KHOA KHOA HỌC cơ BẢN TÔ TOÁN TRUONG THUẬN TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN t = 0 I0Í2 40Í? ( LƯU HÀNH NỘI Bộ ) ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIẸP THÀNH PHÓ HÔ CHI MINH TRUONG THUẬN TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN TRƯ.
KHOA KHOA HỌC BẢN - TƠ TỐN TRUONG THUẬN TỐN CHUN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN t = I0Í2 40Í? ( LƯU HÀNH NỘI Bộ ) *ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIẸP THÀNH PHĨ HƠ CHI MINH TRUONG THUẬN TỐN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM THƯ VIỀN MÃ VẠCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHĨ HƠ CHÍ MINH Lơ’i nói đâu f)é dáp ứng nhu cầu học tập sinh viên chuyên ngành Diện, tác giã dà hiên soạn tập hải giảng TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIẸN từ năm học 20ỉ5—20ỉ6 theo đề cương chi tiết môn học Khoa Khoa học Cư hán — Trường ĩ)ại học Công nghiệp Thảnh nồ Chi Minh Qua trình giảng dạy, tác giả thấy cần hiệu chỉnh hồ sung thêm dê cung cấp cho sinh viên cơng cụ tốn học tot Ke từ nãm học 20ỉ 7— 20Ị8, chap thuận Trưởng khoa Khoa học Co' hãn tập thể tổ Toán, tập hài giảng dược nâng lên thành giáo trình, nội dung hiên soạn hám sát dặc thù chuyên ngành Giảo trình dược chia thành chương: • Chương Giải phương trình phi tun • Chương Giải hệ phương trình tuyến tính • Chương Giải phương trình vi phân • Chương So phức — Hàm biến phức • Chương Tích phân hàm phức • Chương Các phép biên đối Nội dung giáo trình đáp ứng dầy dủ yêu cầu dề cương chi tiết môn học dược Khoa duyệt Kiến thức giáo trình trình bảy chi tiết cách logic, dễ hiếu Nhằm giâm nhẹ tính hàn lâm, tác giả khơng dưa vảo phan chứng cho định lý (sinh viên xem chứng minh tài liệu tham khảo ỉ, 2, 4), thay vảo dó nhiều ví dụ có lời giải chi tiết giúp sinh viên de tiếp cận với môn học Đặc biệt chương 6, tác giả có minh họa so ví dụ ứng dụng cúa phép hiền đơi việc giâi mạch điện Tuy nhiên, tác giả không di sâu vào vỉ dụ minh họa mang tính chuyên sâu vê chuyên ngành Điện hạn che tác giả vê lĩnh vực Tác giá xin chân thành cảm ơn q thầy tơ Tốn Khoa Khoa học Co’ — Trường Đại học Cơng nghiệp Thành ỉỉồ Chí Minh đóng góp nhiều ý kiến quỷ báu Mọi sai sót (nếu có) giáo trình dểu thuộc vẻ tác già Quý thầv tham gia phan biện giáo trình: Huỳnh ĨĨŨL1 Dinh, Tran Mạnh Tuấn, Lã Ngọc Linh Thảnh phổ ỉỉồ Chỉ Mình, tháng năm 2017 Tác giả Mục lục • * Lịi nói đầu Chuvng 1.1 1.2 GIÃI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỀN Sai số 8 1.1.1 So xấp xì (số gần đúng) 1.1.2 1.1.3 Sai số tuyệt đối Sai số tương doi 1.1.4 Cách viet so xấp xi Tìm nghiệm gần phương trình 10 1.2.1 Khoảng cách ly nghiêm 10 1.2.2 Phương pháp tìm nghiệm gần 11 ỉ Phương pháp chia dôi 11 Phương pháp lặp đơn 13 Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton) 16 Bài tập chương 19 Chinmg 2.1 GIẢI HẸ PHƯƠNG TRÌNH TUYẺN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính 21 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Các phép biến dổi sư cấp dòng ma trận 22 2.2 Các phương pháp Gauss 2.2.1 Phương pháp khử Gauss 2.2.2 Phương pháp khử Gauss với phần tử trội 22 22 23 2.3 Các phương pháp lặp 25 Chuẩn ma trận chuẩn vector 25 2.3.1 MỰC LỤC Các phương pháp lặp don 27 Phương pháp lặp đơn 27 Phương pháp lặp Scidcl Bài tập chương 29 34 2.3.2 Chuxrng GIĂĨ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 36 3.1 3.2 Phương pháp Euler Phương pháp Euler tiến 36 3X 3.3 Phương pháp Rungc-Kưtta 42 Bài tập chương 43 Churnig SỐ PHÚC - HÀM BIÉN PHỨC 45 Số phức phép tính 4.1.1 Các dinh nghĩa 45 45 4.1.2 Các phép tính Biểu diền hình học số phức 46 4X Đường cong miền mặtphăng phức 4.3.1 Đường cong 52 52 4.3.2 53 4.4 Hàm biến phức 55 4.5 Phép biên hình thực bời hàm biến phức 56 4.6 Giới hạn liên tục 4.6.1 Giới hạn 5X 5S 4.6.2 Liên tục 4.7 Đạo hàm 60 61 4.7.1 4.7.2 Định nghĩa Điều kiện khả vi Cauchy—Riemann 61 63 4.7.3 Các quy tắc tính đạo hàm 65 4.7.4 Hàm giải tích '65 4.7.5 Quy tắc L'Hospital 67 Hàm diều hòa 67 4.1 4.2 4.3 4.S Miền Toán chuyên cỉê HỊịừnh E)iện — Trirtnt}’ 'Thuận 4.8.1 Định nghĩa 67 4.8.2 Liên hệ hàm giai tích với hàm điều hịa 67 Các hàm sộ sơ cấp 69 Bài tập chương 70 4.9 Chng TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 75 Tích phân đường hàm phức 75 5.1.1 Định nghĩa 75 5.1.2 Cách lính 76 5.1.3 Tính chất 79 Định lý Cauchy 81 5.2.1 Định lý Cauchy chơ miên dơi hèn 81 5.2.2 Định lý Cauchy chơ miền daliên 82 5.3 Tích phân khơng phụ thuộc dường di 83 5.1 5.2 5.4 5.3.1 Định nghĩa 83 5.3.2 Nguyên hàm công thức Newton — I.eibnilz 83 Cơng thức tích phân Cauchy 84 5.4.1 Cơng thức lích phân Cauchy 84 5.4.2 Công thức lích phân Cauchy chơ dạơ hàm 87 5.4.3 Hẹ quâ cùa cỡng thức tích phân Cauchy 88 Bài tập chương 90 Ch trưng 6.1 CÁC PHÉP B1ÈN DÕI 93 Phép biến dơi Laplace 93 6.1.1 Định nghĩa 93 6.1.2 Điều kiện tơn 96 6.1.3 Biến dổi Laplace số hàm thơng dụng 96 6.1.4 Các tính chất 99 Biến đổi tuyến lính 99 Biến đỏi hàm eut f ụ} (tính chất dịch chuyển ảnh) 99 MỰC LỤC Biến đổi hàm u(t — T).f(t — T) (tính chất trễ) 100 Biến đổi đạo hàm /Z() lim (/(z).^(z)) = lim /(z) liin g(z) z—>Zo Z >Z() z >Z() /'(■7) J’™ lim ' ■= z ' Z{'—-—nểu lim g(z) -/- z->zo g(z) lim g(z) z >zt> z—>Z() 4.6.2 Liên lục Hàm f xác định mien D gọi liên tục e D lim f (z) = f(Zu) Hàm f gọi liên tục mien D Z->Zị} ■ liên tục điểm Z() e D Định lý 4.5 Hàm f (z) = ĩt(x, y) T fv(A' y) Hên tục "() = A'() 4- 7Vo ĩt(x, y) vịx, y) Hên tục (A'o, Vo) Cho hàm w —- f (z) xác định mien D Z() G D ' Đặt Az — z — Z{) so gia cùa z 2() Neu z ~- Z() + Az G D ta gọi Aw = Af(zv) = /(z0 + Az) — f(zu) Toán chuyên đề ngành Điện — Truong Thuận 61 số gia hàm so De dàng thấy rang hàm / liên tục Zi) o lim Af(Zịi) — Ziz->o Từ định nghĩa, tương tự hàm so hiên thực, ta có Định lý 4.6 ĩ Neu f g liên lục Z() e z> thỉ hàm cf (c sổ phức), J' Liz g, f.g, — (g(z) 0) liên tục zí} ' ĩỉ Nêu / liên tục zf) g liên tục W() =: /"("()) hàm họp gnf liên lục Z() Ví dụ 4.23 Xét hàm w = J\z) - |z| Vì |/X/Uo)| = ị — T Az\ — |zo| I suy Af(Zị)) —> Az \Az I Vậy hàm / liên tục diem Z() G c Ví dụ 4.24 Xét hàm w = f (z) — z Do |Z\/(Z())| = ị(z0 -1- Az) — Zị) ị — ]Azị Az 0 nen hàm f liên tục Hàm m — Zn (n G N) tích sổ hữu hạn hàm liên tục nên liên tục 4.7 Đạo hàm 4.7.1 Định nghĩa Cho hàm w = f (z) xác định miền D Z() G D Với moi so gia Az = z — Z() biến z cho Zíi + Az e D, ta có so gia tương ứng hàm số Axtt = AJ\Zị)) = f (Z() + Az) — /’(Zo) Neu giới hạn lim —-— tôn hữu hạn giới hạn dó gọi A.Z—*0 Az đạo hàm hàm f Z() ký hiệu f'("()) Như J (z0) — ziz->0 Az lĩm —— - + Az>l /(z) lim Az 62 Chương SÔ PHỨC - HÀM BỉẺN Píỉửc Hàm cỏ đạo hàm lại Z() gọi khả vi Z() Hàm /’ dược gọi khả vi miền D khả vi điểm 3) € D Nhận xét: 1™ A c í-r X — — / (-0) i:.„ , J, X r lim - —— Az, đo nêu / kha Az vi Zịf lim Af(Zi)) — 0, tức / liên tục Z() • ■ ảz >0 Vì lim zl/ (z()) = Zlz->0 Ví dụ 4.25 Cho hàm số J(z) = z2 Tính f'(Zịị) Giải: Ta có f (z0 Az) — f(z) = (z0 + Az)2 — Z()2 ~ 2zl}.Az (zAz)2, suy r/i „ Ấ _ / (z0) = i:„_ f (z I- Az) - 2zi} Az->0 Az Zlz-> theo trục thực Ox Ay = 0, Az — Ax Au) Ax lim —-— = 11 m —— = ziz- >0 Az zk.Y ->0 Ax Mặt khác, Az > theo trục ảo Oy Ax 0, Az — ìAy —■;■i^y 11 m —— = lim — ■■■ ■ — — Z1Z-^O Az Ay->() ị Ay , , v , A u) Ta thây Az —> theo hai đường khác tỷ sô —— co hai giới hạn khác Vậy hàm số w — ~z khơng khâ vi Tốn chuyên đề ngành Điện — Trtrang Thuận 4.7.2 63 Điều kiện kha vi Cauchy—Riemann Định lý 4.7 Neu f (z) — u(x, y) + z'u(a, y) khả vi Z() = Ao 4- z‘V() (A’o, Vo) đạo hàm riêng cấp u(x,y) v(x, y) tồn thỏa mãn điều kiện Cauchy — Riemann (C—R) (u'x = ( u’y = -< Ngược ỉại, hàm u(x, y) vịx, y) liên tục, có đạo hàm riêng cấp liên tục thỏa mãn điều kiện C—R (Ao, Vo) hàm f(z) = Ií(x,y) t+- iv(x,y) khả Z() — Ao 4" í Vo vỏ f'(z{)) •■= ư^(Ao, yo) + h4(a0, Vo) Nhận xét: z 4- Zz — ~ĩ^ , Do X = —-— , y = ——— nên theo quy tăc đạo hàm hàm hựp, ta ' 2i (Tz = r 2* Jx dz = r'.^L = r.L_ r Jy dz Jx Jy 2i [(ỉ< + iv'x} H- ỉ (u'y -I- jvị)J = ” v'y} + ỉ(v'x + _ , , _ _ ‘ / ỏ Vậy điêu kiện C—R tương đương với — dz Ví dụ 4.27 Xét lại ví dụ 4.26, hàm f (z) — T có li — X, V = —y dạo hàm riêng Iỉ'x = ỉ, Uy — 0; v'x = 0, v'y — — ỉ liên tục với z — A: + iy, điều kiện C—R không thỏa nên hàm /(c) z không khả vi Ví dụ 4.28 Xét tính khả vi hàm a) /(z) - z*2 b) /(z) — z Rc(z) c) ,/’(z) = 2A 4- Í3y d) /(z) = 2a2 4- y 4- z(.v2 — A) Chưưng SÔ PHỬC - HẰM BIỀN PHỨC 64 Giải: a) Ta có u' — 2a; u — X2 — y2; u' =■ — 2y = 2xy; ĩ; v' — 2y; v' = 2x liên tục điểm Điều kiện c—R (u'x = v'y ( ( u'v = —14 I —= — 2.y 2x = 2x với (x, y) Vậy f(z) = z2 khả vi Vz c f'(z) - 2x 4- Ĩ2y — 2z b) f(z) — z.Rc(z) — X2 4- ixy, suy u = x2\ u'x — 2x; o u'y - V = xy; v' = y; vy = X liên tục diem z Điều kiện C—R u'x — 14 ( 2x — X u'y = — v'x ( \ X — 0 = —y Ịy 0) + /14(0, 0) = Vậy f {z} khả vi z = /'(O) = c) Điều kiện C—R V = = vô lý Hàm f (z) không khả vi điốm Cách, khác: /(z) = 24^ + 3Í z—z 2ì 1_ — 2-Z Toán chuyên đề ngành Điện — Truong Thuận 65 = —- ỹỂ nên hàm f khơng khả vi f)z d) Vì hàm Vì u — 2.V2 -j- y; u' — 4x; lỉ' — V = y2 — x; v'x = — I; Vy — 2y liên tục diem điền kiện C—R y = 2x nên hàm f(z) khả vi đường thẳng y — 2a f'(z) -= 4_v — ị 4.7.3 Các quy tắc tính đạo hàm Tương tự hàm biến thực, định lý sau cho ta quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức Định lý 4.8 Neu hàm f g khả vi z c sổ phức ỉ c' - 0; [c f (zỴY = c.ff(z) \f(z) ± g(z)Y = f'(z) ± g'(z) [f(z)g(z)Y = f'(z)g(z) + /(z)g'(z) /'(z)g(z) - f(z)g'(z) với g(z) teơ)]2 [f(g(z))Y = f'(g(z)).g'(z) Ví dụ 4.29 a) Rõ ràng z' — 1, bàng cách sử dụng quy nạp, ta có (zny = nzn~Y n e N z2 b) Cho f (z) = —-—- • Ta cỏ z — 2z(z— 1) —z2 z2 — 2z ■ (z- l)2 (z - l)2 4.7.4 Hàm giải tích Hàm /' gọi giải tích điểm Z() f khả vi Z() điểm lân cận ÍẠ(z0) = { z e cị |z — Zo| < c } z0 Hàm f gọi giải tích miền D neu f giải tích điểm D 66 Chương SÔ PHỨC — HÁM PIÉN PHỨC Các điểm hàm f khơng giải tích gọi điểm bất thường /' Nhận xét: Hàm f giải tích diem Zị) khả vi lại điếm đó, ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn, hàm /’(z) — z.Rc(z) khà vi điểm z — ( xem ví dụ 4.28b) nên khơng khả vi lân cận Ưt:(())\{()}, từ suy / khơng giải tích diem z = Trong miền D, hàm / giải tích D / khả vj D Nêu J\z} = ~~~~ , với ỉỉ h giải tích, diem làm cho mẫu h(z) — điểm bất thường f(z) Ví dụ 4.30 a) f(z) = X2 khả vi Vz G c, suy / giải tích c b) Hàm /’(") = ~z khơng khả vi với z, dỏ / không giải tích c i X — ĩy , X Ví dụ 4.31 a) Xét hàm /(z) — — — —-—■——- , phân thực ĩf — —-— z X2 4-y2 * X2 4- y2 Ằ —y , * ’ phân ảo V — —-—-—- hàm liên tục trừ diêm (.x,y) mà X2 4- y2 X2 4- y2 — 0, nghĩa liên tục điếm " -Ạ Hơn nữa, bon dạo hàm riêng cap , — x ~ y2 ~ A'2 ■ u' — ~2a'T (X2 -4- y2)2 : Uy ~ (x'2 + ,y2)2 ; / 2xy , / y2 — A v' = -——•" V., — ■— - —— (x2 4- y2)2 y (x2 V2)2 liên tục điều kiện C—R thỏa mãn điếm z hàm f (z) giải tích diem z 7^ 0 Ta kết luận Điểm z = điểm bất thường / b) Điểm z — zbí ỉà diểm bát thường hàm f (z) — —- • z2 4- Tốn chun đề ngành Điện — Truong Thuận 4.7.5 67 Quy tắc L’Hospital Định lý 4.9 Neu f g lả hùm giải tích Zị) /'(zt>) — g (z 4- u"2 Ví dụ 4.33 Hàm u(A\y) = A’2 — _y2 điều hòa c 4.8.2 làên hộ hàm giải tích vói hàm điều hịa Định lý 4.10 Neil hàm f (z) —- u(x, y) 4- iv(x, y) giủì tích miền D u(x, y) vd v(x y) lả hàm điều hòa D Bây giờ, ta xét van đề ngược lại: Neu cho trước hai hàm điều hịa u(x, y) t?(x, y) hàm f (z) — u(x, y) 4- /v(.r, y) nói chung khơng giải tích Muốn hàm f(z) ĩt(x,y) 4- /u(A'.y) giái tích u(x, y) v(A", y) phải hai hàm điều hịa liên hợp, nghĩa thơa điều kiện C-R Vì cho trước hàm điều hịa, ta có thẻ tìm dược hàm dièu hịa liên hạp với (xác định sai khác hang so), nên cho trước phần thực phéin ảo hàm gíài tích, ta có the tìm hàm giâi tích (sai khác hang số) Ví dụ 4.34 Các hàm u — A', n — —y điều hòa diều kiện C—R khơng thỏa mãn, the hàm /’(z) - A' — / v - - ~z khơng giải tích 68 Chương SÔ PHỬC - HÁM PỈẺN PHỬC Ví dụ 4.35 Tìm hàm giải tích f(z} —■ u 4- Zu, biết phàn thực ỉ/ — X2 — y2 -y 2x Giải: Bài tốn giải đưạc u'C 4- Iỉ'\ — 0, tức u hàm điều hòa Ta tìm phần ảo V — v(x, y) từ điều kiện C—R ’4 = 2y Vy - 2x 4- (4.1) (4.2) Tìr (4.1) ta có V = I 2ydx = 2xy + g(y) v'y — 2x ỉĩ'(y) (4.3) So sánh (4.2) (4.3) ta ỉỉ'(y) = hay g(y) = 2y 4- c, với c sổ thực Vậy f(z) — n 4- iv = (x2 — y2 4- 2x) 4- i (2xy 4- 2y 4- c) = (x2 — y2 4- i2xy) 4- 2(x 4- iy) 4- iC = z2 + 2z -4- ÌC Cách khác: Có the tìm biếu thức f(z) bang cách cho y = 0, f (x) — X2 4- 2x 4- iC Thay X z, ta biểu thức f(z} Ví dụ 4.36 Tìm hàm giải tích f (z) = tỉ 4- / u, biốt phần ảo V = 3x — 5xy Giải: Ta có u", 4- v''j = 0, suy V hàm điều hịa Xy J Ta tìm phần thực u = u(x, y) từ điều kiện C—R (4.4) (4.5) Từ (4.4) suy u Toán chuyên đề ngủnh Điện - Trương Thuận 69 ’ Kct hợp với (4.5) ta g'y = 5y — hay g(y ) = 2'V2 ~ với c số thực Vậy f(z) = -^-x2 + 2-y2 “ 3-iv v*4- c + i(3x — 5xy) = ~^-~2 + 4.9 + c Các hàm số SO' cấp a) Hàm hữu tỷ Cỉnzn + Cln — ỵZn + -f-ứ() bfnz’n 4- bm~ỵZm~x + +£() với ap,htỊ (p = (),/?; q = Ơ,Z7?) số phức; an,hm 7^ () b) Các hàm sicu việt i Hàm mũ: ez — ex(cos y 4- ì sin y) ií Hàm sin: sin — -r—(eiz —e iz 27 v iii Hàm cosin: cos — ~(ờ'z e ,z^ iv Hàm sin hyperbolic: sh = ^(ez — e z) — ~~i sỉn(iz') Hàm cosin hyperbolic: ch = ~^(es e z) ~ cos(/z) Các hàm siêu viẹt xác định, liên tục với có CÁC tính chất sau: • Neu = A' ez = ex • \ez I — ex > (), tức ez • e-ì < ^2 với = eZl • el