C, D ma trận bậc thang Hạng ma trận ? A=(−1 7) B=(2 3 4) Hãy tính hạng ma trận A và B ? Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp Cộng hai ma trận ? 2 A=( ) B=( ) 1 Vậy A+B = ( ) Nhân hai ma trận ? −2 A=(2 −3) B=(2 −1) Vậy A.B=( 1 1 ) Phương pháp nhân hai ma trận CASIO ? Định thức? ) B=( −1 3 C=( 5 Bậc Vậy |𝐴| = A=( Bậc Bậc −2 1) ) Vậy |𝐵| = Vậy |𝐶| = Tìm m để định thức dưới có giá trị 𝑚 A=(−1 1) −1 →m= ? Tìm m để định thức sau có giá trị B=( 2 −1 ) →m= ? 1 −1 −1 𝑚 Ma trận nghịch đảo? 𝟏 A-1=|𝑨|.A* A=( ) −1 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp −2 B=(2 −3 6) 1 Ví du ̣ 1: Tìm X biết 2 a ( ).X=( ) 2 −3 b (3 −4).X=(10 −1 10 −3 7) 1  m −5   m −  A không khả đảo khi: Ví du ̣ 2: Cho ma trận A=   m−5   A m=3 B.m≠3  m≠6 C.m=3  m=6 D m=6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ: Giải hệ phương trình sau a b c 𝑥−𝑦+𝑧=6 {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚 Cho hệ phương trình tuyến tính sau A={2𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = 𝑚 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = Với giá trị m hệ cho có nghiệm nhất? Với giá trị m hệ cho có vơ số nghiệm? Với giá trị m hệ cho vô nghiệm? x + y − z =  Cho hệ phương trình tuyến tính: 2 x + y + z = 2 x + y + mz =  Phát biểu sau sai? A.Tồn m để hệ có nghiệm B.Tồn m để hệ có vơ số nghiệm C Tồn m để hệ có nghiêm D Tồn m để hệ vô nghiệm 𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑧 = Cho hệ phương trình { 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚 𝑚𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −1 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp a Tìm m để hệ có nghiệm b Tìm m để hệ có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng quát trường hợp −2 Cho ma trận A = ( 𝑚 4) Với giá trị M ma trận 𝐴3 𝐴𝑇 có hạng bé −1 −3 3? A 48 B.38 C.46 D.Không tồn m INPUT_OUTPUT Yêu cầu chương bạn phải giải thích ý nghĩa kinh tế hệ số ma trận đề cho (nhớ câu‘ vào hàng cột’ ) Thuộc công thức X= (In-A)-1.D (trong X thường mức sản lượng đầu ngành) Ví dụ a b c d 0.3 0.1 0.1 A=(0.1 0.2 0.3) 0.2 0.3 0.2 Giải thích ý nghĩa kinh tế hệ số a12 ; a13 ; a01 ma trận A Biết sản lượng ngành 150, tính giá trị sản lượng nguyên liệu mà ngành cung cấp cho Hệ số a03 bao nhiêu? Từ tính ngành mở phải đóng góp cho ngành giá trị sản lượng ngành 1000 70 Tìm mức sản lượng ngành ngành mở D=(100) 30 Chú ý: Trong trường hơ ̣p dưới đây, đề bài chưa cho ta mô hiǹ h input-output, ta phải tự thiế t lâ ̣p mô hiǹ h I-O, vì là dữ kiê ̣n thực tế , đó các ̣ số 𝑎𝑖𝑗 là những ̣ sớ bé Ví dụ: Cho ma trận đầu vào-đầu 𝑇ℎé𝑝 𝑇ℎ𝑎𝑛 𝐾ℎá𝑐 200 𝑇ℎé𝑝 200 400 600 𝑇ℎ𝑎𝑛 500 200 800 𝑁ℎ𝑢 𝑐ầ𝑢 𝑐𝑢ố𝑖 500 900 − 𝑎11 = 200+400+600=6, ta tiń h tương tự với các ̣ sớ khác Hãy tìm tổng giá trị chi phí mà ngành mở cung cấp cho ngành BÀI TẬP TỔNG HỢP: Cho A ma trận vng cấp với det(A)=3 B=2A.Tính det(B) A.2781 B.2178 C.2187 D.1278 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp Cho A ma trận vng cấp có det(A)=2 Tính det(3AT) A.27 B.54 C.63 D.72 10 Cho A, B ma trận vuông cấp khả nghịch, giả sử C= (9 𝐴)( 𝐵 𝑇 ) 𝐾ℎ𝑖 10 B.C-1= (B-1)TA-1 10 D.C-1=10A-1(B-1)T A.C-1= A-1(B-1)T C.C-1=10A-1(B-1)T Cho A ma trận vuông cấp khả nghịch với định thức ma trận phụ hợp -216.Khi A.det(A)=6 B.det(A)=-6 C.det(A)=36 D.det(A)=-36 Cho A ma trận vng cấp khả nghịch với det(A)=5 Khi định thức ma trận phụ hợp là: A.125 B.625 C.3125 D.25 1 Cho A=( ) B=( ) C=( ) Gọi M ma trận vuông cấp thỏa mãn 1 −10 MA=( ) Khi : −10 −10 −5 A.MB=( ) B.MC=( ) 17 −5 C.M=( ) D.Tất câu −7 Cho A=( ) Ma trân nghịch đảo B=A-5𝐴𝑇 + 𝐼2 𝑠ẽ 𝑙à: 1 1 −7 −12 12 −12 −12 A.95 ( ) B.95 ( ) C.95 ( ) D.95 ( ) 12 12 −12 12 Cho A, B ma trận vng cấp có det(A)=2, det(B)=2 (𝐴𝐵)−1 = 𝐶 𝑇í𝑛ℎ det(𝐶) : det(𝐴𝐵) A.32 B.64 C.128 D.256 ) B=( ) C=( )Gọi X1, X2 nghiệm hệ AX=B AX=C Khi 2X1+3X2 Cho ma trận A=( A.( 180 ) 90 −90 ) 180 B.( −85 ) 196 C.( 10 Với giá trị m A suy biến với A=( 3 𝑚 196 ) −85 D.( −1 0 ) −5 −3 −1 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao câp B.m≠ A.m=9 1 11 Cho ma trận C=( A.0 5 B.1 12 Cho ma trận A=( 𝑑 A.det(A)=abcd ) Vậy |𝐶| = ? C.2 0 𝑐 𝑏 D.m≠ C.m=3 D.3 𝑎 ) Khi đó: B.det(A)=2abcd C.det(A)=1 𝑚 13 Tìm m để định thức sau có giá trị 0: A=(−1 −1 A.4 11 B.4 D.det(A)=0 1) 13 C D 14.Cho A, B hai ma trận vuông cấp Giả sử dòng A cột B 0, Đặt C=AB, ta có : A.dòng cột C B.dòng cột C C.dòng cột C D.A.dòng cột C 15.Trong mơ hình mở input-output gồm hai ngành kinh tế, biết ma trận hệ số đầu vào : 0.1 0.2 A=( ) yêu cầu đầu cuối với hai ngành (60,60) mức sản lượng đầu 0.3 0.4 hai ngành là: A(100,150) B.(120,150) C.(150,120) D.(100,100) 17.Trong mơ hình mở input-output gồm ba ngành kinh tế (ngành 1,2,3), biết ma trận hệ số đầu vào : 0.3 0.1 0.1 A=(0.1 0.2 0.3) 0.2 0.3 0.2 Biết sản lượng ngành 150, tính tổng sản lượng nguyên liệu mà ngành ngành cung cấp cho ngành 2: A.45 B.60 C.80 D.100 18.Cho A=(aij)n*n ma trận có aij=0 với ∀i>j thỏa mãn AT+2A=In.Phát biểu sau sai A.AT=A B.det(A)=3n C.A+2AT=In D.det(A)=3𝑛 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 10 ́ Toán cao câp CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ QUY TẮC L’ HOSPITAL 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇′(𝒙) (thường áp dụng 𝒙→𝒂 𝒈′(𝒙) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ∞ ∞ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ; ) Có dạng thường gặp : a Nhận : lim ln(1+𝑥) 𝑥→0 lim 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑥→0 ln(1+𝑥 ) 𝑥→1 lim𝜋 𝑥 𝑥→ 1−2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜋−3𝑥 𝑥 −1+𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑥 −𝑒 b Ngụy trang cần phải thực phép biến đổi để đưa dạng a : 1 lim( − ) 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 lim + 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥→→0 c Dạng hàm mũ : 𝑥 1 lim ( )𝑥 lim ( )𝑥−2 𝑥→0+ lim (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥 𝑥→0+ 𝑥 𝑥→0 MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ 𝚫𝒚 𝒅𝒚 Chỉ cần nhớ: ∆x≈0 𝚫𝒙 ≈ 𝒅𝒙 𝒅𝒚  ∆y ≈ 𝒅𝒙 ∆𝒙 a) Tỉ số thay đổi giá bán so với sản lượng : Cho biết p=100-q2 hàm cầu sản phẩm nhà sản xuất (q mức sản lượng) Tìm tỉ số thay đổi p theo q Giá bán thay đổi q=5 ? b) Tỉ số thay đổi lượng người ghi danh : Một nhà xã hội học nghiên cứu chương trình đề nghĩ để hỗ trợ giáo dục cho em mầm non thành phố Họ tin sau x năm kể từ lúc chương trình bắt đầu thực có f(x) ngàn trẻ em mẫu giáo ghi danh, : Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 11 ́ Toán cao câp f(x)=24x-2x2 ( 0≤ 𝑥 ≤ 12) Hãy tính tỉ số thay đổi lượng ghi danh sau ba năm kể từ chương trình bắt đầu c) Hàm chi phí nhà sản xuất c=f(q) : Tỉ số thay đổi c q gọi chi phí biên Ví dụ : cho hàm c=0.1q2+3 Tính chi phí biên mức sản lượng 50 cho biết ý nghĩa kinh tế giá trị tính 𝒄 Chi phí trung bình: 𝒄̅=𝒒 Ví dụ: Cho hàm chi phí trung bình xí nghiệp 𝑐̅=0.008q2-q+60+ 3500 𝑞 với q mức sản lượng Tính chi phí biên mức sản lượng q=30 d) Doanh thu biên r=f(q) Tỉ số thay đổi doanh thu mức sản lượng gọi doanh thu biên Ví dụ: Cho hàm r=2q2.Tính doanh thu biên mức sản lượng 10 cho biết ý nghĩa kinh tế giá trị tính Ví dụ: Hàm cầu xí nghiệp sản xuất độc quyền có dạng Q=540-𝑘 P – 2kP Biết giá tăng thêm đơn vị lượng cầu giảm đơn vị Doanh thu xí nghiệp đạt cực đại mức sản lượng: A.360 B.270 C.450 D.90 a Hàm tiêu dùng(MPC): Hàm tiêu dùng C=f(I) biểu thị mối quan hệ tổng thu nhập quốc gia I với tổng tiêu dùng quốc gia C.Xu hướng tiêu dùng biên(MPC) hiểu tỉ số thay đổi tổng tiêu dùng tổng thu nhập MPC=𝒅𝑪 𝒅𝑰 b Hàm tiết kiệm: MPS=1-MPC Ví du ̣: Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 12 ́ Toán cao câp Cho hàm tiêu dùng C= 9√𝐼+0.8√𝐼 −0.3𝐼 √𝐼 với I tổng thu nhập quốc gia Tại I=25, giá trị xu hương tiết kiệm biên là: A.0.77 B.0.23 C.0.64 D.0.36 Một hãng sản suất có hàm cầu Q=130-10P.Khi giá bán P=9 doanh thu bao nhiêu? Tính độ co giãn cầu theo giá mức giá cho nhận xét BÀ I TẬP TỔNG HỢ P Tính lim (𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)(𝑥−5) (5𝑥−1)5 𝑛→∞ 1 A.5 B.125 Tính lim C.625 D.3125 (2𝑥−5)20 (3𝑥−2)30 𝑛→∞ A.(3)30 (2𝑥+1)50 B.(2)30 Hàm liên tục điểm x0  𝑒 𝑚𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 Cho f(x)= { D Cả ba đáp án sai C.1 lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ Tìm giá trị m để f liên tục x= 𝑚 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑥 A.m=1 B.m=-1 C.m=2 D.m= -2 √1+2𝑥 −1 ln(1+3𝑥 ) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ Để 𝑓 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥 = 𝑡ℎì: (𝑝ℎâ𝑛 𝑠ố 𝑡ố𝑖 𝑔𝑖ả𝑛) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑏 Cho hàm f(x)={𝑎 A.a-b=13 B.a+b=17 Cho hàm số y=30-4x-x2 Tính A=x −10 A B −70 C.a.b=15 𝑑(𝑙𝑛𝑦) 𝑑𝑥 D.a+2b=3 𝑘ℎ𝑖 𝑦 = C A b sai D.A B Cho hàm f thỏa mãn f(6)=1 ; f’(6)=-2 hàm g(x) thỏa mãn g(x)= A.-20 B.-10 C.10 𝑑[𝑥 𝑓(3𝑥)] 𝑑𝑥 𝑇í𝑛ℎ 𝑔(2) D.20 𝑚𝑒 3𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > có đạo hàm Tìm giá trị m n để hàm số f(x)={ + −2𝑥 + 𝑥 + 𝑛 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤ Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 13 ́ Toán cao câp 𝑒 2𝑥 −1−ln(1+2𝑥) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 𝑇í𝑛ℎ 𝑓 ′ (0) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = Cho hàm f(x)={ A.2 𝑥2 −1 −4 B C D.4 CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN Cho hàm z = 𝑥 𝑦- 2𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 Tính 𝑧′𝑥 ,𝑧′𝑦 đạo hàm riêng cấp z Ví du ̣: Cho hàm u=3x2z2-4xy3z2.Tính 𝑢′′′ xyz(1,2,3) ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP Ví du ̣: Cho hàm z= cos (x+2y) , x=2𝑡 + 𝑡 + 1, y= 𝑡 Tính 𝑑𝑧 𝑑𝑡 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN − Điều kiện cần cực trị: Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị (a,b) f có đạo hàm riêng (a,b) 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏)=0 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)=0 − Điểm (a,b) gọi điểm dừng hàm z=f(x,y) − Điều kiện đủ cực trị cho hàm z=f(x,y) có đạo hàm riêng cấp liên tục điểm (x,y) gần điểm dừng (a,b) Xét ma trận Hesse ′′ 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) H(a,b)= ( ′′ 𝑓𝑦𝑥 (𝑎, 𝑏) ′′ 𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏) ) ′′ 𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) Và đặt 𝑯𝟏 = 𝒇′′𝒙𝒙 (𝒂, 𝒃) 𝑯𝟐 =|𝐇(𝐚, 𝐛)| Khi đó, ta có: − Nếu 𝐻1 < 𝐻2 > đạt cực đại (a,b) − Nếu 𝐻1 > 𝐻2 > đạt cực tiểu (a,b) − Nếu 𝐻2 (a,b,ʎ0 ) f đạt cực đại với ráng buộc g(x,y) = 𝑔0 (a,b) − Nếu 𝐻1 < 𝐻2 < (a,b,ʎ0 ) f đạt cực tiểu với ràng buộc g(x,y) = 𝑔0 (a,b) Ví dụ: 1 Tìm cực trị hàm z= x3-3x+y với điều kiện –x2+y=1.Hãy chọn khẳng định đúng: Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 16 ́ Toán cao câp A z đạt cực đại M(-3,10) N(1,2) B z đạt cực tiểu M(-3,10) N(1,2) C z đạt cực đại M(-3,10) cực tiểu N(1,2) D.Các khẳng định sai Tìm cực trị hàm z=x2+y2 với điều kiện x2-3x+y2-4y=0 Tìm cực trị hàm f(x,y)=2x+3y thỏa điều kiện 3x2+2y2=210 Tìm cực trị hàm z=exy với điều kiện x2+y2=8 (với x,y>0) Chú ý: Vi phân cấp cấp − dz = 𝑓𝑥′ dx 𝑓𝑦′ dy ′′ ′′ ′′ − 𝑑2 𝑧 = 𝑓𝑥𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦 d𝑦 Ví du ̣: 1.Cho hàm z = 4𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 Tính dz 𝑑2 𝑧 2.Vi phân cấp hai hàm hai biến z=x2y3 A.d2z=2y3dx2+12xy2dxdy+6x2dy2 B.d2z=2y3dx2-12xy2dxdy+6x2ydy2 C.d2z=y3dx2+6x2ydy2 D.Đáp án khác 3.Tìm vi phân cấp hai hàm hai biến z=3x3+4xy2-2y3 A.d2z=18xdx2+16ydxdy+(8x-12y)dy2 B.d2z=18xdx2+8ydxdy+(8x-12y)dy2 C.d2z=18xdx2+16ydxdy+(8x-6y)dy2 D.d2z=9xdx2+16ydxdy+(8x-12y)dy2 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 17 ́ Toán cao câp CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân phương trình có dạng: F(x,y,y’,y’’,…,yn)=0 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁ CH BIẾN Da ̣ng f(x)dx = f(y)dy Phương pháp giải : Lấy tích phân vế Ví dụ (3x2-x+1) dx=sinydy PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TINH CẤP Dạng y’ + P(x).y = Q(x) (1) Phương pháp giải Bước 1: Tính 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 Bước 2: Nhân vế (1) cho 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 Bước 3: “Gom tất vào đạo hàm” Bước 4: “Phá dấu phẩy” Ví dụ: 𝑦 a y’ - = 𝑥 𝑥 b y’+2xy=x𝑒 −𝑥 c y’ – y.sin x = sin x cos x 𝑦 d Giả sử y = f(x) nghiệm PTVP y’ + = thỏa điều kiện f(𝜋) = 𝑥 𝜋 Khi f(- ) có giá trị là? A B -2 D đáp án khác C e Giả sử y = f(x) nghiệm PTVP y’ - 𝑥𝑦 3+𝑥 = 𝑡ℎỏ𝑎 f(1)=2.Khi giá trị f(2) có giá trị Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 18 ́ Toán cao câp A.√3 B.√5 D.Đáp án khác C.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Dạng tổng quát y’’+ay’+by=f(x) (1) Phương pháp giải: Bước 1:Tìm nghiệm tổng quát phương trình Y(x) Xét phương trình y’’+ay’+by=0 Phương trình đặc trưng: (2) k2+ak+b=0 (giải k) TH 1: có hai nghiệm thực k1≠k2:nghiệm tổng quát (2) Y(x)=C1𝒆𝒌𝟏 𝒙 + C2𝒆𝒌𝟐 𝒙 (với C1 C2 hai số bất kỳ) TH 2: có nghiệm kép k0: nghiệm tổng quát (2) Y(x)= 𝒆𝒌𝟎𝒙 (C1+C2x) TH 3: có hai nghiệm phức k=𝜶 ± 𝒊𝜷 nghiệm tổng quát (2) Y(x)=𝒆𝜶𝒙 [𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒙) + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝜷𝒙)] Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình (1) tùy thuộc vào vế phải f(x) có dạng đặc biệt sau đây: TH 1: f(x) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 (𝑥) với α số 𝑃𝑛 (𝑥) đa thức bậc n x a Nếu α nghiệm phtr đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng y0(x) = 𝒆𝜶𝒙 𝑸𝒏 (𝒙) b Nếu α nghiệm đơn phtr đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng y0(x) = 𝐱 𝐞𝛂𝐱 𝐐𝐧 (𝐱) c Nếu α nghiệm kép phtr đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng y0(x) = 𝐱 𝟐 𝐞𝛂𝐱 𝐐𝐧 (𝐱) Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 19 ́ Toán cao câp TH 2: f(x) = eαx [Pn (x) cos(βx) + Q m (x) sin(βx)] a Nếu α±iβ không nghiệm phtr đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng y0(x) = 𝐞𝛂𝐱 [𝐑(𝐱) 𝐜𝐨𝐬(𝛃𝐱) + 𝐒(𝐱) 𝐬𝐢𝐧(𝛃𝐱)] b Nếu α±iβ nghiệm phtr đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng y0(x) = 𝐱 𝐞𝛂𝐱 [𝐑(𝐱) 𝐜𝐨𝐬(𝛃𝐱) + 𝐒(𝐱) 𝐬𝐢𝐧(𝛃𝐱)] + Bước Kết luận nghiệm tổng quát phtr (1) là: y(x) = Y(x) + y0(x) BÀ I TẬP VẬN DỤ NG a y” - 4y’ + 3y=0 y” +6y’ +9y=0 y” – 3y’ + 2y= 1+x y’’-2y’+y=x+1 y” + y’ = 5sin 2x y” -4y’+3y= = 𝑒 𝑥 (2x-1) y” -5y’ +4y = (6x-5)𝑒 𝑥 (1) Giải (1) b Tìm nghiệm riêng (1) thỏa y(0) = 1, y’(0) = -2 y” – 2y’ = co𝑠 x y” – 5y’ = 2𝑒 𝑥 -1 10 y’’-4y’+5y=e-x BÀI TẬP TRẮC NGHIÊ ̣M 1.Xét phương trình vi phân y’’-4y’+4y=𝑒 2𝑥 (3𝑥 + 1) Phương trình có nghiệm riêng có dạng A.u(x)=e2x(ax3+bx2) B.u(x)=e2x(ax2+bx) C.u(x)=e2x(ax2+bx+c) D.Cả ba câu sai 𝑦 2.Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phâN y’+2 =0 𝑥 A.y= 𝐶 𝑥2 B.y= 2𝐶 𝑥3 C.y= 𝐶 𝑥 D.y= −𝐶 𝑋 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang 20 ́ Toán cao câp 3.Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’cos2x+y=0 A.y=Cxe-cosx B.y=Cx+esinx C.y=Cetanx D.y=Ce-tanx 4.Gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’-y=1 Y(x) Chọn kết luận [A] lim 𝑌(𝑥) = ∞ 𝑥→ −∞ [B] lim 𝑌(𝑥) = 𝑥→ −∞ [C] lim 𝑌(𝑥) = 𝑥→ −∞ [D] lim 𝑌(𝑥) = −1 𝑥→ −∞ Gỉa sử y=y(x) nghiệm phương trình vi phân y’-y=ex+1 thỏa y(0)= Khẳng định sau sai A.y(1)>0B.y’(0)=1 C lim 𝑦(𝑥 ) = D lim 𝑦(𝑥 ) = + ∞ 𝑛→−∞ 𝑛→∞ Nghiệm riêng phương trình vi phân y’’-5y’= x𝑒𝑥 − có dạng : A.u(x)=a𝑒𝑥 + 𝑏𝑥 B.u(x)=a𝑒𝑥 + 𝑏 C.u(x)=ax𝑒𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑥 D.(ax+b)𝑒𝑥 + 𝑐𝑥 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com TOÁ N CAO CẤP Trang 21 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân y’’+y’-6y=x2𝑒−2𝑥 có dạng: A.y=(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥 B.y=x.(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥 C.y=ax2.𝑒−2𝑥 D.Đáp án khác TÀ I LIỆU THAM KHẢ O Giáo trình toán cao cấ p dành cho kinh tế và quản tri ̣ Bài tập toán cao cấ p dành cho kinh tế và quản tri ̣ Như hồn thành tồn khóa Tổng ơn Toán cao cấ p Mình chúc ba ̣n có những trải nghiê ̣m thú vi ̣cùng khóa ho ̣c và đa ̣t đươ ̣c kế t quá cao kì thi sắ p tới! Cảm ơn bạn ủng hộ Hưng thời gian qua! Trân tro ̣ng, Nguyễn Phước Hưng Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Hungnguyen16.k43@st.ueh.edu.vn ... tập tình vận dụng Minh hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn, từ có thể giúp ba ̣n ôn tâ ̣p đa ̣t kế t quả cao Trong q trình biên soạn, kiến thức hạn hẹp thời gian thực không nhiều nên tài liệu. .. cung cấp cho ngành BÀI TẬP TỔNG HỢP: Cho A ma trận vuông cấp với det(A)=3 B=2A.Tính det(B) A.2781 B.2178 C.2187 D.1278 Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501 Phuochung26010401@gmail.com trang ́ Toán cao. .. C.C-1=10A-1(B-1)T Cho A ma trận vuông cấp khả nghịch với định thức ma trận phụ hợp -216.Khi A.det(A)=6 B.det(A)=-6 C.det(A)=36 D.det(A)=-36 Cho A ma trận vuông cấp khả nghịch với det(A)=5 Khi định