Chương 5S
TICH PHAN HAM PHUC
5.1 Tich phan dudéng ham phức
Tích phân của hàm biến phức thường dùng nhất là tích phân đọc theo đường cong trong mặt phẳng phức
5.1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức, cho đường cong Jordan C trơn từng khúc
với điểm đầu ¿, điểm cuối ð và một hàm phức ⁄ xác định, liên tục trên Œ y ` À ao * ~k ad = Zh —— Zx—I - O x Hinh 5.1 Chia đường cong C thanh # cung nhỏ bởi các điểm chia lién tiếp d = Zo.,Z1., ,Zn = b và lập tổng Sn — =o (Z2)(Z¿ — Zk—t) (S.])
với ZZ là điểm trên cung Zx-lZx, & = l, m
Nếu khi max I2 — Z¿_¡| —> 0, giới hạn của tống (5.1) tỒn tại và
abe cả
Trang 276 Chương 5 TÍC/H PHAN HAM PHUC
đó dược gọi là tích phán dọc thco dường cong CC và ký hiệu là
“ /(z)đz —= lim >) ED CK — 2p 1) (5.2) “or max vi £ Zk—Z,-_.¡ k i |—>U km]
Khi C là đường cong kín, ta viết f(z)dz, voi C theo chiéu C
đương, tức chiều đi trên biên thầy miễn bên trong từ bền trái 5.1.2 Cách tính
1 Néu dat /(Z) = tiv, 24—-2R-) = Axe tiAyg, Ze ote pb EVg thi t6ng (5.1) viét dudi dang FR Sn = >> f(2—) (Ze — Ze-1) k=l mR = 3 )[mGZ, y2) + Pug yD) )(Axe +i Ave) k= 4 = » [u(xj, Yế)AXk — U(XƑ, wz)Ayx|+ k=} „” +» [u(G7, vŸ)Ax¿ + t(xƒ, vƑ)Azye| k=l
Từ đó, theo dinh nghĩa tích phân đường loại hai, ta có
| /(Z)đz = | udx —udy +i | vdx +udy (5.3)
C C C
No Nều đường cong C cé phuong trinh tham sé z = x(/) +-?7y(/} va f+,f¿ theo thứ tự là các giá trị của tham sô ứng với điểm đâu a và điềm cuối ð thì từ (5.3) suy ra t2 | zœ4z = f /#Œ()).zŒ)đi (5.4) JC J ty Vi du §.1 Tính tích phân / = 1 ZđlZ, VỚI C
a) C la doan thắng nối điểm z = 0 đến điểm z = 2 +†-7
Trang 3Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 77
Trang 478 Chương 5 ?/C/ PHÁN HÀM PHÚC y “s “4 (a) i (5) ¡ Z Zz ef ¬ » —I O 1 4X —] Hinh 5.3 (hình 5.3(a)) Ap dụng công thức (5.4), ta có “70 7 ozs Í 1.(e ti = e'* —1 = (cosa +/sinz)—1 -= —2 Jo ` ¬— Am wT, b) Phuong trinh cua C la z =e 7: > >> (hình 5.3¢b)) IT 2 - - cát "na / =f Lied =ef% — e” = 2i a7 “gã Ví dụ 5.3 Tính tích phần 7 = d Im(Z)đZz, với Œ là đường tròn |Z] := 32 C
Trang 5Toản chuyên để ngành Điện — Trương Thuận ; 79
I
/ le, z2 — 2Z + 2
đường thắng đứng Re(z) = | tt —ico dén +ioo
Ví dụ 5.5 Tính tích phân J = dz lay doc theo C là
Giới: Taco z=1+ fy, -cw Sy SX +0 +00 1 i= ——————idiy I (iy)? +1 web OOD 1 2 | ———ay 0 l— y2 ' y+]? = lim ln|- h >» too y— Ì 0 b ] == lim In + | = 0 5-> 1o — ] 5.1.3 Tinh chat
Tr (5.3), suy ra tích phân của hàm phức dọc thco đường cong có
Trang 680 Chương 5 TICH PHAN HAM PHUC
Vi du 5.6 Tính tích phân 7ƒ = [ Z4z, với C có điểm đầu z == 1 va JC điểm cuôi Z —= ¿, trong hai trường hợp sau a) C la duong gấp khúc nối 1,0, é b) C la duong tron |z| = ! (chiều ngược kim đồng hồ) y y (a) (4) i i C2 Ol Cc, 1 TY O “Xx Hinh 5.4
Giai: a) C gồm hai đoạn thắng (hình 5.4(a)):
C\ có phương trình z = I+(D— l1)? = I—/,O</? SỈI; Œ¿ có phương trình Z =0 (—0)7 = /¡,O<¡ < |] Thco tính chất 2: == Gandy + f (—1/)rdi Q , 7 b) C có phương trình tham sỐ z = e£@Ẵ/,¡:0 —> 5 (hình 5.4(b)) °F z / -| et ieldt =i 0 2 Niiận xét:
Tích phân 7 = [ Zdz lay doc theo hai đường khác nhau thì nhận
Trang 7Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 81
5.2 Dinh ly Cauchy
XéI trường hợp đặc biệt hàm dưới dâu tích phân là hàm giải tích, kết quả cơ bản nhận được là định lý Cauchy ở các dạng khác nhau
5.2.1 Dinh ly Cauchy cho miền đơn Hiên
Dinh ly 5.1 Nếu / gidi tich trong mién don lién D va liên tục trên Điên C = dP thi
p /(z)đz =0
C
Ví dụ 5.7 Các hàm /Øø(Z) == đa +ưaZ + -an2” (An #0), /(Z) = CŒ', /£(Z) = sInz, /(Z) = cosz giải tích trong mặt phăng phức, do đó
° p(z)dz = 0, e* dz == 0 Sinzdz = 0 cos 2zdz = 0
C JC C C
voi moi duong cong kín CC“ trong mặt phăng phức
sin Zz Ly
Ví dụ 5.8 Tính tích phân J = p man với € :|z — l| = I
yee ` sin Z - aed A ` - x >
Giai: Ham {(z) = pl có hai điềm bat thugéng z = +r déu nam
7
ngoài đường tròn C Vay /(Z) giải tích trong miền |z — !| < 1
Ap dung định lý Cauchy, ta được 7 = 0 L]
Nhdn xét:
Đẻ xác định xem điểm zp c6 nam trong dudng tron C : |z—a| =r
hay không, ta có thé tinh |z — a] va so sanh véi r:
1 Néu |zo —a@| <r thi diém zy nim trong C 2 Nếu |Zo—đ| >7 thì điểm zu năm ngoài C a Im Lk Ì ` Ví dụ 5.9 Ta đã biết 7 = ———— đZ — 2zri, với CÓ : |z — (| =r (vi /Jœ Z —(d dụ 5.4) Sở dĩ 7 z O vì hàm /(Z) —= ———— có điểm bãt thường Z +: ứ Z —d
năm trong CC, nên /(Z) không giải tích trong miền |z —a| <r
Qua ví dụ 5.9, ta thay néu / có điềm bất thường năm trong C thì
Trang 882 Chuong 5 TICH PHAN HIÀN PHUC
5.2.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên
Dinh ly 5.2 Cho D la mién da lién voi bién géim dirong cong ngodi Cy
vì các đường cong trong C,,C2, ,Cn Néu ( giải tích trong D va
liền tuc trén bién thi
/(z)dz == ⁄#Œz)đz + /(Z)dđz -|- -} p /(z)dz
Cy
` Cu ‘ C C2
trong do chiéu di trén bién Cy, Cy, Cy la chiếu (HƯƠNG
Néu dat C -= Cy UC, U UC, Ja biên của mién D, ta co dang tương đương của định lý Š.2:
Định ly 5.3 Với giá thiết nh ở định lý Š.2 thì f f(z)dz = 0 C ] Vi du 5.10 Tinh tích phân 7, = p (oa “* noe N, với C là CŒ (Z —Zu đường cong kín không đi qua Zz
Gidi: Goi D la mién giới hạn bởi C
, I Lae
a) Néu zy ¢€ D thi f{(z) = Gzam giả! tích trong Z2 và liên tục Z — “0
trên biên C Theo dịnh lý Cauchy: 7 =
b) Nêu z¿ € DPD thì /(Z) giải tích trong miễn nhị liên giới hạn bởi
Trang 9Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 83
5.3 Tích phân không phụ thuộc đường đi >.3.1 Định nghĩa
Cho zp va 2; la hai diém trong mién Ø2 Tích phân / =f /(z)dz
được gọi là không phụ thuậc đhờờng đi nếu nó có cùng một gia iri voi moi duong cong C nằm trong 2 với điểm đầu z¿ và điểm cuối z¡
Khi đó, ta viết / =Ƒ /(z)dz
Za
Từ định lý Cauchy, ta có KẾt quả sau:
Định lý 5.4 (tích phân không phụ thuộc đường đi) Nếu f giải tích
trong mién don liên D và CÓ là dường cong Đắt kỳ năm: trong D thì /(Z)đ4z không phụ thuộc đường di
C
5.3.2 Nguyên hàm và công thúc Newton — Leibnitz
Cho / là hàm số liên tục trong miền D Ham F duge goi la nguyén ham cia f néu F’(z) = f(z), WZ € 2 Khi d6, F(z) C cũng là
nguyền hàm của / (z),v với C là bằng số phức
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của / được gọi là £ích phân bat dinh cua /, kỹ hiệu là | ⁄(z)dz
Vì nguyên hàm Z# của hàm / có đạo hàm tại mọi điềm trong D
nên Z' giải tích, từ đó # liên tục tại mọi điểm trong 2
Định lý 5.5 (công thức Newton — Leibnitz) Cho / lad ham số Hến tục
Trang 1084 Chương 5 TICH] PHAN HAM PHIUC Vậy 7 z3“ gi 7 8 ot, A k = >) =a 3 |, 3 KH Tt+ Sl: 3 Vi du 5.12 Tinh tích phân / = Í e*dz, C la parabol y = x2 nối từ Xã ia - C điểm Z :z QO đến điềm z= 1-4 1
Gidi: Ap dung cong thirc Newton—Leibnitz, ta có
P= e7|6t = et —1 = (ecos| —1) + fesint “17t Vi du 5.13 Tinh tich phan 7 = Í ze*dz J0 Giải: Áp dụng công thức tích phân từng phan - t7t ; - T == ze7\y" -| e?dz = ine’™ —(e'* —1) 0 = (fa — 1)(cosz -+-fsinzw)-+- 1 = 2 — ï7r Từ định lý (5.5), ta có kết quả sau:
Định lý 5.6 Vếu hàm liên tạc có một nguyên hàm F trong D thì tích
phán | ((2z)}dz không phụ thuộc đưởng đi Cc
Hơn nữa, ta cũng có điều kiện đủ để tồn tại nguyên hàm:
Định lý 5.7 Nếu hàm / liên tục và | /(Z)đz không phụ thuộc chường
` JC
di thi f CÓ tHÔI nguyén ham trong D
5.4 Công thúc tích phân Cauchy 5.4.1 Công thức tích phần Cauchy
Dinh ly 5.8 Néu / giải tich trong mién D va lién tuc trén bién C cua D thi voi moi zo © D, ta co
Trang 11Toán chuvên đê ngành Điện — Trương Thuận %5
Ý nghĩa: Công thức tích phân Cauchy cho ta tính được giá trị của hàm
giải tích tại điểm thuộc miền Ð khi biẾt giá trị của nó ở trên biên Nói
cách khác, giá trị của hàm giải tích trong miễn hoàn toàn được xác
định bởi giá trị của nó trên biển " z+2 Vi du 5.14 "Tính tích phân / = p ———————-dz, với œ (2— l)(Z— 3) )C:|z—2| =5 a) €C :|z— 2Ì =~ 2 b) C : |z—-i| = 2 Gidi: a) Cho (z — 1)(z — 3) = 0, ta duoe z = 1 va z = 3 là các điểm A ` + z+2 bat thuong cha /(Z) — ————- - Œ — 1)Œ — 3)
Vì |I— 2| =: 1 > = va |3— 2| = 1 > 5 nên z = l và z = 3 đều
năm ngoài CC, Đo đó / giải tích trong miền |z — 2| < 2 Theo dinh ly Cauchy: / =
b) Tại các điểm bất thường Z = Và Z 3, ta có |l —/| = 12 (—1)2 = V2 < 2 va [3 —i| = V32 -}- CT = = VÌ] ũ > 2 nên z= 1 năm trong C Ta VIỆT pad cin 22a Lp z+2 wo `
VỚI /(Z) = 5 là hàm giải tích trong miền |z —/| < 2
Trang 1286 Chương 5 7ÍCH PHAN HAM PHUC v2 TỐ 7 VỚI Z¡ = > va z2 = ait a) Do [z) — 1| < 1 va fz2 —1| > 1 nén diém 2, nam trong C 5 (Zz ef? as 3 Ta viet J = (62) đÄz với /(Z) = ———— giải tích trong miễn œZ—Zi A(z — 22) |z — I| < 1 : ] Vay f= 2a fitz) = “3 2 b) Ta c6 Jz, -+-7| = VGy + 12 < 3 và |zz+i| = /-$} 412 < 3 nên z¡ va Z2 dGu nam trong C 17
Trang 13Toán chuyển để ngành Điện — Trương Thuận “7
5.4.2 Công thức tích phần Cauchy cho dao ham
Định lý 5.9 Nếu / giải tích trong niền 2 va lién tục trên Điền CC cua
D thì Vzụ € D ham / có dạo hàm đến cáp n tai Zg va -Ó, nlf (z [°° (20) = 2nt Jo {2 — zo)? !! fi LA d ads (3.5) „4 Ví dụ 5.16 Tính 7 -: p dz, € 7p |z[ «+ 2 c (z—-f)
Giới: "Tại điểm bat thuéng 2 = 7, ta cé Jz] = 1 < 2 nên z = 7 nim trong C Ta viết 7 —————dz, với /(z) = z' piải tích trong It)
œ (Z2 —ï (z—)9 miễn gidi han boi C
Ap dụng công thire (5.5) voi zp c= i, = 2: Le _f te) dz = J7 „ = 27r1 " singez Ví dụ $5.17 Vinh / =: sự —————axtz, Cl: |z — 1| = c (22 — 1)2
Gidi: Cho (z2 — 1)? = 0, ta duge z = £1 1a cdc diễm bất thường,
Trang 1488 Chương 5 TICH PHAN HAM PHUC ny C:le-1=4 al - ° a —— 3 b) C :|z +/|=3
Gidi: a) Cho (Z + 1)(2 — 2)2 = O, ta được z = —l và z = 2 là các điểm bat thường
4 4 ` ¬
Vìi|—I—1|=:2> 3 và |2 — lÌ = L< 3 nên Z2 = 2 nam trong C
Vivay 7 = | Lf) „, VỚI /(Z) = zat giai tich trong mién | c (Z— 2)? z+] vidi han boi C Ap dụng công thức (5.5): (Z) 27 47r1 7 = _fE) | dz = —— ƒ (2) = Cc (Z — 2)2 II 9 b) Vì |— 14-7] = 4⁄2 < 3 và |2-1-7| = YS < 3 nén ze —I wa ~ == 2 đều năm trong đường tròn C, do đó (Z — 2)? |z — 2 = “+ 2Ì=ư — Dri 5 5 =
5.4.3 Hệ quả của công thúc tích phân Cauchy
Dinh ly 5.10 (dao ham cúa hàm giải tích là giải tích) Nếu f giải
tích trong mién don liên D thì Ƒ có đạo hàm mọi cấp tại mọi điểm
z trong D và các dao ham / 1à các hàm gidi tich trong D
Dinh ly 5.11 (bat dang thire Cauchy) Néu £ giải tích trong hùnth tron
Trang 15Todn chuyên đế nướành Điện — Trương Thuận as & Ct S0
' '
L/09(z0)] =: 2 (6S —————¿(iz| < _— Œ Jt) ze zu)?? 1 27 piel M -Qnr= iM rn
SỐ M trong (5.6) phụ thuộc đường tròn |z — zs;[ = r, nhưng chú
y rang neu nm = O0 thị ă > |/(zo)| Nói cách khác, cận trên ÄZƒ của L/(z)| không thê nhỏ hơn | /Œo)|
Định ly 5.12 (dinh ly Liouville) Ham gidi tich và bị chặn trên C là
ham hang C hưng nưnh:
Gia sử / là hàm giải tích và bị chặn trên €”, nghĩa Ja | /(z)| < WV, von
mọi z Khi đó, với z thuộc đường tròn |2 —zo{ == #, ta có |//Œa)| Z — (theo định lý 5.11) dung voi moi r
Cho r —> Go thì ta duoc /'(zo) = 0, vGi moi Zy trong mat phăng phức
Từ đây suy ra / là hàm hãng
Ví dụ 5.19 Chứng minh hàm /(Z) = sinz không bị chặn
Ho ~ * It a ` * - ^ ` `
Gidi: Do /(Ô) =0, / (S) = Ì nên hàm /(Z) == simz không là hàm hang Ham / giải tích và không là hàm hằng nên / không bị chặn
Dinh lý Š.13 (định lý cơ bản của đại số) Moi da thitc bde n: Pna(Z) = Gy +412 4 + nz” (void, ~ 0) đều cé dung n nghiém Chitng mình Gia sử Øg(Z) ~# O, vi moi z Dat /(z) = | la CÓ PulZ) _ 1 1 1 = |đo 4+ayZ + + duZz"[ _ |Z“|- |#» + SHSb + Tự l l < | 2 = |z”| len | — “Er — — fl HN khi |z| -> œö suy ra / bị chặn
Trang 1690 Chuong S TICH PHAN HAM PHÚC
Vậy tôn tại zZ¡ sao cho Øz(Z¡) = O
Phân tích py (z) = (Z — Z1)Ø,u„—I(Z), VỚI Øg—i(Z) là đa thức bậc (2 ~ 1) Lap lIuận tương tự, phân tích Øøz_¡(Z) và tiếp tục phân ch cho đến khi
Pr(2Z) = (Z — Z4)(Z — Z2) (Z — Zn)
Dinh ly 5.14 (dinh ly Morera) Néu / liên tục trong niền don lién D
va /(z)đz —= OQ với CC là dưởng cong nam trong D, thi f gidi tich trong D
Chung minh:
Do /(z)dz = Onén tích phân f #Œ)đr lây đọc theo đường cong nồi
Cc =n
điểm zy (diém cé dinh) dén điểm z (điểm tùy ý trong /2), không phụ thuộc
đường đi Theo định lý 5.7, nếu hàm # xác định bởi F(z) = J /⁄Œ}đr thì F'(z) = f(z) Tu đây, suy ra #' giải tích trong Ð
Ap dung định ly 5.10, suy ra f(z) = # /(Z) giải tích trong D
Bai tap chuong 5
$.1 Tinh tích phân 7 = Í (2z — 1)đz, với C là doạn thắng
JC
a) nor diém z =f dén điềm z = 2-3-7 b) n& diém z = 0 dén diém z = 3/
c) nối điểm z = O đến điểm z — 1+7
Trang 17Toán chuyên dễ ngành Điện — Trương Thuận 9] < b) / = [ Re(z)2z, Œ có phương trình x = —/.y =7 (0 </ < ]l) JC "| c) f = Í —clz, CÓ có phương trình X = cost, y = sin/ (0 <; < ce - 27) đ) / = p Zdz, C la dudng tron |z| = 3 JC 2 ed c) f= +3 }dz2, C là đường tròn |z — I|[ = | JC z—l 5.4 Tinh cac tich phan a) Jo ox: Í zdz,C là IC
¡ nửa trên đường tròn |z{ = 2 từ z == 2 dén z == —2
ii nửa dưới đường tròn |z| = 2 từ z = 2 đến z = —2
` , i r oa x - ` ge A: -
b) / = —dz, C c6 diém đầu Z = —/ và điềm cudi z = 1, trong -”
7 ”
hai trường hợp sau
I CC là nửa trái đường tròn |z| = | 1 CC là nửa phải đường tròn |Z| = -2 ~ * sped as 28 c) Joc: | 3dz theo ellip C : 7 + y* = 1 ur diém z = 2 dén điềm C Z == ¡, HĐUƯỢC chiều kim đông hô 5.5 Tính các tích phần 1 ay J = —zdz lay doc theo C la dudngy thng đứng Re(Z) 7 | tr JC = —ïC© đến +ice 1 , „
b) ) /ƒ = Ừ 22—4z+8 ——————¿iz lầy y dọc dọc theo C là dường thăng đứng ( 8 8 B
Trang 19Chương 6
CAC PHEP BIEN DOI
Chương này sé dé cập dến các phép biến đối tuyến tính dối với các hàm số có tính chất liên tục từng khúc, bao gồm phép biến di
Laplace, phép bién déi Fourier
Các phép biến đổi này có vai trò ứng dựng rất quan trọng trong các ngành kỹ thuật nói chung và ngành Điện - Điện tử - Viễn thông nói riêng Đặc biệt chúng là công cụ gián tiếp rất hữu ích trong phân tích tín hiệu, phân tích và thiết kế các hệ thống tuyến tính
Với cách tiếp cận thuần túy toán học, nội dụng của chương này
được trình bày theo nguyên tắc: dưa ra các cơng thức tốn học cho từng phép biến đổi, các định lý liên quan đến sự tỒn tại của phép biến đối và các tính chất cho từng phép biến đổi
6.1 Phép biến déi Laplace
6.1.1 Dinh nghia
Cho f(t) la ham số xác định với mọi / = 0 Biến dõi Laplace cua
/(7) là hàm biên phức « = œ + 7/6, ký hiệu F(s) hodc 2{/(t)}, xac
định bởi tích phân suy rộng
> ]|:'O
F@) =.Z{/0)}= / em! f(r)d 0 (6.1)
Ham F(s) dugc gọi là ham đmh của /(7) qua phép bién dot Laplace Phép bién déi (6.1) khéng tdn tai voi moi ham /(7) mà chỉ tôn tại
voi mét lop ham ma ta goi la ham gốc
Flam gốc /(1) là hàm thỏa mãn các điêu kiện sau:
1 (7) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa là
hàm liên tục trừ một sô điêm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm
Trang 2094 Chương Óó CÁC PHEP BIEN DOT
JQ) = O khi st < 0
3 T6n tai cac s6 M > 0, a =O sao cho Vt =O: | fC)}| < Meret
(tức là hàm số /(7) không qua lớn) Khi d6 ay duoe voi là sé
tư tĩng cua f(t)
Khi / —> -+©o, hàm gốc /(/) là hữu hạn hoặc tăng Go, nhưng không nhanh hơn hàm mũ e*“°“,
Ví dụ 6.1 Trong kỹ thuật, người ta thường phí nhận được các hàm số mà giá trị của nó thay đổi đột ngột tại một thời điểm ¿ xác định Một ví dụ phổ biến là sự thay đổi điện áp của một mạch điện tại thời điểm
khi đóng hoặc ngắt mạch
Thông thường giá trị / = O được chọn là thời điểm bắt đầu cho việc đóng hoặc ngắt mạch Quá trình đóng, ngắt mạch nói trên có thể mo ta bang mô hình toán học bởi hàm bậc thang đơn vị (hay còn được
biết với tên gọi là hàm Heaviside)
Hàm bác thang đơ?m vị '(hay còn goi la ham Heaviside) u(t) la ham số được định nghĩa bởi
0 khi¢ < 0
u(i)=
ứ) I khi ¢ > O
Trang 21Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 9S
Ham (7) là hàm gốc vì |t¿(7)| S 1 nên điều kiện 3 thỏa mãn nêu
chon M = 1, ag = |
Vị dụ 6.2 Mam tré T don vi thei gian là ham nhan gia tri 0 cho dén khi ¢ = 7, sau dé nhan gia tri 1:
0 khi ¡ < 7`
u(r —T) =
( ) 1 khi / z Z7
Ham w(t — 7) được dùng đề mô tả các tín hiệu xuât hiện đột ngột lúc / = 7' Đồ thị của nó có được băng cách tịnh tiên đỗ thị hàm bậc
Trang 2296 Chuong 6 CAC PHEP BIEN BOI
Ham nay dùng đê mô tả các tín hiệu chỉ xuât hiện trong khoảng thời gian tử /¡ đền í¿ Ham có dạng 0 khit <4; SU) = Fe) khin <1 <tr 0 khi ? > 2 = h().@(1) # ˆ
với g(/) la ham s6 so cap, la ham gộc
Nhận xét: Các hàm sô sơ cấp /(7) đêu thỏa diễu kiện 1 va 3, nhung chưa phải là hàm gộc Tuy nhiên, hàm số
0 khis < 0 w(t)./(1) = Qt) khit =O
là hàm gốc
Ouy ude:
1 Khi viết hàm /(), ta hiểu ngầm đó là ham u(t) /(1)
2 Giới hạn phải của /Œ) khi / > 0-]- được viết là /(0)
eA on ^ *
6.1.2 Điều kiện tôn tại
Định lý 6.1 (Định ly t6n tai anh) Néu /() la han ĐÓC VỚI so mii tdng Oo tht ham anh F(s) héi tu trong nua mdt phdng Re(s) > ag va la ham gidi tich trong mién do
Định lý 6.2 Nếu F(s) id ảnh cúa f(t) với số mũ tăng ay thi
lim #(s) = 0 Re()->oo
6.1.3 Biến đối Laplace của một số hàm thông dụng
QO khit <0
a) Ham bdc thane don vi f(t) =
& PIO =) nip so
+00 b I |
7 — —*í —— : —xf — : — — - v5
Fis) = / e ”'ƒ(Œ)đti = lim e “dt = lim ( x )
Trang 23Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 97 Néu Re(s) > O thi lim e7? = 0 h—>-‡-oo Vậy I LAY = s voi Re(s) > 0 b) Ham /(1L) = e@, với a là hăng số phúc :+†eo b #(s) = e“ ettdt _—— lim eat dy 0 h->+o0o, 0 — lim | — | œTt~d)Ð
hb-> Foo LS — a& S—-a
Trang 25Todn chuvén đó ngành Điện — Truong Thuận 99 6.1.4 Các tính chất cơ bản 1 Biến đối tuyến tính Định lý 6.3 Nếu £1 /(1)} = FƑ(š) và Z{g()} = G(s) thi VỚI (đt, Ð là các hãng số phức 3 2 Ví dụ 6.4 273 — 2/0} —= 3 Z{l;ị—2 Z 41} =-— $ gs? Ví dụ 6.5 Ta da biét & fet} = „ SUY ra 5 —— a c2 : I c⁄ ikt © —ikt Lisinkt} = 5: Byer \ — Lhe !) 2¡ _ | ] } ) _ k — 2 \w—i&k 4@-O/k j — x2 - k2 Tương tự | ] ! S Z⁄”f†coskf} = — — =n > ’ 2 (; —ik + & >} +) %2 +- k2 2 Biến đổi của hàm “' /(r) (tính chất dịch chuyển ảnh) Định lý 6.4 Néu £{ f(1)} == Fs) thi Lhe! ƒ/(1)} = Ƒ(wx — a) voi a là hằng số phúc
Trang 26100 Chuong 6 CAC PHEP BIFN POI Ví dụ 6.7 Tìm biến đổi Laplace của các ham a) Ø(1) = @” cos 3í b) g(t) = e7* sin 21 Gidi: a) Ta c6O & {cos 31} = = F(s), suy ra g2 +9 w— 2 .Z{e?t cos 3} = Ƒ(š— {e* cos 31} = Fls ~ 2) = ——S 2) = —- a b) &{sin2r} = = F(s), suy ra s2 44 2 —3t = = Aer" sin2t} = Fs + 3) = 7 a 3 Bién déi eta ham u(t — 7) f(t — T) (tinh chat trễ) Dinh ly 6.5 Néu £3 f(t)} = F(s) thi voi moi T > 0 Liutt—T) ft —T)} =e! F(s) QO khit <T ~ trong doutt—-T)= ¢ la ham tré T don vị thời gian, l khit>T Nhận xét:
1 Nếu hàm gốc S(t) cd dd thị là đường cong (C ) thì đồ thị của
ham u(t — 7) f(t — 7) la duang cong (C?) suy ra từ (C) bằng cách tịnh tién theo truc hoanh qua phai mét doan bang 7 Néu S(t) biểu điễn một quá trình nào đó theo thời gian ¿ thì hàm
w(?£ — T}.ƒŒ — 7) biểu diễn trễ một khoảng thời gian 7 cha qua trình trên (hình 6.4)
Trang 27Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 101 (C’) Hlinh 6.4 Vi du 6.8 Tim biến đối Laplace của các hàm a) 2) = tr(f — 2) sin( — 2) b) (4) = u(r — 3).e7! Gidi: a) Ta cé /( — 2) = sin(@¢ — 2), suy ra f(f) = sin? Vi ; LILO} = aa FC) yet nen ` ^ —2w yn : Ligt)} =e “F(s) = >: s* -+ | b) Biến dối
g(f) = trítU — 3).e2“U —= tr — 3).c2U~3) „®
Trang 29Tốn chuyên để nuành Điện — Trương Thun 103 f BU) = 52-8 0 Hlinh 6.6 Giai: Brén dot ham
ed) =¢t.fuce—0)~ ud — 1)] + (2 —7).fJud — 1) — ud — 2)) 4 OL — 2) =u(f —2).(f —2) —u(t—1).20 —1) +8 ew ew 1 (cT* _ 1)? — a -}¬ —— = s2 v2 ye v2 Suy ra Zt‡g(1)} —=
4 Biến đổi của đạo ham / (7)
Định lý 6.6 Nếu ⁄1/()} = F@) Hải hàm góc /(1) có đạo hàm đến cấp nova cac dao ham cing la ham gốc thi 41/0) = sF(s) T— /(0) 4/7031 = 8? Fos) — sf (0) — /'(0) ee LALO) = 8" F(s) — 5?! £(0) — 877 $0) — 20 = fT (0) voi fH CO) = lim f(r), k == OVE n—- ] r-7 0-4
Ví dụ 6.12 Tìm biến đổi Laplacc của ham
gŒ) = yˆŒ)— 3y) + 4y() — 2
Trang 32Chuong 6 CAC PHEP BIEN POI 106 Ví dụ 6.16 Tìm bién déi Laplace cua ham 21 _ pf a dg) r̓ = 7 , “SỐ sin b) tích phân sin: Si(t) = ax JO xv | Gidi: a) Taco (1) = ec —e Vi Fos) = £4 f(t)} = 3 SaT w—2_ xw— nền YY f woo / J5 F( ) / i I | ) / 1 Som | -Zt‡@(1)} =- - uydie = / ——2 Tư TJ etn "= ws nh ] b) Ta da biét Z”{sin/} aT vi vay ¥ - bor Í S me tI } 4-00 sin f { Zs = / ———du == arcianu|, 7t l = — —arclany = arclan—- 2 s Áp dụng công thức tích phân hàm gốc, ta được I | Z4SI(t}} —= — arctan —- s 8 „ ¬ , - F2 sin x Vi du 6.17 Tinh tich phân suy rộng ax 0 + Giới: Ap dung hé qua 6.1 voi /(1) = sins, Fs) := sa dT? taA có AY ad "1 Sin Foe ] to 7 dx = ————~(ÏH -= aTCtan to — = - Q Xv AO tfc + l 2
§ Biến đổi của hàm tuần hoàn
Dinh ly 6.10 Néu /() là hàm tuần hoàn voi chu kv T > 0 thi
T7
Í eœT*t ƒ/(1)dr
Trang 34108 Chuong 6 CAC PHEP BIEN POI › 277 i 27r | œ—*t /(r)dt =— / e~* sim tđi +f e*! Od 0 0 # Gidt: e~t(—s sing —cosr)|o 7 1-}.e078 a Sef | .2 1_0 TT” ve -b | 2 | 1 4- ews ! Suy ra ⁄“‡ /(1)} = =
? (LO) P—e727* ye + | (l—eT*”*)(x# + l)
9 Biến đối của tích chập /(Œ) * g(t) a Định nghĩa Tích chập của hai hàm gốc /Œ), ø(} được định nghĩa và ký hiệu: sí ft) * g(t) = / /Z@œ)gứ —x)đx 0 Vi du 6.20 Voéi /(t) == 7, g(t) = ef, ta có / of {QQ * 2) = / xe’ *dx =e! Í xe *đx = e' —r— | F () 0 b Tinh chat ® Giao hốn: /Ƒ*xự = øgx+ ƒ $ Kết hợp: fe (gh) = C7 *g) *Í $ Phân phối: f(g rh) = fagt fwh thì 1/0) * ưự(Œ)} = F(s)G(s)
Định lý Borel thưởng dùng đê tìm hàm gốc của tích bai hảm ảnh
Trang 35
Toán chuyên đề nuành Điện — Trương Thuận 109
6.1.5 Bang déi chiéu géc va anh
⁄Œ) F(s) A) I(s)
1 ! + 13 | rsink/ oes
2 et! == 14 tứ COS&f từ êm
3 í _ 15 | re“ sinks wore
4 f” it 16 | te“! cosk! cư
5 sink? Ít 17 | Ì —coskí TT
6 coskt TILE 18 sin? kt ors
7 tet Goa? 19, cos’ kt Tả n
8, peut G=mmm 20 eine =m <=
9, e“' sinks Goa 21 eine In sah
1Ô e“ coskt Gon Tk 22 | 4 SX dy = arctan ~
ll | e@ sinter + gy) | SeeetGmadsing sone mee 23 = Je 12 | e@! cos(kt + @}) (races pene 24 pe eat ee Ta trong do rư 1Ð = ƒ e fr°d (a > —Ì) la ham Gamma 6.2 6.2.1 z Phép biến đổi Laplace nguoc Dinh nghia 0
Néu F(s) = 2 { f€e)} thì Z0) được gọi là Điển déi Laplace ngược
Trang 36110 Chuong 6 CAC PHEP BIEN DO! 6.2.2 Tính duy nhất của phép biến đối I[uaplacc ngược
Dinh lý 6.12 (công thức Mellin) Nều /(Œ} là hàn! Đốc VỚI số mũ tăng ay vd F(s) - ⁄1/Œ)\ thì trại mọi điểm lién tuc cua f(t), ta co >œ -|TGœ› f{U) = | e'F (s)ds (6.2) 27ti FLD trong đó tích phdan ldy doc theo dudéng thdng ditng Re(s) = a > a tt —foo dén +ice Céng thtre (6.2) cho ta thay bién déi Laplace ngược nêu tồn tại thi duy nhat
6.2.3 Điêu kiện đủ đê một hàm có biên đôi I2aplacc ngược
Định lý 6.12 cho phép ta tìm hàm g6c cua mot ham anh bat ky cho
trước “uy nhiền còn tôn tại vân để là cho trước một hàm phức #v) với điều kiện nào thì nó là một hàm ảnh?
Định lý sau cho ta điều kiện đủ để Ƒ(š) là một hàm anh:
Dinh ly 6.13 Gid sw F(s) la mét ham bién phức thỏa các diéu kién sau: / F(s) gidi tich trong nita mdt phẳng Res) =: & > a
2 |F(s)} < Mer vot lim Me = 0 vad moi s thude diuong tron /#-—>-]-oo |x| = # t -È-ï C© , 3 Tich phan / Kc*U PƑ(x)d hội tụ tuyệt dồi FUE-1 OO
Trang 39Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 113
Đề tìm hàm gốc của phan thức thực sự, ta phân tích nó thành tông