TÍCH PHÂN SUY RNG TÍCH PHÂN SUY RỘNG Lê Văn Lai Khoa Khoa học cơ bản Ngày 7 tháng 10 năm 2021 Nội dung 1 Tích phân bất định 2 Tích phân xác định 3 Tích phân suy rộng loại 1 4 Tích phân suy rộng loại 2.
TÍCH PHÂN SUY RỘNG Lê Văn Lai Khoa Khoa học Ngày tháng 10 năm 2021 Nội dung Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại Bài tập chương 2 / 23 Tích phân bất định Nguyên hàm Cho hàm f (x ) xác định (a; b) Hàm F (x ) xác định (a; b) gọi nguyên hàm hàm f (x ) (a; b) F (x ) = f (x ), ∀x ∈ (a; b) / 23 Tích phân bất định Tích phân bất định Cho F (x ) nguyên hàm hàm f (x ) (a; b) Tập hợp tất nguyên hàm f (x ) (a; b) gọi tích phân bất định f (x ) (a; b), ký hiệu f (x )dx Vậy f (x )dx = F (x ) + C , với C số tùy ý / 23 Tích phân bất định Tính chất Nếu f (x ) có nguyên hàm (a; b) k số thực k.f (x )dx = k f (x )dx Nếu f (x ) g(x ) có nguyên hàm (a; b) [f (x ) + g(x )]dx = f (x )dx + g(x )dx / 23 Tích phân bất định Một số tích phân bất định x α+1 x dx = + C , α = −1; α+1 e x dx = e x + C ; cos x dx = sin x + C ; dx = − cot x + C ; sin2 x dx = arctan x + C ; + x2 α dx = ln |x | + C ; x ax x a dx = + C , < a = 1; ln a sin x dx = − cos x + C ; dx = tan x + C ; cos2 x 10 √ dx = arcsin x + C − x2 / 23 Tích phân xác định Cơng thức Newton - Leibniz Nếu f (x ) liên tục [a; b] F (x ) nguyên hàm f (x ) b a f (x )dx = F (b) − F (a) / 23 Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại miền [a; +∞) b Nếu lim b→+∞ a b Nếu lim b→+∞ phân kỳ Khi lim a b b→+∞ a +∞ f (x )dx hữu hạn ta nói a f (x )dx hội tụ f (x )dx khơng tồn hữu hạn ta nói +∞ a f (x )dx f (x )dx hữu hạn vô hạn, ta viết +∞ a f (x )dx = lim b b→+∞ a f (x )dx / 23 Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại miền (−∞; a] a Nếu lim b→−∞ b a Nếu lim b→−∞ phân kỳ Khi lim b a b→−∞ b a f (x )dx hữu hạn ta nói −∞ f (x )dx hội tụ f (x )dx khơng tồn hữu hạn ta nói a −∞ f (x )dx f (x )dx hữu hạn vô hạn, ta viết a −∞ f (x )dx = lim a b→−∞ b f (x )dx / 23 Tích phân suy rộng loại Kết quan trọng +∞ 1 dx hội tụ ⇐⇒ α > xα 10 / 23 Tích phân suy rộng loại Tiêu chuẩn so sánh Cho f (x ), g(x ) xác định [a; +∞) thỏa: Khả tích đoạn [a; b], với b > a; ≤ f (x ) ≤ g(x ), với x ∈ [a; +∞) Thế thì, +∞ a g(x )dx hội tụ +∞ a f (x )dx hội tụ 11 / 23 Tích phân suy rộng loại Tiêu chuẩn so sánh Cho f (x ), g(x ) xác định, không âm [a; +∞) thỏa: Khả tích đoạn [a; b], với b > a; f (x ) lim = K , với K hữu hạn vô hạn x →+∞ g(x ) Thế thì, Nếu K = a+∞ g(x )dx hội tụ a+∞ f (x )dx hội tụ Nếu < K < +∞ a+∞ g(x )dx a+∞ f (x )dx hội tụ phân kỳ Nếu K = +∞ a+∞ g(x )dx phân kỳ a+∞ f (x )dx phân kỳ 12 / 23 Tích phân suy rộng loại Hội tụ tuyệt đối Cho hàm số f (x ) xác định khả tích đoạn [a; b], với b > a +∞ +∞ Nếu |f (x )|dx hội tụ f (x )dx hội tụ a a 13 / 23 Tích phân suy rộng loại Hàm lấy tích phân khơng bị chặn cận Cho hàm số f (x ) xác định (a; b] f (x ) khả tích đoạn [t; b], với t ∈ (a; b] lim+ f (x ) = ±∞ x →a Nếu lim+ t→a Nếu lim+ t→a Nếu lim+ t→a b t b t b t b f (x )dx hữu hạn ta nói a f (x )dx hội tụ f (x )dx khơng hữu hạn ta nói b a f (x )dx phân kỳ f (x )dx hữu hạn vô hạn, ta viết b a f (x )dx = lim+ t→a b t f (x )dx 14 / 23 Tích phân suy rộng loại Hàm lấy tích phân không bị chặn cận Cho hàm số f (x ) xác định [a; b) f (x ) khả tích đoạn [a; t], với t ∈ [a; b) lim− f (x ) = ±∞ x →b Nếu lim− t→b Nếu lim− t→b Nếu lim− t→b t a t a b t b f (x )dx hữu hạn ta nói a f (x )dx hội tụ f (x )dx khơng hữu hạn ta nói b a f (x )dx phân kỳ f (x )dx hữu hạn vô hạn, ta viết b a f (x )dx = lim− t→b t a f (x )dx 15 / 23 Tích phân suy rộng loại Kết quan trọng dx hội tụ α < xα 1 dx hội tụ α < (1 − x )α 1 16 / 23 Tích phân suy rộng loại Tiêu chuẩn so sánh Cho f (x ), g(x ) xác định (a; b] thỏa: Khả tích đoạn [t; b], với t ∈ (a; b]; ≤ f (x ) ≤ g(x ), với x ∈ (a; b] Thế thì, b b g(x )dx hội tụ f (x )dx hội tụ a a 17 / 23 Tích phân suy rộng loại Tiêu chuẩn so sánh Cho f (x ), g(x ) xác định, không âm (a; b] thỏa: Khả tích đoạn [t; b], với t ∈ (a; b]; f (x ) lim+ = K , với K hữu hạn vô hạn x →a g(x ) Thế thì, Nếu K = ab g(x )dx hội tụ ab f (x )dx hội tụ Nếu < K < +∞ ab g(x )dx ab f (x )dx hội tụ phân kỳ Nếu K = +∞ ab g(x )dx phân kỳ ab f (x )dx phân kỳ 18 / 23 Tích phân suy rộng loại Hội tụ tuyệt đối Cho hàm số f (x ) xác định khả tích đoạn [t; b], với t ∈ (a; b] Nếu b a |f (x )|dx hội tụ b a f (x )dx hội tụ 19 / 23 Bài tập chương Tính tích phân suy rộng √ dx ; x5 +∞ dx ; x2 + +∞ dx ; x (ln x + 1)5 10 dx ; (x − 1)3 +∞ dx √ ; x3 +∞ dx ; e x ln x +∞ 2x dx ; x2 + 2 11 +∞ −∞ ex dx ; 12 +∞ dx ; x5 dx ; x ln x + dx √ 3x −1 +∞ −∞ √ (2 − 2x ) e2x −x dx 20 / 23 Bài tập chương Tính tích phân suy rộng cos x dx ; sin2 x π sin x dx √ ; cos x e dx ; x ln2 x π cos x dx √ ; sin x π + tan x dx ; tan x e dx ; x ln x π sin x dx ; cos2 x π + tan x dx ; tan4 x e dx √ x ln x π 21 / 23 Bài tập chương Định tham số tích phân hội tụ +∞ xα dx ; x (x − 1)(x − 2) x − 3x + dx ; x α + 4x + √ +∞ x x − 3x + √ α dx ; (x + 4x x + 1) +∞ xα + x dx ; 4x + x + +∞ x − 3x + dx ; x α + 4x + √ +∞ x x − 3x + √ dx ; (x α + 4x x + 1) +∞ x α (3x + 1) √ dx ; x + 4x x + +∞ xα dx x + ln5 x +∞ 22 / 23 Bài tập chương Định tham số tích phân hội tụ xα dx ; x (x + 1) (2 + x ) x2 dx ; x α (x + 1) (2 − x ) π cos x + sin x dx ; sinα x 1 − cos x dx ; xα x dx ; x α (x + 1) (2 − x ) (2 − x )α dx ; x (x + 1) (2 − x ) π cos x + sin x √ dx ; sinα x 1 dx , α > 0 ln (1 + x α ) 23 / 23 ...Nội dung Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại Bài tập chương 2 / 23 Tích phân bất định Nguyên hàm Cho hàm f (x )... − x2 / 23 Tích phân xác định Công thức Newton - Leibniz Nếu f (x ) liên tục [a; b] F (x ) ngun hàm f (x ) b a f (x )dx = F (b) − F (a) / 23 Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại miền... viết +∞ a f (x )dx = lim b b→+∞ a f (x )dx / 23 Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại miền (−∞; a] a Nếu lim b→−∞ b a Nếu lim b→−∞ phân kỳ Khi lim b a b→−∞ b a f (x )dx hữu hạn ta