ChuoTig 5 TÍCH PHÂN HÀM PHÚC 5 1 Tích phân đirông hàm phúc Tích phân của hàm biến phức thường dùng nhất là Lích phân dọc theo dường cong trong mặt phăng phức 5 1 1 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức, cho.
ChuoTig TÍCH PHÂN HÀM PHÚC 5.1 Tích phân đirơng hàm phúc Tích phân hàm biến phức thường dùng Lích phân dọc theo dường cong mặt phăng phức 5.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức, cho đường cong Jordan c trơn khức với điếm đầu a, điểm cuối h hàm phức f xác định, lien tục c Hình 5.1 Chia đường cong c thành n cung nhỏ diem chia liên tiêp a — Z(), Z], , zn = h lập tổng ■S’„ = Ỷy 0, giới hạn tổng (5.1) tồn l^k^n không phụ thuộc cách chia đường cong c ctích chọn giới hạn Nếu 16 Chương TÍCH PHÂN HÀM PHỬC dược gi >i tích phân dọc theo đường cong c ký hiệu r I f(z)dz = max c n lim (5.2) i zk —zk _ I I -> Khi c đường cong kín, ta viết ý J\z)dz, với c theo chiều dương, tức chiều biên tháy miền bên từ bên trái 5.1.2 Cách tính Nếu đặt /(z) = U 4- iV, zk—zk — \ — Axk 4- iAyk , * z tơng (5.1) viêl dạng n s„ = 52/(4)(z -z4-.) * k- n = y? lw(A'í’ -Vp + 'u(a* , y£)](zU> + i Ayk) *.Y 4- * iy , k~-\ n [« (xk , yk) Axk — V(xk , yk )Ayk 14- = k-l n + f y~yj ,M ** yk)Axk 4- I((xk, yk)Ayk I k-zi Từ đó, theo định nghĩa lích phân đường loại hai, ta có) Ị f(z)dz — I udx — vdy 4- i I vdx 4- udỵ Jc Jc Jc (5.3) Nếu đường cong c có phương trình tham so z — x(l) 4- /y(z) Zi,/2 theo thứ tự giá trị tham so ứng với diem đau ữ điểm cuối h tử (5.3) suy í f\z)dz = í f(z(t)).z'(í) 7Ĩ Chương TÍCH PHÂN HÁM PHỨC 78 V ■ị («) i (/?) - \ o -1 *A- -ị Hình 5.3 (JJ11111 J.J\UỊ) A\p uụíJịj vung U1UL ỉ - r ỈJei(dl = eiĩr - /0 lirl — (cos n 4- ị sin 7r ) — b) Phương trình c z = í?', Ị : / - í Ỉ.ieildỉ LXJ e —2 -> — (hình 5.3(b)) — el — 2/ Ví dụ 5.3 Tính tích phân ỉ = (j) J m(z)í/z, với c dường trịn ịzỊ - Giủi: Phương trình tham số c z = 2(cos/ 4- i sin/) / : > 2tt, suy Im(z) — 2sin/ dz = ( —•2 sin / 4- Ĩ2cosí)dt f 2ĩt ỉ Ị sin / (—2 sin t 4- / cos ỉ )dỊ Jị) j‘2ỉĩ = / (-14- c< )S 2/ i sin 2/ )dí J0 cos / \ 2jĩ / ' + sin22ỉ = ( — ị —-— I — —4/r ) 2/r Then (5.4): / ĩ‘2ĩZ ire'' / —-Ỵ—dl Ị rí>11 — 2n ì Toán chuyên đề ngành Diện — Trương Thuận 79 / —X - - - -dz lấy dọc theo c Jc z2 -2z 4-2 • đường thắng đứng Re(z) = từ —ioo đến + ÍOO Ví dụ 5.5 Tính tích phân ĩ = y + = lim n h > loo y — b + — lim n h- > I oe b - 5.1.3 b Tính chất Từ (5.3), suy lích phân hàm phức dọc theo đường cong có tính chất lích phân đường loại hai Với a,h hai số phức, ta có Neu c chia thành hai đường cong Cl, C2 rời 4, Cơng thức ước lượng tích phân f (z>dz ML vói L độ dài c M ~ max Ị / (z)| Chuang TÍCH PHÁN HÀM Pỉỉửc 80 Ví dụ 5.6 Tính tích phân ỉ = I zdz, với c có điểm đầu z điểm cuối z — ị, hai trường hợp sau a) c đường gấp khúc noi 1,0, í b) c đường trịn |zị = I (chiều ngược kim đồng hồ) Hình 5.4 Giải: a) c gồm hai đoạn thẳng (hình 5.4(a)): C1 có phương trình z c2 có phương trình z — + (()-!)/ = - / ụ —())/ — it, t ỉ 1; Theo tính chất 2: r í'1 (1 -t)(-dt) + / (—ỉ t)idt Jo (2t - \ )dt = 0 b) c có phương trình tham số z = elí, ỉ /'2 ĩ = I -> Ỷ (hình 5.4(b)) 7T e~ Âeu dt ~ì-ị~/o Nhận xét:• Tích phân ỉ hai giá trị khác zdz lấy dọc theo hai đường khác nhận Tốn chun dề ngành Diện — Truong Thuận 5.2 81 Định lý Cauchy Xét trường hợp đặc biệt hàm dấn lích phân hàm giải tích, kết CƯ bân nhận định lý Cauchy dạng khác 5.2.1 Định lý Cauchy cho miền đ(/n liên DỊnh lý 5.1 Nẻu / giải lích miền don liên D liên tục biên c = 3D ) Nổu - a>„)> ^■() :F{g(iyf — G(iw) * #(/)} = Fụcư)G{ỉ(o) Biến đối lích thuổng Neu fụ)\ ~ G(icư) F(i) 6.5.5 Một số úng dụng phép biến đỗi Fourier Khảo sát đặc tính tần số tín hiệu Phép biến đổi Fourier cơng cụ hữu hiệu đe khâo sát đặc tính tần số tín hiệu xịt) Nó giúp ta biểu diều x{t) thơng qua tập dao động nó), dao động lại tín hiệu điều hịa dặc trưng cho x(ỉ) diem tan so định a Anh Fourier tín hiệu tuần hồn 142 Chương CÁC PỈĨẼP BIEN Dõi Tín hiệu tuần hồn A'(z) với chu kỳ T có the biểu diễn nhu sau: oo ịJi n f E 'C; H —— oc hệ so Fourier xn tín hiệu A'(z) tính bang cơng thức b Ánh Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Cho tín hiệu A'(z) khơng tuần hồn, vói phép biến đoi Fourier ta có the biêu diễn v(z) ảnh (hay pho) Fourier xụ cư) = í x(í )e~~íolt cit / — co Phép biến đổi Fourier phép lọc tần số cao Giâ sử la có tín hiệu ^x(l) —- A'(z) + »(/), /7(z) ỉà thành phần tín hiẹu nhiễu với tan so cao lẫn vào Ta lọc A'(z) khỏi Ã(/) bang cách tính ảnh Fourier tín hiệu jv(z), sau bó di tất ca thành phân tan so cao (i)# X ụ cư) theo công thức X ( ị cư) — X (ị cư ) W(cư) chuyến lại thành A'(z) Ioj I Ỉ cưL, > cư# Bộ• lọc • điện • Xét mạch điện RC hình 6.15 Giâ sử U)(z) hiệu diện the cung cap, /(Z) dòng điện mạch u(z) hiệu điện the Bài toán đặt tính v(z) biết U)(z) Cơng thức liên hệ giừa dòng điện Z(z) hiệu diện the cung cap Uo(r) là: 1?o(z) = Ri 4- — idt (6.24) Toán chuyên dê ngành Diện — Trưưng Thuận 143 Hình ỉ5 đỏ ợ() điộn tích ban đầu tụ điện Cơng thức liên hệ dịng điện z(Z) diện thố u(z) = ^7 (y idí I (6.25) Từ (6.24) (6.25) suy Rc í/b’ dí -I- n — J?() (6.26) Điều kiên ban dầu hiệu điện v(()) = Giâ thiết Vo(/) dãy diện xung tuần hoàn chu kỳ 7’ hình 6.16 Hình 6.16 Chương CÁC PHÉP BIÊN DÔ ỉ 144 Đe xác định !?(/), ta viết Vo(/) dạng chuỗi Fourier £2 >•„(') - (6.27) k ~—00 (t)k — 2jtẩ: • Nghiệm phương trình (6.26) tong nghiệm phương trình í/ỉ? _ , RC-r I- V (6.28) di tức ae~^liC (a số) nghiệm riêng (6.26) Vì vt)(ỉ) tuần hồn nên ta tìm nghiệm riêng ln hồn dạng 00 E 4«'""“ k ■— —00 Như vậy, nghiệm (6.26) có dạng 00 v(r) - cke'CUkl ae~í/liC + k —00 Từ (6.27) suy ck I i (i)k R c dó hệ số Fourier Ck Ư(>(/) dược tính còng thức I ựTỊi ck = A / I J-T/2 ưsinị^^ cie~ití>kl dt = -? -/ c°k Nghiệm phương trình (6.28) dược gọi hiệu ứng tạm thời tat dần ỉ —> 00 Nghiệm riêng tuần hoàn dược gọi hiệu ứng thường xuyên Như vậy, hiệu diện v(t) hoàn toàn xác định dược xấp xỉ hiệu ứng thường xuyên ỉ đủ lớn Toán chuyên đê ngành Diện — Trưang Thuận 145 Bài tập chưoĩig 6.1 Tìm biến đổi Laplace hàm + 3ểj-2í -1- /3 a) ĩỉ(í) = e* x(t) - cos2 ỉ z b) £ơ) — sin 2/ — cos — g) Ỉĩ(ỉ) - 1(1 -2)e' cẠ h) ỉỉ(J) == í-^e-1 = e~3t sin 2í l- 2íel - d) A’(O = 3/ cos 4/ i) tẹ(z) — e-3l(ỉ2 - 3ỉ H- 5) c) A'ơ) — sin 2/ — 2í cos 2/ j) ỉỉV ) 7-~ 2ỉ sin ỉ —Se1 cos 2/ 1-3 6.2 Tìm biến dối Laplace hàm ơ2' - a) g) ỈỈV) - / X cos 2xdx /0 ỉ sin Ị b) ỉĩ(í) rl Ị e~2x sin Sxcỉx J1) h) ịỉ(f) Ị c) A’(O Iỉ(t - 3).(/ - 3)2el~3 d) gơ) w(í—1 ).e'~1 cos(z—1 ) /* l i) íi(O - sin2 3xdx J(ì £(/) = i/(t - 2).(t2 - 2) f) ỉỉ(ỉ) u(ỉ — ).3te~2t j) Árơ) = rl / x3e2xdx 6.3 Tìm biến dối Laplace hàm a) ỈỈ(O ( e2(j n í > ( t < ( d) ĩỉ(ỉ) = j l2 í () ( — Ị b) A'(O ( _ j / c) K(i) Ị < l < t í < í e) ỉỉ(f) = < cos i { 0 - í 1-1 () ■- t < 7T < l Tĩ í < 3ĩĩ ỉ < < t < ỉ =5 Chương CÁC PHÉP IỈỈỀN DƠ Ị 146 6.4 Tìm biến dối Laplace hàm tuần hoàn chu kỳ 7’ a) /■(,) b) /(') = c) ) 5$ ( -2 t ( e~' ( y\.T : Ị ( ỉ < ( -1 í 4 /■(/) ■ 6.5 Tìm biến dồi Laplace ngược hà m 1 a) 54 b) r(.s-) c) /7(.v) - d) /7(.v) - - 52 + (>'■ — 2)3 1- (.V l)2 ỉ e) F(s) f) g) /q.v) = h) /■(.'■) = - j) /-(A) :: k) /'(A) - 52 - (52 l-4)(.v2-| 9) 1) F(s) - •V - 5(.v2 -1- 4) •V -1- 5 m) F{s) V2 - 45 + 5 /7(5) = i) F (.V) 52 -Ị- 4.V + -4 52 - 6.S’ + 1 2s - (5 + )(.v + 3) n) F(s) = (.V 1- 2)2(.v - 1) e ~7rs' 52 + e-2.v ) /•'(.s) = p) F(s) - (5 - 4)3 c-3,v 52 - 5.V ỉ- 6.6 Sử dụng biến dối Laplace giải phương trình vi phân a) y' - 2y 2í'-'; v(0) - b) y' — 3y — c3/; v(0) — —3 147 7'oún chuyên đề ngành E)ịện — Triccmg Thuận c) y' 4y d) y' — y K y(0) - /; y(0) — —2 c) y" — 3y' I 4_y =- 4/ - 3; y(0) - 0, y'(0) — í’) y" 4- 4y sin ỉ; y(0) — 0, >7(0) - I g) y" - y = í- y(0) -1, h) y" - 3y' 4- 2y = 3e~2t; i) y'(0) y(0) -1, y'(O) = -1 e‘ ; y (0) = 1, y'(0) y" _ 4y' -ị- 3y j) y" - 6y' 4- 9y = e3t\ >’(()) - 0, y'(0) - k) y" 4- 4y' 4y = íe~2t \ y(0) - 0, >7(0) - 1) >7' I- 9y — cos3/; >’(()) = 0, y'(0) = m) y" — V sin ( 4- cos 2/; y (0) 1, >7(0) — n) >7" 4- 4y' = I; y(0) -.rr: y'(0) = y"(0) - e~2í ■, y(0) = 0, y'(0) o) ytf' - 2y" - y' 4- 2y p) y(4) - y ■-= 0; y(0) = 1, _y'(0) =- y"(0) 0, >7'(0) -= yw(0) == 6.7 Sử dụng biến đói Laplace giải phương trình vi phân < t < a) y" — 4y t > y l b) y" + 4y ỉ ; y(0) = y'(0) = ; y(0) - y'(0) - 6.8 Sử dụng biến đối Laplace giải hẹ phương trình vi phân ; A'(0) = 1, y(0) = 44" 4a 2A -|4- 4y 6,y J’ ; A-(0) = 3, j(0) = 15 148 e) Chưưng CÁC PHÉP IỈỈÈN Dò Ị Ị x' — I ỳ' + 2x A — -I- 4y 2y cosr sin/ ’ _ 6.9 Cho đoạn mạch diẹn xoay chiều RLC mắc noi tiếp vói hiệu điện the hai đầu mạch u Cho biết R — 16Ấ2, / = 2//, c ' 0,02/ * lại thời điểm t — 0, dỏng diện mạch diện tích tụ diện dêu bang Tìm biểu thức diện tích ó/(/) tụ diện dòng diện /(/) mạch thời diem Ị a) u ■■■ 300V b) u 100sin(3/)K 6.10 Cho mạch diện hình 6.17 với í/o điện tích ban dầu tụ diện Tìm biêu thức diện lích í/(f) tụ diện dịng diện í (í) mạch thời diem ỉ > i I • c - 11 ĩ linh 6.17 6.11 Tìm chuỗi Fourier hàm tuần hồn chu kỳ 2/r vời cơng thức cho chu kỳ a) b) c) /(í) ' khi ( t - - ặ