Bài tập lớn môn Giải tích 2 ĐH Bách khoa TP.HCM Đề tài 5: Định nghĩa và ý nghĩa của trường vecto, gradient, div, curlrot . Định nghĩa và ý nghĩa của trường véctơ................................................. 3 1. Định nghĩa trường véctơ: ........................................................................ 3 2. Ý nghĩa trường véctơ .............................................................................. 5 3. Các nội dung của trường véctơ: .............................................................. 6 3.1. Đường dòng........................................................................................ 6 3.2. Dive .................................................................................................... 6 3.3. Rota .................................................................................................... 7 3.4. Trường thế.......................................................................................... 7 3.5. Toán tử Hamilton ............................................................................... 8 4. Cách vẽ trường vecto thủ công:................................................................ 8 5. Cách vẽ trường vecto bằng phần mềm máy tính: ................................... 12 1. Sử dụng phần mềm Python: ................................................................ 12 2. Sử dụng phần mềm JavaScript: ........................................................... 12 3. Sử dụng phần mềm Matlab: ................................................................ 12 II. Định nghĩa và ý nghĩa của Gradient, Div, Curlrot............................. 13 1. Gradient của hàm nhiều biến................................................................ 13 2. Divergence của trường vecto................................................................ 13 3. CurlRot của trường vecto .................................................................... 13 III. Bài tập.................................................................................................... 14 1–2 Match the vector field F(x, y) with one of the plots, and explain your reasoning.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 Đề tài: 5 Nhóm: 5 GVHD: ThS Nguyễn Hữu Hiệp Sinh viên thực hiện MSSV Nhiệm vụ % Mức độ hoàn thành Nguyễn Thị Thuy Vy 2015120 Câu 2 100% Tổng hợp Word 100% Trần Ngọc Thùy Trinh 2115076 Câu 3: 20, 35, 36, 37, 17 100% 100% Võ Ngọc Yến Xuân 2112720 phần 15.1 100% Câu 3: 18, 19 phần 15.1 0% Trần Tuấn Đức 2252169 0% Chuẩn bị PPT Lê Đông Hải 2210886 Câu 1 Ngô Quang Tùng 2112614 Chuẩn bị PPT Nguyễn Minh Trí 2251055 Câu 3: 1, 2 phần 15.1 Câu 2 Không tham gia Không tham gia Thành phố Hồ Chí Minh – 2023 1 MỤC LỤC I Định nghĩa và ý nghĩa của trường véc-tơ 3 1 Định nghĩa trường véc-tơ: 3 2 Ý nghĩa trường véc-tơ 5 3 Các nội dung của trường véc-tơ: 6 3.1 Đường dòng 6 3.2 Dive 6 3.3 Rota 7 3.4 Trường thế 7 3.5 Toán tử Hamilton 8 4 Cách vẽ trường vecto thủ công: 8 5 Cách vẽ trường vecto bằng phần mềm máy tính: 12 1 Sử dụng phần mềm Python: 12 2 Sử dụng phần mềm JavaScript: 12 3 Sử dụng phần mềm Matlab: 12 II Định nghĩa và ý nghĩa của Gradient, Div, Curl/rot 13 1 Gradient của hàm nhiều biến 13 2 Divergence của trường vecto 13 3 Curl/Rot của trường vecto 13 III Bài tập 14 1–2 Match the vector field F(x, y) with one of the plots, and explain your reasoning 14 2 I Định nghĩa và ý nghĩa của trường véc-tơ 1 Định nghĩa trường véc-tơ: Dẫn dắt: • Theo định luật Vạn vật hấp dẫn của Newton: Trái Đất tác dụng lực hấp dẫn lên một điểm vật chất, hướng về tâm Trái Đất, độ lớn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến tâm Trái Đất Vậy thì các vụn thiên thạch ngoài vũ trụ bị hút vào tâm Trái Đất và được biểu diễn như hình Sự liên kết của vecto lực - các vụn thiên thạch bằng trường hấp dẫn của Trái Đất • Một dòng sông đang chảy, xét tại một khu vực xác định, ở mỗi khúc sẽ có các vận tốc (độ lớn + hướng) khác nhau tùy vào địa hình Ta biểu diễn chuyển động của các giọt nước bằng các vecto Sự liên kết của vecto lực - các giọt nước = trường vận tốc của dòng chảy Các véc-tơ trong Hình 1 là các véc-tơ vận tốc không khí chỉ ra tốc độ và hướng gió tại các điểm 10 m độ cao so với bề mặt ở khu vực vịnh San Francisco Chúng ta thấy các mũi tên lớn nhất trong phần (a) rằng tốc độ gió lớn nhất tại thời điểm gió vào vịnh qua cầu Golden Gate Phần (b) cho thấy mô hình gió rất khác nhau 12 giờ trước đó Liên quan đến tất cả các điểm trong không khí chúng ta có thể tưởng tượng một véc tơ vận tốc gió Đây là một ví dụ về trường véc tơ vận tốc 3 Những ví dụ khác về trường véc tơ vận tốc được minh họa trong Hình 2: các dòng hải lưu và dòng chảy qua một cánh máy bay Như vậy, hiểu theo cách toán học, một trường véc-tơ là một hàm mà miền xác định của nó là tập các điểm trong R2 (hoặc R3) và miền giá trị của nó là tập các véc-tơ trong R2 (hoặc R3) Định nghĩa trường véc-tơ 2 chiều: Giả sử D là tập R2 là tập trong R2 (miền phẳng) Một trường véc-tơ trên R2 là một hàm F cho tương ứng mỗi điểm (x,y) trong D với véc-tơ hai chiều F(x,y) Cách tốt nhất để minh họa bằng hình ảnh một trường véc-tơ là vẽ các mũi tên biểu thị véc- tơ F(x,y) bắt đầu tại điểm (x,y) Tất nhiên, không thể làm điều này cho tất cả các điểm, nhưng chúng ta có thể đạt được một cảm giác hợp lý của F bằng cách thực hiện nó cho một vài điểm đại diện trong D (hình) Bởi vì F(x,y) là một véc-tơ hai chiều, chúng ta có thể viết nó qua các hàm thành phần của nó, P và Q, như sau: 𝑭 (𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒊 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒋 = (𝑷(𝒙, 𝒚), 𝑸(𝒙, 𝒚)) hoặc ngắn gọn, 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒑 Chú ý rằng P và Q là các hàm vô hướng cùa hai biến và đôi khi được gọi là trường vô hướng để phân biệt chúng với trường véc-tơ Định nghĩa trường véc-tơ 3 chiều: Giả sử E là tập con của R3 Một trường véc-tơ trên R3 là một hàm F cho tương ứng mỗi điểm (x,y,z) trong E với véc-tơ ba chiều F(x,y,z) Một trường véc-tơ trên R3 được minh họa bằng hình ảnh trong Hình 4 Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần của nó là P, Q và R như sau: 𝑭 (𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒊 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒋 + 𝑹(𝒙, 𝒚)𝒌 = (𝑷(𝒙, 𝒚), 𝑸(𝒙, 𝒚), 𝑹(𝒙, 𝒚)) 4 hoặc ngắn gọn, 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒑 + 𝑹𝒌 Định nghĩa trường véc-tơ theo sách CET10: Trường vectơ trong mặt phẳng là một hàm liên kết với mỗi điểm P trong mặt phẳng một vectơ duy nhất F(P) song song với mặt phẳng Tương tự, một trường vectơ trong không gian 3 chiều là một hàm liên kết với điểm cách P trong không gian 3 chiều một vectơ duy nhất F(P) từ 3 điểm xác định 2 Ý nghĩa trường véc-tơ Các trường vectơ thường được dùng trong vật lý để miêu tả, ví dụ, tốc độ và hướng của một chất lưu trong không gian, hoặc độ lớn và hướng của một lực nào đó, như lực từ hay lực hấp dẫn, khi nó thay đổi tùy thuộc vào vị trí (dòng chất lỏng, dòng chất khí, dòng điện, cơn gió…) Dùng trong địa lý để miêu tả tốc độ và hướng của một dòng hải lưu, dòng khí trên Trái Đất, độ lớn và hướng cong của một dòng vật chất chuyển động nào đó Dùng trong Toán học, giải các bài toán từ dễ đến khó trong nhiều nội dung Ví dụ về các bài toán tính tích phân, vi phân, tính toán trong không gian 3 chiều; đưa các bài toán hình học 3 chiều vào hệ tọa độ; tính các góc tương đối giữa các đường và mặt; hoặc ta hình học hóa các bài toán đại số… ⇒ Trường vecto có ý nghĩa rất quan trọng Nội dung này giúp ta nhìn trực quan hơn về chuyển động của điểm vật chất, hoặc dòng vật chất, trong khoảng thời gian xác định trên mặt phẳng Thực vậy, ta khó có thể thực nghiệm được sự chuyển động, môt số thậm chí không thể xác định chuyển động bằng mắt Nhưng ta có thể biểu diễn chuyển động bằng cách ứng dụng trường vecto, kết hợp với các định lí, định luật, quy tắc về sự chuyển động của vật chất 5 3 Các nội dung của trường véc-tơ: 3.1 Đường dòng Cho trường vector: 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗ Đường cong C ∈ R3 gọi là đường dòng của véc-tơ 𝐹𝑀 nếu tại mỗi điểm M trên đường cong C, tiếp tuyến tại đó cùng phương với véc-tơ 𝐹𝑀 Ví dụ, các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là các đường dòng * Lưu ý: 1 Hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường véc-tơ F là: 𝑥′(𝑡) 𝑦′(𝑡) 𝑧′(𝑡) 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧 hay, 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡 𝑦′(𝑡)𝑑𝑡 𝑧′(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧 => 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧 2 Qua mỗi điểm của trường véc-tơ có duy nhất một đường dòng Các đường dòng không cắt nhau 3.2 Dive Cho trường véc-tơ 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) Tại mỗi điểm M(x,y,z) của trường, ta xét đại lượng vô hướng: 6 𝐹⃗ = 𝜕𝐹𝑥 + 𝜕𝐹𝑦 + 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Và gọi là Dive của trường 𝐹⃗ tại M, kí hiệu là: div𝐹⃗ ⃗ 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 div𝐹 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Như vậy, ⃗ 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 div𝐹(𝑀0) = (𝑀0) + (𝑀0) + (𝑀0) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 * Lưu ý: Trường 𝐹⃗ là trường ống khi và chỉ khi div𝐹⃗ = 0, ∀𝑀 ∈ 𝑉 3.3 Rota Cho trường véc-tơ 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗ Xét véc-tơ 𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝑅⃗⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑅𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝑅𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝑅𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗ với 𝑅𝑥 = 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑧 ; 𝑅𝑦 = 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑥 ; 𝑅𝑧 = 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑦 𝑅⃗⃗ được gọi là véc-tơ xoáy (rota) của trường 𝐹⃗, kí hiệu là: 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗ Như vậy, 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗ = (𝜕𝐹𝑧 − 𝜕𝐹𝑦) 𝑖⃗ + (𝜕𝐹𝑥 − 𝜕𝐹𝑧) 𝑗⃗ + (𝜕𝐹𝑦 − 𝜕𝐹𝑥) 𝑘⃗⃗* Lưu ý: 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Với một dòng nước đang chảy tì trong đó sẽ có một điểm xoáy 𝑀0 nếu 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗(𝑀0) ≠ 0 3.4 Trường thế Cho trường véc-tơ 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗ 7 Nếu tồn tại hàm vô hướng 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) sao cho mọi điểm của V ta đều có 𝑔⃗⃗⃗⃗𝑟⃗⃗𝑎⃗⃗⃗𝑑⃗⃗𝑢 = 𝐹⃗ thì 𝐹⃗ được gọi là trường thế và 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) được gọi là hàm thế vị của trường 𝐹⃗ * Lưu ý: Trường 𝐹⃗ là trường thế khi và chỉ khi 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗(𝑀) = 0⃗⃗ , ∀𝑀 ∈ 𝑉 3.5 Toán tử Hamilton Toán tử Hamilton là “véc-tơ tượng trưng” ∇⃗⃗= 𝑖⃗ 𝜕 + 𝑗⃗ 𝜕 + 𝑘⃗⃗ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 * Lưu ý: 1 Nhân vô hướng ∇⃗⃗ với chính nó ta được một đại lượng vô hướng 𝜕𝑥2 𝜕2 + 𝜕𝑦2 𝜕2 + 𝜕𝑧2 𝜕2 được gọi là toán từ Laplace, kí hiệu là: ∆ 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 ∆𝑢 = 2 + 2 + 2 (∗) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 Hàm 𝑢 thỏa mãn phương trình ∆𝑢 = 0 được gọi là hàm điều hòa 3 Phương trình Laplace: (∗) = 0 có nghiệm là 1 hàm điều hòa 4 Các hàm điều hòa có nhiều ứng dụng trong vật lý khi nghiên cứu sự truyền nhiệt, sụ bức xạ nhiệt, từ trường, âm học… 5 Một trường véc-tơ được xác định bởi 1 hàm điều hòa thì gọi là trường điều hòa 4 Cách vẽ trường vecto thủ công: Bước 1: Chọn giá trị x,y bất kì Sau đó thay vào hàm đầu bài, tính ra được một cặp x,y mới Bước 2: Nối 2 điểm được tạo ra từ 2 cặp x,y trên Hướng mũi tên chỉ về hướng điểm x,y mới sau tính toán 8 Bước 3: Thay thế cặp x,y bất kì khác Làm lại như bước 1 và bước 2 để tạo nên nhiều véc- tơ khác Số lượng véc-tơ sẽ phụ thuộc vào độ phức tạp của trường (trường càng phức tạp càng nên vẽ nhiều véc-tơ) Bước 4: Dựa vào các véc-tơ để xác định xu hướng của trường véc-tơ theo hàm đã cho 9 Hình mô phỏng cho trường véc-tơ trên nếu vẽ có tính toán các điểm 10 Thực hành thử Hình mô phỏng cho trường véc-tơ trên nếu vẽ có tính toán các điểm 11 5 Cách vẽ trường vecto bằng phần mềm máy tính: Tham khảo video: 1 Sử dụng phần mềm Python: https://www.youtube.com/watch?v=u0hfen9VkJs 2 Sử dụng phần mềm JavaScript: https://www.youtube.com/watch?v=tKgZb71BUEQ 3 Sử dụng phần mềm Matlab: https://www.youtube.com/watch?v=s-HMu8ecnwg 12 II Định nghĩa và ý nghĩa của Gradient, Div, Curl/rot 1 Gradient của hàm nhiều biến Nếu ta kết hợp các đạo hàm riêng lại thành một véc-tơ và tính đạo hàm theo véc-tơ đó thì ta sẽ thu được đạo hàm toàn phần Hay nói cách khác là đạo hàm theo tất cả các biến hay đạo hàm theo véc-tơ hợp thành đó Đạo hàm này được gọi là gradient của hàm theo véc-tơ tương ứng * Định nghĩa: cho 𝑓 là một hàm ba biến Khi đó Gradient của 𝑓 là 1 hàm vecto được xác định bởi ∇𝑓 ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 〈𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)〉 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 i + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 j +𝜕𝑓 𝜕𝑧 k 2 Divergence của trường vecto * Định nghĩa: Cho 𝐹⃗ = 𝐹1𝑖 + 𝐹2𝑗 + 𝐹3𝑘 = 〈𝐹1, 𝐹2, 𝐹3〉 là trường vecto 3 chiều sao cho 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 ⃗ tồn tại , , Toán tử div biến trường vecto 𝐹 thành trường vô hướng 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝐹1 𝜕𝐹2 𝜕𝐹3 div 𝐹 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Nếu xem toán tử Gradient ( ∇) như là vecto hình thức; ∇= 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Thì ta có thể viết ngắn gọn: div 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∇ 𝐹⃗ = 𝜕𝐹1 + 𝜕𝐹2 + 𝜕𝐹3 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 * Ý nghĩa: Nghĩa là thông lượng của trường véctơ 𝐹⃗ qua phía ngoài mặt S bao miền V bằng tổng độ phân kỳ tại tất cả các điểm trong miền V của trường véctơ Theo ý nghĩa cơ học của tích phân bội ba, suy ra div𝐹⃗ (x, y, z) chính là mật độ thông lượng tại điểm M(x,y,z) của trường Từ ý nghĩa vật lý của trường vận tốc ta thấy thông lượng của trường vận tốc qua mặt kín S ra phía ngoài là hiệu của lượng vật chất từ trong chảy ra và từ ngoài vào qua S (chẳng hạn lượng nước) Nếu thông lượng Φ > 0 , từ ý nghĩa vật lý, cũng như từ tính chất của tích phân ta thấy trong miền V bao bởi S phải có điểm nguồn Chính vì thế ta gọi M là điểm nguồn của trường nếu div𝐹⃗ (M ) > 0 , ngược lại nếu div𝐹⃗ (M ) < 0 thì M là điểm hút 3 Curl/Rot của trường vecto * Định nghĩa: Curl là một toán tử biến một trường vecto 3 𝐹⃗ = 𝐹1𝑖 + 𝐹2𝑗 + 𝐹3𝑘 = 〈𝐹1, 𝐹2, 𝐹3〉 chiều thành một trường vecto mới Curl 𝐹⃗ cũng 3 chiều, được cho bởi: 13 𝑖 𝑗𝑘 ⃗ 𝜕𝜕𝜕 Curl 𝐹 = | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 | 𝐹1 𝐹2 𝐹3 Nếu xem toán tử Gradient ( ∇) như là vecto hình thức; ∇= 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑖 𝑗𝑘 Thì ta có thể viết ngắn gọn: Curl 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∇ × 𝐹⃗ = | 𝜕 𝜕 𝜕 | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐹1 𝐹2 𝐹3 * Ý nghĩa: Từ ý nghĩa cơ học, ta thấy ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑟⃗ là công của trường lực 𝐹⃗ (x, y, z) khi di chuyển dọc theo L Nếu L là đường cong kín thì công sinh ra thường bằng không vì công sản ra trên phần ”thuận chiều ” của đường cong kín L cân bằng với công sản ra trên phần ”ngược chiều”, nếu không có ”xoáy” ( rot𝐹⃗ = 0 ) Do đó, từ công thức Stokes ta thấy hoàn lưu theo chu tuyến kín L đặc trung cho tính xoáy của trường trên mặt S có chu tuyến L, nói cách khác là tính chất ”xoáy” của trường theo chu tuyến đó Do đó, nếu rot𝐹⃗ (M ) ≠ 0 ta nói rằng M là điểm xoáy của trường và rot𝐹⃗ (M ) = 0 ta nói rằng M là điểm không xoáy III Bài tập 1–2 Match the vector field F(x, y) with one of the plots, and explain your reasoning 1 (a) F(x, y) = xi Trường vector này ứng với hình III vì không có véc-tơ đơn vị theo hướng trục y là j nên tại các điểm trong trường véc-tơ này lực không hướng lên hay hướng xuống và lệch trái hoặc lệch phải tùy thuộc vào dấu của x 14 (b) F(x, y) = sin(x)i + j Trường véc-tơ này ứng với hình IV vì j có hệ số đứng trước là 1 nên lực tại mọi điểm luôn hướng lên trên và hệ số sin(x) có giá trị từ -1 đến 1 nên lực lệch trái hoặc lệch phải tùy vào giá trị sin(x) âm hay dương 2 (a) F(x, y) = i + j Trường véc-tơ này ứng với hình I vì i, j luôn có hệ số là 1 nên lực tại mọi điểm trong trường véc-tơ này hướng lên, lệch phải và có độ lớn không đổi là 1 15 x y (b) F(x, y) = 2 2i + 2 2j √x +y √x +y Trường véc-tơ này ứng với hình II vì √x2 + y2 luôn dương nên dấu của hệ số của i, j phụ thuộc vào dấu của x,y Nếu x,y đều dương thì lực hướng lên, lệch phải.Nếu x,y đều âm thì lực hướng xuống,lệch trái.Nếu x âm, y dương thì lực hướng lên,lệch trái.Nếu x dương,y âm thì lực hướng xuống,lệch phải 15.1 17-20 Find div F and curl F 17 F ( x, y, z ) = x2i − 2 j + yzk divF = F = i + j + k ( x2i − 2 j + yzk ) x y z 16 = ( x2 ) + (−2) + ( yz) x y z = 2x + 0+ y curlF = F i jk = x y z x2 −2 yz = ( yz)i + ( x2 ) j + (−2) k − ( x2 ) k − (−2)i − ( yz) j y z x y z x 2 2 = ( yz) − (−2)i + ( x ) − ( yz) j + (−2) − ( x ) k y z z x x y = (z −0)i +(0−0) j +(0−0)k = zi 18 F ( x, y, z ) = xz3i + 2 y4x2 j + 5yz2k divF = F = i + j + k ( xz3i + 2y4x2 j + 5z2 yk ) x y z = ( xz3 ) + (2y4x2 ) + (5yz2 ) x y z = z3 + 8y3x2 +10zy curlF = F i j k = x y z xz3 2 y4 x2 5 yz2 = (5z2 y)i + ( xz3 ) j + (2y4x2 ) k − ( xz3 ) k − (−5z2 y) j − (2y4x2 )i y z x y x z 17 2 4 2 3 2 4 2 3 = (5z y) − (2y x )i + ( xz ) − (5yz ) j + (2y x ) − ( xz ) k y z z x x y = (5z2 − 0)i + (3xz2 − 0) j + (4y4x − 0) k = 5z2i + 3xz2i + 4 y4xk 19 F ( x, y, z ) = 7 y3z2i − 8x2z5 j − 3xy4k divF = F = i + j + k (7 y3z2i − 8x2z5 j − 3xy4k ) x y z = (7 y3z2 ) + (−8x2z5 ) + (−3xy4 ) x y z = 0 curlF = F i j k = y z x −8x2 z5 −3xy4 7 y3z2 = (−3xy4 )i + (7 y3z2 ) j + (−8x2z5 ) k − (7 y3z2 ) k − (−3xy4 ) j − (−8x2z5 )i y z x y x z 4 2 5 3 2 4 25 32 = (−3xy ) − (−8x z )i + (7 y z ) − (−3xy ) j + (−8x z ) − (7 y z ) k y z z x x y = (−12xy3 + 40x2z4 )i + (14 y3z + 3y4 ) j + (−16xz5 − 21y2z2 ) k 20 F ( x, y, z) = exyi − cos ( y) j + sin2 ( z ) k divF = F 18 = i + j + k (exyi − cos ( y) j + sin2 ( z) k ) x y z = (exy ) + (− cos( y)) + (sin2 ( z)) x y z = exy y + sin y + 2sin ( z) cos ( z) curlF = F i j k = x y z exy − cos ( y) sin2 ( z ) = (sin2 ( z))i + (− cos( y)) k + (exy ) j − (exy ) k − (− cos ( y))i − (sin2 ( z)) j y x z y z x 2 xy 2 xy = (sin ( z)) − (− cos( y))i + (e ) − (sin ( z)) j + (− cos( y)) − (e ) k y z z x x y = −xexyk 35 Chứng minh div ( F ) = divF + F F = Mi + Nj + Pk div (F ) = div (Mi + Nj +Pk ) = (M ) + ( N ) + (P) x x x = M + M + N + N + P + P x x y y z z = M + N + P + M + N + P x y z x y z = div ( F ) + F 36 Chứng minh curl ( F ) = curl F + F 19 curl ( F ) = ( F ) = i + j + k ( F ) x y z = i ( F ) + j ( F ) + k ( F ) x y z =i F + F+ j F + F+k F + F x x y y z z = i F + j F + k F + i F + j F + k F x y z x y z = i + j + k F + i + j + k F x y z x y z = F + curl F 37 Chứng minh div (curl ( F )) = 0 F = fxi + fy j + fzk divF = fx + f y + fz x y z curl (F ) = F i jk = x y z fx fy fz = ( fz )i + ( fy )k + ( fx ) j − ( fx )k − ( fz ) j − ( fy )i y x z y x z = ( fz )− ( fy )i + ( fx )− ( fz ) j + ( fy )− ( fx )k y z z x x y div (curl (F )) = ( fz ) − ( fy ) + ( fx ) − ( fz ) + ( fy ) − ( fx ) x y z y z x z x y = ( fz ) − 2 2 ( fy ) + ( fx ) − ( fz ) + 2 2 2 ( fy ) − ( fx ) 2 xy xz yz yx zx zy = 0 20