Chủ đề 2 mặt trụ, hình trụ, khối trụ

CHỦ ĐỀ 2 MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 1 Định nghĩa trục của đường tròn • Trục của đường tròn (O;R) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó • Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là (CM) (xem hình vẽ) 2 Định nghĩa mặt tròn xoay • Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M thuộc (H) được.

CHỦ ĐỀ 2: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRỊN XOAY Định nghĩa trục đường trịn • Trục đường tròn (O;R) đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn • Khi điểm M khơng nằm đường thẳng Δ có đường trịn qua M có trục Δ, ta kí hiệu đường trịn (CM) (xem hình vẽ) Định nghĩa mặt trịn xoay • Trong khơng gian, cho hình (H) đường thẳng Δ Hình gồm tất đường tròn (CM) với M thuộc (H) gọi hình trịn xoay sinh (H) quay quanh Δ • Đường thẳng Δ gọi trục hình trịn xoay • Khi ( H ) đường hình trịn xoay sinh cịn gọi mặt trịn xoay II MẶT TRỤ TRỊN XOAY Định nghĩa Cho hai đường thẳng l Δ cho l song song Δ; d ( l ; ∆ ) = R Khi ta quay l quanh trục Δ góc 3600 l tạo thành mặt trụ trịn xoay (T) (mặt trụ) • Δ gọi trục mặt trụ (T) • l gọi đường sinh mặt trụ (T) • R gọi bán kính mặt trụ (T) Tính chất a Mặt trụ (T) tập hợp điểm M cách đường thẳng cố định Δ khoảng R không đổi b Nếu M1 điểm mặt trụ đường thẳng l1 qua M1 song song với Δ nằm mặt trục c Nếu mặt phẳng (P) vng góc với trục Δ mặt trụ (T) (P) cắt (T) theo giao tuyến đường trịn tâm I, bán kính R (I giao điểm Δ với (P)) d Cho mặt phẳng (P) song song với trục Δ mặt trụ (T) Khi • (P) cắt (T) theo hai đường sinh ⇔ d ( ( P ) ; ∆ ) < R • (P) tiếp xúc với (T) ⇔ d ( ( P ) ; ∆ ) = R • ( P ) ∩ ( T ) = ∅ ⇔ d ( ( P ) ; ∆ ) > R III HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Định nghĩa hình trụ • Cắt mặt trụ (T) trục Δ, bán kính R hai mặt phẳng (P) (P’) vng góc với Δ, ta giao tuyến hai đường trịn (C) (C') • Phần mặt trụ (T) nằm (P) (P') với hai hình trịn xác định (C) (C') gọi hình trụ • Hai dường trịn (C) (C') gọi hai đường trịn đáy hình trụ • OO' gọi trục hình trụ • Độ dài OO' gọi chiều cao hình trụ • Phần hai đáy gọi mặt xung quanh hình trụ • Phần đường sinh mặt trụ (T) nằm mặt xung quanh hình trụ gọi đường sinh hình trụ (trên hình vẽ bên đoạn MM') Nhận xét • Các đường sinh hình trụ với trục hình trụ • Các thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật nhau, có hai kích thước h, 2R • Thiết diện vng góc với trục hình trụ hình trịn hình trịn đáy • Nếu điểm M di động đường trịn (C) cố định M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) có trục vng góc α Khối trụ • Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích hình trụ thể tích khối trụ • Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R chiều cao h S xq = 2π Rh • Diện tích xung quanh hình trụ Stp = Sxq + 2× Sđ = 2π Rh + 2π R • Thể tích khối trụ V = π R h B CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Dạng Bài tốn liên quan đến cơng thức, thể tích Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π a bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình trụ A l = 2a B l = a C l = 4a a D l = Lời giải → Rh = 2a mà R = a ⇒ a h = 2a ⇔ h = 2a Ta có S xq = 4π a = 2π Rh  Vậy độ dài đường sinh hình trụ l = h = 2a Chọn A Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h Biết hình trụ có diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Mệnh đề sau đúng? A h = R B h = R C h = R Lời giải D 2h = R Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R 2 Theo ra, ta có Stp = S xq ⇔ 2π Rh + 2π R = 2.2π Rh ⇔ 2π R = 2π Rh ⇔ R = h Chọn B Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính đáy a, diện tích tồn phần 4π a Thể tích khối trụ cho A V = 2π a B V = 2π a C V = π a Lời giải D V = 4π a Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R 2 →h = a Mặt khác R = a, Stp = 4π a suy 4π a = 2π ah + 2π a  Vậy thể tích khối trụ V = π R h = π a a = π a Chọn C Ví dụ 4: Cho hình trụ có khoảng cách hai đáy a, tích khối 4π a Diện tích tồn phần hình trụ cho A Stp = −8π a B Stp = −4π a C Stp = 2π a Lời giải D Stp = 12π a →h = a Khoảng cách hai đáy hình trụ chiều cao h  Thể tích khối trụ V = π R h = 4π a mà h = a ⇒ R = 4a ⇔ R = 2a 2 Vậy diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R = 12π a Chọn D Ví dụ 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 4π, diện tích tồn phần 12π Thể tích khối trụ cho A V = 12π B V = 4π C V = 8π Lời giải D V = 6π → Rh = Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 4π  → Rh + R = Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R = 12π   Rh =  Rh = R = ⇔ ⇔ Khi đó, ta có hệ  h =  Rh + R =  R = Vậy thể tích khối trụ cho V = π R h = π 22.1 = 4π Chọn B Ví dụ 6: Cho hình trụ có diện tích tồn phần 16π, thể tích khối trụ 8π Diện tích xung quanh hình trụ cho A V = 12π B V = 4π C V = 8π Lời giải D V = 6π → Rh + R = Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R = 16π  Thể tích khối trụ V = π R h = 8π  → R2h = 8   h= h=   Rh + R =   R R ⇔ ⇔ ⇔ h = R = Khi đó, ta có hệ  8 2  R h =  R + R = R + =  R  R Vậy diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 8π Chọn C Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a Thể tích khối trụ tạo thành quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB A 4π a B 2π a C 8π a Lời giải D 12π a Kỹ vẽ hình: Hình chữ nhật quay quanh cạnh cạnh trục, đồng thời chiều cao hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, ta hình trụ có chiều cao h = AB = a, bán kính đáy R = AD = 2a Vậy thể tích khối trụ V = π R h = π 4a a = 4π a Chọn A Ví dụ 8: Hình trụ (T) sinh quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN, với M, N trung điểm AB CD Biết AC = 2a 2, ·ACB = 450 Diện tích tồn phần hình trụ cho A 4π a B 12π a Lời giải C 8π a D 6π a Tam giác ABC vng B, có ·ACB = 450 ⇒ AB = BC Ta có AC = AB + BC ⇔ AB = 8a ⇔ AB = BC = 2a Quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta hình trụ có chiều cao h = MN = BC = 2a, bán kính đáy R = MB = AB =a 2 Vậy diện tích tồn phần Stp = 2π Rh + 2π R = 6π a Chọn D Ví dụ 9: Từ tơn hình chữ nhật có kích thước 50 × 240, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50, theo hai cách sau (xem hình vẽ minh họa): • Cách 1: Gị tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng • Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai tơn nhau, gị thành mặt xung quanh thùng • Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 thể tích thùng gị theo cách Khi tỉ số A V1 V2 B C D Lời giải Cơng thức thể tích khối trụ V = π R h  Ở cách 1, suy h = 50 2π R1 = 240 ⇔ R1 = 120 120  Do V1 = π  ÷ 50 (đvtt) π  π   Ở cách 2, suy thùng có h = 50 2π R2 = 120 ⇔ R2 =   60   V1 = Chọn C V = × Do π  ÷ 50  (đvtt) Suy V2   π   60 π Ví dụ 10: Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ 4,5 cm vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng (tham khảo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc 5,4 cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Bán kính viên billiards A 2,7 cm B 4,2 cm C 3,6 cm D 2,6 cm Lời giải Thể tích phần chứa nước ban đầu V1 = π ( 5, ) 4,5 = 6561π cm3 ) ( 50 Gọi R bán kính viên billiards ⇒ Thể tích viên billiards V2 = Tổng thể tích nước bi V = π ( 5, ) 2R = Khi đó, ta có V = V1 + V2 ⇔ 4π R cm3 ) ( 1458π R cm3 ) ( 25 1458π R 6561π 4π R = + 25 50 → R = 2, cm Chọn A Giải phương trình với điều kiện < R < 4,5  Ví dụ 11: Mặt tiền ngơi biệt thự có cột hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 m Trong số đó, có hai cột trước đại sảnh đường kính 40 cm, sáu cột lại phân bố hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26 cm Chủ nhà thuê nhân công để sơn cột loại sơn giả đá, biết giá thuê 380 000/1 m (kể vật liệu sơn thi cơng) Hỏi người chủ tiền để sơn hết cột nhà (đơn vị đồng)? (lấy π = 3,14159 ) A 11 833 000 đồng B 12 242 000 đồng C 10 405 000 đồng Lời giải Tổng diện tích xung quanh cột 0, 0, 26     S xq =  2π 4, ÷+  2π 4, ÷ = 9,912π cm 2     Vậy số tiền cần T = 380 000.S xq ≈ 11 833 000 đồng Chọn A Ví dụ 12: Một xưởng sản xuất muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần tô màu làm thủy tinh) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau A 602,2 cm3 B 1070,8 cm3 D 13 657 000 đồng C 6021,3 cm3 D 711,6 cm3 Lời giải 2 Thể tích khối trụ V1 = π r h = π 6, 13, = 1806,39cm 4  13, −  Thể tích khối cầu chứa cát V2 = π R = π  ÷ = 735, 62cm 3   Vậy lượng thủy tinh cần phải làm V = V1 − V2 = 1070, 77cm Chọn B Ví dụ 13: : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a, góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 600 Diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn đáy ngoại tiếp tam giác ABC chiều cao chiều cao hình chóp A 2π a 2π a B C 3π a D 3π a Lời giải Gọi O trọng tâm tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm AB ⇒ OM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SMO ) Khi · ; OM = SMO ) · = 60 ( (·SAB ) ; ( ABC ) ) = ( SM Tam giác ABC có AB = a ⇒ OC = a a ; OM = o Tam giác SMO vuông O, có SO = OM tan 60 = a Bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC R = OC = a 3 Vậy diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 2π a a 3π a = Chọn C 3 Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2, góc cạnh bên SA mặt đáy 30° Gọi S diện tích tồn phần hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD chiều cao chiều cao hình chóp S.ABCD Khẳng định đúng? A S ≈ 10,181 B S ≈ 11, 413 C S ≈ 13, 285 Lời giải Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( ) ( ) · · ; OA = SAO · = 30o Ta có SA; ( ABCD ) = SA Tam giác SAO vng O, có SO = OA.tan 30o = Bán kính đường trịn nội tiếp hình vuông ABCD R = AB =1 D S ≈ 12, 669 Vậy diện tích tồn phần cần tính S = 2π Rh + 2π R = 2π + 2π 12 ≈ 11, 413 Chọn B Ví dụ 15: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 10 cm π B 10 cm π C 500 cm π D 500 cm π Lời giải Gọi R, h bán kính đáy chiều cao hình trụ →h = Thể tích khối trụ V = π R h = 1000  1000 π R2 Yêu cầu tốn tương đương với “ diện tích tồn phần nhỏ nhất” 2 Ta có Stp = 2π Rh + 2π R = 2π R + 2π R 1000 2000 = 2π R +  → f ( R) πR R Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( R ) = 2π R + 2000 R • Cách Khảo sát hàm số, với R > • Cách Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta 2π R + 2000 1000 1000 1000 1000 = 2π R + + ≥ 3 2π R = 3 2π ( 1000 ) R R R R R Dấu xảy 2π R = 1000 500 ⇔R=3 cm Chọn D R π II Dạng Bài toán thiết diện với hình trụ Ví dụ 1: Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh 2a Diện tích xung quanh hình trụ A 16π a B 4π a C 8π a Lời giải D 2π a Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h 2R R = a Vậy S xq = 2π Rh = 2π a.2a = 4π a Chọn B Theo ra, ta có h = R = 2a ⇒  h = 2a  Ví dụ 2: Cho hình trụ có diện tích tồn phần 6π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng Thể tích khối trụ cho A 2π B 4π Lời giải C 8π D 12π Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB = R, AD = h Theo ra, ta có ABCD hình vng ⇒ AB = AD ⇔ h = R Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R = 2π R.2 R + 2π R = 6π R = 6π  → R = ⇒ h = Vậy thề tích khối trụ V = π R h = 2π Chọn A Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác ABB'A', biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy cùa hình trụ căng cung 120° Tính diện tích thiết diện ABB'A' A B 2 Lời giải C D 3 Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  h = 2R  h = 2R R = ⇔  → Theo ra, ta có   2π Rh = 4π h =  S xq = 4π Thiết diện song song với trục OO' hình chữ nhật ABB'A' (hình bên) Dây cung AB căng cung 120° ⇒ ·AOB = 120o Tam giác OAB có AB = OA2 + OB − 2.OA.OB.cos ·AOB = Vì AA' đường sinh  → AA′ = h = Vậy S ABB′A′ = AB AA′ = Chọn C Ví dụ 4: : Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao hình trụ cách trục khoảng A 3R B 3R Mặt phẳng (α) song song với trục R Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng (α) 3R C 3R Lời giải Thiết diện song song với trục OO′ hình chữ nhật ABB′A′ (hình bên) Vì OO′// ( ABB′A′ ) ⇒ d ( OO′; ( α ) ) = d ( O; ( α ) ) = d ( O; AB ) Gọi H trung điểm AB mà OA = OB ⇒ OH ⊥ AB Tam giác OAH vng H, có AH = OA2 − OH 2 R R R = R − ÷ =  → AB = AH = =R 2 2 D 3R Do AB = R 3, AA′ = 3R 3R  → S ABB′A′ = Chọn D 2 Ví dụ 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông ABCD cạnh với AB đường kính đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB đường tròn đáy cho ·ABM = 60° Thể tích khối tứ diện ACDM A B C 12 Lời giải D Thiết diện qua trục hình vng ABCD (hình vẽ bên)  h = BC =  Suy AB = BC = ⇒  AB =  R = OA =  · Tam giác OBM cân O, có OBM = 60° ⇒ ∆OBM ⇒ BM = OB = ⇒ AM = AB − BM = ( 3) − ( 3) 2 =3 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB ) mà AD ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Tam giác ABM vng M ⇒ MH = Diện tích tam giác ACD S ∆ACD AM BM = AB ( = AD.CD = 2 ) =6 1 Vậy thể tích tứ diện ACDM VACDM = MH S ∆ACD = = Chọn B 3 Ví dụ 6: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h = 20cm Một hình vng có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Khi đó, cạnh hình vng A 80 cm B 100 cm C 100 cm Lời giải Xét hình vng ABCD có AD khơng song song khơng vng góc với trục OO' hình trụ CD ⊥ AA′ ⇒ CD ⊥ ( AA′D ) ⇒ CD ⊥ A′D Dựng đường sinh AA', ta có  CD ⊥ AD Suy A'C đường kính đáy nên A′C = 2R = 140cm Xét tam giác vuông AA'C, ta có AC = AA′2 + A′C = 100 cm Suy cạnh hình vng 100 cm Chọn B D 140 cm Câu 82: Trong tất hình trụ có diện tích tồn phần S, tìm bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn A R = S 3S ,h = 4π 4π B R = S S ,h = 4π π C R = S 3S ,h = 6π 2π D R = S S ,h = 6π 6π Câu 83: Cho hình trụ có diện tích tồn phần 6π Xác định bán kính đáy r chiều cao h khối trụ để thể tích đạt giá trị lớn nhất? A r = 1, h = B r = 2, h = C r = 1, h = D r = 2, h = Câu 84: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí làm vỏ lon nhỏ Muốn thể tích khổi trụ V mà diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính R đường trịn đáy khối trụ A V π B V 2π C V π D V 2π Câu 85: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S (O;R) Đặt x khoảng cách từ tâm O hình cầu đến đáy hình trụ Xác định x để thể tích V khối trụ lớn A x = R B x = R C x = R D x = R Câu 86: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 64π ( cm ) B 8π ( cm ) C 32π ( cm ) D 16π ( cm ) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: V = π r h ⇒ h = V = ⇒ S xq = 2π rh = 12π Chọn D π r2 Câu 2: S = Stp − S xq = 2π R = 18π Chọn A Câu 3: S xq = 2π rh = 3200π cm Chọn B Câu 4: V = π r h Chọn B Câu 5: V = π r h = π R R = V = π R 3 Chọn B Câu 6: Stp = 2π a + 2π ab = 2π a ( a + b ) Chọn A 2 Câu 7: Stp = 2π R + 2π R = 4π R Chọn D 2 Câu 8: V = π R h ⇒ R = V = ⇒ R = ⇒ S xq = 2π Rh = 60π Chọn B πh Câu 9: S xq = 2π rh = 96π Chọn D Câu 10: V = π r 2l Chọn D 2 Câu 11: Stp = 2π R + 2π Rh = 4π R ⇒ h = R Ta có V = π R h = π R Chọn D Câu 12: Stp = 2π R + 2π Rl Chọn D ( ) 2 2 Câu 13: Stp = 2π r + 2π rh = 2π r + 3π r = + π r Chọn B Câu 14: Ta có h = 3r ⇒ V = π r h = 3π r = 192π ⇒ r = ⇒ h = 12 Chọn A π r h = 16π  r h = 16  r = ⇔ ⇒ Chọn C Câu 15: Ta có  h =  2π r.2h = 16π  rh = Câu 16: S xq = 2π rh ⇒ h = S xq 2π r = 16π = ⇒ V = π r h = 32π Chọn A 8π Câu 17: V = π r h = 36π cm3 Chọn D V1 = π R h = 2π a ⇒ V1 < V2 Chọn A Câu 18: Ta có  V2 = π R′ h′ = 4π a h = ⇒ r = ⇒ V = π r h = 175π cm3 Chọn A Câu 19: Ta có  S = 70 π = π rh  xq Câu 20: S xq = 2π rh = 500π cm Chọn C Câu 21: S xq = 2π rh = 2π rl = 5π Chọn A Câu 22: S xq = 2π rh = 24π cm Chọn A Câu 23: S xq = 2π rh = 2π BC AB = 2π AC − AB AB = 4π a Chọn B Câu 24: Ta có S xq = 2π rh = 2π BC AB = 2π a Chọn D Câu 25: Ta có Stp = 2π r ( r + h ) = 2π AD  AD  + AB ÷ = 4π    Chọn C  AB  Câu 26: Ta có V = π r h = π  ÷ AD = 4π   Chọn B Câu 27: Ta có AD = AC − CD = 52 − 32 = ⇒ V = π r h = π CD AD = 36π Chọn C Câu 28: ta có 2π BC = 4π a ⇒ BC = 2a ⇒ V = π r h = π BC AB = 8π a Chọn C Câu 29: 1  AD  AB V = π HM QH + π HM NH = π  = 4π ÷ 3   Chọn D Câu 30: Ta có V = π r h = π AD AB = 16π a Chọn B Câu 31: Ta có S ABCD = AB = ⇒ AB = ⇒ S xq = 2π rh = 2π AB AD = 4π Chọn B Câu 32: Ta có AD = CD = 2r = 2a ⇒ V = π r h = π a AD = 2π a Chọn D Câu 33: Do A, B cố định nên d ( M ; AB ) = S MAB không đổi AB Do tập hợp tất điểm M mặt trụ Chọn A Câu 34: Bánh xe lu hình trụ có chiều cao h = 2,1m bán kính đáy r = 0,6 m Diện tích xung quanh bánh xe là: S xq = 2π rh = 2,52π Do bánh xe quay 12 vịng diện tích mặt đường 1u bằng: 12.2,52π = 95 m Chọn A Câu 35: Diện tích đáy hình trụ π r = 16π ⇒ r = ( cm ) Diện tích xung quanh thùng phi diện tích miếng nhựa hình chữ nhật Ta có: S xq = 2π rh = 60π ⇔ r.h = 30 ⇒ h = Câu 36: Bán kính đáy khối trụ r = 30 15 = ( cm ) Chọn C r AB = 2a Chiều cao khối trụ h = BC = 3a Thể tích khối trụ: V = π r h = 12π a Chọn A Câu 37: Thiết diện qua trục hình vng ABCD AB = R ⇒ AD = AB = R = h Diện tích xung quanh khối trụ là: S xq = 2π Rh = 4π R Chọn A Câu 38: Thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh a h = a  Ta có: AB = AD = a ⇒  AB a r = = Thể tích V hình trụ là: V = π r h = π a3 Chọn B Câu 39: Thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh h =  Ta có: AB = AD = ⇒  AB r = = Diện tích đáy khối trụ Sñ = π r = π Giả sử diện tích thiết diện S, hình trịn (O) hình chiếu vng góc thiết diện mặt đáy nên ta có: S.cos30o = Sđ ⇒ Sñ cos30o ≈ 3,6 Chọn C Câu 40: Giả sử thiết diện qua trục hình vng ABCD hình vẽ Dựng O′H ⊥ BC ⇒ O′H ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( O′; ( ABCD ) ) = O′H = Lại có: AB = BC = 16 = H trung điểm BC nên BH = Bán kính đáy hình trụ r = O′B = O′H + HB = 13 Thể tích khối trụ V( T ) = π r h = π 13.4 = 52π Chọn B Câu 41: Thiết diện qua trục hình vng nên h = 2r Ta có: S xq = 2π rh = 4π r = 4π ⇒ r = ⇒ h = Theo giả thiết ta có: ·AOB = 1200 ⇒ AB = OA2 + OB − 2OA.OB cos1200 = Diện tích thiết diện ABB'A' là: S = AB.BB′ = 3.2 = Chọn B Câu 42: Giả sử thiết diện qua trục hình chữ nhật ABCD hình vẽ Dựng OH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( O; ( ABCD ) ) = OH = H trung điểm BC ta có: OB = r = ⇒ HB = OB − OH = ⇒ BC = HB = Mặt khác AB = OO′ = ⇒ S ABCD = AB.BC = 56 cm Chọn B Câu 43: Giả sử thiết diện qua trục hình vng ABCD hình vẽ Dựng OH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( O′; ( ABCD ) ) = OH = 3a Do H trung điểm BC nên AB = BC = OO′ = 8a ⇒ HB = 4a Khi OB = r = OH + HB = 5a Diện tích xung quanh khối trụ: S xq = 2π rh = 80π a Thể tích hình trụ là: V = π r h = 200π a Chọn A Câu 44: Gọi A′ hình chiếu A mặt phẳng (O) Ta có: AD = AA′2 + A′D = 16 + A′D Lại có: CD = A′C − A′D = 82 − A′D Do AD = CD ⇒ 16 + A′D = 64 − A′D ⇒ A′D = 48 2 Suy A′D = 24 ⇒ AD = 40 = S ABCD Chọn B Câu 45: Thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình trụ hình thang cân ABCD có AB / / CD Gọi H trung điểm CD ⇒ O′H ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ OO′ ⇒ CD ⊥ ( O′HO ) góc mặt phẳng (P) · mặt đáy là: OHO ′ = 60o o Ta có: OH sin 60 = OO′ = ⇒ OH = O′H = OH − OO′2 = Suy Lại có: HC = O′C − OH = 3 AB + CD CD = HC = ⇒ S ABCD = OH = 2+ = + 2 Chọn A 3 Câu 46: Thiết diện cắt bời mặt phẳng (α) với hình trụ hình chữ nhật ABCD Gọi H, K trung điểm AD BC · Khi I = HK ∩ OO′ trung điểm OO' OIK = 450 Ta có: OI = ⇒ OI = OK = ⇒ IK = OI + OK = Do HK = Lại có: KB = OB − OK = 52 − 32 = ⇒ BC = KB = ⇒ S ABCD = AB.BC = HK BC = 48 Chọn D Câu 47: Ta có tổng diện tích đáy hình trụ nhỏ khơng đổi diện tích xung quanh hình trụ nhỏ nửa diện tích xung quanh hình trụ lớn Diện tích xung quanh hình trụ lớn là: Do S = S + ( S1 − S ) 1 ( S1 − S ) = ( S1 + S ) Chọn B 2 Câu 48: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R Theo ra, ta có h = R = 2a ⇒ Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 4π a Vậy F = S 4π a 2 = 2a Chọn B 2π 2π Câu 49: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R h = a  h = R  h = a  ⇒ ⇔ Theo ra, ta có  a 2  AC = h + R = 2a  R = a R =  2 Vậy diện tích xung quanh hình trụ (T) S = 2π Rh = 2π a Chọn B Câu 50: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R h = a π a3   → V = π R h = Chọn D Theo ra, ta có h = R = a ⇒  a R =  Câu 51: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R → Stp = 2π Rh + 2π R = 4π R Chọn B Theo ra, ta có h = R  Câu 52: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  h = 3a 27π a  h = R = a ⇒  → S = π Rh + π R = Theo ra, ta có  3a R =  Câu 53: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  R = h = R h = R h = R ⇔ ⇔ ⇔ Theo ra, ta có  2π Rh = 8π R =  S xq = 8π h = 2 Vậy thể tích khối trụ V = π R h = π ( 2) 2 = 2π Chọn B Câu 54: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  R = a R = a ⇔  → V = π R h = π a 4a = 4π a Chọn A Theo ra, ta có   ( h + R ) = 12a  h = 4a Câu 55: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  S xq = 2π Rh = 4π R S → ⇒ xq = Chọn A Theo ra, ta có h = R  2 Stp  Stp = 2π Rh + 2π R = 6π R Câu 56: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R  h = 2a  → Stp = 2π Rh + 2π R = 6π a Chọn B Theo ra, ta có h = R = 2a ⇒  R = a Câu 57: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R R =  R = ⇔  → h = Chọn D Theo ra, ta có  h + R = 17  ( h + R ) = 34 Câu 58: Kẻ đường sinh AA′ ⇒ AA′ ⊥ CD Mà AD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( A′AD ) Do CD ⊥ A′D ⇒ ∆A′CD vuông D ⇒ A′C đường kính Đặt CD = x ⇒ A′D = A′C − CD = 36 − x Tam giác A'AD vuông A′ ⇒ AD = AA′2 + A′D = 40 − x Suy diện tích hình chữ nhật ABCD S = AB.CD = x 40 − x Ta có x 40 − x ≤ x2 + ( 40 − x 2 ) = 20  → S ABCD ≤ 20 Vậy diện tích lớn cần tìm 20 Chọn C Câu 59: Thiết diện qua trục hình vng ABCD (hình vẽ bên)  h = BC =  Suy AB = BC = ⇒  AB =  R = OA =  · Tam giác OBM cân O, có OBM = 60o ⇒ ∆OBM ⇒ BM = OB = ⇒ AM = AB − BM = ( ) ( ) − =3 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB ) mà AD ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Tam giác ABM vuông M ⇒ MH = Diện tích tam giác ACD S ∆ACD AM BM = AB ( 3) = AD.CD = 2 =6 1 Vậy thể tích tứ diện ACDM VACDM = MH S ∆ACD = = Chọn A 3 Câu 60: Gọi E, F trung điểm MN PQ Đặt MQ = x Hai tam giác BMQ BAF đồng dạng a − QF MQ BQ x BF − QF a = ⇔ = = ⇔ QF = − x Suy a a AF BF BF 2 →R = Do PQ = 2QF = a − x = 2π R  a − 2x 2π a − 2x x 2π Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 2π Ta có ( a − x ) ( a − 2x + 2x ) x ≤ = a2 a2 a2 ⇒ S xq = ( a − x ) x ≤ Vậy S max = Chọn C 8 Câu 61: Ta xét hình vẽ: • Hình H1, có chiều cao h1 = 3a; chu vi đáy C1 = 6a ⇒ R1 = 3a π 27  3a  Suy thể tích khối trụ H1 V1 = π R12 h1 = π  ÷ 3a = a π π  • Hình H2, có chiều cao h2 = 6a; chu vi đáy C2 = 3a ⇒ R1 = 3a 2π 27  3a  Suy thể tích khối trụ H2 V2 = π R h = π  a ÷ 6a = 2π  2π  2 • Hình H3, có chiều cao h3 = 3a; chu vi đáy C3 = 6a ⇒ Độ dài cạnh đáy x = 2a Suy thể tích khối lăng trụ H3 V = h S 3 đá y ( 2a) = 3a = 3a3 • Hình H4, có chiều cao h4 = 6a; chu vi đáy C4 = 3a ⇒ Độ dài cạnh đáy x = a Suy thể tích khối lăng trụ H4 V4 = h4.Sđáy = 6a a2 3 3 = a Vậy khối H1 tích lớn nhất; khối H4 tích nhỏ Chọn A Câu 62: Thể tích chi tiết máy V = π 42.6 − π 22.5 = 76π Thế tích nước hộp Vn = π 12 = 79π Khi bỏ thêm chi tiết máy, thể tích Vm = V + Vn = 76π + 96π = 172π Vậy chiều cao cần tính Vm 172 −6 = − = 4, 75 cm Chọn C π 16 Câu 63: Gọi R, h bán kính đáy chiều cao cốc nước Thể tích thật cốc nước V = π ( R − 0, ) ( h − 1,5 ) = 480π ⇔ h = 480 ( R − 0, ) + 1,5   480   2  + 1,5 − 480  Thể tích thủy tinh cần làm cốc V = π R h − 480π = π  R    ( R − 0, )    480  + 1,5 − 480 ( 0, 4; +∞ ) ⇒ f ( R ) = f ( 4, ) ≈ 75, 66π Xét f ( R ) = R   ( R − 0, )  Chọn A Câu 64: Tam giác ABB' vng B, có BB′ = AB′2 − AB = a Bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC R∆ABC = a 3 Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có chiều cao h = BB′ = a 3; bán kính R = R∆ABC = a 3 a 3 π a3 a = Chọn D Vậy thể tích khối trụ cần tính V = π R h = π  ÷ ÷   → R( s ) = r ⇒ V( s ) = π r Câu 65: Vì mặt cầu nội tiếp hình trụ  2 2 →V( s ) = V( T ) Thể tích khối trụ V( T ) = π r h = π r 2r = 2π r  2 Diện tích mặt cầu Smc = 4π r ; Diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π Rh = 4π r 2 Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π Rh + 2π R = 6π r Chọn C Câu 66: Xét tam giác đáy ABC có AB = 5, AC = 12, BC = 13 Do BC = AB + AC ⇒ ∆ABC vuông A ⇒ R∆ABC = BC 13 = 2 13 Suy bán kính đáy hình trụ R = R∆ABC =  13  Vậy thể tích khối trụ V = π R h = π  ÷ = 338π cm3 Chọn D 2 Câu 67: Gọi h, x chiều cao độ dài cạnh đáy lăng trụ đáy = hx2 Suy thể tích khối lăng trụ V2 = hS Hình trụ (T) ngoại tiếp lăng trụ ⇒ Chiều cao hình trụ h, bán kính đáy R = x 2 x 2 π Suy thể tích khối trụ (T) V1 = π R h = π h  ÷ ÷ = hx   Vậy tỉ số V2 π  = hx :  hx ÷ = Chọn B V1 2  π Câu 68: Chiều cao hình trụ h = AA′ = a Bán kính đáy hình trụ bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD ⇒ R = a 2 Vậy diện tích xung quanh hình trụ cần tính S xq = 2π Rh = π a Chọn B Câu 69: Chiều cao hình trụ ngoại tiếp hình lập phương h = a Bán kính đáy hình trụ bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy hình lập phương ⇒ R = a 2 π a3 Vậy thể tích cần tính V = π R h = π  ÷ ÷ a = Chọn D   Câu 70: Thể tích khối lập phương V = AA '3 = 8a ⇒ AA ' = 2a Chiều cao hình trụ (T) h = AA ' = 2a Bán kính đáy hình trụ bán kính đường trịn ngoại tiếp ABCD ⇒ R = a ( ) Vậy thể tích khối trụ cần tính V = π R h = π a 2a = 4π a Chọn D Câu 71: Bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC R∆ABC = AC =a 2 Suy bán kính đáy khối trụ ngoại tiếp lăng trụ R = R∆ABC = a ( ) Vậy thể tích khối trụ V = π R h = π a h = 2π a h Chọn A Câu 72: Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác cạnh a R = a 3 a 2 Theo ra, ta chiều cao khối trụ h = a, bán kính đáy khối trụ R = ( ) 2π a + a 3 a2 Vậy Stp = 2π Rh + 2π R = 2π + 2π  Chọn A ÷ ÷ = 3   Câu 73: Đường kính đường trịn đáy hình trụ R = BD = 5a Gọi O, O' tâm hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D' Ta có d ( OO′; ( ABB′A′ ) ) = OM = 3a (M trung điểm AB) ⇒ BC = 2OM = 3a ⇒ AB = BD − AB = 4a · ′A = 300 Lại có AD ⊥ ( ABB′A′ ) ⇒ · B′D; ( ABB′A′ ) = DB Tam giác ADB' vuông A ⇒ tan 30 = AD ⇒ AB′ = 3a AB′ Tam giác ABB' vuông B ⇒ BB′ = AB′2 − AB = a 11 Vậy thể tích khối hộp cần tính V = AA′ × S ABCD = 12a 11 (đvtt) Chọn D Câu 74: Bán kính đường trịn ngoại tiếp lục giác R = a Vì A'D' đường kính  → ·A′B′D′ = 90o ⇒ A′B′ ⊥ B′D′ · ′D′ = 60o Mà DD′ ⊥ A′B′ nên A′B′ ⊥ ( DD′B′ ) ⇒ (· A′B′D ) ; ( A′B′D′ ) = DB Tam giác A'B'D' vuông B′ ⇒ B′D′ = A′D′2 − A′B′2 = a · ′D′ = 3a Tam giác DD'B' vuông D′ ⇒ DD′ = B′D′.tan DB Do đó, chiều cao hình trụ ngoại tiếp h = 3a Vậy diện tích xung quanh cần tính S xq = 2π Rh = 2π a.3a = 6π a Chọn B Câu 75: Gọi M, N trung điểm AB, CD (hình vẽ bên) Khi OM ⊥ AB, O′N ⊥ CD Gọi I = MN ∩ OO′ Đặt h = OO′ R = OA Tam giác IMO vuông cân O, ta có OM = OI = h a a IM ⇒ = ⇒h= 2 2 2 2 a  a   a  3a = ⇒R= Lại có R = OA = AM + MO =  ÷ +  ÷ ÷ 2   2 2 Vậy diện tích xung quanh S xq = 2π Rh = 2π Chọn A a a a 3π = 2 a 3 Câu 76:  DO ⊥ AB Do tứ diện ABCD nên  CO ⊥ AB Ta có: BD = AB = 2a ⇒ DO = DB − OB = a Mặt khác OO′ = OD − O′D = a = h Thể tích khối trụ là: V = π R h = π a a = π a Chọn C Câu 77: Gọi A' hình chiếu A ( O; R ) · ′ = 300 Khi AA′ / / OO′ ⇒ (·OO′; AB ) = (·AB; AA′ ) = BAA Khi A′B = AA′ tan 60o = Do AA′ / / OO′ ⇒ d ( OO′; AB ) = d ( OO′; ( AA′B ) ) = d ( O; ( AA′B ) ) Dựng OH ⊥ A′B ⇒ OH ⊥ ( AA′B ) ⇒ d ( OO′; AB ) = OH Mặt khác OB = R = 5, HB = A′B = ⇒ OH = R − HB = Chọn B Câu 78: Gọi A' hình chiếu A ( O; R ) Ta có: AB = R 6, AA′ = R ⇒ A′B = AB − AA′2 = R ∆OA′B có OA′ = OB = R, A′B = R ⇒ ·A′OB = 1200 R2 Khi SOA′B = OA′.OB.sin ·A′OB = Do AA′ / / OO′ ⇒ d ( A; ( O′OB ) ) = d ( A; ( O′AB ) ) 1 R R3 Suy VA.OO′B = VA′.O′OB = VO′.OA′B = OO′.SOA′B = R = 3 4 Chọn D Câu 79: Gọi A' hình chiếu A ( O; R ) · ′ = 300 Khi AA′ / / OO′ ⇒ (·OO′; AB ) = (·AB; AA′ ) = BAA Ta có: A′B = AA′ tan 300 = R ⇒ ∆OA′B cạnh R Do AA′ / / OO′ ⇒ d ( A; ( O′OB ) ) = d ( A;′ ( O′AB ) ) Suy VA.OO′B = VA′.O′OB = VO′.OA′B 1 R R3 = OO′.SOA′B = R = 3 4 Chọn D Câu 80: Áp dụng VABCD = AB.CD.sin (·AB; CD ) d ( AB; CD ) 1 Do VOO′AB = OA.O′B.d ( OA; O′B ) sin (·OA; O′B ) = R R 6 (Hoặc gọi A' hình chiếu A ( O′; R ) ta có VOO′AB = VO.O′A′B ) VOO′AB = Mặt khác V( T ) = π R h = π R Suy V 6π Chọn D (T) Câu 81: Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy cột hình lục giác có S1 = 142 = 294 Với cột bê tơng hình trụ: Đáy cột hình trịn bán kính R = 15 có S = π 15 = 225π ( ) Vậy thể tích số lượng vữa cần dùng V = 17.390 225π − 294 ≈ 1,31m Chọn A Câu 82: Diện tích tồn phần hình trụ là: S = 2π R + 2π Rh ⇒ h = S − R 2π R   S  2  S − R ÷= π  R − R3 ÷ Thể tích khối trụ là: V = π R h = π R   2π R   2π  f ( R) = S S S R − R ta có: f ′ ( R ) = − 3R = ⇒ R = 2π 2π 6π Lập BBT suy Vmax ⇔ R = S S S S S ⇒h= −R= − =2 Chọn D 6π 2π R 6π 6π 6π 2 Câu 83: Ta có Stp = 2π r + 2π rh = 6π ⇔ r + rh = ⇔ rh = − r 2 2 Có V( ) = π r h = π r ( − r ) = π r ( − r ) = π 2r ( − r ) ( − r ) π  2r + − r + − r  ≤  ÷ = 2π   Dấu xảy 2r = − r ⇔ r = ⇒ h = Chọn A Câu 84: Thể tích lon sữa là: V = π R h 2 Diện tích để làm vỏ lon là: S = Stp = π R + 2π Rh = π R + Dấu xảy ⇔ π R = V V ⇒ R = Chọn C R π V V V = π R + + ≥ 3 πV R R R Câu 85: Bán kính đáy hình trụ là: r = AH = R − x 2 2 Thể tích trụ V( T ) = π r h = π r x = 2π ( R − x ) x Xét hàm số f ( x ) = R x − x ( x ∈ ( 0; R ) ) ⇒ F ′ ( x ) = R − 3x = ⇒ x = R Chọn A Câu 86: Chu vi thiết diện qua trục hình trụ là: C = ( R + h ) = 12 ⇒ R + h =  R + R + − 2R  Thể tích hình trụ là: V = π R h = π R ( − 2R ) = π R.R ( − 2R ) ≤ π  ÷ = 8π   2  a+b+c  Chú ý bất đẳng thức: abc ≤  ÷ ( ∀a, b, c > ) Chọn B   ... phần khối trụ A 27 π a 2 B a 2? ? C 13a 2? ? D a 2? ? Câu 53: Một hình trụ có diện tích xung quanh 8π có thiết điện qua trục hình vng Thể tích khối trụ A 2? ? B 2? ? C 8π D 4π Câu 54: Cho hình trụ có... quanh hình trụ Tính tỉ số F = A a 2 B 2a S 2? ? a2 C D π a Câu 49: Thiết diện qua trục hình trụ (T) hình vng ABCD có đường chéo AC = 2a Tính diện tích xung quanh hình trụ (T) A 2? ? a 2 B 2? ? a... = 2? ? rh = 2? ? rl = 5π Chọn A Câu 22 : S xq = 2? ? rh = 24 π cm Chọn A Câu 23 : S xq = 2? ? rh = 2? ? BC AB = 2? ? AC − AB AB = 4π a Chọn B 2 Câu 24 : Ta có S xq = 2? ? rh = 2? ? BC AB = 2? ? a Chọn D Câu 25 :