Thực hành Toán cao cấp - Chương 9: Ứng dụng của đạo hàm và tích phân - Tích phân hai lớp. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: tối ưu hàm số với nhân tử Lagrange; bài toán thủy triều; ứng dụng đạo hàm, giới thiệu bài toán bình phương cực tiểu và khớp đường cong; lượng mưa trung bình;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Bộ mơn Khoa học Dữ liệu THỰC HÀNH TỐN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn: TS Hồng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều Anh – Lê Thị Ngọc Huyên – … TP.HCM – Năm 2019 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 9: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN - TÍCH PHÂN HAI LỚP Tối ưu hàm số với nhân tử Lagrange Bài toán thủy triều Ứng dụng đạo hàm, giới thiệu tốn bình phương cực tiểu khớp đường cong 3.1 Bình phương cực tiểu 3.2 Ứng dụng dự đoán giá trị Lượng mưa trung bình 12 4.1 Khái niệm tích phân bội/kép/2 lớp 12 4.2 Ứng dụng tích phân bội/kép/2 lớp 15 4.2.1 Tích phân bội/kép tính giá trị trung bình vùng 15 4.2.2 Ứng dụng tính lượng mưa trung bình 16 BÀI TẬP CHƯƠNG 19 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 9: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN - TÍCH PHÂN HAI LỚP Mục tiêu: - Hàm Lagrange (củng cố nội dung nhân tử Lagrange học từ trước) - Đạo hàm hàm lượng giác – Bài toán thủy triều - Ứng dụng đạo hàm: Giới thiệu bình phương cực tiểu hàm khớp đường cong - Tích phân kép/bội - Bài tốn tính tốn lượng mưa trung bình Nội dung chính: Tối ưu hàm số với nhân tử Lagrange Giả sử bạn giao phụ trách Hành trình nguồn Ở chặng nọ, Ban tổ chức yêu cầu thực buổi cắm trại khu vực (gọi picnic area) bãi cỏ dọc theo Quốc lộ (highway) với diện tích cần 5000 m2 cần thuê hàng rào để chắn (như hình bên dưới) Chi phí th hàng rào thuê với giá 1.000 đồng/mét Bạn tìm cách giảm số tiền thuê hàng rào để tiết kiệm chi phí cho hành trình (theo nghĩa số mét hàng rào số tiền th ít) Giải: Xét hàm chiều dài hàng rào hình trên: = Mục tiêu phải cực tiểu +2 điều kiện diện tích khơng thay đổi, nghĩa là: , = = 5000 Theo đó, có đạo hàm riêng sau: Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu = 1; = 2; = = = 5000 Và hệ phương trình Lagrange sau: 1= ;2 = … [Sinh viên tiếp tục giải tính tốn để có kết quả]……………… Thực hành 1: Hãy viết đoạn lệnh Python để minh họa tính toán bên >>> …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Bài toán thủy triều Thủy triều tượng tự nhiên tác động sức hút Trái đất từ Mặt Trời Mặt Trăng Một số nơi, thủy triều dâng cao, đến khoảng 12.0 mét Chu kỳ tự nhiên 12 đồng hồ diễn khắp đại dương, biển giới gây nhiều tác động triều cường (gây ngập đô thị), gây cho nước biển mặn xâm nhập vào sông ảnh hưởng đến trồng nông nghiệp,… Mô hình tổng quát là: ℎ = + " #$ cos −! Bảng lực tác động: Đối tượng tạo Lực Mặt Trời Lực Mặt Trăng Lực Mặt Trăng Lực Mặt Trời Tên lực Lunisolar force Main lunar force Main lunar force Main solar force Lực %$ )$ ,* 0* Cường độ $ = 0.878 * = 0.762 - = 1.993 " = 0.899 Pha thay đổi !$ = 0.878 !* = 0.762 !- = 1.993 !" = 0.899 Theo tính tốn từ nhà khoa học, chu kỳ triều hàm lượng giác trộn tác động từ chu kỳ Mặt Trời Mặt Trăng Lực tác động mạnh xếp gần thẳng hàng điều Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu nghĩa đầu tháng tháng theo lịch âm, nghĩa ngày khơng trăng (new moon) ngày trăng trịn (full moon) Và thủy triều thay đổi tuần thứ tháng (âm lịch) Dưới hình sưu tập thủy triều tuần San Diego 9/2002 Lưu ý rằng: tính tốn đạo hàm hàm lượng giác: 123 = 561 561 = −123 Nghĩa biến đổi sin cos chậm (chúng ta xem đồ thị vẽ) Từ đó, cơng cụ tốn học giúp việc dự đốn thủy triều Và có đạo hàm mơ hình thủy triều là: Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu ℎ4 =− " #$ sin −! Như vậy, từ đó, tính cực trị (nghĩa cực đại cực tiểu) ℎ4 = Tuy nhiên, nhận xét chung với cơng thức trên, rõ ràng, việc tính tốn tay khó khăn Chúng ta phải sử dụng cơng cụ máy tính trợ giúp Thực hành 2: Tính tốn giá trị thủy triều Xét mơ hình thủy triều ; (theo mét) tính từ = (từ lúc ngày 30/6/2009 ghi nhận Vịnh Bay of Fundy bờ biển Atlantic Canada): ; = + 5cos [0.503 − 6.75 ] Hãy tính tốc độ thay đổi triều vẽ đồ thị Python thời điểm: a b c d 3:00 sáng 6:00 sáng 9:00 sáng Giữa trưa, nghĩa 12 phút Giải: Ta có hàm ; là: ; = + 5cos [0.503 − 3.39525] Và ta tính đạo hàm ; theo là: >? Né = −A BCB DEF[G BGH@ − H HIBAB] đơ3 ị Mà >@ 2ờ Đây phương trình để xác định tốc độ thay đổi nhanh triều Từ đây, tính tốn được: a QR Q- = −2.515 sin 0.503 − 3.39525] >>> from sympy import sin >>> dD3 = -2.515*sin(0.503*3 − 3.39525) >>> print (dD3) ………………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Tương tự, sinh viên tính tốn tốc độ thay đổi lại: b QR QS = −2.515 sin 0.503 − 3.39525] >>> from sympy import sin >>> dD6 = -2.515*sin(0.503*6 −3.39525) >>> print (dD6) ………………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào c QR QT = −2.515 sin 0.503 − 3.39525] >>> from sympy import sin >>> dD9 = -2.515*sin(0.503*9−3.39525) >>> print (dD9) ………………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào d QR Q$* = −2.515 sin 0.503 12 − 3.39525] >>> from sympy import sin >>> dD12 = -2.515*sin(0.503*12 – 3.39525) >>> print (dD12) ………………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào Lưu ý: thay đổi âm, nghĩa đạo hàm âm, nghĩa nước (thủy triều) rút; thay đổi dương, nghĩa thủy triều tăng cao (nước lên) Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Ứng dụng đạo hàm, giới thiệu tốn bình phương cực tiểu khớp đường cong Một lớp toán ứng dụng giải tích mà người làm khoa học liệu thường xuyên tiếp cận tìm hàm/phương trình/đường cong mơ tả “gần giống” với tập liệu thu thập Từ đó, người ta “hiểu” xu hướng liệu để dự báo để thực vấn đề như: nhận biết, dự đốn, tìm sai sót tạo,… chí để nén liệu Nhiều phương pháp tiếp cận để tìm đường cong tốt thỏa điều kiện Trong phương pháp đó, bình phương cực tiểu phương pháp kinh điển, có từ lâu đời Dưới phương pháp bình phương cực tiểu giới thiệu theo cách tiếp cận khái niệm lệnh sử dụng gói tính tốn Python 3.1 Bình phương cực tiểu Bình phương cực tiểu phương pháp tìm hàm xấp xỉ giá trị tập liệu Ít có mơ hình với phương pháp, là: - Mơ hình tuyến tính: nghĩa tìm đường thẳng dạng = = + U gần “giống” với liệu Mơ hình đa thức: nghĩa tìm đa thức, ví dụ với đa thức bậc = = * + $ + * gần “giống” với liệu Mô hình phi tuyến: thường dạng tìm hàm phi tuyến, dạng logarit dạng mũ V Ví dụ: = = M3 + M3U Với phương pháp, ln có giá trị sai số trả giá trị sai lệch so với tập giá trị thực Ý tưởng tảng phương pháp cực tiểu tổng bình phương hiệu giá trị đo giá trị dự đốn Điều có nghĩa tìm cực tiểu hàm số: W= Y X#$ X − Và giải hệ trên, hệ số mơ hình thêm số kiến thức đại số tuyến tính * ! Việc giải hệ sinh viên cần học 3.2 Ứng dụng dự đoán giá trị Dưới đây, sử dụng hàm để tìm đường cong gần với tập liệu Sinh viên thực hành toán sau: Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Thực hành 3: Bài tốn Sức khỏe cộng đồng (public health) - Khớp đường cong hàm bậc Trong nghiên cứu liệu khu cơng nghiệp, hai nhóm sinh viên mơi trường y dược thu thập liệu khơng khí nhiễm trung bình số người mắc bệnh đường hô hấp (tỉ lệ 100.000 dân) sau: Khu cơng nghiệp Ơ nhiễm sinh viên môi trường sử dụng máy đo Số lượng bệnh nhân sinh viên học Y dược khảo sát Yêu cầu: - I 3.4 II 4.6 III 5.2 IV 8.0 V 10.7 48 52 58 76 96 Tìm phương trình bậc để “xấp xỉ” với tập liệu Hãy ước tính số lượng người bị mắc bệnh hơ hấp khu vực có mức nhiễm trung bình 7.3 (đơn vị) Hãy vẽ đồ thị liệu (màu xanh) hàm số “xấp xỉ” (màu đỏ) Giải: Sử dụng thư viện curve_fit gói scipy.optimize để tìm hệ số phương trình bậc (dạng = = + U) cần tìm: >>> from scipy.optimize import curve_fit >>> import numpy as np >>> x_data = np.array([3.4, 4.6, 5.2, 8.0, 10.7]) >>> y_data = np.array([ 48, 52, 58, 76, 96 ]) >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> plt.plot(x_data, y_data, 'b-', label='data') Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> def ham_bac_1(x, a, b): return a*x + b >>> duongcong, saiso = curve_fit(ham_bac_1, x_data, y_data) >>> duongcong >>> gia_tri_73 = ham_bac_1(7.3, *duongcong) >>> print (gia_tri_73) ………………………………………………… sinh viên tự điền vào >>> plt.plot(x_data, ham_bac_1(x_data, *duongcong), 'r-', label='fit') >>> plt.xlabel('Truc X') >>> plt.ylabel('Truc Y') >>> plt.legend() >>> plt.show() Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 10 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Thực hành 4: Bài toán Sức khỏe cộng đồng (public health) – Khớp đường cong hàm bậc Như tập trên, thay đổi từ phương trình bậc sang phương trình bậc Hướng dẫn: Chỉ cần thay hàm bậc 1: >>> def ham_bac_1(x, a, b): return a*x + b Bằng hàm bậc 2: >>> def ham_bac_2(x, a, b, c): return a*x**2 + b*x + c Kết hình đường cong bậc Sinh viên điền giá trị a, b, c tìm tính giá trị điểm 7.3 ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 11 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Lượng mưa trung bình Tích phân bội/kép/2 lớp tích phân nhiều lớp (như lớp) cơng cụ tốn học cần thiết để phân tích liệu cho tốn vùng/miền (tóm lại liệu nhiều, mà thường >=3, chiều) 4.1 Khái niệm tích phân bội/kép/2 lớp Giả định không gian vùng hình chữ nhật Z có hàm nghĩa hình chữ nhật hàm Z Mơ tả hàm Z: Z = [ , U] × [5, \] = { , ∈ ℝ* | ≤ , ≤ U, ≤ hai biến , định ≤ \} Dưới đồ thị biểu diễn hàm mặt ) c với phương trình c = , , nghĩa c mang giá trị bề mặt vị trí , Gọi d phần nằm bên khu vực Z nằm bên đồ thị hàm Chúng ta muốn tính tốn thể tích e hình d Vùng Z chia thành hình chữ nhật Zfg với diện tích ∆i với cạnh ∆ ∆ Để thực việc này, chia vùng [ , U] thành N khoảng tương tự vùng [5, \] thành khoảng Từ đó, ta có: ∆ = Thể tích “cột” Zfg U− \−5 ,∆ = ⟹ ∆i = ∆ ∆ N ∗ k, ô Zfg mô tả hình Lưu ý: tích hình chữ nhật Zfg ∗ k ∆i với giá trị ∗ k, ∗ k ∗ k, ∗ k điểm mẫu chiều cao tương ứng “cột” ∆i diện Bên hình ảnh thể cách chia thể tích cần tính tốn tương ứng Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 12 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Như vậy, ý tưởng thể tích tính xấp xỉ với khối d sau: m≈ o Y ∗ k, #$ k#$ ∗ k ∆i Tổng người ta gọi tổng Riemann kép (double Riemann sum) để tính tốn xấp xỉ giá trị thể tích hình khối Tổng kép việc phân chia vùng điểm nhân chiều cao với diện tích hình chữ nhật thực việc tổng lại để thể tích Khi giá trị N lớn, thể tích đạt là: m = lim o,Y→s o Y #$ k#$ ∗ k, ∗ k ∆i ∗ k, ∗ k ∆i Hoặc tương ứng với công thức: m= lim ∆ ,∆ → o Y #$ k#$ , Và đến đây, có định nghĩa tích phân bội/kép hàm mặt phẳng sau: t v , \u = lim o,Y→s o Y #$ k#$ ∗ k, ∗ k vùng chữ nhật Z ∆i Thực hành Python: Hãy tính tích phân kép/bội cho cho hàm , = * − miền chữ nhật Z = [0,2] × [0,3] theo cách: tính x trước y sau; cách 2: tính y trước x sau: Thực hành 5: Tính tích phân bội/kép Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 13 Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> from sympy import * >>> x, y = symbols("x y") >>> f = (3*x ** - y) >>> = integrate(f, (y, 0, 3), (x, 0, 2)) >>> ………………………………………………………… Sinh viên điền vào >>> = integrate(f, (x, 0, 2), (y, 0, 3)) >>> ………………………………………………………… Sinh viên điền vào Sinh viên giải thích hai kết (Gợi ý: xem định lý Fubini) Bài toán tính tốn tương tự: Thực hành 6: Tính tích phân bội/kép w=t R ; miền phẳng giới hạn đường: Gợi ý: Giải miền ; ;: y Thực hành Toán cao cấp - 2019 −2 ≤ ≤ z ≤ ≤2− * \ \ =2− * = Trang 14 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Từ đó, $ w = {\ { *| } \ |* Sử dụng Sympy để tính tốn: >>> from sympy import * >>> x, y = symbols("x y") >>> f = x* y >>> = integrate(f, (y, x, 2-x*x), (x, -2, 1)) >>> ………………………………………………………………… Sinh viên điền kết 4.2 Ứng dụng tích phân bội/kép/2 lớp 4.2.1 Tích phân bội/kép tính giá trị trung bình vùng Chúng ta có cơng thức sau: Giá trị trung bình hàm biến diện tích vùng/miền ? là: ~•€ = t ;2ệ3 í5ℎ ? ? , \ \ Lưu ý: Trong tích phân (đơn), cơng thức để tính giá trị trung bình biến [ƒ, „] là: …@„ = € { U− † \ Từ công thức trên, có ứng dụng phổ biến ngày: Tính lượng mưa trung bình khu vực Lượng mưa trung bình khu vực thơng số cho thấy yếu tố khí tượng thời tiết vực Từ đó, người nhận thông tin hiểu khu vực để có chủ động sinh hoạt – sản xuất Ví dụ: nơi có lượng mưa trung bình q khó trồng trọt khu vực có lượng mưa nhiều, Dưới phương pháp tính lượng mưa trung bình khu vực giới thiệu ứng dụng tích phân lớp Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 15 Bộ môn Khoa học Dữ liệu 4.2.2 Ứng dụng tính lượng mưa trung bình Trong khu vực địa lý (giả định thành phố), số máy đo lượng mưa lắp đặt số nơi thành phố Khi đó, người ta chia đồ thành lưới ô vuông với tọa độ ô lưới ‡ k , k ˆ, ≤ ≤ N; ≤ ‰ ≤ Tại lưới, giả định có trạm đo mưa Giá trị đo mưa trạm tính cho lưới Dưới đồ lượng mưa ảnh hưởng từ bão Karl, lượng mưa có đơn vị 4–8 inches (tương đương 100–200 mm) số nơi khu vực tây nam Wisconsin, phía nam Minnesota đơng nam South Dakota, trãi dài 300 dặm (miles) từ đông sang tây 250 dặm từ bắc đến nam Bản đồ thời tiết cho thấy hệ thống bão ẩm bất thường liên quan đến tàn dư bão Karl, đổ mưa inch (100 đến 200 mm) số khu vực thuộc miền Trung Tây vào ngày 22 tháng năm 2010 khu vực có lượng mưa đo 300 dặm phía đơng sang tây 250 dặm phía bắc xuống nam Bản đồ có diện tích 75000 (đơn vị diện tích, dặm vuông – square miles) Và đồ phân hoạch thành lưới 2x3 với số liệu sau: Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 16 Bộ môn Khoa học Dữ liệu - Tại điểm (x11,y11) lượng mưa 0.08 Tại điểm (x12,y12) lượng mưa 0.08 Tại điểm (x13,y13) lượng mưa 0.01 Tại điểm (x21,y21) lượng mưa 1.70 Tại điểm (x22,y22) lượng mưa 1.74 Tại điểm (x23,y23) lượng mưa 3.00 Lưu ý: Dữ liệu lượng mưa điểm giả định điểm trung tâm ô Hãy ước tính lượng mưa trung bình tồn khu vực hai ngày Giải Từ diện tích tổng thể 75000 (dặm vng), suy diện tích (bản đồ chia làm ô) là: ∆i = 1 ; = 75000 = 12500 6 Khi đó, ta có lượng mưa trung bình khu vực đồ là: •€ = t \2ệ3 í5ℎ Uả3 đồ; R , \ \ ≅ 75000 - * #$ #$ đ• k , đ• k ∆i Như vậy: Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 17 Bộ môn Khoa học Dữ liệu ≅ [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.7 + 1.74 + 3.00]12500 75000 ≅ 1.10 Kết luận: lượng mưa trung bình khu vực xấp xỉ là: 1.10 (đơn vị inches) Thực hành 7: Hãy viết chương trình tính tốn lượng mưa trung bình biết thơng số Liệt kê thơng số để viết chương trình: ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Viết chương trình Python: >>> def………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Hiển nhiên, khu vực chia nhỏ việc tính tốn lượng mưa trung bình xác Tuy nhiên, để khu vực chia nhỏ vấn đề cần phải tăng cường số lượng trạm đo lựa chọn vị trí đặt trạm để việc quan sát tốt Tài liệu tham khảo sinh viên đọc thêm nội dung trên: https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_Calculus Early_Transcendentals_(Stewart)/15%3A_Multiple_Integrals/15.4%3A_Applications_of_Double_Integr als Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 18 Bộ môn Khoa học Dữ liệu BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1: Hãy tìm kiếm Google liệu để vừa đủ (nghĩa không dư không thiếu) cho phục vụ việc tính tốn lượng mưa trung bình TP.HCM (như số lượng trạm, vị trí trạm, số đo trạm…) Gợi ý: trang web khí tượng thủy văn khu vực Nam Bộ Thông tin cần biết: Bản đồ 13 trạm đo mưa địa bàn Thành phố Hồ Chí Minh Bài tập 2: Cá sấu cười nào? - Các thiết kế công nghiệp mẫu mã xe ôtô,… bí mật nhà sản xuất thiết kế trước sản phẩm bán thị trường Vì thơng thường, hình ảnh mẫu sản phẩm công nghiệp công bố sớm dễ dàng bị đối thủ “sao chép” mẫu mã bất hợp pháp Giả định có mẫu cá sấu với bảng vị trí cá sấu xác định từ Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 19 Bộ môn Khoa học Dữ liệu hình chụp có bảng số liệu cho sau (trong đó: tooth number thứ tự răng; position vị trí hình chụp): Nhà sản xuất cho biết thiết kế hàm cá sấu theo mẫu phương trình bậc Biết theo nghiên cứu ông Paul Kulesa hàm cá sấu hàm dạng parabol có phương trình dạng: = =− * +U Hãy xây dựng hàm số cho hàm cá sấu (nghĩa tìm hệ số Thực hành Toán cao cấp - 2019 U) để nhà sản xuất làm theo Trang 20 ... liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 9: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN - TÍCH PHÂN HAI LỚP Tối ưu hàm số với nhân tử Lagrange Bài toán thủy triều Ứng dụng đạo hàm, giới thiệu... 4.2.2 Ứng dụng tính lượng mưa trung bình 16 BÀI TẬP CHƯƠNG 19 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 9: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN - TÍCH... TÍCH PHÂN HAI LỚP Mục tiêu: - Hàm Lagrange (củng cố nội dung nhân tử Lagrange học từ trước) - Đạo hàm hàm lượng giác – Bài toán thủy triều - Ứng dụng đạo hàm: Giới thiệu bình phương cực tiểu hàm