Giải tích 1 bài 10 tích phân suy rộng

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 10 §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG (TT)  Các dấu hiệu hội tụ   g  x  dx biết, a chưa biết f x Hệ Nếu có lim  k  0 ;    x  g  x   a f  x  dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   f  x  dx , g  x  dx hội tụ phân kì  a  a f x Nếu có lim  x  g  x     g  x  dx hội tụ  f  x  dx hội  a a tụ     f x Nếu có lim   g  x  dx phân kì  f  x  dx x  g  x  a phân kì a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Xét hội tụ, phân kì  a) 1 x  x4  1  c) dx x10 dx   x  x  x  13  e)   10 dx x ln  ln x  b)   d)   f) 2  ln  x x x arctan x 1 x4 dx  x ln x 3/2 e dx dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  g (K50)   ln   2x  dx (HT với  < 1, PK với   1) 2 x  h (K54) x.22 x 1dx (HT)  1 i (K57)    j (K58)   dx x  3x  ( x   x )dx (HT) (HT) x.32 x 1dx (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k (K59)  1)  ln(2  x ) dx (PK) x GIẢI 1)  2)  sinx x dx ,   (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln(2  x ) ln(2  x ) +)   , x   x 2 x  +)  ln(2  x ) dx  2 x      ln(2  x )d (ln(2  x )) phân kỳ ln(2  x ) dx phân kỳ x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  l (K60) 1)   2)  GIẢI 2) arctan x dx (HT) (1  cos )dx x (HT) 2x  x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 +)   cos  sin ( )  , x   x x x   +) dx Hội tụ (1  c os ) dx Hội tụ x x2   1  m (K61)  x4  x2  GIẢI x2 dx (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +)   +)  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2 x4  x2   , x   ( x  1)3  dx hội tụ  ( x  1) b) f(x) có dấu tuỳ ý Nếu x2  x4  x2  dx hội tụ    f  x  dx hội tụ  f  x  dx hội a  tụ Khi ta bảo f  x  dx hội tụ tuyệt đối  a  a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  Còn   f  x  dx hội tụ mà a  f  x  dx phân kì ta a  bảo f  x  dx bán hội tụ  a Tiêu chuẩn Dirichlet x    Nếu F ( x )   (t )dt bị chặn x  + a hội tụ   > (a > 0) a (x ) dx x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  +)  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  cos x x x n dx    cos x x x n  dx   1  cos x x x n dx  I1  I2 x x 2sin2  cos x  lim +) lim  lim n 2    n 2 n x 0 x 0 x 0 x x x x  lim    n  (1) n 2 x 0 2x tụ x  điểm bất thường PGS TS Nguyễn Xuân Thảo   cos x x x n thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   , x  , n 2 2x n2   1 n  +)  n   f ( x )  0 n 2 2x dx hội tụ (2)  cos x x xn bị chặn [0;1] gián đoạn x=0, nên khả tích đoạn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +)   thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  cos x x x n , x   , n 2  x  1 n 2 x dx hội tụ n2    n  (3) Từ (1)-(3) có  n  số tự nhiên lớn để tích phân suy rộng hội tụ n   4) x  ex  dx (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn l (K65)  1)   3)  arctan x 3x  4x x  ex  GIẢI 1) dx dx (HT) 2)  x2 (HT) (cosx  1) ln(1  x ) dx (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) I   0 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  arctan x 3x  4x 3x  4x  3x  4x x 0  arctan x dx  x  3x arctan x  dx  I1  I2 x 0  3x    x  điểm bất thường, 0 arctan x dx 3x  HT  I1 HT  +)    , 2x 4x 3x  4x Do I hội tụ  1  dx HT  I HT 2 4x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  2) (cosx  1)  x2 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln(1  x ) dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) I   thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (1  cosx )  x2 dx  (1  cosx )  x2 ln(1  x ) x x  sin  2( )2 x 0 (1  cosx ) x 0  0  52 x ln(1  x ) x 2x x  2x 0 dx 2x ln(1  x )  dx  I1  I2 x 0    x  điểm bất thường, HT  I1 HT (1  cosx )   +)   2, x ln(1  x ) x x dx HT  I HT 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Do I hội tụ Ví dụ Tính  a)   b)   c)  b dx x x 1 d)  a dx ( x  a )(b  x ) arctan  x  1 dx  x  14 dx ,    2   x 1 x  cos  Nhận xét Liên hệ hai loại tích phân suy rộng ? PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn §2.4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Sơ đồ tổng tích phân, vi phân 1) Sơ đồ tổng tích phân Giả sử cần tính A(x), x  [a ; b], ngồi A(x) thoả mãn tính chất cộng, ta tính A theo sơ đồ sau: +) Chia [a ; b] thành n phần điểm chia x0  a < x1 < x2 < < xn  b n +) Phân tích A thành tổng A   Ai , A i đại i 1 lượng A xi +) Tìm hàm số f(x) cho Ai  f(i)(xi  xi1), i  [xi  ; xi] PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n +) Tính gần đại lượng A: A   f   i   xi i 1 b +) Sử dụng định nghĩa tích phân, có A  f  x  dx  a Ví dụ Tính diện tích hình thang cong GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Chia [a ; b] điểm chia a  x0 < x1 < x2 < < xn  b Khi diện tích hình thang cong S chia thành n n phần Sk , k  1, n S   Sk k 1 +) Tìm hàm số f(x) cho Si  f(i)(xi  xi1), i  [xi  ; xi] n +) Tính gần đại lượng S : S   f   i   xi i 1 b +) Sử dụng định nghĩa tích phân, có S  f  x  dx  a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2) Sơ đồ vi phân Cần tính A(x), x  [a ; b], ngồi A(x) thoả mãn tính chất cộng, ta tính A theo sơ đồ vi phân: +) Lấy x  [a ; b], lấy x + dx +) Tính A(x), A(x + dx) +) Tìm phần bậc dA A +) Lấy tích phân dA từ a đến b Ví dụ Cho điện tích e1 đặt gốc O, tính cơng lực đẩy F sản điện tích e2 di chuyển từ điểm M1 có hồnh độ r1 đến điểm M2 có hồnh độ r2 trục hồnh Ox PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI +) Gọi A(x) công lực đẩy F sinh e2 di chuyển từ M1 đến M(x) +) Vì dx bé nên coi F không đổi [x ; x + dx] e1e2 x +) dA  e1e2 x2 r2 dx +) A   r1 r2 dA   r1 e1e2 x2 1 1 dx  e1e2     r1 r2  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tính áp lực lên mặt đĩa phẳng chìm nước hình b  F  whx (h )dh , a w trọng lượng riêng nước = tấn/(ft) 32 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Cơng lực có độ lớn f(x) > tác động vào vật chuyển động thẳng từ x = a đến x = b HAVE A GOOD UNDERSTANDING! ... thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ? ?1 ,  ? ?1   ln (1  b ),  b ? ?1    ? ?1  ? ?1  b ? ?1? ??   ,  ? ?1 , 0 ? ?1   ? ?1   (1   ) , 1? ??      ? ?1  x  b) dx  1/ e dx 1? ?? x GIẢI b) hội tụ    c)...  x  x (1  x ) x  ,x  , 12 0 dx hội tụ  I1 hội x tụ +)  x  2 (1  x ) x (1  x )  1  12 d (1  x ) 1? ?? x  ,x  , ? ?1 dx 1? ?? x hội tụ  I2 hội tụ,  xdx x (1  x ) hội tụ m(K59 )1  t anxdx...  x  dx  a a  c Tích phân suy rộng vế trái hội tụ  hai tích phân suy rộng vế phải hội tụ Ví dụ Tính xét phân kì a) dx  ? ?1  x   GIẢI (HT với  < 1, PK với   1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo