Toán cao cấp 1

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP CHƢƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Giới thiệu ma trận, định thức  Một câu hỏi đặt lại sử dụng ma trận đại số?  Để trả lời cho câu hỏi từ ví dụ đơn giản sau  Giả sử có phƣơng trình ẩn 𝑥 nhƣ sau: 𝑥−2=3  Chúng ta giải dễ dàng cách chuyển vế 𝑥 = + =  Khó chút, học hệ phƣơng trình     hai ẩn 𝑥 𝑦 ví dụ nhƣ 𝑥 − 𝑦 = −2 3𝑥 + 2𝑦 = −6 Bạn giải dễ dàng cách sử dụng phƣơng pháp khử biến phƣơng pháp thay thế, ta có đáp cuối 𝑥 = −2, 𝑦 = Khó thêm chút nữa, đƣợc học thêm hệ phƣơng trình ba ẩn 𝑥, 𝑦, 𝑧 ví dụ nhƣ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −6𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = 12  Sử dụng phƣơng pháp cũ nhƣng dài dòng chút giải 𝑥 = −914, 𝑦 = −3914, 𝑧 = 32  Và thực tế, học đến thơi, nhƣng giới bên ngồi không đơn giản nhƣ vậy, bạn phải giải hệ phƣơng trình nhiều ẩn ví dụ nhƣ ẩn, 20 ẩn, có lến đến ngàn ẩn,  Lúc này, ngƣời ta sử dụng chữ 𝑥, 𝑦, 𝑧 để biểu diễn hệ phƣơng trình có trăm ngàn ẩn nữa, thay vào ngƣời ta nghĩ thứ đơn giản để dễ dàng biểu diễn tính hệ phƣơng trình có nhiều ẩn, khái niệm gọi ma trận (matrix) đời  Ví dụ: Một nhóm du lịch tàu hỏa chi phí triệu đồng trẻ em, triệu đồng ngƣời lớn tổng chi phí 39 triệu đồng Khi họ máy bay triệu đồng trẻ em, triệu đồng ngƣời lớn tổng chi phí 141 triệu đồng Tính số trẻ em, số ngƣời lớn  Gọi a số lƣợng trẻ em nhóm  Gọi b số lƣợng ngƣời lớn nhóm Theo giả thiết ta có hệ phƣơng trình 𝑎 + 2𝑏 = 39 4𝑎 + 7𝑏 = 141 Hệ phƣơng trình cịn đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau: 𝑎 39 = 𝑏 141 Đây đƣợc gọi phƣơng trình ma trận 1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Dạng tổng quát Ví dụ:  Ma trận khơng ma trận có phần từ Kí hiệu : 1.3 Ma trận tam giác: Ma trận tam giác Ma trận tam giác dƣới - Nếu giới hạn vơ hạn ta nói hàm số có đạo hàm ∞ 𝑥 nhƣng khơng khả vi 𝑥 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số ln⁡ (1 + 𝑥 ) 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 = b Các qui tắc tính đạo hàm c Bảng cơng thức tính đạo hàm d Đạo hàm phía - Đạo hàm phải 𝑓 ′ 𝑥0+ = 𝑓 𝑥 +∆𝑥 −𝑓(𝑥 ) lim∆𝑥→0+ ∆𝑥 - Đạo hàm trái 𝑓 ′ 𝑥0− 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = lim− ∆𝑥→0 ∆𝑥 Định lí: Điều kiện cần đủ để hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm hữu hạn (hay khả vi) điểm 𝑥0 tồn đạo hàm phải hữu hạn đạo hàm trái hữu hạn 𝑓(𝑥) 𝑥0 chúng nhau, tức là: 𝑓 ′ 𝑥0+ = 𝑓 ′ 𝑥0− ′ − Khi đó: 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥+ = 𝑓 𝑥 Các khái niệm 1.1 Định nghĩa Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ qui tắc đặt tƣơng ứng giá trị 𝑥 ∈ 𝐷 với giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥) • D: tập xác định 𝑓 • 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị hàm số • Tập cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} hệ tọa độ Oxy gọi đồ thị hàm số 1.2 Các phép tính hàm số a Cộng, trừ, nhân, chia b Hàm hợp Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝑋 TGT 𝑌 Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ 𝑌1 TGT 𝑍 Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 ta xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ sau 𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ 𝑕(𝑥) Hàm số gọi hàm số hợp 𝑔 𝑓 Kí hiệu 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓 Ví dụ 1: Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 ta có hàm số hợp 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 − 2𝑥 + 4) c Hàm ngƣợc Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝐷 tập giá trị 𝑌 Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷 ta xác định hàm số 𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ gọi hàm số ngƣợc hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 Lƣu ý: - Ta thƣờng coi 𝑥 biến, 𝑦 hàm số nên hàm số ngƣợc hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 - Nếu vẽ hệ tọa độ hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm ngƣợc 𝑦 = 𝑔 𝑥 đối xứng qua đƣờng phân giác y = x 1.3 Các hàm số sơ cấp a Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 b Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (𝛼 − 𝑕ằ𝑛𝑔 𝑠ố) (0 < 𝑎 ≠ 1) c Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , d Các hàm lƣợng giác sin 𝑥; cos 𝑥; (0 < 𝑎 ≠ 1) tan 𝑥; e Các hàm lƣợng giác ngƣợc: cot 𝑥 1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦 𝜋 𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 ≤𝑦≤ 2 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ −1 − − 2 arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 𝑥 -1 𝜋 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arcsin 𝑥 đồng biến [-1; 1] −𝜋 𝜋  Tập giá trị [ ; ] 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑥 = cos 𝑦 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ: -1 𝑥 −1 − − 2 2 2 arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 6 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arccos 𝑥 nghịch biến [-1; 1]  Tập giá trị [0 ; 𝜋] 3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑥 = tan 𝑦 𝜋 𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋