Giáo trình toán cao cấp clc48103

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MƠN TỐN THỐNG KÊ Giáo Trình TỐN CAO CẤP (Dành cho chương trình chất lượng cao) Mã số : GT – 08 – 19 Nhóm biên soạn: Nguyễn Huy Hồng (Chủ biên) Nguyễn Trung Đơng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2019 MỤC LỤC Trang Lời mở đầu Một số ký hiệu 10 Chương Ma trận – Định thức……………………………………………….…………… 12 1.1 Ma trận…………………………………………………………… 12 1.1.1 Định nghĩa ma trận 12 1.1.2 Ma trận ……………………………………………… 12 1.1.3 Các ma trận đặc biệt 13 1.1.4 Các phép toán ma trận…… 15 1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp hàng 18 1.2 Định thức……………………………………….……………………… .20 1.2.1 Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n………….………………… 20 1.2.2 Định lý khai triển định thức theo hàng hay cột .21 1.2.3 Các tính chất định thức……… 23 1.2.4 Định lý thay đổi định thức qua phép biến đổi……………… 24 1.2.5 Phần bù đại số ma trận phụ hợp…………………….……………… 25 1.3 Ma trận nghịch đảo……………….…………….……………………… .26 1.3.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo………….………………….………… 26 1.3.2 Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo 26 1.3.3 Định lý tồn ma trận nghịch đảo .28 1.3.4 Một số tính chất ma trận nghịch đảo……………………………… 28 1.4 Hạng ma trận… ……………….…………….………………………… .29 1.4.1 Định nghĩa tổng quát hạng ma trận….…………… ………… 29 1.4.2 Tính chất 29 1.4.3 Phương pháp tìm hạng ma trận 29 1.4.4 Một số bất đẳng thức hạng ma trận 30 1.5 Bài tập…… … ……………….…………….………………………… .32 Thuật ngữ chương …………………………… 39 Chương Hệ phương trình tuyến tính……………………………………………………….40 2.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính……………………………………… 40 2.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng qt……… ………………40 2.1.2 Định nghĩa nghiệm hệ phương trình tuyến tính………….…… 41 2.1.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác…………….………….…… 41 2.1.4 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang………….………….…… 42 2.1.5 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn Gauss.…… 43 2.2 Hệ phương trình Cramer………………………………………………………….46 2.2.1 Định nghĩa hệ phương trình Cramer……………………….……… … 46 2.2.2 Các phương pháp giải hệ phương trình Cramer .47 2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 48 2.3.1 Nhận xét tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 48 2.3.2 Định lý Kronecker – Capelli 48 2.4 Hệ phương trình tuyến tính nhất…………………….…………………….51 2.4.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính 51 2.4.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất….…….………… 51 2.5 Một số toán ứng dụng kinh tế……….……………………………… 52 2.5.1 Mơ hình cân thị trường 52 2.5.2 Mơ hình cân thu nhập quốc dân………………………… …… 55 2.5.3 Mơ hình input – output Leontief………………………………… 59 2.6 Bài tập……………………………………………………………………………65 Thuật ngữ chương …………………………… 72 Chương Không gian vectơ.…………………………………………………………… .73 3.1 Các khái niệm bản…………………………………………………………73 3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ….…………………………… ………….73 3.1.2 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính vectơ………………… …………73 3.1.3 Định nghĩa khơng gian vectơ không gian vectơ……………74 3.1.4 Định nghĩa không gian sinh tổ hợp tuyến tính…………… 74 3.1.5 Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính………………… 75 3.2 Cơ sở số chiều không gian vectơ………………………………………… 76 3.2.1 Định nghĩa sở không gian vectơ….…………………………76 3.2.2 Ma trận chuyển sở 76 3.2.3 Tính chất 77 3.2.4 Mệnh đề 78 3.3 Bài tập………………………………………………………………… … 81 Thuật ngữ chương ………………………………86 Chương Phép tính vi phân hàm biến…………………………….…………………….87 4.1 Giới hạn dãy số thực………………………….…………………………… 87 4.1.1 Định nghĩa dãy, giới hạn dãy số thực…………… …………………87 4.1.2 Các tính chất định lý giới hạn dãy số thực….…….………87 4.1.3 Một số dãy số thực đặc biệt….……………………………….….………89 4.2 Hàm số biến số………………………… ………………………………… 92 4.2.1 Các khái niệm hàm số… ……………………….……….… 92 4.2.2 Hàm số hợp .92 4.2.3 Hàm số ngược….…….…………………………………………… … 93 4.2.4 Các hàm số sơ cấp 93 4.2.5 Dáng điệu hàm số .95 4.2.6 Một số hàm kinh tế 96 4.3 Giới hạn hàm số 98 4.3.1 Các định nghĩa giới hạn 98 4.3.2 Giới hạn hàm sơ cấp 100 4.3.3 Các dạng vô định 100 4.3.4 Các giới hạn 101 4.4 Vô bé vô lớn 102 4.4.1 Định nghĩa 102 4.4.2 Các tính chất 103 4.5 Hàm số liên tục…………………….………………………………….……… 104 4.5.1 Định nghĩa hàm số liên tục .104 4.5.2 Tính chất liên tục hàm sơ cấp…….……………………………… 105 4.5.3 Các phép toán hàm liên tục điểm .106 4.6 Đạo hàm……………………………………… 106 4.6.1 Khái niệm đạo hàm 106 4.6.2 Bảng công thức đạo hàm bản….……………………………….109 4.6.3 Các quy tắc tính đạo hàm…………….……………………………….109 4.6.4 Đạo hàm hàm hợp………………….……………………………… 110 4.6.5 Đạo hàm hàm ngược………….………………………………….111 4.6.6 Đạo hàm phía……………….……………………………… …111 4.6.7 Đạo hàm cấp cao………………….………………………………….112 4.7 Vi phân…….………………………………… 113 4.7.1 Định nghĩa vi phân .113 4.7.2 Sự liên hệ vi phân đạo hàm……….……………… … ……113 4.7.3 Tính bất biến biểu thức vi phân cấp 1….…………………………114 4.7.4 Các quy tắc tính vi phân…………….……………………………… 114 4.7.5 Vi phân cấp cao…………………….……………………………… 114 4.8 Các định lý hàm số khả vi.… .115 4.8.1 Định lý Fermat 115 4.8.2 Định lý Rolle ………………… …….………………………………115 4.8.3 Định lý Lagrange…………………………………………………….115 4.8.4 Định lý Cauchy………………….………………………………… 116 4.9 Một số ứng dụng đạo hàm vi phân.……………………………….…… 116 4.9.1 Khử dạng vô định  , … 116  4.9.2 Tính gần đúng………….……… ………………………………… 118 4.9.3 Khảo sát tính tăng, giảm cực trị hàm số….……………………118 4.9.4 Khai triển Taylor – Maclaurin………………….…………………….119 4.9.5 Ứng dụng toán kinh tế………………….……………… …122 4.10 Bài tập…….…………………………………………………… ……………125 Thuật ngữ chương …………………………….132 Chương Tích phân…………………………….………………………… …………… 133 5.1 Tích phân bất định……………………….…………………………….……… 133 5.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định………….… …………… ……….133 5.1.2 Bảng công thức tích phân bản……….………………………….134 5.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định….……………….…… ……134 5.2 Tích phân xác định……………… …………………………………………….141 5.2.1 Định nghĩa tính chất tích phân xác định….…….……… … 141 5.2.2 Các tính chất tích phân xác định 144 5.2.3 Công thức NewTon – Leibnitz ………………….……………… …144 5.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 145 5.2.5 Ứng dụng tích phân xác định 146 5.3 Tích phân suy rộng .148 5.3.1 Tích phân suy rộng loại 1: Định nghĩa phương pháp tính .148 5.3.2 Tích phân suy rộng loại 2: Định nghĩa phương pháp tính 150 5.3.3 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng 152 5.4 Bài tập………………………………………………………… …… ……….155 Thuật ngữ chương ……………….…………………….160 Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến……………………………………………… 161 6.1 Các khái niệm………… ………….………………………………………… 161 6.1.1 Hàm số hai biến số .……………………………………………… 161 6.1.2 Định nghĩa hàm n biến số… ……….…………………………………162 6.1.3 Hàm số hợp……………………………………… ………….….…….163 6.1.4 Một số hàm kinh tế……….….………………………………… 163 6.2 Giới hạn liên tục hàm số…… ………………………… …………… 166 6.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến số….… …………………………… …166 6.2.2 Hàm số liên tục .168 6.3 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 169 6.3.1 Đạo hàm riêng…… ……………………………… 169 6.3.2 Vi phân ứng dụng vi phân để tính gần 176 6.4 Cực trị hàm nhiều biến .180 6.4.1 Cực trị tự .180 6.4.2 Cực trị có điều kiện 188 6.4.3 Ứng dụng kinh tế .193 6.5 Bài tập………………………………………………………… ……… …… 201 Thuật ngữ chương …………………………….208 Chương Phương trình vi phân……………………………………………………………209 7.1 Phương trình vi phân cấp 1.………………………………………………… 209 7.1.1 Các khái niệm……… … …………………………………………….209 7.1.2 Phương trình vi phân cấp dạng tách biến….…………………………209 7.1.3 Phương trình vi phân cấp dạng đẳng cấp….…….….…………… ….210 7.1.4 Phương trình vi phân cấp dạng tuyến tính……………………………212 7.1.5 Phương trình vi phân cấp dạng Bernoulli…….………………………214 7.2 Phương trình vi phân cấp 2………….………………………………………….215 7.2.1 Các khái niệm chung……………….……………………………….…215 7.2.2 Phương trình vi phân cấp giảm cấp 215 7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số .217 7.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số khơng nhất.… 218 7.3 Một số ứng dụng kinh tế 224 7.3.1 Tìm hàm y  f (x) biết hệ số co dãn .224 7.3.2 Mô hình cân thị trường với kỳ vọng giá………… ………… 224 7.4 Bài tập………………………………………………………… …………….227 Thuật ngữ chương …………………………… 231 Một số đề tham khảo…………………………………………………………….………… 232 Phụ lục 1.Tập số, tổng, tích hữu hạn, đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh phương pháp quy nạp………………………………………… ………………………………… 245 Phụ lục 2.Tập hợp ánh xạ……………………….…………………………………… 248 Phụ lục Tính tốn ma trận máy tính cá nhân…………………………………… 254 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 256 LỜI MỞ ĐẦU Các bạn có tay “ Giáo trình Tốn cao cấp” dành cho sinh viên hệ chất lượng cao, trường đại học Tài – Maketing Đây giáo trình dành cho sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh với thời lượng tín (60 tiết giảng); chúng tơi cố gắng lựa chọn nội dung bản, trọng yếu có nhiều ứng dụng kinh tế quản trị kinh doanh; nội dung giảng dạy không trùng lặp với nội dung sinh viên trang bị chương trình phổ thông; trọng ý nghĩa khả áp dụng kiến thức; giáo trình biên tập sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế nước (xem phần tài liệu tham khảo), kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả; giáo trình dành cho hệ đào tạo chất lượng cao nên quan tâm việc giới thiệu thuật ngữ Anh – Việt, giúp sinh viên tự đọc, tự nghiên cứu tài liệu viết tiếng Anh Nội dung giáo trình thiết kế phù hợp với chương trình đào tạo trình độ sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh Giáo trình bao gồm chương, số đề tham khảo số phụ lục: Chương Trình bày ma trận, phép tốn ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận, áp dụng vào giải mơ hình cân đối liên ngành (Input – Output) Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày hệ phương trình tuyến tính ứng dụng giải mơ hình cân thị trường n hàng hóa có liên quan Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày khơng gian vectơ; Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày phép tính vi phân hàm biến : Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm vi phân, ứng dụng toán học kinh tế Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày ngun hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng ứng dụng phân tích kinh tế Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày phép tính vi phân hàm nhiều biến : Hàm số nhiều biến; đạo hàm riêng, vi phân tồn phần ứng dụng phân tích kinh tế Bài toán cực trị tự cực trị có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange; Một số mơ hình ứng dụng kinh tế; Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Chương Trình bày phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hệ số hằng…áp dụng; Một số ví dụ tập rèn luyện Cuối chương số thuật ngữ Anh – Việt Phần cuối, biên soạn số đề tham khảo để sinh viên có hội thử sức, tự rèn luyện số phụ lục cần tự tra cứu Do đối tượng người đọc sinh viên chuyên ngành kinh tế quản trị kinh doanh nên không sâu lý thuyết mà chủ yếu quan tâm vào ý nghĩa áp dụng kinh tế quản trị kinh doanh khái niệm kết tốn học, chúng tơi sử dụng nhiều ví dụ để người học dễ hiểu, dễ áp dụng, đảm bảo chặt chẽ logic tốn học Giáo trình Giảng viên cao cấp TS Nguyễn Huy Hồng ThS Nguyễn Trung Đơng giảng viên Bộ mơn Tốn – Thống kê, trường đại học Tài – Marketing, có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế quản trị kinh doanh, biên tập Lần đầu biên soạn, nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý độc giả để lần sau giáo trình hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gởi địa email: hoangtoancb@ufm.edu.vn nguyendong@ufm.edu.vn Xin trân trọng cảm ơn Trường đại học Tài – Marketing hỗ trợ kinh phí tạo điều kiện cho giáo trình sớm đến với bạn đọc! Các tác giả MỘT SỐ KÝ HIỆU  : Tập số tự nhiên  : Tập số nguyên  : Tập số hữu tỉ  : Tập số thực  : Tập số phức M mn : Tập hợp ma trận có kích thước cấp (cỡ) m  n M n : Tập hợp ma trận vuông cấp n (i) : Dòng i (hàng i) c j : Cột j 10 : Phép gán (phép thay thế) 11  : Đổi chỗ (hoán vị) 12 Det(A)  A : Định thức ma trận A 13 I E : Ma trận đơn vị 14 r(A)  rank(A) : Hạng ma trận A 15 Dim : Số chiều 16 lim : Giới hạn 17 f x/i  f : Đạo hàm riêng hàm f theo biến x i x i 18 L : Sử dụng quy tắc L’hospital 19 KGVT : Không gian vectơ 20 Max : Giá trị lớn 21 Min : Giá trị nhỏ 10 1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A (nếu có)   2) Tìm ma trận X cho 13 A T 1  X  2A Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x  arctan 2x x 0 Câu (1 điểm) Khai triển Maclaurin đến cấp hàm số: f (x)  ln(1  x)  Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:  1 dx x(x  1) Câu (1 điểm) Cho hàm số: y  f (x) thỏa mãn đẳng thức x  x 2e y  2ln y  2018 Tính y /x ( y /x đạo hàm y theo x) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm sau: f  x, y   x  3xy  15x  12y  2018 với x, y  Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2y  4xe 2x với y(0)  10 Đề số 13 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau :  x1  x 5x  x  1 0 2) Tính định thức ma trận sau : A   3  0 2 3  x3  x3  3x 2  1  4 Câu (2 điểm)  2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A   1  (nếu có) 1 1    1 2) Cho ma trận A    Tìm ma trận B cho AB  BA  1 Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim 1  x  ln x x 0 242  x4  2x  2x     e 2x   Câu (1 điểm) Cho hàm số f  x    x  x  m3  x0 x0 Tìm m để hàm f liên tục x  Với m tìm tính f /   , (nếu có)  Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng: dx  3x  12x  39 1 Câu (1 điểm) Cho hàm số: u  ln x  y Chứng minh rằng: x u u y 1 x y Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   2x  3y , với ràng buộc x  9y2  180 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2xy  3xe  x với y(0)  Đề số 14 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính : 3x1  2x 5x  x  1 0 2) Tính định thức ma trận sau : A   1  0 2 3  x3  2x  3x  x4   x4  2x   3  1  4 Câu (2 điểm)  2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận : A   3  (nếu có)  1 2    1  2) Tìm ma trận B cho AB  BA với A    1  Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x  tan x x 0  e3x   Câu (1 điểm) Cho hàm số f  x    x  x  m2  x0 x0 Tìm m để hàm f liên tục x  Với m tìm tính f /   , (nếu có) 243  Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng: dx  3x  12x  39 Câu (1 điểm) Cho hàm số: u  arctan x u u Chứng minh : y  x  y x y Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   3x  y , với ràng buộc 9x  y  162 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  4xy  xe 2x với y(0)  Đề số 15 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau :  x1  x 7x  2x  1 0 2) Tính định thức ma trận sau : A   2  0 2  x3  x3  4x  x4  2x  x4    2  1  4 Câu (2 điểm) 2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A   3  (nếu có)  2   1 2 2) Cho ma trận A    Tìm ma trận B cho AB  BA  1 1  Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x cos 2x x 0 Câu (1 điểm) Khảo sát tính tăng, giảm cực trị hàm số sau: f (x)  2 Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng: ln x x dx  2x  4x  20  Câu (1 điểm) Cho hàm số: y  f (x) thỏa mãn đẳng thức x  y3  6xy  2018 Tính y /x ( y /x đạo hàm y theo x) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   x  3y , với ràng buộc x  9y2  288 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2xy  3xe x với y(0)  244 Phụ lục Tập số, tổng, tích hữu hạn, đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh phương pháp quy nạp Các ký hiệu tập số 1.1 Tập số tự nhiên (natural integer) Ký hiệu:    0,1, 2,  ; *  1, 2,    \ 0 1.2 Tập số nguyên (relative integer) Ký hiệu:     , 2, 1,0,1, 2,  1.3 Tập số hữu tỷ (rational number) Ký hiệu:  m     m  ,n  *  n  1.4 Tập số thực (real number): Ký hiệu:  1.5 Tập số phức (complex number) Ký hiệu:      a  bi a, b  , i  1 Tổng, tích hữu hạn 2.1 Ký hiệu tổng, tích Cho a1 , a , , a n   n n a1  a   a n   a i ;a1  a   a n   a i i 1 i 1 2.2 Tổng, tích định nghĩa quy nạp  n   a i   a i  a n1;  a i    a i   a n1 i 1 i 1 i 1  i1  n 1 n 1 Quy ước: n 1  a i  a1;  a1  a1 i 1 i 1 Hằng đẳng thức n n a  a  b    Ckn a n k b k (Nhị thức newton) k 0 245 n b a n  b n   a  b   a n k b k 1 k 1 với Ckn  n! k!(n  k)! Hệ n n a  a  b    Ckn (1)k a n k b k i 0 n b Nếu n lẻ: a n  bn   a  b   (1)k 1 a n k b k 1 k 1 Bất đẳng thức 4.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho a1 , a , , a n  , ta có a1  a   a n n  a1a a n n Dấu “=” xảy a1  a    a n 4.2 Bất đẳng thức BCS Cho a1 , a , , a n , b1 , b , , b n    n   n  n  a b   i i     a i   bi   i 1   i 1  i1  Dấu “=” xảy a1 a a   n b1 b bn 4.3 Bất đẳng thức Bernoulli n Cho a  1 Ta có n  , 1  a    na Dấu “=” xảy n   n  1,a  1 Chứng minh phương pháp quy nạp Xét hàm mệnh đề: p(n), n  * Nếu + p(1) + p(n)  p(n  1) 246 Thì p(n) với n  * Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau phương pháp quy nạp 1  n  n(n  1) p(n) :1     n  n(n  1) Giải Đặt +) Với n  1, p(1) :1  1(1  1) đẳng thức +) Với n bất kỳ, p(n) đúng, nghĩa đẳng thức 1  n  n(n  1) đó, ta có     n  (n  1)  n(n  1) (n  1)(n  2)  (n  1)  2 nghĩa p(n  1) mệnh đề Nói khác n  , p(n)  p(n  1) mệnh đề Do nguyên lý quy nạp, đẳng thức 1  n  n(n  1) với n   Chú ý nguyên lý quy nạp khơng đơn phép chứng minh Nó cịn dùng phép suy luận Tổng quát hơn, nguyên lý quy nạp dùng để chứng minh hàm mệnh đề sau: Xét hàm mệnh đề: n  n , p(n) Nếu +) p(n ) +) n  n , p(n)  p(n  1) Thì n  n , p(n) 247 Phụ lục Tập hợp ánh xạ Tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm bản, không định nghĩa Thông thường, tập hợp bao gồm nhiều đối tượng, đối tượng gọi phần tử tập hợp Ta nhận biết tập hợp thơng qua phần tử Ví dụ Tập hợp môn mà sinh viên năm thứ trường Đại học Tài – Marketing phải học; tập hợp mặt hàng mà công ty bán,… Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C,…và phần tử tập hợp chữ in thường a, c, b,… Một tập hợp A chứa phần tử a (hay phần tử a thuộc tập hợp A) kí hiệu aA Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu  Để biểu diễn tập hợp A, người ta dùng giản đồ Venn với đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên đường cong dành cho phần tử thuộc tập hợp A miền phía bên ngồi mặt phẳng dành cho phần tử không thuộc tập hợp A Chẳng hạn, với giản đồ Venn sau mô tả 1,2,3  A 4,5  A Có hai cách để xác định tập hợp Cách thứ liệt kê phần tử Trong tốn học, người ta liệt kê phần tử tập hợp hai ngoặc nhọn (“{” “}”), không ý thứ tự liệt kê phần tử liệt kê lần Cách thứ hai mơ tả tính chất phần tử tập hợp Ví dụ Một số tập hợp số thường dùng Tập hợp số tự nhiên, ký hiệu  = {0,1,2, } ; tập hợp số tự nhiên khác 0, kí hiệu * Tập hợp số nguyên, ký hiệu  = { , -2, -1,0,1,2, } Tập hợp số hữu tỷ, ký hiệu  = { m | m  ; n  ;n  0} n 248 Tập hợp số thực, ký hiệu   {x | x    x  I} ; tập hợp số thực khác 0, ký hiệu * ; tập hợp số thực không âm, ký hiệu   ; tập số thực không dương ký hiệu   ,… Tập hợp số phức, ký hiệu   {a  bi | a, b  ;i  1} 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Phép lấy phần bù Phần bù A X, ký hiệu C X A (hay A ), tập X gồm phần tử không thuộc A, nghĩa : A   x  X x  A  1.2.2 Phép lấy phần hợp Phần hợp A với B, ký hiệu A  B , tập X gồm phần tử thuộc A hay thuộc B, nghĩa : A  B   x  X x  A  x  B  1.2.3 Phép lấy phần giao Phần giao A với B, ký hiệu A  B , tập X gồm phần tử nằm A nằm B, nghĩa : A  B   x  X x  A  x  B  1.2.4 Phép lấy phần hiệu Phần hiệu A với B , ký hiệu A \ B , tập X gồm phần tử nằm A không nằm B, nghĩa : A \ B   x  X x  A  x  B  249 Chú ý: A \ B  A  B Ví dụ Cho tập X = 0,1,2,3, ,8,9 hai tập hợp A = 0,2,4,6,8;B = 0,2,4 ta tìm A = 1,3,5,7,9 ; A  B = 0,1,2,3,4,6,8 ; A  B = 0,2,4 ; A \ B = 6,8 1.3 Các tính chất tập hợp Với tập hợp A, B,C  X Ta có : i)  A   A ii) A  B  B  A ; A  B  B  A iii)  A  B  C  A   B  C  ;  A  B  C  A   B  C  iv) A   B  C    A  B   A  C  ; A   B  C    A  B   A  C  v)  A  B   A  B ;  A  B   A  B vi) A  A  A ; A  A  A vii) A    A ; A  X  A viii) A  X  X ; A     ix) A  A  X ; A  A   x) A   A  B  A ; A   A  B  A Ánh xạ 2.1 Định nghĩa Với hai tập hợp không rỗng X, Y, ánh xạ f từ X vào Y liên kết phần tử X Y cho phần tử x  X liên kết với phần tử y  Y , ký hiệu y  f  x  , gọi ảnh x qua ánh xạ f Ta viết f :X Y x  y  f x Tập X gọi miền xác định f, tập Y gọi miền ảnh f Người ta dùng giản đồ Venn để mơ tả ánh xạ 250 Ví dụ Để mô tả ánh xạ f : X  Y , với X = 1,2,3 , Y = a,b f 1 = a ; f  2 = f   = b ta mơ tả hình vẽ sau : Ảnh A  X qua f , ký hiệu f  A  , tập hợp phần tử y  Y cho ảnh phần tử x  A , nghĩa : f  A    y  Y x  A, y  f  x   Đặc biệt, f  X  gọi ảnh f, ký hiệu Im f Ảnh ngược B  Y qua f , ký hiệu f 1  B  , tập hợp gồm phần tử x cho f  x   B , nghĩa : f 1  B    x  X f  x   B  Đặc biệt, với y  Y , ta ký hiệu f 1  y  thay cho f 1  y Một số ánh xạ đặc biệt : i) Với tập X bất kỳ, ánh xạ f : X  X xác định f  x  = x , với x  X , gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu id X ii) Với tập không rỗng A tập hợp X, hàm tiêu A, ký hiệu  A , ánh xạ f : X   xác định : 1 x  A , với x  X f x =  0 x  A 2.2 Phân loại ánh xạ Xét ánh xạ f : X  Y Ta nói : i) f toàn ánh Im f  Y , nghĩa phần tử y  Y ảnh phần tử x  X Nói khác đi, f 1  y  có phần tử, với y  Y ii) f đơn ánh f 1  y  có nhiều phần tử, với y  Y , nghĩa với x, x  X ta có f  x   f  x  x  x  251 iii) f song ánh vừa đơn ánh tồn ánh Nói khác đi, f song ánh f 1  y  ln ln có phần tử, với y  Y Ví dụ Ánh xạ f :    xác định f  x   x khơng đơn ánh, khơng tồn ánh Ánh xạ g :     xác định g  x   x khơng tồn ánh đơn ánh Ánh xạ h :     xác định h  x   x khơng đơn ánh tồn ánh Ánh xạ  :      xác định   x   x vừa toàn ánh, vừa đơn ánh nên song ánh 2.3 Ánh xạ ngược Cho song ánh f : X  Y , ánh xạ từ Y vào X, liên kết phần tử y  Y với phần tử (duy nhất) x  X cho f  x   y gọi ánh xạ ngược f, ký hiệu f 1 Ví dụ Ánh xạ f cho giản đồ Venn song ánh có ánh xạ ngược xác định f 1  a   (vì f    a ), f 1  b   (vì f  3  b ), f 1  c   (vì f 1  c ) 252 2.4 Ánh xạ hợp Xét hai ánh xạ f : X  Y g : Y  Z Ánh xạ có miền xác định X, miền ảnh Z, liên kết phần tử x  X với phần tử z  g  f  x    Z gọi ánh xạ hợp f với g, ký hiệu g  f , gf : X  Z x  g f  x   Ví dụ i) Với ánh xạ f g cho giản đồ Venn ta ánh xạ hợp g  f ii) Với ánh xạ f ,g :    xác định f  x   x g  x   x  , ta có ánh xạ hợp g  f , f  g, f  f , g  g :    xác định :   g  f  x   g  f  x    g x  x  ; x   f  g  x   f  g  x    f  x  1   x  1 ; x       f  f  x   f f  x   f x  x 2  x ; x   g  g  x   g  g  x    g  x  1   x  1   x  , x   Định lý Với ánh xạ f : X  Y g : Y  X , ta có g  f 1 f  g  id Y g  f  id X 253 Phụ lục Tính tốn ma trận máy tính cá nhân Trong phần hướng dẫn sử dụng máy tính cá nhân FX 570 ES Plus II loại VINACAL để tính tốn số phép tính ma trận cịn phép tính khác bạn học cấp Các loại máy tính 570 khác cách làm tương tự Cụ thể cho hai ma trận 1 2  1   A    ; B   2  3 5  4     Sử dụng máy tính FX 570 ES Plus II Tính 2A, 3A  4B, AB, BA, A , B , A 1 , B1 Bước Vào chức ma trận Nhấn Mode  chọn MATRIX nhấn (các máy tính khác ký hiệu số khác)  AC Bước Nhập ma trận +) Nhấn Shift   chọn cấp ma trận (DIM) nhấn  chọn ma trận A nhấn  Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn   nhập ma trận A  AC +) Nhấn Shift   chọn cấp ma trận (DIM) nhấn  chọn ma trận B nhấn  Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn   nhập ma trận B  AC Bước Khai thác kết +) Tính 2A Nhấn    Shift    ta kết 2 4    2A     10    +) Tính 3A  4B Nhấn    Shift        Shift    ta kết 254  15 10  3A  4B  14 17   13 11 31   +) Tính AB Nhấn Shift     Shift    ta kết  13    AB   14  16 11 25    +) Tính BA Nhấn Shift     Shift    ta kết  11  BA   10 17  17 28    +) Tính A Nhấn Shift    Shift    ta kết A  1 +) Tính B Nhấn Shift    Shift    ta kết B  +) Tính A 1 Nhấn Shift    x 1   ta kết A 1  6      1 1   2 5    +) Tính B1 Nhấn Shift    x 1   ta kết 1   3   11 4 1  B  2   3    2    255 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Thống kê, 2007 [2] Bộ mơn tốn – Bài tập toán cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008 [3] Nguyễn Huy Hoàng – Tốn sở cho kinh tế, NXB Thơng tin Truyền thông, 2011& NXB GD, 2014 [4] Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học (2006 – 2012), Mơn Tốn Kinh tế (Phần Tốn sở cho Kinh tế), NXB Chính trị – Hành chính, 2012 [5] Laurence D Hoffmann, Gerald L Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10th ed), 2010 [6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 [7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 [8] A C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 3rd edition, 1984 [9] A C Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005 256