Dạy học đại số theo mô hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10

Bài viết Dạy học đại số theo mô hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10 đưa ra một số gợi ý để giáo viên có thể xây dựng các bài toán đại số một cách thú vị và hiệu quả hơn cho các học sinh. Đồng thời, giáo viên có thể từng bước hoàn thiện và nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp mình.

DẠY HỌC ĐẠI SỐ THEO MƠ HÌNH DNR ĐỂ NÂNG CAO SƠ ĐỒ CHỨNG MINH CHO HỌC SINH LỚP 10 NGUYỄN THỊ KIM DUNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Theo nghiên cứu Trung tâm Khảo sát Tiến Giáo dục Quốc gia (National Assessment of Educational Progress: NAEP, 1983, [40]), chín số mười học sinh đồng ý với câu phát biểu “luôn ln có quy tắc để làm theo việc giải toán” (Phạm Xuân Thế, 2015, [1]) Sowder & Harel (2003, [10]) tiến hành dự án nghiên cứu việc “Đánh giá, làm, hiểu chứng minh học sinh” - PUPA (students’ Proof Understanding, Production, and Appreciation) Harel (2003, [10]) đưa khung lý thuyết dạy học theo mơ hình DNR (Duality, Necessity, and Repeated Reasoning) Trong đó, “sơ đồ chứng minh” đặc trưng hành động chọn lọc người để khẳng định với thân người thuyết phục người khác; đó, cách thức tư Trong viết này, chúng tơi sử dụng mơ hình DNR dạy học đại số để bước nâng cao hoàn thiện sơ đồ chứng minh học sinh lớp 10 Từ khóa: Dạy học theo mơ hình DNR, sơ đồ chứng minh học sinh GIỚI THIỆU Với tài trợ Quỹ Khoa học Quốc gia (NSF: National Science Foundation) Hoa Kỳ, Sowder Harel (2003, [10]) tiến hành dự án nghiên cứu PUPA (students’ Proof Understanding, Production, and Appreciation) việc “Đánh giá, làm, hiểu chứng minh học sinh” Một kết dự án khung khái niệm mà Harel đặt tên “Dạy học dựa nhận thức người học” (DNR: Duality, Necessity, and Repeated Reasoning) tính trung tâm ba nguyên tắc giảng dạy: nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết nguyên tắc suy luận lặp lại Harel kiểm tra ảnh hưởng phương pháp “Dạy học dựa nhận thức người học” thực tiễn giảng dạy giáo viên dạy đại số thành tích học tập học sinh Trên sở phân tích mơ hình DNR số nét sơ đồ chứng minh, báo phân tích sơ đồ chứng minh sở lý thuyết mơ hình DNR Nghiên cứu đưa số gợi ý để giáo viên xây dựng toán đại số cách thú vị hiệu cho học sinh Đồng thời, giáo viên bước hồn thiện nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp NỘI DUNG 2.1 Quan điểm kiến tạo dạy học Toán phổ thông Khác hẳn với quan điểm theo lý thuyết hành vi đời trước đó, lý thuyết kiến tạo hướng quan tâm đến người học Lý thuyết kiến tạo nhằm trả lời câu hỏi: Con người học nào? Về bản, lý thuyết cho việc học gắn liền với tương tác hai yếu tố sau: sơ đồ tri thức người học tri thức Sự tương tác gắn liền với hai trình đồng hóa điều ứng có liên hệ nội với Một cách tiếp cận có tính kiến tạo lớp học: - Trong lớp học kiến tạo, thầy giáo không bày cho học sinh cách giải toán Mà thầy giáo đưa vấn đề toán động viên em tìm cách riêng để cơng giải tốn - Khi học sinh đưa cách giải toán, thầy giáo cố gắng đừng nói câu trả lời hay sai, mà động viên em đồng ý không đồng ý với cách giải khác để 188 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 trao đổi ý tưởng em học sinh em đồng ý lời giải có ý nghĩa chấp nhận - Thầy giáo phải tơn trọng đánh giá cao cách giải thích học sinh gắn liền với tư mà em có - Trong lớp học kiến tạo, học sinh phép dùng kiến thức em có để trả lời - Học sinh trao đổi cách giải lời giải cho nhau, tranh luận với nhau, suy nghĩ có tính phê phán cách giải tốt toán 2.2 Các nguyên tắc dạy học mơ hình DNR Mơ hình DNR (Duality, Necessity and Repeated Reasoning: Đối ngẫu, cần thiết suy luận lặp lại) mơ hình dạy học dựa “nhận thức người học” Ba nguyên tắc mơ hình ngun tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết nguyên tắc suy luận lặp lại 2.2.1 Nguyên tắc đối ngẫu Nguyên tắc khẳng định: - Học sinh phát triển tư thơng qua việc tìm hiểu kiến thức ngược lại, việc học sinh tìm hiểu kiến thức nhằm để phát triển tư em - Những hiểu biết mà người dạy tạo nên ảnh hưởng đến cách tư người học ngược lại, cách tư người học ảnh hưởng đến hiểu biết người dạy “Điều nguyên tắc đối ngẫu khác biệt cách hiểu biết cách tư duy” (Harel & Sowder, 1998, [7]) Tư người quan điểm người giới xung quanh Thuật ngữ tư dùng để khả học sinh để đạt đến kết luận có sở từ liệu cho Các em phải đặt giả thuyết, rút tính chất trừu tượng từ mối liên hệ tình có vấn đề, sau đến kết luận lý giải kết đạt Những kết luận tổng hợp để hình thành ý tưởng Trong đó, cách hiểu học sinh bị ảnh hưởng cách tư mà em có, ví dụ cụ thể khẳng định tiên đề: hành động người bị chi phối quan điểm người đó; đó, học sinh phát triển tư thơng qua cách hiểu ví dụ cụ thể tiên đề: quan điểm người hình thành hành động người Hơn nữa, tiên đề phụ thuộc lẫn khẳng định rằng: tư người phụ thuộc vào q trình rèn luyện trí óc cách đặc biệt người cách hiểu người phát triển bị ảnh hưởng trình luyện tập, rèn luyện trí óc Do đó, lớp học giáo viên nên: - Thứ nhất, giáo viên cần nhận biết cách hiểu cách tư học sinh; giáo viên không nên đặt nặng thành tích học tập học sinh để khuyến khích em xây dựng kiến thức dựa em hiểu biết - Thứ hai, giáo viên đóng vai trị người hướng dẫn học sinh khám phá kiến thức, học sinh chủ động tham gia hoạt động giáo viên tổ chức - Thứ ba, hành động giáo viên phải kèm với hướng dẫn cho học sinh; ra, mục tiêu nhận thức hình thành cách thích hợp hiểu biết cách tư (Harel, 2007, [5]) 189 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 2.2.2 Nguyên tắc cần thiết Nguyên tắc khẳng định: - Đối với học sinh học Tốn, giáo viên dạy học phải xác định học sinh cần gì, “cần” liên quan đến nhu cầu trí tuệ Giáo viên thường thiếu quan tâm đến nhu cầu trí tuệ học sinh chương trình giảng dạy tốn hầu hết cấp học Nhiều giáo viên học sinh thuộc lịng định nghĩa, khái niệm tốn, chí họ có kỹ thuật nhuần nhuyễn thuật tốn hay kiến thức đó, đôi lúc, giáo viên học sinh rõ kiến thức có ý nghĩa hay áp dụng thực tiễn, Và có hiểu biết có giới hạn mang tính hời hợt 2.2.3 Nguyên tắc suy luận lặp lại Nguyên tắc khẳng định: - Học sinh cần phải thực hành suy luận để tiếp nhận, tổ chức lưu giữ cách hiểu cách tư em Bên cạnh cách hiểu cách tư nhu cầu trí tuệ cần thiết cho học sinh, giáo viên phải đảm bảo học sinh phải tiếp thu được, lưu giữ tổ chức kiến thức trí óc em Kinh nghiệm lặp lặp lại thực hành thường xuyên yếu tố quan trọng việc đạt mục tiêu trên, nghiên cứu Cooper (1991) chứng minh vai trò việc thực hành việc tổ chức kiến thức DeGroot (1965) kết luận kinh nghiệm dày dặn có hiệu việc làm cho kiến thức trở nên dễ tiếp cận DeGroot (1965) cho “Kiến thức giai đoạn trước trừu tượng hóa suy làm tảng cho kiến thức giai đoạn sau” Nguyên tắc suy luận lặp lại khơng phải q trình luyện tập thực hành tốn có dạng quen thuộc, mà thực chất trình tiếp nhận hóa (nó trạng thái mang tính khái niệm), người học có khả áp dụng kiến thức cách chủ động tự phát 2.3 Sơ đồ chứng minh Lesh, Hamilton & Kaput (2007, [8]) cho cách tư phân loại thành ba phạm trù Đó phạm trù: - Các tiếp cận giải vấn đề; - Các sơ đồ chứng minh; - Các niềm tin toán học Trong nội dung này, đề cập đến sơ đồ chứng minh học sinh 2.3.1 Tìm hiểu chứng minh, sơ đồ chứng minh Quan trọng khung lý thuyết mơ hình DNR khái niệm sơ đồ chứng minh Tương tự hành động giải vấn đề, hành động trí tuệ chứng minh hành động liên quan đến cách giải hoạt động toán học Thật vậy, cách thức tư đặc trưng hành động giải vấn đề hành động chứng minh Cách tiếp cận giải vấn đề trường hợp cách thức tư kết hợp với hành động giải vấn đề Theo Harel Sowder (1998, [10]) sơ đồ chứng minh “cách thức tư duy” kết hợp với hành động chứng minh Hành động trí tuệ chứng minh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng dạy học theo mơ hình DNR 190 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 “Chứng minh” định nghĩa hành động mà người vận dụng để loại bỏ hay trì nghi ngờ tính đắn khẳng định liên quan đến: - Sự đoán; - Một vấn đề hay kiện; - Việc làm sáng tỏ vấn đề; - Sự thuyết phục người khác a) Sự đoán hành động mà người có nghi ngờ tính đắn khẳng định b) Một vấn đề hay kiện: Lời khẳng định người khơng cịn đốn trở thành vấn đề người chắn tính đắn khẳng định c) Việc làm sáng tỏ vấn đề hành động mà người vận dụng hiểu biết thân để loại bỏ nghi ngờ từ đó, người làm rõ tính đắn khẳng định d) Sự thuyết phục người khác hành động mà người vận dụng để loại bỏ nghi ngờ người khác tính đắn khẳng định Như vậy, sơ đồ chứng minh bao gồm việc làm sáng tỏ thuyết phục người khác chứng minh Vì vậy, sơ đồ chứng minh ý kiến chủ quan thay đổi từ người sang người khác, văn hóa đến văn hóa khác, hệ sang hệ khác Tuy nhiên, mục đích việc dạy học hướng phải hoàn thiện sơ đồ chứng minh nhà toán học nghiên cứu áp dụng thực hành toán Một “sơ đồ chứng minh” đặc trưng hành động chọn lọc người để khẳng định với thân người thuyết phục người khác; “cách thức tư duy” 2.3.2 Phân loại sơ đồ chứng minh Sơ đồ chứng minh có liên quan chặt chẽ với phương pháp quy nạp toán học Trong sách giáo trình tốn, tác giả trình bày cách tiếp cận việc giảng dạy phương pháp quy nạp tốn học Sau đó, nhà tốn học tìm nguyên tắc để chứng minh mệnh đề ( ) phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước sau: Bước sở: Kiểm chứng (1) Bước quy nạp: Giả sử ( ) đúng, chứng minh ( + 1) với số nguyên dương Chúng nhấn mạnh phương pháp quy nạp toán học sơ đồ chứng minh Harel Sowder (1998, [10]) trình bày cơng cụ cho việc phân tích quan niệm học sinh sơ đồ chứng minh Khung lý thuyết sửa đổi lại để phản ánh quan sát mới, lý thuyết thực nghiệm Hình cho nhìn tổng quát khung lý thuyết Khung lý thuyết bao gồm ba loại sơ đồ chứng minh Đó sơ đồ chứng minh có sức thuyết phục bên ngồi (External conviction proof schemes), sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm (Empirical proof schemes) sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn (Deductive proof schemes) 191 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 Hình Phân loại sơ đồ chứng minh học sinh Sơ đồ chứng minh có sức thuyết phục bên ngồi Mang tính quy trình(Ritual) Sơ đồ chứng theo lối suy diễn Ý Kiến chủ quan (Authoritarian) Những biểu tượng khơng mang tính định lượng (Non-quantitative Symbolic) Sơ đồ chứng minh có sức thuyết phục bên ngồi Mang tính quy nạp (indutive) Thuộc lớp biến đổi Theo bối cảnh Khái quát hóa Tiên đề Liên quan đến nguyên nhân kết Cấu trúc Sử dụng tiêu đề Suy diễn Thuộc trực giác (Perceptual) Hệ tiền đề Hy lạp Biểu tượng mang tính số học Biểu tượng mang tính cấu trúc Biểu tượng mang tính định lượng 2.3.2.1 Sơ đồ chứng minh mang tính chất thuyết phục bên ngồi Sơ đồ chứng minh mang tính chất thuyết phục bên ngồi thực chất trình mà học sinh dựa vào quy trình, thuật tốn có sẵn để giải toán đưa Nhưng thực tế, học sinh khơng quan tâm đến việc em làm kiến thức có ý nghĩa toán học thực tế 2.3.2.2 Sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm (Empirical proof schemes) Show (1978, [9]), Ernest (1984, [3]) trình bày quan điểm khó khăn học sinh sử dụng phương pháp quy nạp toán học Đó em kết luận trường hợp tổng quát thông qua số trường hợp cụ thể mà em biết Theo cách quan sát này, có hai kiểu khái quát hóa cách tư duy: - Khái quát hóa dạng mẫu kết (result pattern generalisation): Khái quát hóa dạng mẫu kết ý đến tính quy tắc kết có trước - Khái qt hóa dạng mẫu q trình (process pattern generalisation): Khái qt hóa dạng mẫu q trình ý đến tính quy tắc q trình lập luận trước Harel Sowder (2003, [10]) cho suy luận học sinh để thuyết phục người khác vấn đề em thường dựa vào số mệnh đề số trường hợp cụ thể Đây biểu sơ đồ chứng theo lối kinh nghiệm, học sinh dựa vào sơ đồ mang tính chất rõ ràng ví dụ phép đo trực tiếp số lượng, thay biến tổng quát thành số cụ thể biểu thức đại số cần chứng minh Chúng ta thấy rằng: Đối với sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm học sinh thường dựa vào trực giác cảm tính em để chứng minh vấn đề số trường hợp cụ thể Sau đó, em dùng phương pháp quy nạp tốn học để kết luận trường hợp tổng quát cần chứng minh 192 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 2.3.2.3 Sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn (Deductive proof schemes) Khái qt hóa dạng mẫu q trình cách tư ý đến tính quy tắc q trình lập luận trước đó, q trình ý đến tính quy tắc kết Hoạt động trái ngược với khái quát hóa dạng mẫu kết (chú ý đến tính quy tắc kết có trước đó) Các phép biến đổi sơ đồ chứng minh đặc trưng yếu tố sau đây: (a) Xem xét khía cạnh tổng quát đốn; (b) Áp dụng hành động trí tuệ để định hướng dự đoán kết toán dựa số nguyên tắc chung; (c) Các phép biến đổi ảnh hưởng đến cách suy diễn trình chứng minh (Harel & Sowder, 2003, [10]) Chúng ta thấy rằng: Khái qt hóa q trình khơng phải biểu sơ đồ chứng minh theo lối kinh nghiệm mà sơ đồ chứng minh liên quan đến phép biến đổi biểu thức Do đó, sơ đồ chứng minh theo lối suy diễn thường dựa vào phép biến đổi biểu thức có để suy số trường hợp cụ thể sau kết luận trường hợp tổng quát 2.4 Một số ví dụ minh họa Dưới đây, chúng tơi xin phép phân tích số ví dụ việc sử dụng mơ hình DNR để nâng cao sơ đồ chứng minh cho học sinh lớp 10 2.4.1 Ví dụ a) Tính tổng số chấm trịn hình vẽ b) Tính: = + + + + + ⋯ + 49 + 51 c) Dự đốn kết phép tính sau giải thích cách làm bạn? = + + + + + ⋯ + (2 − 1) Bài toán đặt cho N = 38 học sinh lớp 10 có 31,58% học sinh làm hồn tồn Bài tốn đặt cho học sinh sau em làm quen với cách tính số số hạng dãy số, số cách tính tổng biểu thức đặc biệt Vì vậy, em sử dụng kiến thức để giải toán Kết thực nghiệm thu cho thấy toán tốn tương đối khó hầu hết học sinh lớp 10, câu c) học sinh chưa nhận cách tính tổng tổng quát Và em có câu trả lời em cịn vướng mắc lời giải thích Bảng Kết thực nghiệm toán ví dụ Khơng làm Số học sinh dùng toán để giải Số học sinh giải Tổng số học sinh khảo sát 63,16% 36,84% 31,58% N = 38 193 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 Có 31,58% học sinh tham gia khảo sát giải toán Nhằm giúp học sinh giảm bớt khó khăn tốn dựa vào mơ hình DNR để phân tích tốn theo ba ngun tắc mơ hình (nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc cần thiết, nguyên tắc suy luận lặp lại) Từ đó, học sinh thuận lợi cách tư cách hiểu em - Nguyên tắc đối ngẫu: + Việc giáo viên dạy tốn cách tính tổng biểu thức trước ảnh hưởng đến cách tư học sinh toán + Cách tư học sinh tốn cân nhắc giáo viên ý đến dạng toán cho học sinh + Việc học sinh tìm hiểu tốn tác động đến trình tư em, đặc biệt tư phê phán, sáng tạo ngược lại, tư học sinh ảnh hưởng đến việc hiểu để tìm lời giải tốn - Ngun tắc cần thiết: + Học sinh cần có số kiến thức cách tính tổng dãy số dựa vào trình như: đặc biệt hóa, tổng quát hóa hay quy nạp tốn học + Học sinh cần có tư tốt để hiểu giải toán - Nguyên tắc suy luận lặp lại: + Học sinh phải lưu giữ trí óc em kiến thức nêu em hiểu để tư toán theo hướng đắn + Sau số lần em thử sai lựa chọn phương án giải tối ưu em đến kết cuối tốn Bài tốn giải sau: Cách = + + + + + ⋯ + (2 − 1) (1 + − 1) + (3 + − 3) + (5 + − 5) + ⋯ ( − + = 2 = Cách =1=1 =1+3=4=2 =1+3+5 =9= = + + + = 16 = = + + + + = 25 = = + + + + + ⋯ + (2 − 1) = 194 + 1) KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 Sau đó, chúng tơi chứng minh phương pháp quy nạp toán học 11/2016 = + + + + + ⋯ + (2 − 1) = Ở đây, học sinh sử dụng sơ đồ chứng minh mang tính suy diễn cách cách học sinh lại sử dụng sơ đồ chứng minh có tính thuyết phục bên ngồi Hình Đồ thị hàm số y = f(x) 2.4.2 Ví dụ Hàm số = ( ) có đồ thị Hình Hãy tìm giá trị cho: a) ( ) ≥ b) ( ) < Ở ví dụ có N = 38 học sinh tham gia thực nghiệm, đó, có 50% học sinh khơng làm có phương án giải chưa tối ưu Bảng Kết thực nghiệm tốn ví dụ Khơng làm Số học sinh dùng toán để giải Số học sinh giải Tổng số học sinh khảo sát 36,84% 63,16% 42,11% N = 38 Thông thường, học sinh làm quen với dạng tốn có quy trình, thuật tốn có sẵn Ở ví dụ học sinh khơng hiểu vấn đề em khơng giải câu Vì vậy, học sinh cần trang bị kiến thức mà mô hình DNR phân tích Ngun tắc đối ngẫu: + Các kiến thức parabol, cách xác định tính chất parabol dựa vào đồ thị hàm số đó, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai, mà học sinh tiếp thu từ q trình học ảnh hưởng đến cách giải tập + Cách giải tập học sinh cho giáo viên biết trình độ em phản ánh trình dạy học giáo viên học sinh - Nguyên tắc cần thiết: + Học sinh cần có kiến thức phương trình, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai + Học sinh cần có hiểu biết đồ thị hàm số, cách giải bất phương trình bậc hai biết đồ thị hàm số - Nguyên tắc suy luận lặp lại: 195 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 + Tuy tập có cách giải khác học sinh biết tổ chức, lưu giữ xếp kiến thức đồ thị hàm số bậc hai bất phương trình bậc hai cách hợp lý em giải tập dễ dàng nhanh chóng Ở ví dụ này, học sinh tìm tập nghiệm bất phương trình nêu cách sử dụng đồ thị hàm số bậc hai = ( ) sau: a) ( )≥0⇔ ∈ [−1; 3]; b) ( )