BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG GVHD: TS ĐẶNG VĂN VINH NHÓM ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA DANH SÁCH THÀNH VIÊN Họ tên MSSV Hứa Đại Bảo 2152020 Thái Minh Phước 2152256 Huỳnh Đình Quang 2110473 Phan Minh Thy 2112422 Trần Ngọc Thùy Trinh 2115076 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG TÍNH TỐN GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA DỊNG THU NHẬP LÂU DÀI ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Cơ sở lý thuyết Lãi kép liên tục (Continuous Compound Interest): Giả sử đầu tư P (đơn vị tiền tệ) với lãi suất thường nhiên r số tiền tích lũy sau t năm B(t) (đơn vị tiền tệ) Với cách tính lãi kép liên tục tổng số tiền thu sau t năm kt  r B (= t ) lim P 1 + = Pe rt k →+∞  k ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Giá trị (Present Value – PV): Giá trị (đơn vị tiền tệ) sau T năm đầu tư với lãi suất thường niên r tính lãi kép liên tục P = Be − rT Giá trị dòng thu nhập (Present Value of an Income Stream): Giá trị P dòng thu nhập tạo dòng thu nhập liên tục f(t) vào tài khoản tính lãi kép liên tục với lãi suất thường niên r sau khoảng thời gian hữu hạn T năm, tính tích phân xác định: T PV = ∫ f (t )e − rt dt ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Giá trị dòng thu nhập lâu dài (Present Value of a Perpetal Income Flow) Như đề cập, giá trị dòng thu nhập khoảng thời gian hữu hạn T tính tích phân xác định Nếu việc tạo dòng thu nhập cần đảm bảo lâu dài, ta cần sử dụng tích phân suy rộng để tính giá trị dịng thu nhập Khi đó: T = = PV lim ∫ f (t )e dt T →+∞ − rt ∫ +∞ f (t )e − rt dt ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Bài tập ứng dụng Một nhà tài trợ muốn tạo quỹ học bổng cho trường đại học địa phương lâu dài với giá trị học bổng 25000 + 1200t đô la năm Giả sử lãi hàng năm tính lãi suất kép liên tục với lãi suất thường niên khơng đổi 5% Khi đó, nhà tài trợ để thành lập quỹ học bổng này? ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ta dễ dàng thấy số tiền nhà tài trợ giá trị dòng thu nhập vĩnh viễn mà giá trị học bổng hàng năm Từ đây, ta tính số tiền nhà tài trợ phải chi: PV = ∫ +∞ f (t )e − rt dt Trong trường hợp này, ta có= f (t ) 25000 + 1200t lãi suất thường niên không đổi r = 0, 05 = Khi đó: PV ∫ +∞ (25000 + 1200t )e −0,05t dt ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ta tính tích phân phương pháp tích phân phần: u 25000 + 1200t = dv = e −0,05t dt du = 1200dt e−0,05t Chọn v = = −20e−0,05t −0,05 +∞ −0,05t PV = + t e dt = (25000 1200 ) lim ∫ ( ∫ T T →+∞ (25000 + 1200t )e−0,05t dt T T = lim (25000 + 12000t )(−20e −0,05t )  − ∫ 1200( − 20e−0,05t )dt T →+∞ ) T −0,05t   T   e −0,05t  + 24000  = lim  (−500000 − 24000t )e   = 980000 T →+∞   −0,05    Vậy nhà tài trợ cần chi 980000 đô la để thành lập quỹ học bổng ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ TÍNH TUỔI THỌ TRUNG BÌNH CỦA NGUN TỐ PHĨNG XẠ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Hàm mật độ xác suất mũ Hàm mật độ xác suất mũ hàm f (x) giảm theo cấp số nhân x ≥ không với x < 0: 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 0, 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 < ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ta có : +∞ +∞ = ∫−∞ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 𝑁𝑁 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 = ∫0 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐴𝐴 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑒𝑒 | 𝑘𝑘 Từ (1) (2), ta có cơng thức tổng qt : 𝑘𝑘𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑥𝑥 ≥ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 0, 𝑥𝑥 < 𝐴𝐴 𝑘𝑘 = − 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐴𝐴 𝑘𝑘 = 𝐴𝐴 𝑘𝑘 (2) ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ví dụ 3: Công ti X sản xuất laptop với độ bền năm Độ bền laptop biểu diễn theo hàm mật độ xác suất dạng mũ a/ Tính tham số tỉ lệ b/ Tính xác suất laptop có độ bền năm c/ Tính xác suất laptop có độ bền 10 năm d/ Tính xác suất laptop có độ bền -7 năm ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA a/ Tính tham số tỉ lệ k = = 0.2 b/ Tính xác suất laptop có độ bền năm 𝑃𝑃 𝑥𝑥 < = � 0.2𝑒𝑒 −0.2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.45 c/ Tính xác suất laptop có độ bền 10 năm +∞ 𝑃𝑃 𝑥𝑥 > 10 = � 10 0.2𝑒𝑒 −0.2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.135 d/ Tính xác suất laptop có độ bền -7 năm 𝑃𝑃 ≤ 𝑥𝑥 ≤ = � 0.2𝑒𝑒 −0.2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG TÍNH TỐN GIÁ TRỊ KỲ VỌNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Cơ sở lý thuyết • Một đặc tính hữu ích biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥 giá trị kỳ vọng nó, ký hiệu E 𝒙𝒙 Giá trị kỳ vọng phần quan trọng phân tích biến ngẫu nhiên Nó cho kết đầu trung bình biến ngẫu nhiên • Thí nghiệm ngẫu nhiên thí nghiệm khơng thể chắn kết Trong trường hợp vậy, gán xác suất cho kết quả.Nếu thử nghiệm ngẫu nhiên thực lặp lặp lại kết ghi lại, giá trị trung bình cộng kết ghi lại đạt đến giá trị mong đợi, đó, E 𝒙𝒙 coi “ giá trị trung bình dài hạn" biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Đây công thức cho giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục 𝑥𝑥 mặt tích phân liên quan đến hàm mật độ khả xác suất nó: Nếu 𝒙𝒙 biến ngẫu nhiên liên tục tập xác định có xác suất tuân theo hàm độ f, giá trị kỳ vọng (hoặc giá trị trung bình) 𝒙𝒙 : 𝑬𝑬(𝒙𝒙) = � +∞ −∞ 𝒙𝒙𝒙𝒙(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA • Hàm mật độ xác suất đồng Gọi 𝑥𝑥 biến ngẫu nhiên Biết hàm mật độ xác suất cho 𝑥𝑥 tuân theo quy luật sau : , 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴) 0, 𝐴𝐴 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐵𝐵 𝑥𝑥 ∉ [𝐴𝐴; 𝐵𝐵] giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ : +∞ 𝐵𝐵 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 −∞ 𝐴𝐴 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA • Hàm mật độ xác suất mũ 𝑥𝑥 biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất cho 𝑥𝑥 tuân theo quy luật sau : 𝑘𝑘𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 0, giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ : +∞ +∞ 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 < 𝑁𝑁 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑥𝑥 −∞ 𝑁𝑁→+∞ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Đặt u = x,dv = 𝑘𝑘𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 ,suy ra: du=dx,v= 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 Áp dụng tích phân phần, ta được: 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑁𝑁→+∞ = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑁𝑁→+∞ −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑁𝑁 � − � 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑥𝑥 ) 𝑁𝑁𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Một đèn giao thông đỏ tối đa 40 giây thời điểm Bạn đến (ngẫu nhiên) lúc đèn sáng thấy màu đỏ Gọi x biến ngẫu nhiên đo thời gian (tính giây) mà bạn phải chờ đợi Vì tất thời gian chờ từ đến 40 "có khả nhau", nên x phân bổ đồng khoảng ≤ x ≤ 40 Hàm mật độ đồng tương ứng 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �40 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ 40 , 𝑥𝑥 ∉ [0; 40] Từ hàm mật độ, tìm giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Bài giải +∞ 40 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � −∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 80 40 40 = 1600 = 20 80 Kết nói lên thời gian chờ trung bình màu đỏ ánh sáng 20 giây, biến ngẫu nhiên phân phối đồng 40 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Ví dụ 2: THÍ NGHIỆM TÂM LÝ HỌC Giả sử khoảng thời gian mà chuột thí nghiệm cần để qua mê cung định đo lường biến x ngẫu nhiên phân phối theo cấp số nhân với hàm mật độ sau −𝑥𝑥 𝑒𝑒 , 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � x số phút ngẫu nhiên để chuột qua hết mê cung ≥0 , 𝑥𝑥 < Tìm thời gian dự kiến cần thiết cho phịng thí nghiệm chuột qua mê cung ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Đặt u = 𝑥𝑥 , dv = Bài giải −𝑥𝑥 e d𝑥𝑥 ⇒ d𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑣𝑣 = −e Áp dụng tích phân phần, ta được: +∞ +∞ −𝑥𝑥 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥e 𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞ 𝑁𝑁 −𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁→+∞ 0 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑁𝑁→+∞ 𝑥𝑥 −4 𝑁𝑁 𝑁𝑁 −𝑥𝑥 e � + � e 0 𝑥𝑥 −4 𝑁𝑁 d𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =4 𝑁𝑁→+∞ −𝑁𝑁 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 −𝑁𝑁e − 4e 𝑁𝑁→+∞ 𝑥𝑥 −4 +4 𝑥𝑥 −4 −𝑥𝑥e x −4 − 4e Vậy thời gian dự kiến để chuột qua hết mê cung phút 𝑁𝑁 � ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GVHD: TS Đặng Văn Vinh Đề tài 13: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nhóm THANK YOU FOR YOUR ATTENTION ... GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GVHD: TS Đặng Văn Vinh Đề tài 13 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nhóm THANK YOU FOR YOUR ATTENTION ... 215 2020 Thái Minh Phước 215 2256 Huỳnh Đình Quang 211 0473 Phan Minh Thy 211 2422 Trần Ngọc Thùy Trinh 211 5076 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN... HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ TÍNH TUỔI THỌ TRUNG BÌNH CỦA NGUYÊN TỐ PHÓNG XẠ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH