TRUONG THUAN TOAN CHUYEN DE NGANH DIEN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP TP.HCM THƯ VIỆ MA VACH : l.o2 S& LO 4,
Trang 3Lời nĩi đầu
Đề dáp ứng như câu học tập của sinh viên chuyên ngành Điện, tác @td đã biên soạn tập bài giảng
TOAN CHUYEN DE NGÀNH ĐIỆN
nè nấm học 2015—2016 theo để cương chỉ tiết mơn học của Khoa Khoa học Cơ bản — Trưởng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hỗ Chí Minh
Qua quá trình giảng dạy, tác giả thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên những cơng cụ tốn học tối hơn Kế từ năm học 2017—2018, được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Co ban và tập thể tổ Tốn, tập bài giảng được nâng lên thành giáo trình, nội dung được biên soạn bám: sát hon nữa những đặc thủ cảa chuyền ngành,
Giáo trình được chỉa thành 6 chương: e Chương 1 Giải phương trình phi tuyến e Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính ® Chương 3 Giải phương trình vị phân
e Chương 4 Số phức — Hàm biến phức ® Chương 5 ích phân hàm phúc
e Chương 6 Các phép biên đối
Trang 42
tứng dụng của phép biên đổi trong việc giải nạch điện Tuy nhiên, rác gid khong di gud sdu vao cde vi du minh hoa mang tinh chuyén sdu ve chuyên ngành Điện VÌ sự hạn chế của tắc gid vé link vic nay
Tác giá xin chân thành cám ơn quỷ thầy cơ trong tổ Tốn của Khoa Khoa học Cơ bản — Trưởng Đại học Cổng nghiệp Thành pho Hồ Chí Minh đã đĩng gĩp nhiều Ý kiên quý báu
Mọi sai sĩt (nêu cĩ) trong giáo trình này đều thuộc về tác gid Quý thầy tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh TIữu Dinh, Trần Mạnh Tuấn, Lã Ngọc Linh
Trang 5Mục lục
Loi nĩi đầu 1
Chương 1 GIÁI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 8
Am a ẽ ai ŸÝ Ha ee S
1.1.1 Số xấp xỉ (số gần đúng) 8
1.1.2 Sai số tuyệt đối §
1.1.3 Sai số tương đối NT 9
1.1.4 Cách viết số xXấp XỈ 2 vn 9
1.2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 10 1.2.1 Khoảng cách ly nghiệm " 10 1.2.2 Phuong phap tim nghiém gan ding " 1]
! Phương pháp chia đơi, Lone ]] 2 Phuong phap lAp don .2.2 13 3 Phuong phap tiép tuyén (phuong phap Newton) 16 Bai tap chuongy 1 2 ee ee eee, Le 19
Chuong 2 GIAI HE PHUONG TRINH TUYEN TINH 21
2.1 Hệ phương trình tuyến tính kh xa 2! 2.1.1 Định nghĩa .2 222 2224 21 2.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dong ma tran 22 2.2 Các phương pháp ÒauSsS Quà Ty 22 2.2.1 Phuong phap khir Gauss re 22 2.2.2 Phương pháp khứ Gauss v6i phan tirtrdi 23
2.3 Cac phuong phap ip De ee ee eee 25
Trang 62.3.2 Các phương pháp lặp don 2.2 27 1 Phuong phap lap don .202022 27 2 Phuong phap lap Scidel .02 29 Bai tap chuong 2 2.200202 2 ee 3-1
Chương 3 GIAY PHUONG TRINH VI PHAN 36
3.1 Phuong phap Euler 2 2 Loe KV 36 3.2 Phuong phap Euler cai tién 2 .0.0.0000404 38 3.3 Phuong phap Runge-Kutla 2 2 Loe ee 42 Bai tap chuong 3 2 Lo ee ee Lone 43
Chuong 4 SO PHUC ~— HAM BIEN PHUC 45
4.1 Số phức và các phép tính ¬ ee ee AS
4.1.1 Các định nghĩa .2 Ko ee 45 4.1.2 Cac phép tinh 2 2 46 4.2 Biểu diễn hình học của số phức ¬ 48
4.3 Đường cong và miễn trong mặt phăng phúc 52
4.3.1 Duong cong 2 v2 gà 52
4.3.2 Mién ¬ 53
4.4 Ham biến phite 2 ee te ) 65S
4.5 Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức 56 4.6 Giới hạn và liên LỤC Q2 ¬ 58 4.6.1 Gidihan 2 Na 58 46.2 Liéntuc 2 ¬ 60 4.7 Đạo hàm toe ee 6] 4.7.1 Định nghĩa ¬ 61
4.7.2 Điều kién kha vi Cauchy—Riemann 63
4.7.3 Các quy tắc tinh dao ham << 65
4.7.4 Hàm giải tích Ho HH Ra + + -+ „` 6S
4.7.5 Quy tắc L'Hospial Loe 67
Trang 7Todn chuyén dé nganh Điện — Trường Thuận 5
4.8.1 Định nghĩa 67
4.8.2 Tiên hệ hàm giải tích với hàm điều hịa 67
4.9 Cac ham số sơ cấp 69
Bai tap chương 4 70
Chương 5 TICH PHAN HAM PHUC 75 5.1 Tích phân đường hàm: phức 75 5.1.1 Định nghĩa 75 5.1.2 Cách tính 76 5.1.3 Tính chất 79 5.2 Pinh ly Cauchy SỈ
5.2.1 Định lý Cuuchy cho miền đợu, siên 8]
$.2.2 Pinh ly Cauchy cho miền da liên 82
5.3 Tích phân khơng phụ thuộc đường đi 83
5.3.1 Định nghĩa 33
5.3.2 Nguyên hàm và cơng thite Newton — Leibnits 83
5.4 Cơng thức tích phần Cauchy 84
5.4.1, Cong thite tich phan Cauchy S84
5.4.2 Cơng thức tích phần Cauchy cho dao ham S7 5.4.3 We qua cua cơng thức tích phân Cauchy 38
Bài tập chương 5 90
Chương 6 CAC PHEP BIEN DOI 93
6.1 Phép biến đổi Laplace 93
6.1.1 Định nghĩa 3
6.1.2 Điều kiện tỏn tại 96
6.1.3 Biến đối Laplace cla mat sO ham thơng dung 96
6.1.4 Các tính chất cơ bản 99
I Biến đổi tuyến tính 09
2 Biến đổi của ham z¿““ /£() (nh chất dịch
Trang 8MUC LUC 6.2 6.3 6.4 6.5 3 Biến đổi cha ham u(t — 7) f(t — T) Cinh chéttré) 2 co 100
4 Biến đổi của đạo hàm /U2() 103 5 Bién déi cha ham ft" f(t) 104
6 Bién déi cia tich phan f) f(Qx)dx o 2 105
7 Biến đổi của hàm 2 105
8 Biến đổi của hảm tuần hồn 106 9 Bién déi cha tích chập f(t) * g(t) 2.0 108
6.1.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh 109
Phép biến đổi Laplace ngược 109 6.2.1 Dinh nghia 109 6.2.2 Tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược 110
6.2.3 Điều kiện đủ để một hàm cĩ biến dỗi Laplacc
DĐPƯỢC QC ee 110
6.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược 110 1 Sử dụng tính chất của phép biến đối Laplace 110
2 Sử dụng định lý Borel 112
3 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản — 112 Ứng dụng phép biến đổi Laplacc 115 6.3.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 115 6.3.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp | hé sh hang .0 2.2 0002004 118 6.3.3 Gidi mach dién 0 2.4 120 Chuỗi EFouricr TQ cv ee 128 6.4.1 Khai triển chuỗi Fouricr 128 6.4.2 BDiéukién hOitu 0 02.202.002 130
6.4.3 Khai triển Fourier hàm cĩ chu kỳ bất kỳ 13]
6.4.4 Khai triển Fourier hàm chẵn và hàm lẻ 132
6.4.5 Dạng phức của chuỗi Fourier 133
Trang 9Toản chuvên để ngành Điện — Trương Thuận
6.5.1 Tich phan Fourier
6.5.2 Phép biến đổi Fouricr ¬
6.5.3 Ý nghĩa vật lý ¬ HH
6.5.4 Các tính chất phép biến đổi Fouricr
6.5.5 Một số ứng dụng của phép biên doi Fourier
Bài tập chương Ơ Q Qua
Trang 10Chương Í
GIÁI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYNBN
rong chương này, chúng ta SẼ nghiên cứu một số phương pháp giải pần đúng phương trình f(x) = 0 wong do f(x) la ham số
1.1 Sal sơ
1.1.1 S6 xap xi (s6 gan ding)
So a đƯỢợC ĐỌI là sổ gđu dưng của số đúng A, ky hicu a =~ AL neu
¿ khác A khong dang ké va duoe dtng thay ‘1 trong tinh loan
Neu a < AL, a@ duoc vor la xap xi thiéu Nếu ứ = Ala dược gọi là xấp xỉ thưa
Ví dụ I.I 1,tl< 4⁄2 «1,342
P41 là xấp xí thiểu của 4⁄2: 1,42 là xap xỉ thửa cúa 72
£ “
A ^
I.I1.2 Sai số tuyệt đơi
Đại lượng ¿Z1 |4 — đ| được gỌi là sai sé tuyét dér cua a
Nĩi chung, vì tạ Khơng biết số đúng 24 nền khơng tính dược sai số tuyệt đối của a Thay diéu do, ta tinh bang sai SỐ tuyét doi gior han
Trang 11Tốn chuvén dé aganh Dien — Triong Thudn 9 Vay Ay = 0,01 Nếu lấy 1,114 < /2 < 1,415 [1,414 — ¿]† -= 0,006 11.415 | 0.005 chọn giá trị lớn nhat => |/2—a| < 0,006 415 — al = 0,005 Vay A, = 0,006 (tốt hơn gia tri truoc) Nha@n xeét: Sai SỐ tuyệt đối giới hạn khơng duy nhất, thơng thuong ta chon A, là số đương nhỏ nhật cĩ thê cĩ 1.1.3 Sai sơ tương đơi ¬ A
Set số tương đới của số gân đúng « la 6 —- In (tinh theo “%)
Sai s6 tuong doi vidi han cua so gan dang « là đại lượng o& thoa man } > A 5 S 0g < = 4 ( f A du > A <= đ„.1⁄1 Vì 21 là số đúng chưa biệt nên trong tính tốn ta thay A bởi ở va từ cơng thức trên ta cĩ Ay == |a|-d,
Sai s6 tuong déi gidi han dac trung cho dé chinh xac cua phép do Ví dụ 1.3 Do độ dài 217 ta dược a = 10 cm voi A, =O.) em và do độ
Trang 1210 Chương | GIA] PHUONG TRINH PHI TUYEN
1.2 Tim nghiém g4n ding cua phuong trinh
Quá trình tìm nghiệm gần đúng gơm 2 bước:
e Đước ï: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (ct: Ð) chứa một và chỉ một nghiệm thực của phương trình
e Bước 2: Tìm nghiệm với độ chính xác hay sai sơ cho trước
1.2.1 Khoảng cách ly nghiệm
Nếu /(x) lên tục trên [đư;Đ] thỏa /(2)./(b) < O0 và / '{Y) khơng
đổi dấu trong (z;b) thì (¿;Ð) là khoảng cách ly nghiệm
Vị dụ 1.4 Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình 2*—5x—3 =- Ư Gidi: Pat f(x) = 2Ý —Š5x — 3, ta cĩ /“(x) = 2*.Ìn2 — 5 /@) =0 422 = — In2 <> x = logy (3) _ In 5 — in(In 2) ~ 2.85 In2 In 2 Bang bién thién x —œ<› logs (25) + oo f(x) - 0 + /0) 1 _—
Suy ra phương trình /(x) = O0 cĩ 2 nghiệm thực trong khoảng (—œ;log; (ryz)) và (log; (gS): +)
Trang 13Tốn chuyên đề nuành Điện — Trương Thuận 11
Vậy ta cĩ hai khoảng cách ly nghiệm 1a (—1;0) va (4:5)
Ví dụ 1.5 Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình xÌ—3v—l = 0 Giải: Vẽ đồ thị hàm số y = x3 — 3x — ÏÍ y ‡ t2 ~ Th Dựa vào đồ thị, ta cĩ các khoảng cách ly nghiệm là (—2;—l), (—1:0) và (1:2) 1.2.2 Phương pháp tìm nghiệm gần đúng
Xét phương trình /(x) = O cĩ khoảng cách ly nghiệm (a;h) va nghiệm đúng a Ta tìm nghiệm gần đúng 2% trong (a;h) sao cho
la — x*| < ¢€, voi © la sai s6 cho trudéc 1 Phuong phap chia déi
a) Nội dụng phương pháp
Pat Ay = (a:b), chia doi (a:b) bai diém chia c = 424
Néu /(c) = Ơ thì c là nghiệm đúng cần tìm
Néu f(c) # 0 thi ta chon A; = (a1;,) là một trong hai đoạn (2:€)
và (c:) sao cho /(i)./(Bì) < 0
Ở bước thứ ø, ta cĩ An = (dni Pn) C Ag va b—a
Trang 14Chương 1 GIAI PHUONG TRINIT PHI TUYEN
Gn + by
Khi đĩ, tạ lây về - là nghiệm gần đúng của a b) Danh giá sai sơ
Sa1 SỐ SỐ VỚI nghiệm dung: ke Dy, —_— ly h — ad la —y*|< “4 "= 2 Dnt] c) Uớức lượng sơ lân lặp b — £í In Tàn ¡ > /! > — Jn hl SE ONS n2
Ví dụ 1.6 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình xÌ—.v—l = 0 bằng phương pháp chia đơi Cho khoảng cách ly nghiệm la (1:2) va sai số €& = 0,04
Gidi: Dat f(x) = x7 x — 1
2—I
fees <A + An ` lXn- > In pou a In + COT pw
Trang 15Toan chuvén dé nganh Dién — Truong Thuận ' T] n Cp by Com du 1 Pn ftey | Dạy — dụ 0 l 2 1.5 + l ] 1 1,5 1,25 - 0,5 2 1,25 1,5 1.375 + 0,25 3 1,25 1,375 1,3125 - 0.125 4 | 1,3125 | 1,375 1,34375 + 0,0625
Ví dụ 1.7 Tìm nghiệm gần đúng của phương ưình x —sinx l trong (1,2;2) bằng phương pháp chia đơi qua 5 bước lặp
Đánh giá sai số ở bước lap thir S Gidi: Pat f(x) = x —sinx — 1
Ap dung lién ti¢p phuong phap chia doi ta nhan duge bang ket qua sau: H an Đụ c= fib f{c) | bay —dn 0| 1.2 2 1,6 - 0.8 1,6 2 1,8 - 0,4 2| 1,8 2 1,9 - 0,2 3| 1,9 2 1,95 + 0,1 4| 1,9 | 1,95 1,925 - 0,05 5 | 1,925 | 1,95 1,9375 + 0,025 Nghiệm gần dúng là x* = 1,9375 với sai số l lœ — x*| < —.0,025 = 0,0125 5"
Chu ý: Tốc độ hội tụ về nghiệm của phương pháp chia đơi tương đối
chậm nhưng để thực hiện và luơn tìm được nghiệm
2 Phương pháp lặp đơn a) Nội dung phương pháp
Từ phương trình /(x) = 0, bằng cách nào đĩ đưa về dang x = g(x)
Trang 1614 Chương 1 GIA] PHUONG TRINH PHI TUYẾN Nghiệm gần dung lA x* = xy
b) Điều kiện hội tu
Nếu p(x) /(x) liên tục trên [đ; 6] thỏa @(x) € {[ø;ð] và |ự'(x)| <
đ < | với mọi x € (a:b) thi day nghiém gan ding {ax„} hội tụ đền nghiệm đúng a , « ° £ c) Đánh giá sai sơ |X» —~— Xn-1 (1.1) hay H _ |XI — Xo| (1 2) Cơng thức (1.2) thường được sử dụng để ước lượng số lân lặp a: e(l—g) 4" lx) ~xXo] Se one In Texel l1—q Ing
Ví dụ 1.8 Giải phương trình e * —x =0 trong (0,2;0,93 bằng phương pháp lặp đơn qua 5 bước lặp Đánh giá sai số ở bước lặp thứ 5
Trang 17Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 15
Vx © [0,2;0,9], ta cd
0,105361 < g(x) < 1,609438
suy ra @{x) € [0,2;0,9] (kh6ng thoa diéu kiện hội tu)
Trang 1816 Chương 1 GIÁI PHUONG TRINH PHI TUYEN suy ra g(x) ¢ [1,2] (khong thỏa điều kiện hội ty) * Trường hợp 3): @(x) = Yea Ta cĩ I,259921 <ự(x) < I,442250,Wx € [1;2| suy ra g(x) € fl, 2] Mat khac I 2 lp’(x)| = lão -†- 3] <= 0,209987 < 1,Vx € (1:2)
(thea diéu kién héi tu voi g = 0,209987)
Ta chon g(x) = (¥ + 1)3 và lặp theo cơng thức Xp == P(Xn-1) = (Xn-1 + 1) ] 2 VỚI Xọ, —= ~ = 1,5 Từ cơng thức đánh giá sai số (1.1), để |œ — x„| < I0 thì 1 7 1074 = 0,000376 |Xn — Xn—1 | = 1074 => Xan — Xn-1| =< l—gq g Tiền hành lặp, ta được bảng kết quả sau: A Xn |Xn — Xn—-1 | 0 1,5 1 1,357209 0,142791 2 | 1,330861 0,026348 3 | 1,325884 0,004977 4 | 1,324939 0,000945 5 1,324760 † O0,OOO179 < 0,O000376
Nghiém gan ding x* = x5 = 1,324760
3 Phương pháp tiép tuyén (phuong phap Newton)
Trang 19Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 17 a) Nội dụng phương pháp Lặp theo cơng thức £(Xu—i) Xu = Xư~i — TT (7 = 1,2 ) PiCe= pi “ 4? Nghiệm gần đúng là x" = xy
b) Điều kiện hội tụ
Nếu //v) và /”(x) khơng đổi đấu trong (2:Đ) và chọn Au trong [¿; 2] sao cho /(vo) /“Xo) > Ơ thì phương pháp tiếp tuyển hội tụ
Trang 2018 Chương 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN Nếu trong (¿:Ð) ta cĩ 0< mm < |[//C{v)| và |/2(x)| < M thi
M
|œ — x*] = Tan en —NXn-} |?
Trang 2119 Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận Bài tập chương 1 1.1 Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau a) x? —3x7-+1=0 b) xv +2 = e* trình sau bằng phương pháp chia đơi qua 5 bước 1.2 Giiải các phương ở bước lặp thứ 5 lặp Đánh giá sai SỐ a) COSX — 2.X 4+- 1 = Ø trong (Ĩ,5;1) 3 —5 trong (—0,8; —0,6) b) In(x + !)—e* = c} 2x —1—2sinx = 0 trong (132) d) x7 + Sx — 1 = 4 trong (1,5:2)
1.3 Giải các phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn qua 5 bude lặp Đánh giá sai số ở bước lặp thứ 5Š a) x? — 2x? — 5 = 0 trong (1;4) b) 2Inx — = + 1 = O trong (0,231) c) x2 + Vx — 1 = 4 trong (1,532) d) œ2 — x2 = —3 trong (—2;—1) 1.4 Sử dụng phương pháp lặp đơn, giải các phương trình sau với độ chính xác ¢€ = 107° 2 ay x? + 3x? — 1 = O trong (—3;—2) b) 3x? — e* = 0 trong (031) va (3:5)
1.5 Giải các phương trình sau bằng phương pháp tiếp tuyến qua 4 bước lặp Đánh giá sai sơ ở bước lặp thứ 4
Trang 2220 Chương 1 GIẢI /"HƯƠNG TRÌNH PIH TUYẾN b) x3 + 3a% — 1 = 0 trong (—3;—2) c) x —cosx = O trong (0;1,5) d) x — 0,8 — 0,2 sin x = 0 trong (0;1,5) ec) 3x7 —e* = 0 trong (0;1) va (3;5) x fy) 2Inx — 2 -+- 1 = Otrong (0,231) I | g) Ìnx— xa.” 0 trong (132) h) 2x — !—2sinx = 0 trong (1:2) 24 Sx — 1 = 4 trong (1,532) 2x 1} X j) e7* —x? = —3 trong (—2:-—1)
1.6 Cho phuong trinh 2x7 —9x +6 = 0 Bing phuong phap tiép tuyén, qua Š bước lặp, hãy tìm
a) nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm đương lớn nhất b) nghiệm 4m
1.7 Cho phuong trinh x7 — 3x + 1 = 0
„ » 2 sị ` vn | ` on
a) Chitng to rang voi x € (0:1), ham g(x) = — thỏa điều kiện
hội tụ của phương pháp lặp đơn :
b) Với hàm g(x) trén, hay tìm nghiệm gần ding x, sao cho |x, —
Xn—1| < 107°
1.8 Cho phương trình e* = x? — 2
a) Chung tỏ rằng với x € (—2;—l), hàm g(x) = —4⁄e* + 2 thỏa điêu kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn
b) Với hàm ø(x) trên, hãy tìm nghiệm gần đúng x„ sao cho |X„ —
wz—i| < t0”
1.9 Cho phương trình xŸ — 3x —4 = 0 (1)
a) Tìm khống cách ly nghiệm của phương trình (])
b) Với khoảng cách ly trên, để giải phương trình (1) bằng phương pháp lặp đơn với sai số khơng quá 107 thì số bước lặp tối thiểu
Trang 23Chuong 2
GIAI HE PHUONG TRINH TUYEN TINH
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lai phirong phap Gauss, một phương pháp tìm nghiệm đúng của hệ phương trình tuyến tính gồm cĩ phương trình vá ø biến thực Sau đĩ, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 2.1.1 Định nghĩa Hệ phương trình gơm cĩ # phương trình và ø? biên thực là hệ cĩ dạng sau:
đit Tỳ điaX 0° + + GinXy, = py
U21X, TH GowX2 4 + Gan Xy = Ap | (2.1) GniXi + Gn2X2 + wee + dnnẤn = Dp trong d6 aj;, by (i = Ia, 7 = I.) la các hệ số thực “VY by ~ ` ^ ˆ 4 "+2 Da Đặt 41 =: (2;;) là ma trận Vuơng cấp nm, x = b= Vn Dn thì hệ (2.1) cĩ dạng Ax = A
Trang 2422 Chuong 2 GIA] HE PHƯƠNG TRÌNH! TUYẾN TÍNH
7, Kk ^e £ a ` ˆ
2.1.2 Các phép biên đơi sơ cập trên dịng ma trận e Hốn đổi 2 dịng của ma trận: dị <>d; A ———> e Nhân I dịng với số k z# 0: d; kd; ————> e Thay 1 dịng băng chính địng đĩ cộng với & lần dịng khác: dj—ord;+tkd; ———> 2.2 Các phương pháp Gauss 2.2.1 Phương pháp khử Gauss a) Quá trình xuơi: Dua hé (2.1) vé dang tam giác trên: X1 + bh x5 + bo? x4 + + bY x, == pO x¿ + bxy + 4 DP, = DY? Nn = by? băng cách sử dụng các phép biên đơi so cap trén dong: a (k) _kƑ by, = “To (j >k) dự (k+1) (A) „(&)p@&) by ay; — a;; aig Og; Œ, / 2k) trong đĩ ae) = dj; b) Quá trình ngược:
Giải hệ tam giác trên từ dưới lên
Trang 25Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 23 Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình 2x 1 + 4x2 + 3X4 = 4 3X4 +- X2 — 2X3 = —2? 4x) + IIx2 + 27Xs = 7 bằng phương pháp khử Gauss Giai: Lap ma tran mo rong 2 4 3 4 dy >4d, 1 2 41,5 2 (Alb) = 3 1 -2|-2Ì ——>| 3 1 -2|—2 4 11] vi 7 4 11 7 7 I 2 1,5 2 I 1 2 1,5 2 dz->d2—3d ° 2—>—=-d2 ` re" fo —5 —65})—-83 } = =" f o 1 431 1,6 dada ad 0 3 1} —1 O 3 1Ì T—I da—vdx—3d> 1 2 1,5 2 dy->shds } 2 1,5 2 ———> O | 1,3 1,6 ———> QO |] 1,3] 1,6 O O —2,9 | —S,8 0 0 l 2
Giải ngược từ dưới lên ta được nghiệm xa — 2, Xa = —Ì, Xị = 1
2.2.2 Phương pháp khử Gauss với phần tử trội
Chú ý răng khi chia cho mỘt số thì sai số tính tốn cảng nhỏ khi sẽ bị chia cĩ trị tuyệt đơi càng lớn Lập ma trận mở rộng: 1 1 1 1 địi địa - Gin | SiH 4)) ] 1 1 a 21 ad 22 wee ad 2n ad 2(nw {1-1 (4|5) = : me i 1 1 1 Gnt Gna - nn Gn} b) ft 1 _ 1 —— ;
VỚI dị, = Gif, Aigy4 yy — Đị
Bước ï: Hồn vị địng sao cho
Trang 2624 Chuong 2 GIA] HE PHUONG TRINH TUYEN TINH Khu ah, == 0 bang phép bién đơi sơ cập 1 a dlr —> dự — ld, 11 ta nhận được 1 1 „1 I 2 2 2 0 đấy dấu | Aon 4-4) 2 2 2 0 q2 vt Can nin t-1) Bude 2: Hoan vi dong sao cho An — 2 — [232 | == Max |⁄2Za| „ k—=2, ứú Khử z2„ — 0 băng phép biên đổi sơ cấp 5 az; dụ —> dy — dz 55 ta nhận được 1 1 | } ) địa địa 2 Giay +e) đu | Wiad „2 2 2 0 đ7y đi đấu | WS pay 3 3 3 O 0 44 -+- 3, Ca Qy 11) 3 3 3 0 Ơ đả ee Gin | Tama
Bước p (bước tổng quát): Hoan vi dong sao cho
Trang 27Todn chuyén dé nganh Dién — Truong Thuận 25
Bước kết thúc: Cát ngược từ dưới lên,
Chit y: Phuong phap khử Gauss tìm được nghiệm đúng nhưng do qua
trình tính tốn làm trịn sơ nên chỉ nhận được nghiệm gân đúng Nêu
Trang 2826 Chương 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Chuẩn của ma trận vuơng ⁄4 = (;) là một số thực, ký hiệu là J|41]|, thỏa cac tinh chat sau:
i) {JAlf = 0, || Af] = 0 = A = O (ma trận khơng} ii) Va CIR: |laAl] = le] |] A] iii) JA + BI < AN + Bl iv) |ABll < |All ll b) Chuẩn ma trận: 1) chuẩn cột: |}A]|, = max > |cz;z | 4 t=1 1) chuẩn dịng: |fAll,, = max > |; | j=l iii) chuẩn Euclide: ||Allạ = />0 a7, tv/ 2 =1 4 Ví dụ 2.3 Ma trận A = 5 2 | cĩ 3 a Wom) Ww Al}; ==] max{2+5+4+6,14+347,442+4 3} = 13 Allo = max{2+1+4,54+342,6+7+4 3} = 16 Allo = /22 + (1)? + 42 + 52 + 3? 4 22 + 62 + (-7)2 #3 == S153 x} » X2 ec) Chuẩn vector x — Xn
¡ chuẩn cột: J|x|ly = Ji] + [x2] + + |aal
ii) chudn dong: |{x||,, = max |x; |
iii) chudn Euclide: |Jx|], = /x? + x2 + 4 x2
Vi du 2.4 Cho x = , ta cd
WW
Trang 29Tốn chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 27 ||xll;ạ =1 +.2-+3-1 1=7 lxÌl.„, = max‡{l,2, 3, l} = 3 Ixlla = v12 + 22+ 32+ (—1)? = V15 2.3.2 Các phương pháp lặp đơn 1 Phương pháp lặp đơn
a) Nội dung phương pháp
Đưa hệ phương trình ⁄1x = ð vê dạng x = Ưx + £, trong đĩ ma trận Z# và vector ø suy ra từ ⁄1 băng cách nào đĩ
Sau đĩ ta lặp theo cơng thức
x = 8x0!) L pø (n> 1)
voi vector x = ø,
Nghiệm gần đúng la x* = x,
b) Điều kiện hội tụ và đánh giá sai số
Phương pháp lặp đơn hội tụ nếu || B|| = g < 1 Đánh giá sai số (so với nghiệm đúng ơ): G TA An ln —x*]] < = |x — x1) | (2.2) l—gq hay gq” lla — x*||<< ——— [x — x | (2.3) l—q Cơng thức (2.3) thường được sử dụng để ước lượng số lần lap mm: e(l-¢) In [x xT] xa) — x9) | << £<>ïđ > l—g Ing Chú y: C6 nhiéu phuong phap dé dua hé Ax = hb về hệ x = 3x + £ `
chang bạn trưởng hợp 44 cĩ đường chéo chính là đường chéo trội, tức
|Z;; | > lai Ì + + laig—1)| + laige4-1)| ¬+- -+ |; |
Trang 3028 Chuong 2 GIAI HE PHONG TRINH TUYEN TINH
xy = „(6n — &12N2 — 2 — Gin Xn)
Vo == ma (bạ — đ21XỊ — —(12„,X„}
Nyy ay (Pn ~ Uny Ny a GAn(n—1)NVa—1)
Vi du 2.5 Giai hé phuong trinh 1027, — O,OD5%x;y — O,lx3 = 0,795 —Q, 11 X1 ¬+- ] 03 xo — O.O5x4a == 0,849 —O,)1x, — O,12x%2 -+ %1,04%3 == 1,398 bing phuong pháp lặp đơn qua 3 bước lặp và đánh giá sat số ở bước lặp thứ 3 ¡ii Biên đồi hệ phương trình 102x, — O,05x;y — O/lxa = 0,795 —0,llx:y + 41,0342 — O,05x3 = 0,840 mu» — QO,12x2 + %1,04x%3, = 1,398 1 = Tw m (0.795 + Ơ,O5x; + O,lxs) <> X2 == 1 m (0.849 + O0,llx;y + O,O053:) (2.4) X30 Tor (1,398 + O,11x; -+ O,124x>) NY Dat x == X2 $, hé (2.4) c6 dang x = Bx -} g, trong d6 X3 QO 28 nL 0.795 B= 0/11 0 Ù'Đ5 _ ORG — 1,03 To Jo & = 1.03 ĐI 012 Q0 1,398 104 1,04 1,04
Kiểm tra điều kiện hội tụ:
Bil = max 0:05 , 1 O11 4, 0,05 0,11 | 012 4) : -+- Ư +- :
ee 102 1,02’ 1,02 1,03° 1,04 1,04 ƒ
=0,2211547=j< ]
Vậy phương pháp lặp hội tụ
Trang 31Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 29 H x ) x) x? O | 0.779412 | 0,824272 | 1,344231 1 | 0,951605 | 0,972764 |} 1.521777 2 | 0.976290 | 0,999772 | 1,557123 3 | 0,981079 | 1,004124 | 1,562851 0,981079 Nghiệm gần ding x* = x = 1,004124 1,562851 ĐỂ đánh giá sai số, ta tính 0,981079 0,976290 0,004789 xO — x = | 1.004124 } — | 0,999772 | = | 0,004352 1,562851 1,557123 Q,005728 = [x =x | „ Sai s6 so VỚI nghiệm chính xác œứ = 0,005728 q l—g la — x" loo S [x —x@]) = 0,001626 Vậy ta cĩ nghiệm x, = 0,981079 + 0,001626 x2 = 1,004124 + 0,001626 x3 = 1,56285! + 0,001626 2 Phương pháp ldap Scidel
Phương pháp lặp Seidcl tương tự phương pháp lặp đơn Ý tưởng của phương pháp là sử dụng thơng tin cĩ được càng sớm càng tƠI
Đưa hệ phương trình /1x = bh vé dang x = Bx + gv với ||B|| < 1,
§ 1
` ^ ^ A ` &2
B = (b;;) la ma trận vuơng câp n va g =
&u Lap theo cơng thức
(k) k—I k—I k-I
Trang 3230 Chương 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
xế ce ga + bại x + baaxt£F”) + + Pay xi?
VK) = gs + bại a) + đạn coe) + te bay xo? k k k k ke xf Ves Bathnar x6 , + bral xy ; xa ŸT= Pn(n-1) KAD) + ban VN “ với k= 1,2, Nghiệm gần đúng là x* = v9), Nếu đặt 0 0 0 aes Q bo, 0 0 = 0 LS bại Đạy Ũ a 0 Bm Địa oe) Đaœ—b 0 và
bị địa Piz Pin
Trang 33
Tốn chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 31
trong đĩ 6 = max a i£=1,2, ,n
pi = 0
p2 = |hai|
P32 = |h3;| + [haa2|. - Pa = |Pni| + [n2l + L5aœ—n|
Gi = |Oi1| + [bia] + + [Oia
2 = |h22| + |ho3a| + - + |Panl, - da = |Pan|
Cơng thức (2.6) thường được sử dụng để ước lượng số lần lặp Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình 1,02x, — 0,05x2 O,lx3; = 0,795 —O,lix,; 1,03.x2 0,05x3 = 0,849 —O,1]1x; — 0,12x2 1,04x3 = 1,398
bằng phương pháp Seidel qua 3 bước lặp
Giải: Biến đổi hệ phương trình về dạng
0,795 nh Od
sy eT or? an hệ
Trang 3432 Chuong 2 GiAl HE PHUONG TRINH TUYEN TINH ay 0.849 O11 Gy) | 0,05 (03 yn v2 os 4 103! yD TT Tưa^4 DP) 991153 1398 011 0.12 vị = - Ai ob v§) 2 1559245 “ 1.04 1.04 1.01 2 @) 795005 ay O,) cụ) yr, 102 D795 1.02 XP J 1,02 x 0, 980865 ta) 0.849 0/11 gay 0,05 Gy
Ve = Teh ager Í Tae c 004716 ay, 1398 | OFF a) OT? 2 1 se3005 3 77104 7104"! boa? oe Bước lặp 3: ; 0,795 O.0S ¿2y O.) (y V3” vy O.98 1987 E02 1.02 102 - lay — 0849 0/11 (gy) 0.05 ya, Xã ` = Ẻ fo ae VE + 1.03 x! ,12 .(3) _ Vị > 1.005062 1,03 1,03 1,398 O,1 1 O,12 ¢s xP cs - 1,04 — 4 Sy) 4 1,04 104 ~ ` 1.564063 Nhận xới: Tốc độ hội tụ về nghiệm cha phuong phap Scidel tét hon phương pháp lặp đơn ~ Vi du 2.7 Giai hệ phương trình | 4x, + O.24y2 — Đ ỒN, © S 0,09x¡ -È 3va Ắ— 0151 9 0,044.4 — 0,08 AO ¬‡_ 4X 3 Sa (0)
bằng phương pháp Scidel qua 3 bước lặp
Đánh giá sai số ở bước lặp thứ 3
Trang 35Tốn chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 33 Ny 2 Iie phuwony trinh co dang x = Bxy+e2 voix = X2 }, Ø -— 3 „X3 5 0 —0,06 0,02 3= —0,03 O 0,05 —0,01 0,02 0 Q Q 0 Q —0,06 0.02 = —0,03 QO 0 “fe 0 () Q,05 —0.01 Ø,02 O Ư 0 0 = hy U
Ta cĩ 8l „ -z 0.08 < 1 Vay phương phap Scidel hoi tu
Trang 3634 Chương 2 GIẢI /1E PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập chương 2 2.1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss 2X4 — 2X2 + 3X3 = l a) xX, + 4x2 — 3x: = 6 XxX] + 3x2 + 2X3 = 13 4x, — 4x2 — 3X3 — 3X4 = —3 b) XY] + 3x2 — 5X3 — LÕ.xa = —] 3X1 + 5X2 — 3X3 — 5X4 = 5 Xr + Sxq + Sx3 + 2x, = It
2.2 Giải các hệ phương trình ở bài tập 2.1 bằng phương pháp khử €auss với phần tử trội
Trang 37Toda chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 35 2.4 Cho hệ phương trình Ny — O, 1x2 + 0,3.x%3 = 09 QO,2x,; + Xe + 0,3x%3,; = 1,2 0,1 x] + 0,2x2 + x3 > 0,3
Nếu sử dụng phương pháp lặp đơn để giải gần đúng hệ phương trình trên thì ta phải lặp ít nhất bao nhiêu bước để được sai số khơng quá 1073
2.5 Giải các hệ phương trình ở bài tập 2.3 bằng phương pháp Seidel qua 4 bước lặp Đánh giá sai sơ ở bước lặp thứ 4
2.6 Sử dụng phương pháp Seidel, giải các hệ phương trình sau qua 3 bước lặp Đánh giá sai sơ ở bước lặp thứ 3 Sx + y — £ — 12 a) x — lŨy — 2Z = 10 a 3y + 202 = 24 X — 2y — lƯ/ = 16 LOx — 2z + 2 = 15 — 20y + 5z — f = 27 b) x — 162 = —Ì x —- 2y — J0Of = 4 2.7 Cho hệ phương trình 5X) — 2X2 + N3 = 2 X,; -k 8X2 — x3; = 16 xi + x2 + %10x%3 = 13 với nghiệm chính xác x = (1, 2, 1),
a) Tim nghiệm gần đúng (qua 3 bước lặp) 27 bằng phương pháp lặp đơn và x‡ bằng phương pháp Scidel
Trang 38Chuong 3
GIAI PHUONG TRINH VI PHAN
Nhiều bài tốn khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vị phần Bải tốn đơn giản nhất của phương trình vị phân la bài tốn Cauchy: tim nghiệm y' = y(x) thỏa mãn
ví —=ễ L(x, y) /
7 : ° „ Xp SX ZX 3.1)
y(Xu) = Vo °
trong đĩ /(x, y) là một hàm số cho trước với hai biển sỐ v ý: Aụ, X, Đụ
là các số cho trước Điều kiện ¥(X0) == Yọ được gọi là điều kiện đầu
Như đã biết trong tốn cao cấp, với bài tốn (3.1) ta cĩ thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương trình vi phân đơn gián như biến số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính, .Nhưng nếu về phải /(Xx.Y) cĩ dang bất kỷ thì bài tốn (3.1) nĩi chung khơng cĩ phương pháp giải
đúng Vì vậy, việc tìm nghiệm gần đúng của bải tốn (3.1) cĩ mỘt vai trị quan trọng trong thực tẾ
Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp iad gan
đúng Đặc điểm của các phương pháp nay la chi tim các giá trị xấp xi
của nghiệm đúng của bài tốn (3.I) tại các điểm chia Xo,.VỊ v.Vy =
X Kết quả lả la SẼ nhận được các giá trị xấp xí của nghiệm đúng
dưới dạng bảng số
3.1 Phuong phap Euler
XÉI bải tốn
ƒ y = f(xy) ,„ Xp Sv ax Z 3,2
Ì xŒXxø) = vo vos Gà)
Dé tim cae giá trị gần đúng của nghiệm đúng v(x) của bài tốn
(3.2), ta chia đoạn [vạ., X] thành 7 đoạn nhỏ băng nhau bởi các điểm
Trang 39Tốn chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 37 Ni Xo + fh, = 1,2, ,0 X — Xo ra X, = XA x: Dat vy; la gia tri gan đúng của nghiệm đúng y(X) tại 4, tức là 3 2 W(X¿) Khai triên Taylor nghiệm y(x) của bài tốn (3,2) tại Mi: 2 (¥ — X¿—1) vx) = Y(X¿T—t) + CXT—+¡—-i)Yy ŒXiT-i) + mm VỚI €Œ;r—t € (X;—l1, V) Thay x = xX; z= X;Tg + Atv’ Cay) = /X¿Tt, VX¿—¡)) tạ dược he,
vex) = viii) -F AS Oya VOG-1)) TH ¬> {c,-1)
Trong đắng thức trên bỏ qua số hạng cuối cùng bên phái và thay
ve ee VON) Vin 22 V(X¿T1), /XiTls Wi—i) 3 /X¡~l, V(X¿~1))
ta được
Mio? Var bh Af (yaa Wii), 1/2, VH (3.3)
VỚI Vo = (xo)
Cơng thức (3.3) dược gọi là cơng thức Euler Cơng thức này cho
ta tính sý khi đã biết v;_-¡ mà khơng phát giải một phương trình nao Sai số của phương pháp Euler tar 2, ia
ly; — Y(A,)| < Äfđ
với ÄZ là hãng số đương khơng phụ thuộc ở
Trong thực hành, ta xác định sai số bằng cách “tinh hai lan”, lar thứ 1! tính băng cơng thức (3.3) với bước ïđ nhận được 3w„(h) &⁄ v(X)
Trang 4038 Chuong 3 GIAI PHUONG TRINH VI PHAN
y=y
Vi du 3.1 Cho bài tốn Cauchy y(0) _- 13
Tìm nghiệm gần đứng bằng phương phap Euler trên [O: 1] Cho h = 0,25 Giải: Ta cĩ /(x, y) = y— “; xọ =0, X = ] y(O) — 1,5 —> Xp = 0, Yo = 1,5; h = X—xu —=> 7! — 4 n Áp dụng cơng thức (3.3) ta cĩ 2Xj-1 Yi = Vi-r tht yyy — @€=1,2,3,4 3X¡—1 Tiến hành lặp, ta được bảng kết quả Xi yi O 1,5 0,25 1,875 0,5 2.277083 0,75 | 2,736565 1 3,283673 4+ 02 2 KH Ol
3.2 Phương pháp Euler cải tiến
Đẻ tăng độ chính xác của phương pháp Euler, ta làm như sau Ap dụng cơng thức Newton-LecibnItz, ta cĩ x; y(ŒX¡) — VOG-1) = / y'(x)đx X*;—†] Tính gần đúng tích phân xác định bằng cơng thức hình thang, ta được 3 h he,
¥(q)—yYOG-1) = 5 Ly Gea + CDI FS (e721), Crar © (4;-1,.%;) Trong dang thirc trén bo qua s6 hang cuéi cting bén phai va thay