TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: TỐN CAO CẤP Mã đề: 02 Họ tên sinh viên: Nguyễn Đào Lan Anh MSSV: 030536200306 Lớp học phần: AMA302_2021_D13 THƠNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 21 trang (bằng chữ): 21 trang YÊU CẦU Câu (2 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết bạn nội dung sau: - Đạo hàm riêng vi phân toàn phần - Ứng dụng đạo hàm riêng toán kinh tế Câu (2 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết bạn nội dung sau: - Bài toán Cauchy tồn nghiệm phương trình vi phân - Ứng dụng phương trình vi phân toán kinh tế Câu (6 điểm) Ứng với nội dung cho tập kèm lời giải chi tiết: - Giới hạn hàm số - Đạo hàm riêng cấp - Đạo hàm riêng cấp - Cực trị hàm nhiều biến - Cực trị có điều kiện ràng buộc hàm nhiều biến - Tích phân suy rộng loại - Phương trình vi phân cấp - Phương trình vi phân cấp BÀI LÀM Câu 1: 1.1 Trình bày hiểu biết đạo hàm riêng vi phân toàn phần Đạo hàm riêng đạo hàm hàm đa biến theo biến số, biến lại xem số Cho hàm biến f(x, y) xác định D⊂ ℝ2 (x,y) ∈ D �� Đạo hàm riêng theo biến x hàm f (x0, y0) Ký hiệu: ��(x0, y0) �� �� (x0, y0) = lim �→�0 �(�, �0 )−�(�0 ,�0 ) �−�0 Đạo hàm riêng theo viến y hàm f (x0, y0) Ký hiệu: �� �� (x0, y0) = lim �→�0 �(�0 ,�)−�(�0 ,�0 ) Ta kí hiệu: �� �� �� �� �� (x0, y0) �� �−�0 (x0, y0) = �'� (�0 , �0 ) (x0, y0) = �'�(�0 , �0 ) Tương tự ta có khái niệm đạo hàm tiêng hàm n biến (n>2) Chú ý: Tính đạo hàm riêng theo biến x, hàm n biến thực chất tính đạo hàm biên số x, xem biến lại số Phương trình vi phân dạng M(x,y)dx + N(x, y)dy = (1) gọi phương trình vi phân tồn phần thoải mãn điều kiện: vế trái phương trình (1) phải vi phân tồn phần hàm khả vi Tức tồn hàm U(x, y) khả vi cho dU(x, y)= M(x, y)dx + N(x, y)dy Điều kiện để phương trình phân dạng (1) trở thành phương trình vi phân tồn phần là: �� �� = �� �� 1.2 Ứng dụng đạo hàm riêng kinh tế - Phân tích cận biên: + Hàm sản xuất: Q=f(K,L) +Hàm lợi ích: U=U(x,y) VD: Một người tiêu dùng có hàm lợi ich U=2xy+2x+3y, x lương tiêu dùng hàng hóa A, y lượng tiêu dùng hàng hóa A, y lượng tiêu hàng hóa B Biết giỏ hàng (x=9, y=8) (x=8, y=9) bán đồng giá, cho biết xu hướng lựa chọn người tiêu dùng so sánh lợi ích cận biên mặt hàng giỏ - Lựa chọn tối ưu VD: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất loại sản phẩm có hàm tổng chi phí TC = Q21 + 2Q22 − 4Q1 Q3 + 5Q23 chọn mức kết hợp sản lượng để tối đa lợi nhuận giá sản phẩm $8, $20, $10 Câu 2: 2.1 Trình bày hiểu biết toán Cauchy tồn nghiệm phương trình vi phân - Điều kiện Lipschitz: Hàm f(x, y) thỏa điều kiện Lipchitz miền D mặt phẳng Oxy theo biến y nếu: ∃λ > 0, ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D, λ số Lipschitz |f(x, y1 ) − f(x, y2 )| ≤ λ|y1 − y2 | Nếu miền D lồi hàm f(x, y) có đạo hàm riêng �� �� bị chặn D, ∃λ > 0, |f'y (x, y) ≤ λ hàm miền D thỏa điều kiện Lipschitz với số λ - Định lý Cauchy: Cho phương trình vi phân y’=f(x, y) Với điều ban đầu điểm x=x0 y=y0 Hàm f(x,y) có tính chất sau: - f(x,y) xác định liên tục miền D có chứa điểm (x0, y0) - f(x,y) miền D= (�, �) ∈ ℝ2 /|� − �0 | ≤ �, |� − �0 | ≤ �} thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y với số λ > 0, ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D |f(x, y1 ) − f(x, y2 )| ≤ λ|y1 -y2 | Khi tồn nghiệp y = φ(x) y’=f(x, y) thỏa điều kiện φ(x0 ), đoạn [�0 -h, �0 +h], h>0] � y0 = h=min(a,� ), M= max |�(�, �) | (�,�)∈� 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân tốn kinh tế - Phân tích định tính quỹ đạo thời gian số biến số biến số kinh tế phương pháp đồ thị - Mơ hình tăng trưởng Domar - Mơ hình tăng trưởng Solow - Mơ hình điều chỉnh giá thuh trường Câu 3: 3.1 Giới hạn hàm số 4�+1 Tìm lim (2� + 1) �3 +�+2 �→−∞ lim (2� + 1) �→−∞ = lim �→−∞ (2�+1) −� 4�+1 �3 +�+2 4�+1 �+ + � � 4�+1 = lim (2� + 1) = lim � (2+ ) �→−∞ −1 � 4+ 1+ + � � 1+4�2 �→0 sin 2� tan 3� Ta có lim dạng �→0 0 1 = lim �→−∞ =− Dùng phương pháp vơ bé để tìm lim sin lim �2 (�+ + ) � � �→−∞ 1+4�2 2� tan 3� + 4�2 − = (1 + 4�2 )2 − 1~ 4�2 |� → 1+4�2 �→0 sin 2� tan 3� sin 2� tan 3� ~ 2� 3�|� → = lim 2� �→0 2�.3� = lim �→0 2�2 6�2 = (2�+1) |�| 4�+1 �+ + � � (2�2 + � − 6) ln (3 − 2�) Dùng phương pháp L’Hospital tìm lim �→( )− lim (2�2 + � − 6) ln (3 − 2�) dạng 0.∞ �→( )− ln (3−2�) − �→( ) 2�2 +�−6 lim (2�2 + � − 6) ln (3 − 2�) = lim 3 �→( )− = lim �→( )− 2(2�−3)(�+2)2 4�+1 =0 2�−3 = lim 4�+1 �→( )− −(2�−3)2 (�+2)2 1 Sử dụng khai triển Taylor/Maclaurin để tìm lim (sin � )2 − �2 lim �→0 (sin � )2 − �2 = lim �→0 �2 −( sin � )2 �2 (sin � )2 = lim �→0 �→0 �2 −( sin � )2 �4 = lim �→0 Khai triển Maclaurin với sinx đến bậc �3 : sin � = � − Khai triển Maclaurin với sinx đến bậc �: sin � = � ⇒ L = lim �→0 �3 �−(�− ) �3 lim �+� �→0 � = = Sử dụng định lý kẹp để tìm lim Ta có: lim tan (� − 1) = �→1 1 + 2x−2 > ⇒ < ⇒ lim tan (�−1) �→1 1+2�−1 =0 1 1+2x−1 �−sin � �3 �3 lim �→0 �+sin � � tan (�−1) �→1 1+2�−1 1: Q(tK, tL) = K L = 86 K L < tQ(K, L) ⇒Doanh nghiệp có hiệu sản xuất giame theo quy mơ Sản lượng K=8, L=16 Q(8,16)=8 16 = 64 ⇒đường đồng lượng qua K L = 64 MPPK = � 3 �2 ⇒MPPK(8,16)= 16 3 82 = Một người tiêu dùng có hàm lợi ich U=2xy+2x+3y, x lương tiêu dùng hàng hóa A, y lượng tiêu dùng hàng hóa A, y lượng tiêu hàng hóa B Biết giỏ hàng (x=9, y=8) (x=8, y=9) bán đồng giá, cho biết xu hướng lựa chọn người tiêu dùng so sánh lợi ích cận biên mặt hàng giỏ U(9,8) = 186 < U(8,9) = 187 ⇒ chọn giỏ (x, y) = (8,9) ��� = 2� + ⇒ ��� (8,9) = 20 ��� = 2� + ⇒ ��� (8, 9) = 19 < ���(8,9) Giỏ có lợi ich U=187 nên đường bàng quan cần tìm 2xy + 2x + 3y = 187 Tìm đạo hàm riêng �'� (1,2), �'� (1,2), biết f(x, y) = (x + 2y)y �'�(�, �) = (� + 2�)� '� = �(� + 2�)�−1 ⇒ �'� (1, 2) = 10 ln � = � ln (� + 2�) Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có �'� � = ��(� + 2�) + � ⇒ f'y (x, y) = (x + 2y)y ln (x + 2y) + y ⇒ f'y (x, y) = 25 ln + �(�;�) = 2 �+2� x+2y �3 + �3 Tính �'� (0; 0) Dùng đinh nghĩa, ta có: �'�(0; 0) = lim �→0 �(0+ℎ;0)−�(0;0) ℎ = lim �→0 3 (0+ℎ)3 +03 − 03 +03 ℎ Tính đạo hàm riêng cấp f(x;y;z) = x.sin(yz) �'� = ���(��) �'� = �� ���(��) �'� = �� ���(��) ℎ = lim = lim1 = �→0 ℎ �→0 3.3 Đạo hàm riêng cấp Tính đạo hàm cấp z = ln �2 − y2 z = ln �2 − y2 = ln (�2 − y2 )2 = ln (�2 − y2 ) �'� = �'� = � �2 −y2 � �2 −y2 �''�2 = (�2 −y2 )−2�2 �''�2 =− (�2 −y2 )2 �2 +y2 (�2 −y2 )2 �''�� = �''�� = 2�� (�2 −y2 )2 xy(�2 −3y2 ) Tính f’’xy(0,0) biết f(x, y) = y ≠ 0: f'x (0, y) = lim x→0 y=0: �'� (0,0) = lim �''��(0,0) = lim x→0 x→0 f(x,y)−f(0,y) x−0 f(x,0)−f(0,0) x−0 f'x (0,y)−f'x (0,0) y−0 �2 +y2 = lim x→0 0; x = y = y(�2 −3y2 ) �2 +y2 = lim 0−0 x→0 y x→0 x = lim x→0 �'� = �2 + 2� �''�2 = 2� �''�2 = Tính đạo hàm cấp z = �2 ln (x + y) �2 �+� −3y3 y2 =− 3y = lim( − 3) =− �'� = 2�� �'� = 2� ln (� + �) + = = lim0 = −3y−0 Tính đạo hàm cấp z = �2 y + y2 �''�� = �''�� = 2� ; �2 + y2 ≠ x→0 �'� = �2 �+� �''�2 = ln (� + �) + �2 �''�2 =− (�+�)2 �''�� = �''�� = 2� �+� − 2� �+� + 2� �+� − �2 (�+�)2 � � �'� = �2 �2 +�2 �2 � �2 +�2 �''�2 = �''�2 = 2�� = = �+� − �2 (�+�)2 �2 (�+�)2 Tính đạo hàm cấp z = arxtg �'� =− = ln (� + �) + −� x y �2 +�2 � �2 +�2 (�2 +�2 )2 −2�� (�2 +�2 )2 �''�� = �''�� = �2 −�2 (�2 +�2 )2 3.4 Cực trị hàm nhiều biến Một doanh nghiệp độc quyền bán hai loại sản phẩm A, B thị trường Chi phí sản xuất đơn bị sản phẩm A, B $25 $35 Biết giá bán đơn vị sản phẩm A, B $x $y số sản phẩm A bán 85 - 5x +4y số sản phẩm B bán 95 + 6x - 7y Xác định mức giá bán loại sản phẩm A, B để doanh nghiệp tối đa lợi nhuận TR = x(85 - 5x +4y) + y(95 + 6x - 7y) TC= 25(85 - 5x +4y) + 35(95 +6x - 7y) π = TR - TC = −5�2 − 7y2 + 10xy + 240y − 5450 �'� = − 10� + 10� = � = 60 ⇒ �'� = − 14� + 10� + 240 = � = 60 a11 = π''�2 =− 10 D = π''11 π''22 − π''12 π''21 = ( − 10)( − 14) − 10.10 = 40 > Vậy (x;y) = (60; 60) cực đại nên mức giá bán cần tìm Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm thị trường khác Cho biết hàm chi phí TC = 35 + 10Q (Q= Q1 + Q2) cầu thị trường sản phẩm công ty: TT1: Q1 = 24 - 0,2p1 TT2: Q2 = 10 - 0,5p2 Xác định sản lượng thị trường để công ty đạt lợi nhuận tối đa Q1 = 24 -0,2p1 ⇔ p1 = 120-5Q1 Q2 = 10 - 0,5p2 ⇔ p2 =20 - 2Q2 TR = (230 − 0,5Q1 )Q1 + (20 − 2Q2 )Q2 = 120Q1 + 20Q2 − 5Q21 − 2Q22 π = TR − TC = 120Q1 + 20Q2 − 5Q21 − 2Q22 − 35 − 10(Q1 + Q2 ) = 110Q1 + 10Q2 − 5Q21 − 2Q22 − 35 �'�1 = 110 − 10�1 = �1 = 11 ⇔ �2 = 2,5 �'�2 = 10 − 4�2 = �11 = �''�2 = − 10 < �2 = �''�2 �''�2 − �''�1 �2 �''�2�1 = ( − 10)( − 4) − = 40 > Vậy (Q1; Q2) = (11; 2,5) cực đại nên kết hợp sản lượng cần tìm Một cơng ty chun sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng x đơn vị y đơn vị Giả sử giá sản phẩm loại loại hai cho đơn vuị p(x)= 50 − x q(y)= 50 − y Biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm C(x, y) = �2 + xy + y2 Vậy công ty nên sản xuất đơn vị sản phẩm loại để tổng lợi nhuận thu lớn nhất? π = TR − TC = x(50 − x) + y(50 − y) − (�2 + xy + y2 ) =− 2�2 − 2y2 − xy + 50x + 50y �'� = −4� − � + 50 = � = 10 ⇔ ⇔ �'� = � = 10 −4� − � + 50 = ∆ = �''�2 �''�2 − (�''�� )2 =− ( − 4) − ( − 1) = 15 > �''�2 =− < ⇒ (10,10) điểm cực đại Vậy nhà máy nên sản xuất 10 đơn vị sản phẩm loại hai lợi nhuận lớn Tìm cực trị f(x, y) = (x − y)2 + (x + y)3 �'� = 2(� − �) + 3(� + �)2 �'� =− 2(� − �) + 3(� + �)2 �''�2 = + 6(� + �) �''�2 = + 6(� + �) �''�� =− + 6(� + �) �'� = 2(� − �) + 3(� + �)2 �=0 ⇒ �0 (�0 , �0 ) = (0,0) ⇔ ⇔ �'� = �=0 −2(� − �) + 3(� + �) ∆ = [ − + 6(x + y)]2 − [2 + 6(x + y)]2 =0 Tại �0 (0,0) ⇒ ∆f = f(∆x + x0 , ∆y + y0 ) − f(x0 , y0 ) ⇔ ∆f = (∆x − ∆y)2 + (∆x + ∆y)3 Chọn ∆x = ∆y ⇒ ∆f = 8(∆x)3 Nếu ∆x > ⇒ ∆f > ∆x < ⇒ ∆f < ⇒ ∆f không xác định dấu ⇒M0(0,0)không cực trị cua hàm số Tìm cực trị hàm z =− �2 y2 + 4xy − �2 + 4x �'� =− 2�2 � + 4� − 2� + �'� =− 2�2 � + 4� �''�2 =− 2�2 − �''�2 =− 2�2 �''�� =− 4�� + �'� = − �2 � + 2� − � + = (1) −2�2 � + 4� − 2� + = ⇔ ⇔ �'� = − �2 � + 2� = (2) −2�2 � + 4� = Từ (2) ⇒− �2 � + 2� = ⇔ �(�� + 2) = ⇔ �=0 �� = + Với x = 0⇒ (1) ⇔ 2y + = ⇔ 2y + = ⇔ y =− ⇒ M1 (0, − 1) + Với xy = 0⇒ (1) ⇔− y(xy) + 2y − x + = ⇔− x + = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M2 (2,1) Xét điểm �1 (0, − 1): A = �''�2 (0, − 1) =− B = z''xy (0, − 1) = C = z''y2 (0, − 1) = Ta có ∆ = 16 > ⇒ M1 (0, − 1) cực trị Xét điểm �2 (2,1) A = z''�2 (2,1) =− B = z''xy (2,1) =− C = z''y2 (2,1) =− Ta có ∆ =− 16 < ⇒ M2 (2,1) cực trị 3.5 Cực trị có điều kiện ràng buộc hàm nhiều biến Tìm cực trị hàm số f(x, y) = �2 + y2 thoả điều kiện x + y =4 Đặt φ(x, y) = x +y-4 L(x, y) = �2 + y2 + λ(x + y − 4) Ta có: �� = 2� + �, �'� = 2� + � �� = 2� + � = �=2 �� = ⇔ 2� + � = ⇔ � = Xét hệ �+� =4 �(�, �) = � =− Ta có điểm tới hạn M(2,2) Ta có: ��2 (�) = 2, ��2 (�) = 2, ��� (�) = Ta có: �2 �(�) = 2��2 + 2��2 > Vậy hàm số đạt cực tiểu M(2,2) Giá trị cực tiểu f(M)=8 Tìm cực trị hàm số f(x,y) = xy thỏa điều kiện x+y=10 Đặt φ(x, y) = x + y − 10 L(x, y) = xy + λ(x + y − 10) Ta có: �� = � + �, �� = � + � �� = �+�=0 �=5 �� = ⇔ �+�=0 ⇔ �=5 Xét hệ x + y − 10 = φ(x, y) = � =− Ta có điểm tới hạn M(5,5) Ta có: ��2 (�) = 0, ��2 (�) = 0, ��� (�) = Ta có: �2 �(�) = 0��2 + 2���� + 0��2 = 2���� Mặt khác �� (�) = 1, ��(�) = Mà �� (�)�� + �� (�)�� = Nên dx + dy = ⇒ dx = -dy Suy �2 �(�) =− 2��2 < Vậy hàm số đạt cực đại M(5,5) Giá trị cực đại f(M)=25 Cho hàm lợi ích U=(x+5)y Hãy xác định túi hàng có chi phí tối thiểu mà đảm bảo mức lợi ích U=244 Biết giá hai hàng hóa Hàm mục tiêu: C = 7x + 8y Điều kiện: (x+5)y = 244 L = 7x + 8y + λ[244 − (x + 5)y] �'� = − �� = �'� = − �(� + 5) = ⇔ �'� = 244 − (� + 5)� = ⇔ �= −35 + 854 � = ; �= 14 854 � = � = � = (� + 5) (� + 5)� = 244 854 �1 = � > 0; �2 = � + > 0; � ⇒ �11 = = �22 ; �12 = �21 = − � < �1 Vậy (x, y) = −35 + 854 ; �+5 854 �1 �21 túi hàng cần tìm �2 �12 = �1 �2 �12 + �2 �1 �21 < Một doanh nghiệp có Q = 4K0,7 L0,9 Giá thuê đơn vị tư lao động $2, $3, ngân sách dùng cho sản xuất $960 Xác định K, L để doanh nghiệp thu sản lượng tối đa Hàm mục tiêu: Q = 4K0,7 L0,9 Điều kiện: 2K + 3L = 960 l = 4K0,7 L0,9 + λ(960 − 2K − 3L) �0,9 �0,7 �'� = 2,8�−0,3 �0,9 − 2� = � = 1,4 0,3 = 1,2 0,1 � � �'� = 3,6�0,7 �−0,1 − 3� = ⇔ 6� = 7� �'� = 960 − 2� − 3� = 2� + 3� = 960 � = 210 � = 180 ⇔ � = 1,4 210−0,3 1800,9 �1 = 2; �2 = 3; �11 = − 0,84�−1,3 �0,9 ; �22 = − 0,36�0,7 �−1,1 < �12 = �21 = 2,52�−0,3 �−0,1 > 0 ⇒ �11 �21 �12 �22 = 6�12 + 6�21 − 9�11 − 4�22 > ⇒ (K;L) = (210; 180) kết hợp đầu vào cần tìm Cho hàm lợi ích tiêu dùng hàng hóa: U = x0,4 y0,6 Giả sử giá mặt hàng tương ứng USD, USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130 USD Hãy xác định lượng cầu dối với mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Hàm mục tiêu: U = x0,4 y0,6 Hàm điều kiện: 2x + 3y = 130 L = x0,4 y0,6 + λ[130 − (2x + 3y)] �'� = 0,4�−0,6 �0,6 − 2� = � = � = 26 �'� = 0,6�0,4 �−0,4 − 3� = ⇔ � = 0,2 �'� = 130 − (2� + 3�) = Tại x = y = 26, λ = 0,2, ta có: �1 �2 �1 �11 �21 �2 �12 = −0,15 �22 0,1 0,1 = 2,83 > −0,07 ⇒ Umax x = y = 26 Để người dùng thu lợi ích tối đa lượng cầu hai mặt hàng phải 26 3.6 Tích phân suy rộng loại +∞ xℯ−2x dx Tính l = l= +∞ xℯ−2x dx l(t) = l = t xℯ−2x dx =− lim �(�) = lim �→+∞ Tính l = +∞ dx −∞ �2 −2x+3 +∞ dx −∞ �2 −2x+3 l= l(t) = = �→+∞ t dx −t �2 −2x+3 arctan t−1 − = t 2t+1 = − 4ℯ2t 2x+1 4ℯ2x 2� + 1 2� + 1 − = − lim = − lim = 4 �→+∞ 4ℯ2� �→+∞ 8ℯ2� 4ℯ2� t d(x−1) −t (x−1)2 +2 arctan −t−1 = arctan x−1 t −t lim �→+∞ arctan Tính I = I= Đặt − +∞ −x ℯ (x +∞ −x ℯ (x t −x ℯ Đặt A = t−1 arctan −t−1 + 1)dx t −x ℯ (x t⟶+∞ + 1)dx = lim (x + 1)dx = � − 2 − � t + t −x ℯ �→+∞ Tính I = �+2 ℯx sinxdx −∞ ℯx sinxdx −∞ �+2 � �→+∞ ℯ =2−0=2 t+2 ℯt t 0 x ℯ sinxdx t t→−∞ = lim x ℯ sinxdx t→−∞ t Đặt A= lim Đặt = − lim ℯ� =− (t + 1) ℯ−t + + ( − ℯ−x ) =− (t + 1)e−t + − ℯ−t + = − ℯ−t (t + 2) = − I = lim − � + 1)dx �= �+1 �� = �� ⇒ −� �� = ℯ �� � =− ℯ−� A =− (x + 1)ℯ−x I= = � = ℯx �� = ℯx dx ⇒ �� = ������ � =− ���� J =− ℯx cosx + t J =− ℯx cosx 0 + ℯx sinx − t t x ℯ cosxdx t � = ℯx �� = ℯx dx ⇒ �� = ������ � =− ���� ℯx sinxdx −∞ J =− ℯ0 cos0 + ℯt cost + ℯ0 sin0 − ℯt sint − J 1 ⇔ J =− + ℯt cost − ℯt sint 2 1 1 Vậy: I = lim ( − + ℯt cost − ℯt sint) =− + t→−∞ + lim ℯt cost t→−∞ 2 2 lim ℯt cost − t→−∞ −1 ≤ ���� ≤ 1, ∀� ∈ ℝ ⇒− ℯt ≤ ℯt cost ≤ ℯt , ∀� ∈ ℝ ℯt > 0, ∀� ∈ ℝ lim ℯt sint t→−∞ lim (ℯt ) =− ℯ−∞ = 0; lim ℯt = ℯ−∞ = t→−∞ t→−∞ Do đó: lim ℯt cost = (Định lý kẹp) t→−∞ +Tương tự, ta có: lim ℯt sint = 1 �→−∞ I =− + − =− 2 +∞ dx �2 +2x Tính I = +∞ dx �2 +2x I= t dx �2 +2x t→+∞ = lim t dx �2 +2x Đặt B = = t dx x(x+2) = t1 12 x − x−2 1 dx = ( ln |x| − ln |x + 2|) t = ( ln |t| − ln |t + 2| − ln + ln = ln + ln I = lim t→+∞ t ln + ln t+2 = ln + 3.7 Phương trình vi phân cấp 1 Giải phương trình vi phân: �� � + �2 �� = ⇒ ⇔ x + C1 + ⇔2 x+ ⇔ y3 y3 y3 �� � �� � lim ln t→+∞ t+2 t 1+ = ln3 + �2 �� = + �2 �� = � + C2 = C = C − C1 − C2 ⇔ x + = C' − x ⇔ y3 = 2C' − x ⇔y= y3 = C' 3C' − x (C' ∈ ℝ tùy ý) Giải phương trình vi phân: (y − x)dx + (y + x)dy = (y − x)dx + (y + x)dy = ( ∗ ) ⇔ y − x + (y + x) ⇔ y − x + (y + x)y' = ⇔ (y + x)y' = x − y (1) +TH1: y + x = ⇔ y =− x Thay y =− x vào ( ∗ ): �� �� =0 ( ∗ ) ⇔− 2x dx + dy = ⇔− 2xdx = ⇒ không thỏa, ∀x ∈ ℝ ⇒ loại hàm số y =− x +TH2: y ≠− x: (1)⇔ y' = y x−y x+y = y x y x(1+ ) x x(1− ) = y x y 1+ x 1− (2) Đặt u = x ⇔ y = ux ⇒ y' = u'x + u (2)⇔ u'x + u = 1−u 1+u ⇔ x �� �� = 1−u 1+u − u ⇔ x �� �� = 1−2u−u2 1+u ⁎1 − 2u − u2 = ⇔ u2 + 2u − = ⇔ u =− ± (3) y ·u =− − = ⇔ y = ( − − 2) x x Thay y = ( − − 2) x vào( ∗ ): ( ∗ ) ⇔ [( − − 2)x − x]dx + [( − − 2)x + x]( − − 2)dx = ⇔ 0dx = 0, ∀x ≠ ⇒ nhận y = ( − − 2)x y ·Tương tự: u =− + = ⇔ y = ( − + 2)x (nhận) x 1+u ⁎1 − 2u − u2 ≠ 0: (3) ⇔ 1−2u−u2 du = ⇒ 1+u 1−2u−u2 du = dx x ⇒− 2+2u u2 +2u−1 dx x dx du = x ⇒− ln |u2 + 2u − 1| + C1 = ln |x| + C2 ⇒− ln |u2 + 2u − 1| = 2ln|x| + C ⇒ ln(�2 ) + ln |u2 + 2u − 1| + C = ⇒ ln |�2 (u2 + 2u − 1)| =− C ⇔ ln �2 ( y2 �2 + 2y x − 1) =− C ⇔ ln|y2 + 2xy − �2 =− C ⇔ |y2 + 2xy − �2 | = ℯ−C ⇔ y2 + 2xy − �2 =± ℯ−C = C3 ⇔ y2 + 2xy − �2 = C3 , ∀ ∈ ℝ; C3 ≠ Nghiệm phương trình vi phân cho y = ( − − 2)x; y = ( − + 2)x; y2 + 2xy − �2 = C3 , ∀ ∈ ℝ; C3 ≠ Giải phương trình vi phân (�2 + 1) y' − 2xy = (x + 1)2 sin3x (�2 + 1) y' − 2xy = (x + 1)2 sin3x ⇔ y' − 2x �2 +1 2x y = (�2 + 1) sin3x ·p(x) = �2+1 ; q(x) = (�2 + 1)sin3x · �(�)�� = − 2� �2 +1 ·Nghiệm tổng quát: y = ℯ− = ℯln(� p(x)dx +1) �� =− ��(�2 + 1) ( q(x)ℯ p(x)dx dx + C) (�2 + 1) sin3x ℯ−ln(� = (�2 + 1)( (�2 + 1)sin3x = (�2 + 1)( sin3x dx + C) �2 +1 +1) dx + C dx + C = (�2 + 1)( − cos3x + C) (C ∈ ℝ) Giải phương trình vi phân: y' − y 2x * TH1: y = ⇔ y(x) = 0, ∀x ≠ = 5�2 y5 (1) y'(x) = 0, nên (1) thỏa Khi y(x) = 0, ∀x ≠ ⇒ nhận y(x) = 0, ∀x ≠ *TH2: y ≠ (1)⇔ y' y5 − 2xy4 − 2x + 5�2 (2) z' Đặt z = y−4 ⇒ z' =− 4y−5 y' ⇒ y−5 y' = −4 (2)⇔ z' −4 2 z = 5�2 ⇔ z' + z =− 20�2 (3) x ·p(x) = x ; q(x) =− 20�2 ; p(x)dx = 2ln|x| = ln(�2 ) Nghiệm tổng quát (3) z = y = ℯ− p(x)dx ( q(x)ℯ p(x)dx dx + C) 2 ⇔ z = ℯ−ln(� ) ( −20�2 ℯln(� ) dx + C) = = �2 ( −20x4 dx + C)= ( − 4�5 + �) ⇔ y−4 = ⇔ y =± y4 = � �2 � ( − 4x + C) ⇔ y = C−4x5 �2 ( −20�2 �2 dx + C) �2 C−4x5 (C ∈ ℝ) Nghiệm phương trình vi phân cho: y(x) = 0, ∀x ≠ 0;y =± �2 C−4x5 Giải phương trình vi phân ĐK:x > 0; y ≠ �� �� ⇒ ⇒ = y2 ��� �� �� �� (C ∈ ℝ) = ��� �� ⇔ ���� = ����� ⇔ ��� = ydy = + C1 = lnx x dx ⇒ (lnx)2 y2 + C1 = ��� � �� lnx d(lnx) + C2 ⇔ y2 = (lnx)2 + C (Với C = 2C1 − 2C2 ) 3.8 Phương trình vi phân cấp Giải phương trình vi phân: y'' = 5y' + 6y = (1) - Phương trình đặc trưng: �2 − 5� + = ⇔ �=2 �=3 - Nghiệm tổng quát (1): y = C1 �2x + C2 �3x (C1 , C2 ∈ ℝ) Giải phương trình vi phân: 4y'' + 4y' + y = (1) - Phương trình đặc trưng: 4k2 + 4k + = ⇔ (2k + 1)2 = ⇔ k =− (nghiệm kép) - Nghiệm tổng quát (1) y = �−2 (C1 , C2 ∈ ℝ) Giải phương trình vi phân:y'' + 4y' + 13y = (1) - Phương trình đặc trưng: �2 + 4� + 13 = ∆' = b'2 − ac = − 13 =− = i2 = (3i)2 k= −b'± ∆ a = −2±3i =− ± 3i = α + iβ ⇒ - Nghiệp tổng quát (1) α =− β=3 y = �αx (C1 cosβx + C2 sinβx) = �−2x (C1 cos3x + C2 sin3x) Giải phương trình vi phân: y'' − 3y' + 2y = �2 + x + (1) - Phương trình tương ứng: y'' − 3y' + 2y = (2) · Phương trình đặc trưng: �2 − 3� + = ⇔ �=1 �=2 ·Phương trình tổng quát (2): � = �1 �x C2 �2x (C1 , C2 ∈ ℝ) - Đặt �� = ��2 + �� + � �'� = 2�� + �; �''� = 2� Thay �� vào (1): (1) ⇔ 2A − 3(2Ax + B) + 2(A�2 + Bx + C) = �2 + x + ⇔ 2A�2 + ( − 6A + 2B)x + 2A − 3B + 2C = �2 + x + 1 2A = A= ⇔ −6A + 2B = ⇔ B = 2A − 3B + 2C = C=3 Vậy: �� = �2 + 2� + Kết luận nghiệm tổng quát (1): y = � + �� = �1 �x C2 �2x + �2 + 2� + (C1 , C2 ∈ ℝ) Giải phương trình vi phân: y'' + 4y' + 4y = �5x (1) * y'' + 4y' + 4y = (2) ·Phương trình đặc trưng (2): �2 + 4� + = ⇔ � =− (nghiệm kép) · Nghiệm tổng quát (2): � = �−2x (C1 x + C2 ) (C1 , C2 ∈ ℝ) *Đặt �� = ��5� ⇒ �'� = 5��5� ; �''� = 25��5� (1)⇔ 25��5� + 4.5��5� + 4��5� = �5� ⇔ 49A = ⇔ A = 49 ⇒ yr = 49 �5� Kết luận: nghiệm tổng quát (1): y = � + �� = �−2x (C1 x + C2 ) + 49 �5� (C1 , C2 ∈ ℝ)