Cực trị của hàm hữu tỷ, hàm bậc ba, hàm trùng phương.. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. Tính khoảng cách giữa [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
PHẦN 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
-o0o -
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1 Điểm cực trị: giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định 𝐷 (với 𝐷 ⊂ ℝ 𝑥𝑜 ∈ 𝐷)
𝑥𝑜 điểm cực đại hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tồn khoản 𝑎; 𝑏 g cho 𝑥𝑜 ∈ 𝑎; 𝑏 ⊂ 𝐷 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥𝑜 , ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥𝑜 𝑓 𝑥𝑜 gọi giá trị cực đại hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥𝑜 điểm cực tiểu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tồn khoảng 𝑎; 𝑏 cho 𝑥𝑜 ∈ 𝑎; 𝑏 ⊂ 𝐷 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥𝑜 , ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥𝑜 𝑓 𝑥𝑜 gọi giá trị cực tiểu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2 Điều kiện cần để hàm số đại cực trị: Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực trị điểm 𝑥𝑜, hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đạo hàm điểm 𝑥𝑜 𝑓′ 𝑥
𝑜 =
Chú ý: Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực trị điểm mà khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: giả sử hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) số có đạo hàm khoảng 𝐾
Quy tắc 1: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khoảng 𝑎; 𝑏 chứa điểm 𝑥𝑜 có đạo hàm khoảng 𝑎; 𝑥𝑜 𝑥𝑜; 𝑏 đó:
Nếu 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑥𝑜 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑥𝑜; 𝑏 hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực tiểu điểm 𝑥𝑜
Nếu 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑥
𝑜 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑥𝑜; 𝑏 hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực đại điểm 𝑥𝑜
Quy tắc 2: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp khoảng 𝑎; 𝑏 chứa điểm 𝑥𝑜;𝑓′ 𝑥𝑜 = hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp hai khác điểm 𝑥𝑜 đó:
Nếu 𝑓′′ 𝑥 < 0 hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực đại điểm 𝑥 𝑜 Nếu 𝑓′′ 𝑥 > hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực tiểu điểm 𝑥𝑜 II CÁC DẠNG TOÁN:
1. Vấn đề 1: Tìm cực trị hàm số quy tắc
Tìm tập xác định 𝐷
Tính 𝑓′ 𝑥
Xác định điểm 𝐷, mà 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 không xác định
Lập bảng xét dấu 𝑓′ 𝑥 𝐷
Kết luận
Tìm cực trị hàm số: a) 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2− 24𝑥 + 7 b) 𝑦 = 𝑥4− 5𝑥2+
c) 𝑦 = 𝑥 + − 𝑥 d) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 − 3 e) 𝑦 = 𝑥+1
𝑥2+8 f) 𝑦 =𝑥2−2𝑥+3
𝑥−1 g) 𝑦 =𝑥2+𝑥−5
𝑥+1
h) 𝑦 = 𝑥−4 𝑥2−2𝑥+5 i) 𝑦 =𝑥2−2𝑥+3
𝑥−1
(2)CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
n) 𝑦 = 𝑥 − 𝑥3 o) 𝑦 = − 𝑥 𝑥 + 53
p) 𝑦 = 𝑥 10−𝑥2
2. Vấn đề 2: Tìm cực trị hàm số quy tắc
Tìm tập xác định 𝐷
Tính 𝑓′ 𝑥
Xác định điểm 𝐷, mà 𝑓′ 𝑥 =
Tính 𝑓′′ 𝑥
Nếu 𝑓′′ 𝑥
𝑖 < hàm số đạt cực đại điểm 𝑥𝑖 Nếu 𝑓′′ 𝑥𝑖 > hàm số đạt cực tiểu điểm 𝑥𝑖
Chú ý:
Nếu tồn điểm hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khơng có đạo hàm không dùng
quy tắc
Dùng quy tắc 2, phương trình 𝑓′ 𝑥 = 0 có vơ số nghiệm phương trình lượng
giác
Tìm cực trị hàm số: a) 𝑦 = 𝑥4− 2𝑥2+ 1 b) 𝑦 =𝑥4
4 + 2𝑥 2+ 6 c) 𝑦 = sin 2𝑥 − 𝑥 d) 𝑦 = sin 2𝑥 − cos 2𝑥
e) 𝑦 = sin 𝑥 − cos 𝑥 + 𝑥 + f) 𝑦 = cos 𝑥 +1
2cos 2𝑥 + g) 𝑦 = sin 2𝑥 + sin 𝑥 h) 𝑦 = sin2𝑥
i) 𝑦 = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 − 4 j) 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + k) 𝑦 = 𝑥 − 3+ 4x l) 𝑦 = −𝑥4 + 3x2 + m) 𝑦 =𝑥4
2 − 4𝑥 2−
n) 𝑦 =3𝑥−1 𝑥+2 o) 𝑦 = 𝑥2
𝑥−2 p) 𝑦 =𝑥
2− + 2x−1 q) 𝑦 =
𝑥2−𝑥+1
r) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 s) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2 t) 𝑦 = 𝑥 + cos 𝑥
u) 𝑦 = sin2𝑥 − cos 𝑥 𝑥 ∈ 0; 𝜋 v) 𝑦 = sin 𝑥 + cos 2𝑥 𝑥 ∈ 0; 𝜋 w) 𝑦 = cos 𝑥 − sin 𝑥
3. Vấn đề 3: Các dạng toán khác
Xác định tham số để hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực trị điểm
Xác định tham số để hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có cực trị
Xác định hệ số phương trình hàm số, để hàm số có cực trị
Chứng minh hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có cực trị
(3)CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
1) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 3
a Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số
b Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị c Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số
2) Định 𝑚 để hàm số sau, có cực đại cực tiểu a 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥2+ 𝑥 +
b 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚 + 𝑥2− 𝑚𝑥 + 2 c 𝑦 = 𝑚𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 3𝑥 −
d 𝑦 = − 𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 − 6𝑚𝑥 + 5 e 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +2
𝑥−1
f 𝑦 =𝑥2− 𝑚 +1 𝑥+2𝑚 −1 𝑥−𝑚 3) Định 𝑚 để hàm số:
a 𝑦 = 𝑚𝑥4+ 𝑚 − 𝑥2+ có cực trị b 𝑦 = 𝑚𝑥4+ 𝑚2− 𝑥2 + 10 có 3 cực trị 4) a Cho hàm số 𝑦 =𝑥3
3 − 2𝑚
2𝑥2+ 𝑚 + 𝑥 − 5𝑚 + 1. Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại 𝑥𝑜 =
b Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑚2𝑥2+ 𝑚 + 𝑥 − 𝑚 + 1. Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại 𝑥𝑜 = −1
c Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +1
𝑥−𝑚 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại 𝑥𝑜 = −2 d Cho hàm số 𝑦 =𝑥3
3 − 𝑚𝑥
2+ 𝑚2 − 𝑚 + 𝑥 + 1. Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu 𝑥𝑜 =
e Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +2
𝑥−1 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu 𝑥𝑜 = f Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3− 3𝑥 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu 𝑥𝑜 = g Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 𝑚𝑥2+ 𝑚 −2
3 𝑥 + 5, có cực trị 𝑥𝑜 = Khi hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị tương ứng
5) Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực trị 𝑥𝑜 𝑥𝑜 cực đại hay cực tiểu a) 𝑦 = − 𝑚2+ 5𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − (𝑥
𝑜 = 1) b) 𝑦 =𝑥2+𝑚𝑥 +1
𝑥+𝑚 𝑥𝑜 = c) 𝑦 =𝑥2+3𝑚𝑥 +5
𝑚𝑥 +1 (𝑥𝑜 = − 1)
6) a Định 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 3(𝑚 − 1)𝑥2 + 2𝑚 − 𝑥 + 1 có cực trị. b Định 𝑚 để hàm số 𝑦 = − 𝑚2+ 5𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − có cực trị c Cho hàm số 𝑦 =𝑚𝑥2−(2𝑚 +1)𝑥+3
𝑥−2 Định 𝑚 để hàm số có cực trị d Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+2𝑚𝑥 −3
𝑥−𝑚 Định 𝑚 để hàm số khơng có cực trị e Cho hàm số 𝑦 =𝑚𝑥 −1
𝑥+𝑚 Định 𝑚 để hàm số khơng có cực trị f Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 −2𝑚2+1
𝑥−2𝑚 Định 𝑚 để hàm số có cực trị g Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑥−2
(4)CHUYÊN ĐỀ KSHS http://violet.vn/lhhanh
LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
h CMR hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2− + 𝑛2 𝑥 − 5(𝑛 + 𝑚) ln có cực trị với giá trị 𝑚 𝑛 7) a Tìm hệ số 𝑎; 𝑏; 𝑐 cho hàm số: 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, đạt cực tiểu điểm
𝑥𝑜 = 1; 𝑓 = −3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b Tìm số thực 𝑝; 𝑞 cho hàm số: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑝 + 𝑞
𝑥+1 đạt cực tiểu điểm 𝑥𝑜 = −2; 𝑓 −2 = −2
c Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 để hàm số đạt cực đại 𝑥𝑜 = 1; 𝑓 = đạt cực tiểu 𝑥𝑜 = 3; 𝑓 = −1
d Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 Tính 𝑎; 𝑏 để hàm số đạt cực trị điểm 𝑥
𝑜 = 3; 𝑓 = −4 e Tìm 𝑎; 𝑏 để cực trị hàm số 𝑓 𝑥 =5
3𝑎
2𝑥3+ 2𝑎𝑥2− 9𝑥 + 𝑏 số dương 𝑥𝑜 = −5
9 điểm cực đại 8) a Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑥+𝑚 −1
𝑥+1 Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị dấu b Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+ 𝑚 +1 𝑥−𝑚 +1
𝑥−𝑚 Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu c Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+𝑚𝑥 −𝑚 +2
𝑥−𝑚 +1
CMR hàm số ln có cực trị với 𝑚
Tìm 𝑚 để giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị 9) Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 𝑚2− 𝑥 − 𝑚3
a Định 𝑚 để hàm số có cực đại cực tiểu
b Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị dấu
c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị 10)Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3(𝑚 − 1)𝑥2+ 2𝑚2+ 3𝑚 + 𝑥 − 𝑚(𝑚 − 1)
a Định 𝑚 để hàm số có hai cực trị
b Cho 𝑚 = −1, Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị 11)Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3𝑥2 + 3𝑚𝑥 + − 𝑚 𝐶
𝑚 Giả sử 𝐶𝑚 có điểm cực đại 𝑀1(𝑥1; 𝑦1) điểm cực tiểu 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 CMR
𝑦1− 𝑦2
𝑥1− 𝑥2 𝑥1𝑥2− = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 12)Tìm 𝑎 cho:
a 𝑓 𝑥 = 𝑥4+ 4𝑎𝑥3+ 3(𝑎 + 1) có cực tiểu mà khơng có cực đại b 𝑓 𝑥 = 𝑥4+ 𝑎𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑎𝑥 + 1 có cực đại, cực tiểu
13)Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥3+ 𝑚 − 𝑥2+ 11 − 3𝑚 𝐶𝑚 Tìm 𝑚 để hàm số có điểm cực trị 𝑀1(𝑥1; 𝑦1) 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 Tìm 𝑚 để điểm 𝑀1; 𝑀2 𝐵 0; −1 thẳng hàng
14)Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+ 2𝑚 +1 𝑥+𝑚2+𝑚 +4
2(𝑥+𝑚 ) Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số