Bài toán 35 thể tích khối đa diện

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489 Bài tốn 35 Thể tích khối đa diện • Phần A Trắc nghiệm khách quan • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu (Đề minh hoạ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy M , N trung điểm cạnh SB , SD ; K giao điểm mặt phẳng  AMN  SC Gọi V1 thể tích khối chóp S AKMN , V2 thể tích khối đa diện lồi AMKNBCD Tính A Câu Câu Câu D B 30 cm C 45 cm3 D 15 cm a3 B 3a3 C 3a3 D a3 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  AA '  a Gọi M , P trung điểm hai cạnh AC B ' C ' Lấy điểm N cạnh AB thỏa mãn AN  AB Mặt phẳng  MNP  chia lăng trụ cho thành khối đa diện, thể tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C là: 3057 2057 a a A V1  B V1  23520 23520 4057 5057 a a C V1  D V1  23520 23520 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  Biết A B vng góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy góc 45 Góc hai mặt phẳng  ABB A   ACC A  30 Khoảng cách từ A đến BB  CC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A BB , CC  H , K  hình chiếu vng góc A BB , CC  Thể tích lăng trụ AHK AH K  200 200 A V  B V  100 C V  D V  100 3 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có độ dài tất cạnh a Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh AC cho CN  AN Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B C  A Câu C Cho lăng trụ ABC ABC  tất cạnh a Gọi M điểm đối xứng A qua BC  Thể tích khối đa diện ABC.MBC  A Câu Phát triểu câu tương tự Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có điểm O G tâm mặt bên ABB ' A ' trọng tâm ABC Biết VABC A ' B 'C '  270 cm Thể tích khối chóp AOGB A 15 cm Câu B V1 V2 3a3 12 B 3a 36 C 3a 36 D 3a 12 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 30 Gọi O tâm hình bình hành ABBA G trọng tâm tam giác ABC  Thể tích tứ diện COGB A B 15 14 C D 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh 1cm Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , AD  , DC  , C B O , I , J ,,lần lượt tâm hình vng ABCD , AADD , BCC B (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện OINPQMJ A Câu cm B cm3 24 C cm3 24 D cm3 12 Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao a đáy tam giác cạnh a Gọi M , N P tâm mặt bên ABB A , ACC A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P 3a 3 3a 3 a3 3a 3 B C D 32 32 24 Câu 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Trên cạnh AA , BB , CC  lấy điểm M , N , P cho AM  , BN  , CP  Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD Q Gọi AA BB CC  V V1 , V2 thể tích khối đa diện MNPQABCD MNPQABC D Khi V2 31 40 40 A B C D 31 31 A Lời giải tham khảo Câu (Đề minh hoạ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy M , N trung điểm cạnh SB, SD ; K giao điểm mặt phẳng  AMN  SC Gọi V1 thể tích V1 V2 D khối chóp S AKMN , V2 thể tích khối đa diện lồi AMKNBCD Tính A B Lời giải C Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Gọi E  MN  SO  E trung điểm SO Xét SOC , áp dụng định lý Menelauyt, ta có: KS AC EO KS KS KS  1    KC AO SE KC 1 KC SC C1: Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có: 1 1 VS AMKN V1 V  1          VS ABCD VS ABCD V2 VS AMKN VS AMN VS MKN V V 1 1 1 1    S AMN  S MKN        VS ABCD VS ABCD VS ABCD 2VS ABD 2VS BCD  2    V1 V     VS ABCD V2 C2: Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có điểm O G tâm mặt bên ABB ' A ' trọng tâm ABC Biết VABC A ' B 'C '  270 cm Thể tích khối chóp AOGB A 15 cm B 30 cm C 45 cm3 D 15 cm Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Gọi M trung điểm BC Ta có:  VAOGB AO AG    VAOGB  VAB ' MB (1) VAB ' MB AB ' AM 3 1  S B ' MB  d  B ', BC  BM  d  B ', BC  BC  S B 'C ' CB 4  VAB ' MB VAB ' C 'CB d  A,  B ' BM   S B ' MB 1    VAB ' MB  VAB 'C 'CB (2) d  A,  B ' C ' CB   S B 'C ' CB  VAB ' C ' CB  VABC A ' B ' C ' (3) 1 1 Từ (1), (2) (3), suy VAOGB  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B ' C '  270  15 cm3 18 18 Vậy VAOGB  15 cm Câu Cho lăng trụ ABC ABC  tất cạnh a Gọi M điểm đối xứng A qua BC  Thể tích khối đa diện ABC.MBC  A a3 B 3a3 C 3a3 D Lời giải Chọn B Cách 1: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Gọi H hình chiếu A lên BC , có M điểm đối xứng A qua BC  nên H trung điểm AM Ta có: VABC MBC   VA BCC B  VM BCC B Do H  AM   BCC B  , H trung điểm AM nên d  A;  BCCB   d  M ;  BCCB  Suy VA.BCC B  VM BCC B  VABC MBC   2VA BCC B Ta có: VA.BCC B  VABC ABC   VA ABC   VABC ABC   VABC ABC   VABC ABC  3 Thể tích khối lăng trụ VABC ABC   AA.S ABC  a a2 a3  4 a3 3a  Khi đó: VABC MBC   2VA BCC B  VABC ABC   3 Cách 2: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Gọi I trung điểm BC AI  BC ; AI  a  AI  BB  AI   BCCB Ta có:   AI  BC 1 3a Ta có VA.BCC B  d  A;  BCC B   S BCC B  AI S BCC B  a.a  3 Vì M đối xứng với A qua BC nên d  A;  BCC B   d  M ;  BCC B  Suy VA.BCC B  VM BCC B  3a Vậy VABC MBC   2VA.BCC B  3a Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  AA '  a Gọi M , P trung điểm hai cạnh AC B ' C ' Lấy điểm N cạnh AB thỏa mãn AN  AB Mặt phẳng  MNP  chia lăng trụ cho thành khối đa diện, thể tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C là: 3057 2057 A V1  B V1  a a 23520 23520 4057 5057 a a C V1  D V1  23520 23520 Lời giải Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Trong mp( ABC ) vẽ MN  CB  Q , áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB ta có: MA QC NB QC QC   1  MC QB NA QB QB Trong mp( BB ' C ' C ) : EB ' PB ' EB ' B ' C ' Vẽ QP  BB '  E (dễ thấy     ) EB QB EB BC 3 Vẽ QP  CC '  F (dễ thấy FC '  EB '  CC ' ) 3 Trong mp(AA ' C ' C ) vẽ MF  A ' C '  K (dễ thấy KC '  MC  AC ) 10 20 Vậy thiết diện ngũ giác MNEPK  V1  VF MQC  VF KPC '  VE NQB (*) Trong đó: 15 25a 3  10 VF MQC  S MQC FC   S ABC  CC '  3 252   1 3a 3  VF KPC '  S KPC ' FC '   S ABC  CC '  3  40 1120   1 4a 3  VE NQB  S NQB EB   S ABC  CC '  3  21 441   2057 Thay vào (*) ta được: V1  a 23520 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  Biết AB vng góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy góc 45 Góc hai mặt phẳng  ABB A   ACC A  30 Khoảng cách từ A đến BB  CC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A BB , CC  H , K  hình chiếu vng góc A BB , CC  Thể tích lăng trụ AHK AH K  200 200 A V  B V  100 C V  D V  100 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Lời giải Chọn D Từ đỉnh A kẻ AH  BB   H  BB   Cũng từ A kẻ AK  CC   K  CC   Góc hai mặt phẳng  ABB A   ACC A  30   300 Suy ra, tam giác HAK , có HAK 1 Diện tích tam giác S AHK  AH AK sin 30  5.8  10 2  ABC Góc đường phẳng A A   góc AAB  45 Mà  AAB  45   ABH  AA , AB    AA AB nên AH  sin450 AB Xét tam giác BAA vuông B suy AA   10 cos450 Mà AA đường cao lăng trụ AHK AH K  Nên thể tích VAHK AH K   AA.S AHK  10.10  100 Câu Cho hình lăng trụ ABC ABC  có độ dài tất cạnh a Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh AC cho CN  AN Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B C  Xét tam giác HAB vuông H suy AB  A 3a3 12 B 3a 36 C 3a 36 D Lời giải Chọn C Cách Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 12 Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 N H A C M B C' A' B' Gọi V thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B  C  Khi ta có: V  VM AAN  VM AC N  VM ABC  Từ giả thiết ta có: S AAN  S ABC   1 a a2 1 a2 AA AN  a  ; S AC N  d  N , AC   AC   a.a  ; 2 2 a2 AB AC .sin 60  Gọi H trung điểm AC BH   ACC A BH  a ), suy d  M ,  ACC A    a (do ABC tam giác cạnh 1 a d  B,  ACC A    BH  2 Khi ta thu kết sau 1 a a a3 VM AAN  d  M ,  ACC A   S AAN   3 72 1 a a a3 VM AC N  d  M ,  ACC A   S AC N   3 24 1 a a3 VM ABC   d  M ,  ABC    S ABC   a  3 12 Vậy V  VM AAN  VM AC N  VM ABC   a 3 a 3 a 3 3a    72 24 12 36 Cách Gọi V thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B  C  Khi ta có: V  VM AAC N  VM ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Ta có S AAC N  1 a  2a AA  AN  AC    a   a   2 3  1 a 2a 3a Suy VM AAC N  d  M ,  ACC A   S AAC N   3 36 1 a2 a3 VM ABC   d  M ,  ABC    S ABC   a  3 12 Vậy V  VM AAC N  VM ABC   3a a 3 3a   36 12 36 Cách N H C B a A M C' A' B' - Gọi H trung điểm AC V thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B  C  Khi V  VAMH ABC   VM NHC  - Dễ thấy MH //BC  nên AMH ABC  khối chóp cụt - Áp dụng cơng thức thể tích V1 khối chóp cụt có chiều cao h , diện tích đáy nhỏ đáy lớn theo thứ tự S0 , S1 ta có V1  - Khi VAMH ABC      h S  S0 S1  S1 AA S AMH  S AMH S ABC   S ABC    a  a2 a a a  7a 3     34 4 4  48   1 a a a3 - Mặt khác VM NHC   d  M ,  ACC A   S NHC   a  3 144 Vậy V  VAMH ABC   VM NHC   a 3 a 3 3a   48 144 36 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 30 Gọi O tâm hình bình hành ABBA G trọng tâm tam giác ABC  Thể tích tứ diện COGB A B 15 14 C D 10 Lời giải Chọn D Gọi I trung điểm AC  Ta có: VB.GOC BG BO BC 1     VB.GOC  VB.IAC 1 VB.IAC BI BA BC 3 Mặt khác S IAC  Mà 1 d I , AC  AC  d A, AC  AC  S AAC  S ACC A 2 VB.IAC S 1  IAC   VB.IAC  VB ACC A   VB ACC A S ACC A 2 VB ACC A  VABC ABC   VB ABC  VABC ABC   VABC ABC   30  20  3 3 10 Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh 1cm Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , AD  , DC  , C B O , I , J ,,lần lượt tâm hình vng ABCD , AADD , BCC B (như hình vẽ) Từ 1 ;   ;  3 suy  VB.GOC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Tính thể tích khối đa diện OINPQMJ A cm B cm3 24 C cm3 24 D cm3 12 Lời giải Chọn C Gọi H , K trung điểm AD , DC Ta có VOINPQMJ  VOINP  VOMNPQ  VOMQJ  2VOINP  VOMNPQ 1 1 2   cm3 Mà VONIP  VOHKPN   DO   HK KP   4 2 12 48  Và VOMNPQ 1  2  d  O,  MNPQ   S MNPQ     cm 3   Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Vậy VOINPQMJ TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 1    cm 48 24 Câu Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao a đáy tam giác cạnh a Gọi M , N P tâm mặt bên ABB A , ACC A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 3a 3 32 B 3a 3 a3 32 Lời giải C D 3a 3 24 Chọn A a a3  4 Gọi E, K , Q trung điểm AA, BB, CC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V  a V V , VABCMPN  VABC EKQ  VA EMN  VB.MKP  VC PQN   VA.EMN  VB.MKP  VC PQN 2 V 1 VA EMN  VB.MKP  VC PQN  SEMN  SMKP  SPQN  SEKQ  SABC Mà Vì 24 4 d  A,  EMN    d  B,  MKP    d  C,  PQN    d  A,  AB C    Ta có VABC EKQ  V V 3V a3 3a3     8 32 Câu 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Trên cạnh AA , BB , CC  lấy điểm AM BN CP  ,  ,  Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD Q Gọi M , N , P cho AA BB CC  V V1 , V2 thể tích khối đa diện MNPQABCD MNPQABC D Khi V2 31 40 40 A B C D 31 31 Suy VABCMNP  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Chọn A Lấy O , O tâm ABCD ABC D Gọi I  OO  MP  NI  DD  Q Vậy DD   MNP   Q AM BN CP DQ  x;  y;  z  w AA BB CC  DD Ta có: MA  PC  NB  QD  2OI nên x  z  y  w Đặt VABC MNP  VACD.MPQ VACD.MPQ  1 V   ABC MNP    VABC ABC  VACD AC D  VABCD ABC D 2VABC ABC   x  z 31 1 x y z x zw         x  y  z  w  2 3 2 40  Mặt khác ta có VMNPQ ABCD Suy VMNPQ ABCD   31 VABCD ABC D 40 31 VABCD ABCD  VABCD ABC D 40 40 V 31 31 Vậy V1  VABCD ABC D , V2  VABCD ABC D , suy  V2 40 40 Lại có VMNPQ ABC D  VABCD ABC D   VMNPQ ABCD  VABCD ABC D  Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... MNP  chia lăng trụ cho thành khối đa diện, thể tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C là: 3057 2057 A V1  B V1  a a 2352 0 2352 0 4057 5057 a a C V1  D V1  2352 0 2352 0 Lời giải Chọn B Trang Fanpage... V thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B  C  Khi V  VAMH ABC   VM NHC  - Dễ thấy MH //BC  nên AMH ABC  khối chóp cụt - Áp dụng cơng thức thể tích V1 khối. .. N trung điểm cạnh SB, SD ; K giao điểm mặt phẳng  AMN  SC Gọi V1 thể tích V1 V2 D khối chóp S AKMN , V2 thể tích khối đa diện lồi AMKNBCD Tính A B Lời giải C Chọn A Trang Fanpage Nguyễn