BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP Đại số tuyến tính

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ / TỔ TOÁN - LÝ - ✍✍🕮🖎🖎 - BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Mã HP: 2111PHYS1403 Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Chí Cơng 47.01.102.050 47.01.LY.SPB Phạm Huy Khang 47.01.102.069 47.01.LY.SPB Phan Thị Anh Khuê 47.01.102.072 47.01.LY.SPB Nguyễn Hữu Hoàng Long 47.01.102.082 47.01.LY.SPB Lâm Tấn Lộc 47.01.102.017 47.01.LY.SPB Trần Trung Nguyên 47.01.102.099 47.01.LY.SPB Đào Ánh Nguyệt 47.01.102.101 47.01.LY.SPB BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Nguyễn Thanh Thảo 47.01.102.115 47.01.LY.SPB Hồng Anh Tuấn 47.01.102.129 47.01.LY.SPB BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính BÀI 1: Trong khơng gian ℝ4 cho vectơ sau đây: u1 = (1, 2, 0, 1); u2 = (2, 1, 3, 1); u3 = (7, 8, 9, 5); u4 = (1, 2, 1, 0); u5 = (2, -1, 0, 1); u6 = (-1, 1, 1, 1); u7 = (1, 1, 1, 1) Đặt U = 〈u1, u2, u3〉, W = 〈u4, u5, u6, u7〉 Hãy tìm sở cho khơng gian U, W, U+W, U∩W Từ suy dimU; dimW; dim (U+W); dim (U∩W) • U: Xét ma trận dịng từ U: ⇒ Hệ vector (1, 2, 0, 1); (0, -3, 3, -1); (0, 0, 3, 0) độc lập tuyến tính • W: ⇒ 〈(1, 2, 0, 1); (0, -3, 3, -1); (0, 0, 3, 0)〉 sở U ⇒ dimU = Xét ma trận dòng từ W: ⇒ Hệ vector (1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 2, 4) độc lập tuyến tính • U + W: ⇒ 〈(1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 2, 4)〉 sở W ⇒ dimW = Có U + W = {(1, 2, 0, 1); (0, -3, 3, -1); (0, 0, 3, 0); (1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 2, 4)} Xét ma trận sau: ⇒ Hệ vector (1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 1, -1); (0, 0, 0, 5) độc lập tuyến tính ⇒ 〈(1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 1, -1); (0, 0, 0, • U ∩ W: 5)〉 sở U + W BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇒ dim(U+W) = Với vector x ∈ U∩W tồn số thực a, b, c, d, e, f cho: x = a(1, 2, 0, 1) + b(0, -3, 3, -1) + c(0, 0, 3, 0) = d(1, 2, 1, 0) + e(0, -1, 0, 1) + f(0, 0, 2, 4) ⇒ x = a(1, 2, 0, 1) + b(0, -3, 3, -1) + c(0, 0, 3, 0) – d(1, 2, 1, 0) – e(0, -1, 0, 1) – f(0, 0, 2, 4) = (0, 0, 0, 0) Ta có ma trận sau: BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇒ ⇒ ⇒ x = m(1, 2, 0, 1) + n(0, -3, 3, -1) + (0, 0, 3, 0) = m(1, 2, ⇒ 〈(1, 2, , 1) + n(0, -3, -2, -1) , 1); (0, -3, -2, -1)〉 sở U ∩ W ⇒ dim(U∩W) = BÀI 2: Trong ℝ4 cho vector: u1 = (1, 1, -1, 0); u2 = (-2, 3, 4, 1); u3 = (-1, 4, 3, 2); v1 = (1, 1, -1, -1); v2 = (2, 7, 0, 3); v3 = (2, 7, 0, 2) Đặt W = 〈{u1; u2 ; u3}〉 a) Kiểm tra B = {u1; u2 ; u3} sở W b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ ℝ4 Tìm điều kiện để u ∈ W với điều kiện tìm [u]B c) Kiểm tra B’ = {v1, v2, v3} sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ d) Tìm [u]B, v, [w]B’ biết u = (a, b, c, d) ∈ W, [v]B’ = [w]B = a) Xét ma trận sau: ⇒ Hệ vector (1, 1, -1, 0); (0, 5, 2, 1); (0, 0, 0, 1) độc lập tuyến tính ⇒ B = {u1; u2 ; u3} sở W b) Để u ∈ W; tồn x1, x2, x3 ∈ ℝ thoả hệ thức sau: u = x1u1 + x2u2 + x3u3 ⇔ x1 + x2 + x3 = BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Xét ma trận hệ số mở rộng: Để hệ phương trình có nghiệm ⇔ 7a – 2b + 5c = Khi đó: [u]B = (x1 + x2 + x3) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇒ [u]B = c) • Xét ma trận dòng vector v1, v2, v3: ⇒ v1, v2, v3 độc lập tuyến tính ∀ u = (a, b, c, d) ∈ W ⇔ 7a – 2b + 5c = ⇔ c = ⇒u= Để B’ = {v1, v2, v3} sở W ⇔ Tồn m1, m2, m3 ∈ ℝ thoả: Xét ma trận mở rộng: ⇒ ⇔ ⇒ B’ độc lập tuyến tính ⇒ B’ = {v1, v2, v3} sở W • Từ b), với [u]B = , ta được: BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính [v1]B = ; [v2]B = ; [v3]B = Vậy ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: d) • [u]B = • • [v]B’ = ⇔ v = v1 + 2v2 + 3v3 ⇒ v = (11, 36, -1, 11) Ta có: [w]B = PB🠒B’ [w]B’ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy [w]B’ = BÀI 3: Trong không gian V3 cho vector = i + j, = i – j, = – i + 2j – k Chứng minh rằng, hệ B’ = ( ) sở V3 viết ma trận chuyển đổi PB🠒B’, với B = (e1 = i, e2 = j, e3 = k) Tìm toạ độ vector x = i – 2j + 2k sở B’ • B’ = ( Xét ma trận ) = (i + j, i – j, – i + 2j – k) = i(1, 1, -1) + j(1, -1, 2) + k(0, 0, -1) ⇒ =1+1=2≠0 ⇒ B’ độc lập tuyến tính ⇒ B’ sở V3 • B = (e1, e2, e3) = (i, j, k) = i(1, 0, 0) + j(0, 1, 0) + k(0, 0, 1) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇔ Vậy ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính • Để x ∈ B’: x = ⇔ (1, -2, 2) = a(1, 1, 0) + b(1, -1, 0) + c(-1, 2, -1) ⇔ ⇔ Vậy [x]B’ = BÀI 4: Trong không gian vector ℝn, cho tập V có dạng: V = {x = (x1, x2, …, xn) ∈ ℝn / x1 + x2 + … + xn = 0} a) Chứng minh V không gian ℝ n b) Tìm sở số chiều V a) Lấy vector thuộc V: ⇒ ⇒ (a + b) ∈ V (1) Lại có: 🠒 =0 ⇒ ka + hb ∈ V (2) (1)(2) ⇒ V không gian ℝn b) ∀x ∈ V, ta ln có: x1 + x2 + … + xn = ⇔ x1 = – x2 – x3 – … – xn Khi đó: x = (x1, x2, …, xn) = (– x2 – x3 – … – xn, x2, …, xn) = x2(-1,1,…,0) + x3(-1,0,1,…,0) + … + xn(-1,0,…,1) = x2e1 + x3e2 + … + xnen-1 mà e1, e2, … en-1 độc lập tuyến tính ⇒ e1, e2, …, en-1 sở V ⇒ dimV = n – BÀI 5: Trong M2(ℝ), cho hai không gian con: ; a) Xác định tập F + G BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính b) Tìm sở số chiều F + G a) Ta có: • • Tập F + G = {A + B / a, b, c, d ∈ ℝ} = BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính b) F = 〈 sở F 〉 sở G G=〈 〉 sở M2(ℝ) Gọi E = ; ; ; Xét ma trận sau: ⇒S= sở F + G ⇒ dim(F + G) = BÀI 6: Trong ℝ3 cho sở tắc {e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)}, ℝ2 cho vector v1 = (1, 1); v2 = (2, 3); v3 = (4, 5) Hãy xác định ánh xạ f : ℝ3 🠒 ℝ2 thoả tính chất f (ei) = vi; i = 1, 2, Gọi A ma trận biểu diễn f : Mà ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Vậy f (ei) = ei ⇔ f (a, b, c) = ⇔ f (a, b, c) = (a + 2b + 4c, a + 3b + 5c) BÀI 7: Trong ℝ3 cho hai hệ vector {u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 1, 1); u3 = (1, 0, 1)} {v1 = (1, 1, 1); v2 = (0, 0, 1); v3 = (1, 2, 1)} Hỏi có tồn phép biến đổi tuyến tính f : ℝ3 🠒 ℝ3 thoả f (ui) = vi, i = 1, 2, khơng? Nếu có, xác định cơng thức f Đặt x = (x1, x2, x3) = αu1 + γu2 + βu3 = α(1, 1, 0) + β(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇒ ⇔ ⇒ f (x) = f (x1, x2, x3) = α f(u1) + γ f(u2) + β f(u3) = (1,1,1) + (0,0,1) + (1,2,1) ⇒ f (x) = BÀI 8: Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ4 🠒 ℝ3 xác định f (x, y, z, t) = (x – 2y + t, 3x – y + z, 4x – 3y + z + t) a) Lập ma trận f cặp sở tắc b) Tìm Kerf Imf c) f có phải đơn cấu, tồn cấu khơng? a) Ta có: f (x, y, z, t) = (x – 2y + t, 3x – y + z, 4x – 3y + z + t) = x(1, 3, 4) + y(-2, -1, -3) + z(0, 1, 1) + t(1, 0, 1) 🠒 Ma trận f sở tắc là: b) • Kerf: Khơng gian Kerf tập hợp vectơ X = (x, y, z, t) ∈ ℝ3 cho f (X) = Với f (X) = ⇔ (x – 2y + t, 3x – y + z, 4x – 3y + z + t) = (0, 0, 0) Xét ma trận hệ số mở rộng: ⇔ ⇔ (a, b ∈ ℝ) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính 🠒 Kerf = {(a, 3a+b, b, 5a+2b) / (a, b ∈ ℝ)} • Imf: Ta có ma trận biểu diễn f theo sở tắc ℝ4 ℝ3 là: A= BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Biến đổi sơ cấp dịng A T = Vậy 〈(1, 3, 4); (0, 1, 1)〉 sở Imf ⇒ dim(Imf ) = c) • Trong sở Kerf, ta có: X = a(1, 3, 0, 5) + b(0, 1, 1, 2) Mà 〈(1, 3, 0, 5); (0, 1, 1, 2)〉 độc lập tuyến tính ⇒ 〈(1, 3, 0, 5); (0, 1, 1, 2)〉 sở Kerf ⇒ dim(Kerf ) = Ta có: dim(Kerf ) ≠ ⇒ f khơng phải đơn cấu • Ta có: r( f ) = dim(Imf ) = dim(ℝ4) - dim(Kerf ) = – = (≠ dim ℝ3) ⇒ f khơng phải tồn cấu BÀI 9: Cho ma trận: Hãy xét xem A có chéo hố khơng? Tìm ma trận C làm chéo hố A Phương trình đặc trưng A là: =0⇒ det(A - I λ) = det =0 ⇒ (1 - λ)(2 - λ)(3 - λ) = ⇔ λ1 = ∨ λ2 = ∨ λ3 = Vậy A có trị riêng phân biệt Mà A ma trận vuông cấp ⇒ A chéo hoá Với λ1 = 1, ta giải hệ: ⎛ 3⎞⎛ x1 ⎞ ⎧2x2 + 3x3 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⇔ x =0⇔ x ( A −1I )(x) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨2 ⎧x1 = a (∀a ∈ R) ⎪ + 3x = ⇔ x = ⎨2 BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⎪ ⎜ 0 2⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎠⎝ ⎠ ⎩ ⎪ x=0 2x = ⎩3 ⎛ 1⎞ ⎜ ⇔ x ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜x⎟ ⎜⎟ ⎜0⎟ ⎜⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ 3⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =a ⎛ 1⎞ Với Ứng với trị riêng λ1 = 1, ta có ⎜⎟ vector riêng v1 ⎜⎟ λ2 = , ta giải hệ: ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⎧−x1 + 2x2 + 3x3 = ⎛−1 ⎧x1 = 2b (∀b ∈ R) 3⎞⎛ x1 ⎞ ⎜ ⇔ ( A − 2I )(x) = ⎟⎜ ⎟ ⎪ x =0⇔ ⎪ ⇔ x 3x = =b ⎜ ⎨ ⎟⎜ ⎟ ⎜0 ⎪ ⎨ ⎪ x=0 x=0 1⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎛ 2b ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎠⎝ ⎠ ⎩ ⎩3 ⎛ 2⎞ ⎜ ⇔ x ⎟ =⎜ b ⎟= b ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜x⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜⎟ ⎜0⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎛ 2⎞ Ứng với trị riêng λ2 = , ta có vector riêng v2 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ Với λ3 = , ta giải hệ: ⎛−2 3⎞⎛ x1 ⎞ ⎧−2x1 + 2x2 + 3x3 = ⎧x1 = 9c / 2(∀c ∈ R) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⎜ ⎟⎜ ⎟ −1 x = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ( A − 3I )(x) = ⇔ ⇔ −x + 3x = ⎨ ⎪ ⎜0 ⎪ ⎪ x=c ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 9c / 2⎞ ⎛9 / 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⇔ x = 3c ⎟=c⎜3⎟ ⎜ ⎜ ⎟ c ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎨2 0=0 0⎟⎜ x ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜x⎟ ⎪ ⇔ x = 3c ⎠ ⎛9 / 2⎞ ⎜ ⎟ Ứng với trị riêng λ = , ta có vector riêng v = 3 ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ C ma trận làm A chéo hóa có dạng: ⎛ / 2⎞ ⎜ C= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎟ ⎠ ⎩ ⎩3 BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính BÀI 10: Cho tốn tử tuyến tính f: ℝ3 🠒 ℝ3 xác định bởi: f (x1, x2, x3) = (3x1 – x2, – 2x1 + 3x2, 5x3) Toán tử f có chéo hố khơng? Tìm sở ℝ mà sở f có dạng chéo (nếu có) Ma trận ánh xạ tuyến tính f A = Xét phương trình đặc trưng: det(A - λI3) = ⇒ = ⇔ (5 - λ) ⇔ λ1 = ∨ λ2 = ± Vậy A có trị riêng phân biệt ⇒ A chéo hoá ⇒ f chéo hoá BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Với λ1 = 5, ta giải hệ phương trình sau: (A – 5I 3)(x) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ứng với trị riêng λ1 = 5, ta có vector riêng: Với λ2 = + ta giải hệ phương trình sau: (A – (3 + ⇔ )I3)(x) = ⇔ ⇔ Ứng với trị riêng λ2 = + riêng: Với λ3 = - =0 (b∈ℝ) ⇔ , ta có vector , ta giải hệ phương trình sau: (a ∈ ℝ) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính (A – (3 - ⇔ )I3)(x) = ⇔ =0 ⇔ (c ∈ ℝ) ⇔ Ứng với trị riêng λ3 = - , ta có vector riêng: Vậy sở ℝ3 mà f có dạng chéo là: B = {(0, 0, 1) ; (1, BÀI 1: U: W: U + W: BÀI 2: BÀI 3: BÀI 4: BÀI 5: BÀI 6: BÀI 7: BÀI 8: BÀI 9: BÀI 10: , 0) ; (1, , 0)} ...BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính Nguyễn Thanh Thảo 47.01.102.115 47.01.LY.SPB Hồng Anh Tuấn 47.01.102.129 47.01.LY.SPB BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính BÀI... lập tuyến tính ⇒ B’ sở V3 • B = (e1, e2, e3) = (i, j, k) = i(1, 0, 0) + j(0, 1, 0) + k(0, 0, 1) BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính ⇔ Vậy ma trận chuyển sở từ B sang B’ là: BÀI THI. .. độc lập tuyến tính ⇒ e1, e2, …, en-1 sở V ⇒ dimV = n – BÀI 5: Trong M2(ℝ), cho hai không gian con: ; a) Xác định tập F + G BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP: Đại số tuyến tính b) Tìm sở số chiều