Một Số Vi Phân Suy Rộng Và Ứng Dụng Trong Tối Ưu Không Trơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ ĐỨC THỊNH MỘT SỐ VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Ngành: Tốn ứng dụng Mã số ngành: 62460112 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TP Hồ Chí Minh - Năm 2022 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Thái Dỗn Chương PGS.TS Nguyễn Lê Hồng Anh Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, vào hồi ngày tháng năm Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.TS Lê Thanh Tùng Phản biện 3: TS Phạm Duy Khánh Phản biện độc lập 1: TS Phạm Duy Khánh Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Hồng Quân Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP.HCM Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM MỤC LỤC MỞ ĐẦU TỔNG QUAN VỀ VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 10 VI PHÂN SUY RỘNG CẤP MỘT VÀ ÁP DỤNG 11 4.1 Vi phân suy rộng tương ứng với tập Ginchev 11 4.2 Vi phân suy rộng theo hướng Gfrerer 12 VI PHÂN SUY RỘNG CẤP HAI VÀ ÁP DỤNG 5.1 5.2 14 Phân tích cấp hai cho tập nghiệm vững hệ không chắn áp dụng 14 Phân tích cấp hai cho hệ hợp hữu hạn áp dụng 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 CHƯƠNG MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thực tế, có nhiều vấn đề mơ tả dạng tốn tối ưu với hàm mục tiêu ràng buộc không khả vi Người ta gọi toán tốn tối ưu khơng trơn Các vấn đề áp dụng liên quan đến tối ưu không trơn, đặc biệt tối ưu đa trị, phát triển mạnh thời gian gần Cụ thể, điểm qua vài vấn đề nghiên cứu toán ứng dụng như: (xem [1]) - Các vấn đề tối ưu hoá liên quan đến tối ưu véc-tơ/đa mục tiêu, ví dụ: tối đa lợi nhuận tối thiểu yếu tố rủi ro đầu tư, thời gian sản xuất, chi phí sản xuất thiết bị; tối đa việc kiểm soát khối u điều trị ung thư đồng thời giảm thiểu biến chứng điều trị xạ trị - Tối ưu vững: Tối ưu vững áp dụng cho vấn đề mà cần có giải pháp bảo vệ để ngăn chặn trường hợp xấu xảy Ví dụ, xét vấn đề đặt bệ hạ cánh cho trực thăng cứu hộ khu nghỉ mát trượt tuyết Vị trí bệ hạ cánh nên lựa chọn theo cách mà thời gian bay đến tất sườn dốc khu nghỉ mát ngắn nhất, thời gian bay đến sườn dốc không chắn điều kiện thời tiết không rõ ràng tương lai Các liệu vào toán hầu hết hàm khơng có đạo hàm Fréchet chí có liệu tập (đa trị) Do kết phương pháp Giải tích cổ điển khơng thể sử dụng để nghiên cứu tốn cần thiết phải mở rộng khái niệm đạo hàm (hay vi phân) theo nghĩa cổ điển Việc mở rộng khái niệm đạo hàm vi phân (sẽ gọi vi phân suy rộng luận án này) thu hút nhiều nhà Toán học, đặc biệt lĩnh vực Lý thuyết tối ưu, Giải tích biến phân đạt nhiều kết quan trọng khơng Tốn học mà cịn việc giải toán từ thực tế Vì lý đó, chúng tơi lựa chọn nội dung luận án nghiên cứu số tính chất, cơng thức tính quy tắc ước lượng cho số vi phân suy rộng cấp cấp hai giới thiệu gần Áp dụng kết đạt vào việc tính tốn vi phân suy rộng cho hàm số hệ ràng buộc Từ đạt điều kiện cần, điều kiện đủ bậc bậc hai tính ổn định nghiệm số tốn tối ưu không trơn Ý nghĩa khoa học vấn đề nghiên cứu Vi phân suy rộng công cụ để nghiên cứu nhiều toán Toán học nhiều tốn thực tế Vì vậy, việc thiết lập cơng thức tính quy tắc ước lượng cho vi phân suy rộng cần thiết tính tốn, phân tích tốn thực tế Cuối cùng, việc vận dụng vi phân suy rộng quy tắc tính chúng vào tốn tối ưu khơng trơn vừa minh chứng để kiểm chứng hiệu vi phân suy rộng vừa giải số tốn mà cơng cụ trước chưa giải CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG Đạo hàm vi phân (theo nghĩa cổ điển) khái niệm giải tích tốn học, đời từ lâu có nhiều ứng dụng khơng Tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực đời sống Một số nghiên cứu thừa nhận rằng, Fermat người đặt móng cho khái niệm đạo hàm việc “tìm phương pháp tổng qt để giải tốn tìm giá trị lớn tích hai đoạn thẳng chia từ đoạn thẳng” trình bày [2] (xem [3]) Ý tưởng Fermat sau mở rộng nghiên cứu tổng quát, cách độc lập, Newton (xem [4]) Leibnitz (xem [5]), sau tiếp tục phát triển Euler, Lagrange [6], Cauchy gần hoàn chỉnh ngày Weierstrass (xem [7]) Một kết bật lý thuyết vi phân cổ điển Định lý Fermat điều kiện cần cho cực trị hàm số khả vi Tuy nhiên, trải qua phát triển Toán học từ nhu cầu giải toán thực tế, khái niệm đạo hàm theo nghĩa cổ điển khơng cịn phù hợp cần thiết mở rộng Một ví dụ đơn giản nhận thấy hàm số ϕ(x) = |x| khơng có đạo hàm theo nghĩa cổ điển (và khơng thể áp dụng Định lý Fermat với đạo hàm theo nghĩa cổ điển) dễ dàng nhận x¯ = cực tiểu ϕ Việc mở rộng khái niệm đạo hàm vi phân (sẽ gọi vi phân suy rộng luận án này) thu hút nhiều nhà Toán học, đặc biệt lĩnh vực lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân đạt nhiều kết quan trọng khơng Tốn học mà cịn việc giải tốn từ thực tế Trong số kết đạt theo hướng này, phải kể đến lý thuyết vi phân cho hàm lồi phát triển Minkowski (1911), Fenchel (1951), Moreau (1963) Rockafellar (1963) Trong kết trung tâm hướng nghiên cứu Định lý Moreau-Rockafellar quy tắc tổng cho vi phân lồi (một loại vi phân suy rộng cho hàm lồi) Kết đạt sở nguyên lý tách tập lồi cảm hứng nhiều lý thuyết vi phân suy rộng khác Về bản, có hai hướng cho việc phát triển khái niệm vi phân suy rộng (a) Lý thuyết vi phân suy rộng không gian với khái niệm nón tiếp tuyến tập đạo hàm (theo hướng) hàm số Trong số nón tiếp tuyến cho tập xây dựng, nón tiếp tuyến contingent (hay nón tiếp tuyến Bouligand), giới thiệu cách độc lập vào năm 1930 Bouligand [8] Severi [9], đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu khơng trơn lý thuyết điều kiển tối ưu không trơn Việc xấp xỉ tập đồ thị (epigraph) hàm số tiếp tuyến tương ứng với việc xấp xỉ hàm số với đạo hàm theo hướng Cụ thể hơn, việc xấp xỉ tập đồ thị hàm ϕ : X → (−∞, ∞] không gian Banach x¯ thuộc miền hữu hiệu (domain) ϕ tương ứng với việc xấp xỉ hàm số ϕ xung quanh x¯ đạo hàm theo hướng cổ điển x¯ xác định sau: ϕ (¯ x, v) := lim t↓0 ϕ(¯ x + tv) − ϕ(¯ x) t với v ∈ X Việc xấp xỉ hàm lồi (về sau áp dụng cho hàm lồi địa phương) đạo hàm theo hướng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả thu số kết quan trọng (xem [10]-[16] tài liệu tham khảo bên trong) Tuy nhiên, kết lại không mong muốn hàm số khơng hàm lồi Do đó, cần thiết tiếp tục mở rộng khái niệm đạo hàm theo hướng cổ điển để xử lý trường hợp không lồi (địa phương) Trong số đạo hàm theo hướng suy rộng, đạo hàm theo hướng đời từ năm 1970 đến 1980, định nghĩa ϕ(¯ x + tz) − ϕ(¯ x) t t↓0,z→v ϕ− (x, v) := lim inf (2.1) nhiều tác giả quan tâm Đạo hàm theo hướng suy rộng gọi “nửa đạo hàm dưới” (lower semiderivative) Aubin [17], gọi “đạo hàm theo hướng Dini dưới” (lower Dini directional derivative) Ioffe [18] gọi “dưới đạo hàm” (subderivative) Rockafellar Wets [19] Trong luận án này, sử dụng tên “dưới đạo hàm” để gọi ϕ− (·, ·) [19] Đặc điểm bật đạo hàm ln tồn có đặc trưng hình học “tương đương” với nón tiếp tuyến contingent theo biểu thức sau: ϕ− (x; v) = inf {ν ∈ R | (v, ν) ∈ T ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ)} (2.2) Tuy nhiên, nhiều trường hợp đạo hàm hàm không lồi tương ứng với v theo nhận định Mordukhovich [20, trang 135], không lồi hạn chế việc thiết lập quy tắc tính Tuy nhiên, ta cần lưu ý trường hợp ϕ hàm Lipschitz địa phương xung quanh x¯ phần tử z (2.1) lấy v quy tắc tính dễ dàng đạt Bên cạnh đó, quy tắc hợp (composite) đạo hàm hàm khả vi hàm Lipschitz địa phương thiết lập Mordukhovich cộng [21] Cũng trường hợp hàm ϕ Lipschitz địa phương, loại đạo hàm khác có nhiều áp dụng giới thiệu luận án năm 1973 Clarke [22] hướng dẫn Rockafellar định nghĩa sau: ϕ↑+ (¯ x; v) := lim sup t↓0,x→¯ x ϕ(x + tv) − ϕ(x) t (2.3) Giá trị ϕ↑+ (¯ x, v) gọi đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke x¯ theo hướng v Đạo hàm chứng minh [23] lồi theo hướng có nhiều áp dụng điều khiển tối ưu Tuy nhiên, đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke khơng trùng với đạo hàm theo hướng cổ điển hai tồn Trường hợp ϕ thoả mãn ϕ↑+ (¯ x; v) = ϕ (¯ x, v) với v , ta gọi ϕ hàm quy Clarke x¯ có biểu diễn tương đương hình học T ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ) = T C ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ), T C ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ) nón tiếp tuyến Clarke (xem [19, Definition 6.1] [23]) Mặc dù có nhiều áp dụng Lý thuyết điều kiển tối ưu, đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke có hạn chế thường có sai số lớn việc xấp xỉ tốt hàm số thiếu điều kiện quy Clarke hàm số (b) Lý thuyết vi phân không gian đối ngẫu với khái niệm nón pháp tuyến, vi phân đối đạo hàm Cách tiếp cận lần xây dựng cho lớp hàm lồi không gian hữu hạn chiều giới thiệu cách chi tiết Rockafellar sách chuyên khảo năm 1969 Cách tiếp cận sau Clarke phát triển cho lớp hàm Lipschitz địa phương Ý tưởng chung cách tiếp cận có đạo hàm (suy rộng) theo hướng, ϕ• (¯ x, v), ta định nghĩa loại vi phân tương ứng sau: ∂ • ϕ(¯ x) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ ϕ• (¯ x; v), ∀v ∈ X} Cụ thể, vi phân lồi tương ứng với đạo hàm theo hướng cổ điển ∂ϕ(¯ x) = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ ϕ (¯ x; v), ∀v ∈ X = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x), ∀x ∈ X} (2.4) Trong đó, vi phân Clarke tương ứng với đạo hàm theo hướng theo nghĩa Clarke xác định sau: ∂ C ϕ(¯ x) := x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ ϕ↑+ (¯ x; v), ∀v ∈ X Dưới vi phân Clarke có tính lồi, có nhiều áp dụng có quy tắc tính đẹp lớp hàm Lipschitz liên tục (xem [22]) Với cách tiếp cận tương tự định nghĩa vi phân thông qua đạo hàm theo hướng, nhiều tác giả xây dựng nón pháp tuyến tập Ω thơng qua đối ngẫu nón tiếp tuyến có T • (¯ x; Ω) sau: N • (¯ x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ T • (¯ x; Ω)} (2.5) Với cách định nghĩa này, nón pháp tuyến thu ln nón lồi đóng khơng gian hữu hạn chiều Các loại nón pháp tuyến bật theo cách tiếp cận kể đến như: (1) Nón pháp tuyến lồi cho tập lồi Ω x¯ N (¯ x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ T (¯ x; Ω)} , (2.6) T (¯ x; Ω) nón tiếp tuyến contingent tập lồi Ω x¯ (2) Nón pháp tuyến Fréchet cho tập đóng địa phương Ω x¯ ˆ (¯ N x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ T (¯ x; Ω)} , T (¯ x; Ω) nón tiếp tuyến contingent Ω x¯ (2.7) (3) Nón pháp tuyến Clarke cho tập đóng địa phương Ω x¯ N C (¯ x; Ω) := x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ T C (¯ x; Ω) , (2.8) T C (¯ x; Ω) nón tiếp tuyến Clarke Ω x¯ Một phương pháp khác để định nghĩa cho nón pháp tuyến thể rõ mối quan hệ nón pháp tuyến tập vi phân hàm số sau: N • (¯ x; Ω) := ∂ • δΩ (¯ x), δΩ hàm tập Ω Các vi phân nón pháp tuyến cơng cụ quan trọng nghiên cứu toán tối ưu Cụ thể hơn, phần lớn vi phân ∂ • thoả mãn Định lý Fermat suy rộng, nghĩa ∈ ∂ • ϕ(¯ x) x¯ cực tiểu hàm số ϕ Dưới vi phân • ∂ gọi vững ∂ • ϕ(¯ x) = Lim sup ∂ • ϕ(x) ϕ x− →x¯ Dưới vi phân Clarke chứng minh vững hàm Lipschitz liên tục Tuy nhiên tính chất vững khơng cịn với lớp hàm nửa liên tục (chi tiết xem [24]) Hơn nữa, Ioffe [25, Theorem 8.1], Mordukhovich [26, Section 4.6], Mordukhovich Shao [27, Theorem 9.7] số vi phân suy rộng lồi, vững thoả mãn tính chất tổng ∂ C (ϕ1 + ϕ2 )(¯ x) ⊂ ∂ C ϕ1 (¯ x) + ∂ C ϕ2 (¯ x) Định lý Fermat suy rộng ∈ ∂ C ϕ(¯ x) cho cực tiểu x¯ ϕ, vi phân Clarke “nhỏ nhất” (theo nghĩa bao hàm) Mặc dù vậy, cịn lớn cho số áp dụng, đặc biệt, cho điều kiện cần tối ưu Một hạn chế khác Lý thuyết vi phân Clarke nằm độ lớn nón pháp tuyến Clarke Ví dụ ta lấy Ω gph ϕ với ϕ(x) = |x| Khi N C ((0, 0), Ω) = R2 Như trình bày trên, khơng thể cải thiện cấu trúc vi phân suy rộng Clarke cấu trúc vi phân suy rộng lồi vững với tính chất tốt áp dụng quy tắc tính, nên cách để tránh hạn chế nêu “loại bỏ tính lồi” vi phân nón pháp tuyến Để làm điều đó, cần thay đổi cách tiếp cận xem nón pháp tuyến đối ngẫu âm nón tiếp tuyến Ý tưởng lần trình bày Mordukhovich báo Tiếng Nga năm 1975 sau dịch sang Tiếng Anh năm 19761 Động lực cho nghiên cứu Mordukhovich tìm điều kiện cần tối ưu cho tốn điều khiển tối ưu với ràng buộc hình học điểm cuối (endpoint geometric) Cụ thể định nghĩa gốc nón pháp tuyến qua giới hạn (limiting normal cone), không gian hữu hạn chiều Mordukhovich giới thiệu vào năm 1975 sau: N (¯ x; Ω) := Lim sup[cone(x − P(x; Ω))], x→¯ x Có ý kiến cho ý tưởng Kruger Mordukhovich tìm vào năm 1978 P(x; Ω) phép chiếu Euclide x đến Ω cone(M ) nón sinh M Dưới vi phân qua giới hạn ϕ định nghĩa thông qua nón pháp tuyến sau ∂ϕ(¯ x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ)} Sau đó, Kruger Mordukhovich cải tiến định nghĩa để định nghĩa nón pháp tuyến qua giới hạn không gian vô hạn chiều thông qua tập -pháp tuyến Fréchet sau: cho ≥ 0, tập -pháp tuyến Ω ⊂ X x¯ xác định bởi: ˆ (¯ N x; Ω) := x∗ ∈ X ∗ | lim sup Ω x− →x¯ x∗ , x − x¯ ≤ x − x¯ nón pháp tuyến Ω x¯ định nghĩa sau: ˆ (x; Ω) N (¯ x; Ω) := Lim sup N ↓0,x→¯ x Sau đời, đặc biệt sau Kruger Mordukhovich phát triển lên không gian vô hạn chiều, lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich phát triển mạnh mẽ có nhiều áp dụng khơng tốn học mà nhiều ngành khoa học khác như: kinh tế, vật lý, kỹ thuật, (xem [20, 28]) Bằng cách tiếp cận qua giới hạn Mordukhovich, số vi phân suy rộng khác xây dựng, chẳng hạn vi phân gần giới thiệu Ioffe năm 1981 (xem [18, 25, 29]) gần hai loại nón pháp tuyến theo hướng (tương ứng vi phân theo hướng) Ginchev [30, 31] Gfrerer [32, 33] Một số kết áp dụng vi phân suy rộng theo hướng trình bày báo Tuy nhiên, quy tắc tính số áp dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu cho số toán tối ưu chưa trình bày cách đầy đủ Vì vấn đề đặt “thiết lập số quy tắc tính, cơng thức ước lượng cho vi phân suy rộng tương ứng với tập Ginchev vi phân suy rộng theo hướng Gfrerer Từ áp dụng vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cho nghiệm số toán tối ưu không trơn” Bên cạnh việc mở rộng vi phân suy rộng cấp cho ánh xạ đơn trị, nhiều tác giả quan tâm đến việc mở rộng khái niệm vi phân suy rộng cho ánh xạ đa trị, vi phân suy rộng cấp cao cho ánh xạ đa trị đơn trị Những kết bật hướng phát triển tìm thấy [8, 17, 23],[34]-[41] Trong số vi phân suy rộng cấp cao cho ánh xạ đơn trị, đạo hàm epi cấp hai (second-order epiderivative) giới thiệu năm 1988 Rockafellar [39] có nhiều áp dụng quan trọng việc nghiên cứu điều kiện cần đủ cấp hai nghiên cứu tính ổn định lập cho tập nghiệm số toán tối ưu (xem [19, 21, 39, 42]) Chi tiết hơn, Rockafellar định nghĩa đạo hàm epi cấp hai cho ánh xạ ϕ : Rn → (−∞, ∞] x¯ ∈ dom f cho y¯ ∈ Rn sau: d2 ϕ(¯ x, y¯)(v) := lim inf ∆2t ϕ(¯ x, y¯)(v ) với v ∈ Rn , t→0+ ,v →v (2.9) với v ∈ Rn , ∆2t ϕ(¯ x, y¯)(v) := ϕ(¯ x + tv) − ϕ(¯ x) − t y¯, v 2t (2.10) Sử dụng khái niệm đạo hàm epi cấp hai, Rockafellar đặc trưng điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho cực tiểu địa phương hàm số (chi tiết xem [19, 39]) Bên cạnh đó, quy tắc tính tốn số áp dụng đạo hàm epi cấp hai vào toán tối ưu với ràng buộc hàm hợp hàm fully amenable với hàm lồi, thường, tuyến tính-cấp hai mảnh trình bày chi tiết [19] Bên cạnh hiệu việc thiết lập điều kiện tối ưu bậc hai, đạo hàm epi cấp hai cầu nối thể mối liên hệ vi phân suy rộng không gian vi phân suy rộng không gian đối ngẫu (xem [19, Theorem 13.40]) Sử dụng ý tưởng này, số tác giả thiết lập công thức tường minh để tính đạo hàm đồ thị cho ánh xạ nón pháp tuyến tập Từ áp dụng vào nghiên cứu ổn định nghiệm cho tốn tối ưu với ràng buộc nhúng có dạng Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Ω} q : Rn → Rm hàm khả vi liên tục cấp Ω tập lồi đa diện Rm (xem [33],[43]-[45]) với Ω hình cầu [46] hay nón cấp hai [47] Câu hỏi tự nhiên đặt là: thiết lập kết tương tự cho trường hợp khác, nghĩa Ω không tập lồi đa diện hình cầu nón cấp hai, hay khơng? Gần đây, Mohammadi cộng [21] thiết lập công thức tính d2 δΓ (¯ x, y¯)(v) trường hợp Ω tập quy dẫn suất cấp hai Tuy nhiên, cơng thức tổng qt d2 δΓ (¯ x, y¯)(v) tính thơng qua giá trị chưa biết khó xác định d δΩ (¯ x, y¯)(v) Vì việc tìm cơng thức tường minh d2 δΓ (¯ x, y¯)(v) số trường hợp cụ thể cần thiết có ý nghĩa mặt áp dụng tính tốn Trong luận án này, thiết lập công thức tường minh cho d2 δSq (¯ x, y¯)(v) với Sq là: (i) tập nghiệm hệ không chắn x ∈ Rn , a q(x) − b ≤ 0, (a, b) tham số không chắn nằm tập cho trước (ii) tập nghiệm hệ nhúng rời rạc s n {x ∈ R | q(x) ∈ K := Ki }, i=1 Ki các tập quy cấp hai Hai hệ ràng buộc tổng quát nhiều hệ ràng buộc khác hữu hạn bất phương trình, hệ nửa vô hạn, hệ bù, quan tâm nghiên cứu thời gian gần [43],[48]-[53] CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số quy ước kiến thức sở giải tích biến phân khơng gian Banach sử dụng chương sau 10 CHƯƠNG VI PHÂN SUY RỘNG CẤP MỘT VÀ ÁP DỤNG 4.1 Vi phân suy rộng tương ứng với tập Ginchev 4.1.1 Một số định nghĩa tính chất Phần trình bày số khái niệm tính chất nón pháp tuyến Fréchet tương ứng với tập, nón pháp tuyến qua giới hạn tương ứng với tập, vi phân tương ứng với tập đạo hàm tương ứng với tập 4.1.2 Quy tắc tính vi phân tương ứng với tập ¯ x¯ ∈ Ω Khi ta có 4.1.17 Mệnh đề Giả sử ϕ : Ω ⊂ X → R G G ∂Q (λϕ)(¯ x) = λ∂Q ϕ(¯ x) với λ > (4.23) ¯ khả vi chặt tương ứng 4.1.18 Mệnh đề Giả sử Q ⊂ X tập bị chặn ϕ : X → R ¯ hữu hạn x¯ Ta có với Q x¯ ∈ X ψ : X → R G G G ∂Q (ϕ + ψ)(¯ x) = ∂Q ϕ(¯ x) + ∂Q ψ(¯ x) 4.1.3 (4.25) Điều kiện tối ưu tương ứng với tập ¯ giả sử x¯ ∈ X cực tiểu địa phương 4.1.23 Định lý Giả sử ϕ : X → R G ϕ(¯ x, Q) ≥ Thêm vào tương ứng với Q ϕ Khi ta có ∈ ∂Q x) ϕ− (¯ x, Q) ≥ x, Q) = ta có ϕ− (¯ ϕ− (¯ ¯ hữu hạn x¯ ∈ X Khi x¯ cực tiểu 4.1.25 Định lý Giả sử ϕ : X → R chặt địa phương tương ứng với Q ϕ điều kiện sau đúng: (i) ϕ− (¯ x, Q) > x, Q) > (ii) ϕ− (¯ x, Q) = ϕ− (¯ Giả sử Ω tập đóng, khác rỗng X I := {1, , p} Giả sử f, gi , i ∈ I, hàm liên tục Ω Chúng ta xét toán tối ưu sau f (x) cho gi (x) ≤ 0, i ∈ I (P) 4.1.30 Định lý Giả sử x¯ ∈ locSu (P ) với u ∈ X \ {0}, f, gi , i ∈ I, giả thiết khả vi chặt địa phương theo hướng u x¯ Khi tồn nhân tử λ ≥ µi ≥ 0, i ∈ I, không đồng thời 0, cho ∈ λ∂uG f (¯ x) + µi ∂uG gi (¯ x), (4.40) µi gi (¯ x) = với i ∈ I (4.41) i∈I 11 4.1.33 Định lý Giả sử x¯ ∈ C điểm KKT theo hướng u ∈ X \ {0} (i) Nếu (f, g) lồi tổng quát theo hướng u Ω x¯ x¯ ∈ Su (P ) (ii) Nếu (f, g) lồi tổng quát chặt theo hướng u Ω x¯ x¯ ∈ Sust (P ) 4.2 Vi phân suy rộng theo hướng Gfrerer Xét toán tối ưu đa trị sau: F (x) cho ∈ G(x), x ∈ Ω, (4.55) F : X ⇒ Z, G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị không gian Asplund Ω tập khác rỗng X 4.2.1 Vi phân suy rộng theo hướng cho ánh xạ đa trị Phần trình bày khái niệm, tính chất liên quan đến nón pháp tuyến theo hướng, vi phân theo hướng, đối đạo hàm theo hướng, điều kiện quy ánh xạ đa trị tập ràng buộc 4.2.2 Công thức tính cho vi phân theo hướng 4.2.17 Định lý Giả sử Ω1 , Ω2 ⊂ X ×Y đóng địa phương xung quanh (¯ x, y¯) ∈ Ω1 ∩Ω2 Giả sử Ω1 x-PSNC theo hướng u ∈ X × Y (¯ x, y¯), Ω2 y -PSNC mạnh theo hướng u ∈ X × Y (¯ x, y¯) {Ω1 , Ω2 } thoả mãn điều kiện quy qua giới hạn w∗ ∗ ) − → (x∗i , yi∗ ) với theo hướng u, nghĩa là, với dãy tk → 0+ , uik → u, (x∗ik , yik ∗ )∈N ˆ ((¯ x, y¯) + tk uik ; Ωi ) với i = 1, 2, k ∈ N ta có (x∗ik , yik ∗ ∗ [ (x∗1k , y1k ) + (x∗2k , y2k ) → 0] ⇒ [(x∗1 , y1∗ ) = (x∗2 , y2∗ ) = (0, 0)] (4.59) Khi ta có N ((¯ x, y¯); Ω1 ∩ Ω2 ; u) ⊂ N ((¯ x, y¯); Ω1 ; u) + N ((¯ x, y¯); Ω2 ; u) Ta nói F : X ⇒ Y PSNC theo hướng u ∈ X (¯ x, y¯) ∈ gphF gph F x-PSNC theo hướng (u, 0) ∈ X × Y (¯ x, y¯) Cho Fi : X ⇒ Y, i = 1, 2, ta định nghĩa ánh xạ đa trị S : X × Y ⇒ Y S(x, y) := {(y1 , y2 ) ∈ Y | y1 ∈ F1 (x), y2 ∈ F2 (x), y1 + y2 = y} (4.68) Kết sau cho ta quy tắc tổng cho đối đạo hàm chuẩn (hỗn hợp) theo hướng ánh xạ đa trị, phát biểu chứng minh lấy cảm hứng từ [20] 4.2.19 Định lý Giả sử Fi : X ⇒ Y, i = 1, với (¯ x, y¯) ∈ gph(F1 + F2 ) giả sử (¯ y1 , y¯2 ) ∈ S(¯ x, y¯) (4.68) Giả sử điều kiện sau thoả mãn: (i) Các tập đồ thị F1 F2 đóng xung quanh (¯ x, y¯1 ) (¯ x, y¯2 ); 12 (ii) F1 PSNC theo hướng u ∈ X (¯ x, y¯1 ) F2 PSNC theo hướng u ∈ X (¯ x, y¯2 ); ∗ F ((¯ (iii) {F1 , F2 } thoả mãn điều kiện chuẩn hoá sau: DM ¯1 ); (u, 0))(0) = ∅ x, y ∗ ∗ ∗ x, y¯2 ); (u, 0))(0)) = {0}; x, y¯1 ); (u, 0))(0)∩(−DM F2 ((¯ x, y¯2 ); (u, 0))(0) = ∅ DM F1 ((¯ DM F2 ((¯ (iv) S nửa liên tục theo hướng (u, 0, 0, 0) (¯ x, y¯, y¯1 , y¯2 ) ∗ ∗ Khi với y ∈ Y ta có D∗ (F1 + F2 )((¯ x, y¯); (u, 0))(y ∗ ) ⊂ D∗ F1 ((¯ x, y¯1 ); (u, 0))(y ∗ ) + D∗ F2 ((¯ x, y¯2 ); (u, 0))(y ∗ ), ∗ ứng với đối đạo hàm chuẩn Mordukhovich theo hướng D ∗ := D∗ := DN ∗ ứng với đối đạo hàm hỗn hợp Mordukhovich theo hướng DM 4.2.3 Điều kiện tối ưu theo hướng cho toán tối ưu đa trị Xét toán tối ưu đa trị ràng buộc tập có dạng: F (x) với điều kiện x ∈ Ω, (4.90) F : X ⇒ Z ánh xạ đa trị không gian Asplund Ω tập khác rỗng X Ánh xạ đa trị MP : X ⇒ Z × R định nghĩa MP (x) := EF (x) × θΩ (x) với x ∈ X (4.93) 4.2.27 Định lý (Điều kiện cần theo hướng) Giả sử (¯ x, z¯) ∈ gph EF cực tiểu địa phương tốn (4.90), Ω tập đóng K SNC gốc Giả sử u ∈ X hướng tới hạn toán (4.90) (¯ x, z¯) Giả sử thêm EF có đồ thị đóng tựa Lipschitz xung quanh (¯ x, z¯) Khi ta có ∈ ∂F ((¯ x, z¯); (u, 0)) + N (¯ x; Ω; u) 4.2.30 Định lý Giả sử (¯ x, z¯) ∈ gph EF cực tiểu địa phương tốn (4.55), Ω gph G tập đóng K SNC gốc Giả sử u ∈ X hướng tới hạn toán (4.55) (¯ x, z¯) Giả sử EF có đồ thị đóng tựa Lipschitz xung quanh (¯ x, z¯) Giả sử gph G x-PSNC theo hướng (u, 0) (¯ x, 0) Ω × {0Y } y -PSNC mạnh theo hướng (u, 0) (¯ x, 0) Giả sử thêm điều kiện quy sau ∗ ∗ đúng: với y ∈ Y , ta có ∗ x∗1 ∈ DN G((¯ x, 0); (u, 0))(y ∗ ), x∗2 ∈ N (¯ x; Ω; u), x∗1 + x∗2 = ⇒ y ∗ = 0, x∗1 = x∗2 = Khi tồn y¯∗ ∈ Y ∗ cho ∗ ∈ ∂F ((¯ x, z¯); (u, 0)) + DN G((¯ x, 0); (u, 0))(¯ y ∗ ) + N (¯ x; Ω; u) 13 (4.114) CHƯƠNG VI PHÂN SUY RỘNG CẤP HAI VÀ ÁP DỤNG 5.1 Phân tích cấp hai cho tập nghiệm vững hệ không chắn áp dụng Xét hệ bất phương trình khơng chắn (uncertain inequalities system) sau: x ∈ Rn , a q(x) − b ≤ 0, (SU) q := (q1 , , qm ), qi : Rn → R, i = 1, , m, hàm khả vi liên tục cấp hai cho trước, (a, b) khơng chắn (uncertain) biết thuộc vào tập khơng chắn (uncertain set) U ⊂ Rm × R vững (SU): x ∈ Rn , 5.1.1 a q(x) − b ≤ 0, ∀(a, b) ∈ U (SR) Phân tích cấp hai hệ khơng chắn Xét hệ vững (SR) Với x ∈ Rn y ∈ Rm ta đặt: fq (x) := max(a,b)∈U (a q(x) − b) f (y) := max(a,b)∈U (a y − b) Định lý sau cung cấp cơng thức tính cho số vi phân suy rộng bậc đạo hàm cấp hai fq 5.1.7 Định lý Xét hệ (SR) Giả sử fq (x) := max(a,b)∈U (a q(x) − b) với x ∈ Rn , f (y) := max(a,b)∈U (a y − b) với y ∈ Rm Sq := {x ∈ Rn | fq (x) ≤ 0} (i) Với x ∈ Rn , ta có k k λi ∇q(x) | (ai , bi ) ∈ U (q(x)), λi ≥ 0, ∀i = 1, , k, ∂fq (x) = i=1 λi = 1, k ∈ N i=1 (ii) Với x ∈ Rn v ∈ Rn , ta có fq↓ (x, v) = fq (x, v) = f (q(x), ∇q(x)v) = max a ∇q(x)v | (a, b) ∈ U (q(x)) (iii) Giả sử v ∈ Rn , x¯ ∈ Sq với fq (¯ x, v) = U quy theo hướng ∇q(¯ x)v n q(¯ x) Khi với w ∈ R ta có fq ↓↓ x, v, w) = d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) + − (¯ max a ∇q(¯ x)w + ∇2 q(¯ x)(v, v) , (a,b)∈U(q(¯ x),∇q(¯ x)v) fq ↓↓ x, v, w) = D2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) + + (¯ max (a,b)∈U(q(¯ x),∇q(¯ x)v) 14 a ∇q(¯ x)w + ∇2 q(¯ x)(v, v) 5.1.8 Định lý Xét hệ (SR) Giả sử fq (x), f (y), Sq xác định Định lý 5.1.7 S := y ∈ Rm | a y − b ≤ 0, ∀(a, b) ∈ U Giả sử x¯ ∈ bdSq hệ (SU) cho phép cận sai số địa phương vững x¯ Khi khẳng định sau (i) Cơng thức tính nón tiếp tuyến nón pháp tuyến Sq x¯ T (¯ x; Sq ) = {v ∈ Rn | ∇q(¯ x)v ∈ T (q(¯ x); S)} = {v ∈ Rn | a ∇q(¯ x)v ≤ 0, ∀(a, b) ∈ U (q(¯ x))}, N (¯ x; Sq ) = ∇q(¯ x) N (q(¯ x); S) = cone{∇q(¯ x) a | (a, b) ∈ U (q(¯ x))} (ii) Giả sử v ∈ T (¯ x; Sq ) cho U quy theo hướng ∇q(¯ x)v q(¯ x) Khi  n R , v ∈ int T (¯ x; Sq ),    w ∈ Rn | d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) x, v) = TS2q (¯   + x)w + ∇2 q(¯ x)(v, v) ≤ , v ∈ bdT (¯ x; S ), max a ∇q(¯ q (a,b)∈U(q(¯ x),∇q(¯ x)v) (¯ x, v) = TS2,i q  n R ,    v ∈ int T (¯ x; Sq ), w ∈ Rn | D2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v)   + max a ∇q(¯ x)w + ∇2 q(¯ x)(v, v) ≤ , (a,b)∈U(q(¯ x),∇q(¯ x)v) v ∈ bdT (¯ x; Sq ) 5.1.13 Định lý Xét hệ (SR) Giả sử x¯ ∈ bdSq x¯∗ ∈ N (¯ x; Sq ) Với v ∈ K := ∗ ⊥ TSq (¯ x) ∩ [¯ x ] , giả sử hệ (SU) cho phép cận sai số địa phương vững x¯, U quy theo hướng ∇q(¯ x)v tương ứng với Λ(¯ x, x¯∗ ) q(¯ x) f quy cấp ∗ hai q(¯ x) λ ∈ Λ(¯ x, x¯ , v) Khi đạo hàm epi cấp hai δSq tính d2 δSq (¯ x, x¯∗ )(v) = λa d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) + ∇2 (λ, q)(¯ x)(v, v) + δK (v) max λ∈Λ(¯ x,¯ x∗ ,v) = −σTS2 q x (¯ x,v) (¯ ∗ ) + δK (v), ∀v ∈ Rn Giả sử thêm d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) = D2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) Khi δSq lồi, nửa liên tục dưới, thường khả vi epi cấp hai x¯ x¯∗ 5.1.2 Đạo hàm graphical ánh xạ nón pháp tuyến cho tập nghiệm toán tối ưu vững 5.1.15 Định lý Xét hệ (SR) Giả sử (¯ x, x¯∗ ) ∈ gph NSq Giả sử hệ (SU) cho phép cận sai số địa phương vững x¯ Giả sử, với v ∈ K := T (¯ x; Sq ) ∩ [¯ x∗ ]⊥ , U quy theo hướng ∇q(¯ x)v q(¯ x), f quy cấp hai q(¯ x) λ ∈ Λ(¯ x, x¯∗ , v) d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) = D2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) Khi ∂δSq khả vi proto x¯ x¯∗ đạo hàm graphical ánh xạ NSq tính 15 DNSq (¯ x, x¯∗ )(v) =   λ∈Λ(¯ x,¯ x∗ ,v) ∂v λa d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) + δK (v) + ∇2 (λ, q)(¯ x)v , ∅, 5.1.3 v ∈ K, v ∈ / K, (5.45) Áp dụng vào toán tối ưu vững Xét toán tối ưu với ràng buộc hệ vững sau ψ(x) cho x ∈ Sq , (ROP) ψ : Rn → R khả vi liên tục cấp hai điểm xem xét Sq := {x ∈ Rn | q(x) ∈ S} (5.49) 5.1.17 Định lý Giả sử x¯ ∈ bdSq phương án toán (ROP) Giả sử hệ (SU) cho phép cận sai số x¯ Giả sử, với v ∈ K := TSq (¯ x) ∩ [−∇ψ(¯ x)]⊥ , U quy theo hướng ∇q(¯ x)v q(¯ x) f quy cấp hai q(¯ x) cho λ ∈ Λ(¯ x, −∇ψ(¯ x), v) Khi khẳng định sau đúng: (i) Nếu x¯ nghiệm tối ưu (ROP) −∇ψ(¯ x) ∈ N (¯ x; Sq ) max λ∈Λ(¯ x,−∇ψ(¯ x),v) ∇2xx L(¯ x, λ)(v, v) + λa d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) ≥ 0, ∀v ∈ K, (5.50) L(x, λ) := ψ(x) + (λ, q)(x) với (x, λ) ∈ Rn × Rm (ii) Giả sử −∇ψ(¯ x) ∈ N (¯ x; Sq ) Điều kiện đủ cấp hai (5.50) cho ta khẳng định tồn l > > cho ϕ(x) ≥ ϕ(¯ x) + l x − x¯ , ∀x ∈ B(¯ x, ), (5.51) ϕ := ψ + δSq Điều suy x¯ nghiệm địa phương (ROP) Xét phương trình tổng qt có tham số sau x ∈ Rn , ∈ ϕ(x, y) + N (x; Sq ), (5.52) ϕ : Rn × Rs → Rn khả vi liên tục, y ∈ Rs tham số, Sq := {x ∈ Rn | a q(x) − b ≤ 0, ∀(a, b) ∈ U }, U tập com-pắc Rm + × R, n q := (q1 , , qm ), qi : R → R, i = 1, , m, hàm lồi khả vi liên tục cấp hai Ánh xạ nghiệm (5.52) xác định bởi, với y ∈ Rs , S(y) := {x ∈ Rn | ∈ ϕ(x, y) + N (x; Sq )} 16 5.1.18 Định lý Giả sử (¯ y , x¯) ∈ gph S x¯ ∈ bdSq Giả sử hệ (SU) cho phép cận sai số vững x¯ Giả sử, với v ∈ K := T (¯ x; Sq ) ∩ [−∇ϕ(¯ x, y¯)]⊥ , U quy theo hướng ∇q(¯ x)v q(¯ x), f quy cấp hai q(¯ x) λ ∈ Λ(¯ x, −ϕ(¯ x, y¯), v) 2 d f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) = D f (q(¯ x))(∇q(¯ x)v) v ∈ K Nếu ∇ϕy (¯ x, y¯) có hạng đầy đủ n DS(¯ y , x¯)(v ∗ ) = v ∈ K | ∈ ∇x ϕ(¯ x, y¯) v + ∇y ϕ(¯ x, y¯) v ∗ + DNSq (¯ x, −ϕ(¯ x, y¯))(v) , DNSq (¯ x, −ϕ(¯ x, y¯))(v) tính (5.45) 5.1.19 Định lý Giả sử S : Rs ⇒ Rn ánh xạ nghiệm (5.52), (¯ y , x¯) ∈ gph S x¯ ∈ bdSq Giả sử giả thiết Định lý 5.1.18 thoả mãn Nếu ∇y ϕ(¯ x, y¯) có hạng đầy đủ n ánh xạ S ổn định cô lập (¯ y , x¯) ∈ ∇x ϕ(¯ x, y¯) v + ∂ λ∈Λ(¯ x,−ϕ(¯ x,¯ y ),v) λa d2 f (q(¯ x))(∇q(¯ x)·) + δK (·) (v) =⇒ v = 0, K := T (¯ x; Sq ) ∩ [−ϕ(¯ x, y¯)]⊥ 5.2 Phân tích cấp hai cho hệ hợp hữu hạn áp dụng Xét tập nghiệm Sq hệ nhúng s n {x ∈ R | q(x) ∈ K := Ki }, (5.56) i=1 q ánh xạ khả vi liên tục cấp hai Ki , i = 1, , s, tập quy pháp tuyến, dẫn xuất cấp hai quy cấp hai 5.2.1 Cơng thức tính nón pháp tuyến nón tiếp tuyến cho hợp hữu hạn tập hợp Phầy thiết lập số kết cơng thức tính quy tắc ước lượng cho nón pháp tuyến nón tiếp tuyến hợp hữu hạn Đây kết quan trọng để đạt kết phần 5.2.2 Sự khả vi epi cấp hai đạo hàm epi cấp hai cho hợp hữu hạn tập hợp 5.2.11 Định lý Giả sử hệ (5.56) thoả mãn (DMSQC) x¯ ∈ Sq x¯∗ ∈ Nˆ (¯ x; Sq ) ¯ := Giả sử Ki , với i ∈ I(q(¯ x)), quy pháp tuyến q(¯ x) Khi đó, với Λ n Λ(¯ x, x¯∗ )., cho w ∈ R ta có 17 (i) dδSq (¯ x)(w) = dδK (q(¯ x))(∇q(¯ x)w) = mini∈I(q(¯x)) dδKi (q(¯ x))(∇q(¯ x)w) x), λ)(∇q(¯ x)w) + ∇2 (λq)(w, w) (ii) ∞ > d2 δSq (¯ x, x¯∗ )(w) ≥ supλ∈Λ¯ d2 δK (q(¯ (iii) Hơn nữa, Ki , với i ∈ I(q(¯ x)), lồi, quy cấp hai q(¯ x) ¯ λ ∈ Λ dẫn xuất cấp hai q(¯ x) với véc-tơ T (q(¯ x); Ki ) ∩ [λ]⊥ tồn κ > cho d2 δSq (¯ x, x∗ )(w) = i∈I(¯ x,∇q(¯ x)w) = ¯ λ∈Λ max i∈I(¯ x,∇q(¯ x)w) 5.2.3 max d2 δKi (q(¯ x), λ)(∇q(¯ x)w) + ∇2 (λq)(w, w) ¯ λ∈Λ∩(κ x ¯∗ B) d2 δKi (q(¯ x), λ)(∇q(¯ x)w) + ∇2 (λq)(w, w) , Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn Trong mục này, ta xét toán tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn sau f (x) cho x ∈ Sq , (MPDC) f : Rn → R khả vi liên tục cấp hai điểm xét, tập Sq := {x ∈ Rn | q(x) ∈ K} nghiệm hệ (5.56) Hàm nhân tử Lagrange kết hợp với (MPDC) xác định L(x, λ) := f (x) + λ, q(x) cho (x, λ) ∈ Rn × Rm 5.2.12 Định lý Giả sử x¯ điểm khả thi toán (MPDC) Ki , với i ∈ I(q(¯ x)), quy pháp tuyến q(¯ x) Giả sử hệ (5.56) thoả mãn (DMSQC) x¯ Khi khẳng định sau ˆ (¯ (i) Nếu −∇f (¯ x) ∈ N x; Sq ) với w ∈ C(¯ x, −∇f (¯ x)) \ {0}, i ∈ I(q(¯ x), ∇q(¯ x)w), sup ∇2xx L(¯ x, λ)(w, w) + d2 δKi (f (¯ x), λ)(∇f (¯ x)w) > (5.68) ¯ λ∈Λ tồn l > > cho ϕ(x) ≥ ϕ(¯ x) + l x − x¯ ¯ ϕ := f + δSq Λ := Λ(¯ x, −∇f (¯ x)) với x ∈ B(¯ x, ), (ii) Hơn nữa, giả sử Ki , với i ∈ I(q(¯ x)) lồi, quy cấp hai q(¯ x) đối ¯ := Λ(¯ với λ ∈ Λ x, −∇f (¯ x)) dẫn xuất cấp hai q(¯ x) véc-tơ T (q(¯ x); Ki ) ∩ [λ]⊥ Khi khẳng định sau đúng: x¯ nghiệm tối ưu địa phương (MPDC) với w ∈ C(¯ x, −∇f (¯ x)), i ∈ I(q(¯ x), ∇q(¯ x)w) ta có max ∇2xx L(¯ x, λ)(w, w) + d2 δKi (f (¯ x), λ)(∇f (¯ x)w) ≥ ¯ λ∈Λ 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các đóng góp Luận án Luận án nghiên cứu vấn đề thời giải tích biến phân lý thuyết tối ưu Các đóng góp luận án gồm: a) Về phương pháp luận: Luận án sử dụng cách tiếp cận thông qua lý thuyết vi phân suy rộng không gian đối ngẫu kết hợp với số lý thuyết vi phân suy rộng không gian Cách tiếp cận hiệu việc nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cấp hai nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp tốn tối ưu khơng trơn Đặc biệt, cách tiếp cận tiếp tục phát triển để nghiên cứu toán tối ưu nhiều cấp toán điều khiển tối ưu b) Về lý thuyết: Luận án trình bày số điều kiện cần, điều kiện đủ cấp cấp hai cho nghiệm số tốn tối ưu khơng trơn tối ưu đa trị nghiên cứu tính ổn định giải tích cho nghiệm số tốn tối ưu Các kết trình bày luận án đóng góp có ý nghĩa khoa học cho lý thuyết tối ưu Một cách cụ thể hơn, đóng góp mặt lý thuyết luận án là: b1 ) Đối với vi phân suy rộng tương ứng với tập: - Đưa số mối liên hệ vi phân tương ứng với tập đạo hàm tương ứng với tập - Trình bày số tính chất quy tắc tính cho vi phân tương ứng với (Mệnh đề 4.1.17, 4.1.18) - Trình bày áp dụng vi phân suy rộng tương ứng với tập vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cho nghiệm tốn tối ưu khơng ràng buộc (Định lý 4.1.23, Định lý 4.1.25) - Trình bày áp dụng vi phân suy rộng tương ứng với tập vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cho nghiệm toán tối ưu với ràng buộc hàm (Định lý 4.1.30, Định lý 4.1.33) - Xây dựng ví dụ khẳng định ưu việc sử dụng vi phân tương ứng với tập để nghiên cứu điều kiện tối ưu so với số vi phân suy rộng khác b2 ) Đối với vi phân suy rộng theo hướng theo nghĩa Gfrerer : - Thiết lập quy tắc giao cho nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.17) quy tắc tổng cho đối đạo hàm theo hướng hai ánh xạ đa trị (Định lý 4.2.19) - Thiết lập điều kiện cần cho nghiệm địa phương tốn tối ưu đa trị với ràng buộc tập thơng qua vi phân theo hướng nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.27) 19 - Thiết lập điều kiện cần cho nghiệm địa phương toán tối ưu đa trị với ràng buộc phương trình tổng quát thông qua vi phân theo hướng, đối đạo hàm theo hướng nón pháp tuyến theo hướng (Định lý 4.2.30) - Xây dựng ví dụ cho thấy hiệu vi phân suy rộng theo hướng so với vi phân suy rộng khác việc nghiên cứu điều kiện tối ưu b3 ) Vi phân suy rộng cấp hai: - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm cấp hai cho hàm xác định hệ nhúng khơng chắn (Định lý 5.1.7) Từ đó, chúng tơi đạt cơng thức tính cho tập tiếp tuyến cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.8) - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.13) Áp dụng kết cơng thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn vào nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm toán tối ưu nhúng không chắn (Định lý 5.1.17) - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng hữu hạn (Định lý 5.2.11) Áp dụng kết công thức tính cho đạo hàm epi cấp hai cho tập nghiệm hệ nhúng không chắn nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm toán tối ưu nhúng hữu hạn (Định lý 5.2.12) - Thiết lập cơng thức tính cho đạo hàm graphical ánh xạ nón pháp tuyến tập nghiệm hệ nhúng không chắn (Định lý 5.1.18) - Áp dụng cơng thức tính cho đạo hàm graphical ánh xạ nón pháp tuyến tập nghiệm hệ nhúng không chắn vào nghiên cứu ổn định lập cho ánh xạ nghiệm phương trình tổng quát vững có tham số ánh xạ nghiệm tốn tối ưu vững có tham số (Định lý 5.1.19) Hướng phát triển vấn đề nghiên cứu - Tiếp tục nghiên cứu số kết liên quan đến hệ nhúng không chắn như: tính đối đạo hàm cho ánh xạ nón pháp tuyến từ áp dụng vào nghiên cứu tính chất giả Lipschitz cho tập nghiệm toán tối ưu; hội tụ số thuật tốn tìm điểm KKT, thuật tốn tìm nghiệm tốn tối ưu nhúng không chắn - Áp dụng cách tiếp cận luận án vào nghiên cứu số toán tối ưu nhiều cấp toán điều khiển tối ưu 20 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Bài báo khoa học liên quan trực tiếp đến Luận án: V.D Thinh and T.D Chuong (2018), Directionally generalized differentiation for multifunctions and applications to set-valued programming problems, Annals of Operations Research, 269, 727–751 (SCI) (Chương 4, mục 4.2) V.D Thinh and T.D Chuong (2019), Subdifferentials and derivatives with respect to a set and applications to optimization, Applicable Analysis, 98, 1005-1026 (SCIE) (Chương 4, Mục 4.1) V.D Thinh, T.D Chuong and N.L.H Anh (2020), Optimality conditions for circular cone complementarity programs, Optimization, 1-32, first online (SCIE) (Chương 5, Mục 5.2) V.D Thinh, T.D Chuong, N.L.H Anh (2021), Second order variational analysis of disjunctive constraint sets and its applications to optimization problems, Optimization Letters, 15, pages 2201–2224 (SCIE) (Chương 5, Mục 5.2) V.D Thinh, T.D Chuong, N.L.H Anh, Second Order Analysis for Robust Inclusion Systems and Applications (submitted) (Chương 5, Mục 5.1) Báo cáo khoa học kết Luận án: Báo cáo Hội thảo Khoa học cựu học viên, nghiên cứu sinh LIA, Viện Toán học, ngày tháng 12 năm 2018 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 11, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 11 năm 2018 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 12, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 12 năm 2020 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.A Khan, C Tammer and C Zalinescu (2015), Set-valued Optimization: An Introduction with Applications, Springer, Heidelberg [2] P Fermat (1636), Methodus ad disquirendam maximam , Oeuvres, 1, 133-136 [3] J.V Grabiner (1983), The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, 56, 195-206 [4] S Stahl (2011), Real Analysis: A Historical Approach, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey [5] D.J Struik (1969), Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, MA [6] J.-L Lagrange (1813), Theorie des fonctions analytiques, Paris, 2nd edition In Oeuvres de Lagrange, ed M Serret, Gauthier-Villars, Paris, 9, 1867-1892 [7] C Boyer (1959), History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, New York [8] G Bouligand (1930), Sur les surfaces points hyperlimits, Ann Soc Polon Math 9, 32-41 [9] F Severi (1930), Su alcune questioni infinitesimale, Ann Soc Polon Math 9, 97-108 [10] J.M Danskin (1967), The Theory of Min-Max and Its Application , Springer, New York [11] V.F Demyanov and V.N Malozemov (1974), Introduction to Minimax, Wiley, New York [12] V.F Demyanov and A.M Rubinov (1995), Constructive Nonsmooth Analysis, Peter Lang, Frankfurt, Germany [13] I Ginchev and V I Ivanov (2003), Second-order characterizations , J Appl Anal 9, 261-273 [14] A.D Ioffe and V.M Tikhomirov (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands [15] M.T Nadi, J.C Yao and J Zafarani (2019), Second-order characterization of convex functions and its applications, J Appl Anal 25, 49-58 [16] B.N Pshenichnyi (1971), Necessary Conditions for an Extremum, Marcel Dekker, New York [17] J.P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, in Mathematical Analysis and Applications, edited by L Nachbin, 159-229, Academic Press, New York [18] A.D Ioffe (1984), Calculus of Dini subdifferentials maps, Nonlinear Anal 8, 517-539 [19] R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational analysis, Springer, Berlin [20] B.S Mordukhovich (2006), Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic theory, Springer Berlin Heidelberg, Berlin [21] A Mohammadi, B.S Mordukhovich and M.E Sarabi (2021), Parabolic regularity in geometric variational analysis, Trans Amer Math Soc 374, 1711-1763 [22] F.H Clarke (1973), Necessary Conditions for Nonsmooth Problems in Optimal Control and the Calculus of Variations, Ph.D dissertation, University of Washington, Seattle [23] F.H Clarke (1975), Generalized gradients and applications, Trans Amer Math Soc 205 [24] R T Rockafellar (1979), Clarke’s tangent cones closed sets in Rn , Nonlinear Anal 3, 145-154 22 [25] A.D Ioffe (1989), Approximate subdifferentials and applications, III, Mathematika, 36, 1-38 [26] B.S Mordukhovich (1988), Approximation Methods in Control, Nauka, Moscow [27] B.S Mordukhovich and Y Shao (1996), Nonconvex coderivative calculus for infinite-dimensional multifunctions, Set-Valued Anal 4, 205-236 [28] B.S Mordukhovich (2006), Variational analysis and generalized differentiation, II: Applications, Springer Berlin Heidelberg, Berlin [29] A.D Ioffe (1981), Nonsmooth analysis: , Trans Amer Math Soc 266, 1-56 [30] I Ginchev and B S Mordukhovich (2011), On directionally dependent subdifferentials, C R Acad Bulgare Sci 64, 497-508 [31] I Ginchev and B S Mordukhovich (2012), Directional subdifferentials and optimality conditions, Positivity, 16, 707-737 [32] H Gfrerer (2013), On directional metric regularity, , Set-Valued Var Anal 21, 151-176 [33] H Gfrerer (2013), On directional metric subregularity , SIAM J Optim 23, 632-665 [34] N.L.H Anh, P.Q Khanh and L.T Tung (2011), Higher-order radial derivatives and optimality conditions in nonsmooth vector optimization, Nonlinear Anal 74, 7365-7379 [35] N.L.H Anh (2016), Higher-order optimality conditions for strict and weak efficient solutions in set-valued optimization, Positivity, 20, 499-514 [36] J.P Aubin and H Frankowska (1990), Set-valued analysis, Birkhauser, Boston, Massachusetts [37] A Ben-Tal and J Zowe (1982), A unified theory offirst and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces, Math Programming Stud 19, 39-76 [38] F.H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, Wiley, New York [39] R T Rockafellar (1988), First and second-order epi-differentiability in nonlinear programming, Trans Amer Math Soc 307, 75-108 [40] M Studniarski (1986), Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth functions, SIAM J Control Optim 24, 1044-1049 [41] M Studniarski and D.E Ward (1999), Weak sharp minima: Characterizations and sufficient conditions, SIAM J Control Optim 38, 219-236 [42] A Mohammadi, B.S Mordukhovich and M.E Sarabi (2021), Variational analysis of composite models ,Math Oper Res arXiv:1905.08837v1 [43] N.H Chieu and L.V Hien (2017), Computation of graphical derivative for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim 27, 190-204 [44] H Gfrerer and D Katte (2016), Lipschitz and Holder stability , Math Program 158, 35-75 [45] H Gfrerer and J V Outrata (2016), On computation of generalized derivatives of the normalcone mapping and their applications, Math Oper Res 41, 1535-1556 [46] G.M Lee and N.D Yen (2014), Coderivatives of a Karush Kuhn Tucker point set map and applications, Nonlinear Anal 95, 191-201 [47] N.T.V Hang, B.S Mordukhovich and M.E Sarabi (2020), Second-order variational analysis in second-order cone programming, Math Program 180, 75-116 [48] T.D Chuong, N.Q Huy and J.C Ya (2009), Subdifferentials of marginal functions in semiinfinite programming, SIAM J Optim 20, 1462-1477 23 [49] T.D Chuong and V Jeyakumar (2016), Characterizing robust local error bounds data uncertain, Linear Algebra Appl 489, 199-216 [50] H Gfrerer (2014), Optimality conditions for disjunctive programs based on generalized differentiation with equilibrium constraints, SIAM J Optim 24, 898-931 [51] R Henrion (2009), On the co-derivative of normal cone mappings to inequality systems, Nonlinear Anal 71, 1213-1226 [52] P Mehlitz (2020), On the linear independence constraint qualification in disjunctive programming, Optimization, 69, 2241-2277 [53] J.J Ye and J Zhou (2017), Exact formulas for the proximal , Math Program 162, 33-50 [54] M Fabian, P Habala, P Hajek, V.M Santalucia, J Pelant and V Zizler (2011), Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2nd edition, Springer, New York [55] J.F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Series in Operations Research, Springer New York [56] B.S Mordukhovich (2018), Variational analysis and applications, Springer, Switzerland [57] R.R Phelps (1989), Convex functions, Monotone Opertators and Differentiability, Leter Notes in Mathematics-1364, Springer-Verlag, Berlin [58] B.S Mordukhovich (1980), Metric approximations , Soviet Math Dokl 22, 526-530 [59] V.I Ivanov (2015), Second-order optimality conditions , Nonlinear Anal 125, 270-289 [60] A.L Dontchev and R.T Rockafellar (2014), Implicit functions and solution mappings, A view from variational analysis, 2nd ed, Springer, New York [61] J.P Penot (2014), Directionally limiting subdifferentials , Optim Lett 8, 1191-1200 [62] T.D Chuong (2012), L-invex-infine functions and applications, Nonlinear Anal 75, 5044-5052 [63] T.D Chuong and D.S Kim (2014), Optimality conditions , Ann Oper Res 217, 117 - 136 [64] P Long, B Wang and X Yang (2017), Calculus of directional coderivatives and normal cones in Asplund spaces, Positivity, 21, 1115-1142 [65] T.Q Bao and B.S Mordukhovich (2007), Existence of minimizers , Appl Math 52, 453-472 [66] B.S Mordukhovich, N.M Nam and N.T.Y Nhi (2014), Partial second-order subdifferentials in variational analysis and optimization, Numer Funct Anal Optim 35, 1113-1151 [67] T.D Chuong (2020), Robust optimality and duality , SIAM J Optim 30, 1501-1526 [68] J.B.H Urruty and C Lemaréchal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin [69] J.F Bonnans and C.H Ramírez (2005), Perturbation analysis of second-order cone programmming problemmas, Math Program 104, 205-227 [70] B.S Mordukhovich and N.M Nam (2014), An easy path to convex analysis and applications, Morgan & Claypool Publishers, Willistion [71] A Shapiro (2009), On duality theory , Optimization, 58, 133-161 [72] Q.H Ansari, C.S Lalitha and M Mehta (2014), Generalized convexity, nonsmooth variational inequalities and nonsmooth optimization, CRC Press, Taylor and Francis Group [73] C Christof and G Wachsmuth (2020), Differential sensitivity analysis of variational inequalities with locally Lipschitz continuous solution operators, Appl Math Optim 81, 23-62 [74] E Zeidler (1984), Nonlinear functional analysis and its applications III: Variational methods and optimization, Spinger-Verlag, New York 24 ... vi phân suy rộng cần thiết tính tốn, phân tích tốn thực tế Cuối cùng, vi? ??c vận dụng vi phân suy rộng quy tắc tính chúng vào tốn tối ưu không trơn vừa minh chứng để kiểm chứng hiệu vi phân suy rộng. .. VI PHÂN SUY RỘNG CẤP MỘT VÀ ÁP DỤNG 11 4.1 Vi phân suy rộng tương ứng với tập Ginchev 11 4.2 Vi phân suy rộng theo hướng Gfrerer 12 VI PHÂN SUY RỘNG CẤP HAI VÀ ÁP DỤNG 5.1... toán tối ưu không trơn? ?? Bên cạnh vi? ??c mở rộng vi phân suy rộng cấp cho ánh xạ đơn trị, nhiều tác giả quan tâm đến vi? ??c mở rộng khái niệm vi phân suy rộng cho ánh xạ đa trị, vi phân suy rộng cấp