Chủ đề 1 mặt cầu, hình cầu, khối cầu

CHỦ ĐỀ 1 MẶT CẦU HÌNH CẦU KHỐI CẦU I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng không đổi gọi là mặt cầu có tâm là và bán kính bằng Kí hiệu 2 Khối cầu Mặt cầu cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm , bán kính Kí hiệu Nếu là hai bán kính của mặt cầu sao cho thẳng hàng thì đoạn thẳng gọi là đường kính của mặt cầu Định lí Cho điểm cố định A, B Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho là mặt cầu đường kính AB nằm trong mặt.

CHỦ ĐỀ MẶT CẦU - HÌNH CẦU - KHỐI CẦU I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt cầu Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R Kí hiệu: S ( O; R ) = { M OM = R} Khối cầu Mặt cầu S ( O; R ) với điểm nằm bên gọi khối cầu tâm O , bán kính R Kí hiệu: B ( O; R ) = { M OM ≤ R} Nếu OA, OB hai bán kính mặt cầu cho A, O, B thẳng hàng đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu Định lí: Cho điểm cố định A, B Tập hợp điểm M không gian cho ·AMB = 900 mặt cầu đường kính AB • A ∈ S ( O; R ) ⇔ OA = R • OA1 < R ⇔ A1 nằm mặt cầu • OA2 > R ⇔ A2 nằm mặt cầu Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Định nghĩa: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện ( H ) gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ( H ) ( H ) gọi nội tiếp mặt cầu Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp đường trịn Mọi tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện a Mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu nằm bên hình chóp tiếp xúc với với tất mặt hình chóp b Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách tất mặt hình chóp Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) , gọi d khoảng cách từ O đến góc O ( P ) Khi ( P) H hình chiếu vng • Nếu d < R mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng ( P ) có tâm H có bán kính r = R − d Khi d = mặt phẳng (P) qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu dường trịn có tâm O bán kính R, đường trịn gọi đường trịn lớn mặt cầu • Nếu d = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu S ( O; R ) có điểm chung H Khi ta nói ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) H ( P ) gọi tiếp diện mặt cầu, H gọi tiếp diện Chú ý Cho H điểm thuộc mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) qua H Thế ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) ⇔ OH ⊥ ( P ) • Nếu d > R mặt phẳng ( P ) mặt cầu S ( O; R ) khơng có điểm chung Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ d = OH khoảng cách từ O đến ∆ Khi đó: • Nếu d < R ∆ cắt S ( O; R ) hai điểm A, B H trung điểm AB • Nếu d = R ∆ S ( O; R ) có điểm chung H, trường hợp ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu S ( O; R ) hay ∆ tiếp xúc với S ( O; R ) H tiếp điểm • Nếu d > R ∆ S ( O; R ) khơng có điểm chung Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Gọi R bán kính mặt cầu • • Diện tích mặt cầu: S = 4π R Thể tích khối cầu: V = π R Một số cơng thức tính nhanh bán kính đường trịn ngoại tiếp Tam giác cạnh a  →R = a Hình vng cạnh a  →R = a 2 b d →R = Hình chữ nhật đường chéo d  2 a b c a = = = 2R a  →R = Định lí hàm sin: sin A sin B sin C Tam giác vuông cân cạnh abc a +b+c →R = ; với S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p = Tam giác ba cạnh a, b, c  4S →R = Tam giác vuông cạnh huyền b  II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ MẶT CẦU  Dạng 1: Những toán vận dụng mức Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu có diện tích diện tích xung quanh hình lập phương cạnh a A a3 π B 32a 3 π C a3 π D 4a 3 π Lời giải → S mc = 4a Diện tích xung quanh hình lập phương cạnh a S xq = 4a  2 Suy bán kính mặt cầu 4π R = 4a ⇔ R = a2 a ⇒R= π π 4a Chọn D Vậy thể tích khối cầu cần tính V = π R = 3 π Ví dụ 2: Cho mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( α ) Biết khoảng cách từ O đến ( α ) R Khi thiết diện tạo mặt phẳng ( α ) với S ( O; R ) đường trịn đường kính A R B R C R D R Lời giải Hình vẽ tham khảo Gọi H hình chiếu O xuống mp ( α ) Ta có d ( O; ( α ) ) = OH = R < R nên ( α ) cắt S ( O; R ) theo R đường tròn C ( H ; r ) Bán kính đường trịn C ( H ; r ) r = R − OH = Suy dường kính đường trịn cần tính R Chọn B Ví dụ 3: Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A thỏa mãn OA = R Qua A kẻ đường thẳng cắt ( S ) hai điểm B, C cho BC = R Khoảng cách từ O đến BC A R R B C R D R Lời giải Gọi H hình chiếu O lên BC Ta có OB = OC = R, suy H trung điểm BC nên Suy OH = OC − HC = HC = CD R = 2 R Chọn B Ví dụ 4: Cho hình cầu tâm O, đường kính AA ' = Gọi H điểm đoạn AA ' cho AH = Mặt phẳng ( α ) qua H vng góc với AA ' cắt hình cầu theo đường trịn ( C ) Tính diện tích đường tròn ( C ) A 32π B 8π C 8π D 32π Lời giải Theo giả thiết, ta có AH = Ta suy OH = AH − OA = 3   32 Gọi r ' bán kính đường trịn ( C ) Ta có r '2 = r − OH = 22 −  ÷ = 3 Vậy diện tích cùa đường tròn ( C ) S = π r ' = 32π Chọn A Ví dụ 5: Diện tích hình trịn lớn hình cầu 4π Một mặt phẳng ( α ) cắt hình cầu theo hình trịn có diện tích 2π Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( α ) A B C D Lời giải Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng d, ta có d = R − r Hình trịn lớn hình cầu S hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình trịn lớn có bán kính R Theo giả thiết, ta có π R = 4π ⇔ R = π r = 2π ⇔ r = Suy d = R − r = 22 − ( 2) = Chọn D Ví dụ 6: Cho mặt cầu S ( O; R ) , A điểm mặt cầu ( S ) ( P ) mặt phẳng qua A cho góc đường thẳng OA mặt phẳng ( P ) 600 Diện tích đường trịn giao tuyến A 3π R B π R C π R2 D π R2 Lời giải Hình vẽ tham khảo Gọi H hình chiếu vng góc O ( P ) • • H tâm đường tròn giao tuyến ( P ) ( S ) ·OA; P = ·OA; AH = 600 ( ( )) ( ) Bán kính đường trịn giao tuyến r = HA = OA.cos 60 = R 2  R πR Suy diện tích dường trịn giao tuyến π r = π  ÷ = Chọn C 2 Ví dụ 7: Cho mặt cầu S ( I ; R ) , mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn tâm O Hai điểm A, B ∈ O cho tam giác OAB đều, góc hai mặt phẳng ( IAB ) ( OAB ) 600 , diện tích tam giác IAB A R = Bán kính R B R = C R = 13 D R = Lời giải Đặt OA = OB = x Tam giác OAB tam giác S ∆OAB = x2 Mặt phẳng ( OAB ) hình chiếu mặt phẳng ( IAB ) mặt phẳng ( P ) S∆OAB = S∆IAB cos ϕ với ϕ = (·IAB ) ; ( OAB ) = 600 S ∆OAB S ∆IAB x2 3 = = ⇒ = ⇔ x = 4 · ⇒ IMO = 600 ⇒ IO = Gọi M trung điểm AB 13 3 R = IA = IO + AO =  ÷ + 12 = 2   Vậy Chọn C Ví dụ 8: Cho mặt cầu ( S ) tâm I, bán kính R Ba mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) qua điểm A khơng nằm mặt cầu, đơi vng góc với cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện ba hình trịn có tổng diện tích 12π cm3 Biết IA = cm, tính độ dài bán kính R mặt cầu ( S ) A r = B r = C r = Lời giải D r = Gọi a, b, c khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) Gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu ( S ) với ( P ) , ( Q ) , ( R ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi R = a + r1 ; R = b + r2 ; R = c + r3 ⇒ 3R = a + b + c + ( r1 + r2 + r3 ) (*) 2 2 2 Mà a + b + c = IA ; S1 + S + S = π ( r1 + r2 + r3 ) 2 Suy (*) ⇔ 3R = IA + S1 + S2 + S3 = + 12 = 15 ⇒ R = Chọn B π  Dạng 2: Đa diện có đỉnh nhìn đoạn nối hai đỉnh cịn lại góc vng Phương pháp giải: Xét đa giác XYA1 A2 An có đỉnh A1 , A2 , , An nhìn XY góc vng, chẳng hạn có ·A XY = ·A XY = = 900 Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp đa diện XYA1 A2 An mặt cầu đường kính XY, tâm trung điểm XY bán kính R = XY Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC , BC = a 3, AC = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) 450 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A a B a Lời giải ( ) ( C a ) · ; ( ABC ) = ·AB; AB = SBA · = 450 Vì SA ⊥ ( ABC ) nên SB Suy tam giác SAB vuông cân A  → SA = AB = a ( Ta có AB + BC = a + a ) = 4a = AC ⇒ ∆ABC vng B Do AB ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇔ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB D a Khi đó, hai điểm A, B nhìn SC góc vng Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tính R = SC a = 2 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SC = 2a SC ⊥ ( ABC ) Đáy ABC tam giác vuông cân B có AB = a Mặt phẳng ( α ) qua C vng góc với SA, ( α ) cắt SA, SB D, E Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ECDAB C 8π a B 4π a Lời giải A 16π a D 12π a  SC ⊥ AB ⇒ AB ( SBC ) ⇒ CE ⊥ AB Ta có   BC ⊥ AB  CE ⊥ SB , Mà SA ⊥ ( α ) ⇒ SA ⊥ CE suy CE ⊥ ( SAB ) ⇒  CE ⊥ AE Do điểm B, D, E nhìn AC góc vng ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện trung điểm AC ⇒R= AC AB = = a  → S = 4π a 2 Chọn B Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, BD = a Hình chiếu vng góc S mặt đáy ( ABCD) trung điểm OC Đường thẳng SC tạo với mặt đáy góc 60 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A 4π a B π a3 Lời giải C Gọi H trung điểm OC ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) , HC = ( 2π a D π a3 OC a = ) · · ; HC = SCH · = 600 Ta có SC ; ( ABCD ) = SC · = Tam giác SHC vng H, có cos SCH HC a ⇒ SC = SC Lại có SH ⊥ OC ⇒ ∆SOC cân S ⇒ SO = SC = a Do SO = OA = OC mà OA = OB = OC = OD Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Vậy R = BD a π a3 =  →V = π R = Chọn D 2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = Mặt phẳng qua A vng góc SC với cắt cạnh SB, SC , SD điểm M , N , P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP A V = 64 2π B V = 125π Lời giải C V = 32π D V = 108π Ta có SC ⊥ ( AMNP ) ⇒ SC ⊥ AM mà AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ MC ⇒ ·AMC = 900 Tương tự ·APC = 900 Mặt khác ·ANC = 900 nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP trung điểm AC Suy R = AC 32 = ⇒ V = π R = π Chọn C 3 Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Mặt phẳng ( α ) qua A vng góc với SC, cắt cạnh SB, SC , SD điểm M , N , P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) 13 B V = A V = 3π 8π C V = 9π D V = Lời giải  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ AM Ta có:   BC ⊥ SA Mặt khác: AM ⊥ SC ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MN Tương tự AP ⊥ PN ⇒ tứ giác AMNP nội tiếp đường trịn đường kính AN ⇒ RMNP = RAMNP = AN Gọi O tâm hình vuông ABCD, dựng AE ⊥ SO ⇒ AE = Do AO = ⇒ AN = 13 AC 1 =2⇒ = 2+ ⇒ SA = 2 AE SA AO SA AC SA2 + AC = 12 SA2 SN ⇒ RMPN = ; SN = = ⇒ RS MPN = RMNP + = 5 SC 4 9π ⇒ VS MPN = π R = Chọn C  Dạng 3: Bài toán mặt cầu với chóp có cạnh bên vng góc đáy 4π Xét khối chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC  Dựng tâm Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d tam giác ABC , d / / SA Trong mặt phẳng ( SA; d ) , dựng đường trung trực ∆ SA Tâm I mặt cầu giao điểm d ∆  Tính bán kính R mặt cầu Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Gọi E trung điểm SA Xét ∆AOI vuông O  SA  R = AI = OA2 + OI = OA2 + AE = OB +  ÷   Ta có với OA = Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Khi đó: RS ABC = SA2 + Rd2  Tổng quát: Cho khối chóp S A1 A2 An có SA ⊥ AA1 A2 Gọi Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác AA1 A2 An bán kính mặt cầu ngoại tiếp R khối chóp S A1 A2 An tính theo cơng thức: R= SA2 + Rd2 Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R = a B R = a C R = a Lời giải · ; ( ABC ) = SBA ·  Ta có SB = 600 ⇒ SA = tan 600 AB = a 2 Tam giác ABC vuông A ⇒ AB + AC = BC ⇒ BC = 2a  Hình chóp S ABC có chiều cao h = a 3; bán kính Rday = BC =a D R = a ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính R = a2 ( a 3) + = a Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có diện tích a Cạnh bên SA vng góc với đáy Diện tích tam giác SBC 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R = a 57 B R = a C R = 5a D R = a 34 Lời giải  Đặt AB = x  → S ∆ABC = x2 = a ⇒ x = 2a Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC mà SA ⊥ BC Suy ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SH ⇒ S ∆SBC = SH BC = 2a 2 SH 2a = 2a ⇒ SH = 2a ⇒ SA = SH − AH = a 2a  Hình chóp S ABC có chiều cao h = SA = a; bán kính Rday = ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính R= ( 2a ) a a 57 + = Chọn A Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD tam giác Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A a B 3a C 6a D 2a Lời giải  Đặt AB = x  → BD = x SB = SA2 + AB = x + 2a 2 x = x + 2a Tam giác SBD ⇒ SB = BD → x = a  Hình chóp S ABCD có chiều cao h = a 2; bán kính Rday = a ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính R = a2 ( a 2) + = a Vậy thể tích khối cầu 4π  a  V=  ÷ = 6a  ÷  Chọn C Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh a, SA vng góc với đáy SC tạo với mặt A R1 > R2 > R3 B R2 > R3 > R1 C R1 > R3 > R2 D R3 > R1 > R2 Câu 48: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy ( ABC ) góc 300 Tam giác A ' BC có diện tích 18 Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ A S = 57π B S = 57π C S = 57π D S = 57π Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN A R = a 39 B R = a 31 C R = a 102 D R = a 39 13 Câu 50: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng A với AB = 3a, AC = 4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R = a 118 B R = a 118 C R = a 118 D R = a 118 Câu 51: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = AD = BD = 2a, CD = 2b ( a > b ) Xác định bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = b 4a − b 3a − b B R = a 3a − b 4a − b C R = a 4a − b 3a − b D R = b 3a − b 4a − b Câu 52: Cho tứ diện ABCD có AB = AD = BC = 8, AC = BD = 6, CD = Tínhh bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = 187 10 B R = C R = 177 10 D R = 65 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi P tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cắt SC O OA = OB = OC ⇒ OA = OB = OC = OS Ta có  OC = OS Vậy O tâm mặt cầu qua điểm S , A, B, C Chọn D Câu 2: Gọi O trung điểm AC  AB ⊥ BC ⇒ OA = OC = OB Ta có   AJ = JC ⇒ OA = OC = OJ  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇔ BC ⊥ AI Từ   BC ⊥ SA Mà AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ IC ⇒ OA = OC = OI ⇒ OA = OB = OC = OI = OJ Vậy O tâm mặt cầu cần tìm Chọn A Câu 3: Gọi O tâm hình vng ABCD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AI Ta có   BC ⊥ SA AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ IC ⇒ OA = OC = OI Tương tự OA = OC = OK Mà AJ ⊥ SC ⇒ OA = OC = OJ ⇒ OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK ⇒ O tâm mặt cầu cần tìm Chọn A Câu 4: Ta có AB = AC = AD , kẻ AO ⊥ ( BCD ) ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD  AD + AC = 4a Ta có  2 2 CD = BD + BC = 4a ⇒ AD + AC = CD ⇒ AD ⊥ AC ⇒ OA = OC = OD Vậy OB = OC = OD = OA ⇒ O tâm mặt cầu cần tìm Chọn B Câu 5: Ta có AH ⊥ HB Trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH qua trung điểm AB vng với ( ABH ) Trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua tâm O tam giác ABC vng góc với ( ABC ) Hai đường thẳng cắt O  OA = OB = OH ⇒ OA = OB = OC = OH Ta có:  OA = OB = OC Vậy O tâm mặt cầu cần tìm Chọn A Câu 6: Gọi E , F trung điểm BD, AC uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r = OA − OM + OB − OM + OC − OM + OD − OM uuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r = OA + OC + OB + OD − 4OM = 2OF + 2OE − 4OM ( ( ) ( ) ( uuuu r a ⇒ 4OM = a ⇒ OM = ) ) ( ) ( ) Chọn A Câu 7: Gọi O trung điểm CD Ta có OA = OB = OC = OD = R = CD Cạnh CD = AD + AC = AD + AB + BC = 5a R = 5a Chọn A  SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ ( SBC ) Câu 8: Ta có   SA ⊥ SC Kí hiệu điểm hình vẽ với OP trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC OK trung trực SA O tâm mặt cầu Ta có R = OS = OP + SP OP = SK = R= SA a 1 2 = ; SP = BC = b +c 2 2 a + b + c Chọn A  SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ ( SBC ) Câu 9: Ta có   SA ⊥ SC Kí hiệu điểm hình vẽ với OP trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC OK trung trực SA O tâm mặt cầu Ta có R = OS = OP + SP OP = SK = SA 1 = a; SP = BC = SB + SC = a 2 R = a Chọn D Câu 10: Kí hiệu điểm hình vẽ với OP trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC OK trung trực SA O tâm mặt cầu Ta có R = OA = OP + AP OP = AK = ⇒R= SA 1 = 14; AP = BC = + 42 = 2 2 243 ⇒ V = π R3 = π Chọn C Câu 11: Kí hiệu điểm hình vẽ với OP trung trực AC AC AC = O tâm mặt cầu ⇒ R = OA = AH AD − DH AC = AD = a; DH = AB a a = ⇒R= Chọn B 3 Câu 12: Ta có SA = SB = SC = a, kẻ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vng cân B nên H trung điểm AC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC O tâm mặt cầu, ta có R = SO S SAC = SA.SC AC SA.SC = SH AC ⇒ SO = SO 2 SH SA = SC = a; SH = SA2 − AH AH = 1 a a AC = AB = ⇒ SH = 2 2 ⇒ R = SO = a Chọn B a3 Câu 13: Ta có VS ABCD = r ( S ABC + S ABD + S ACD + S BCD ) = 12 S ABC = S ABD = S ACD = S BCD = a2 a ⇒r= Chọn A 12 Câu 14: Kí hiệu hình vẽ với AH ⊥ ( BCD ) , OP trung trực AC O tâm mặt cầu Ta có R = OA = AC AC = AH AD − DH AC = AD = a; DH = ⇒R= AB a = 3 a ⇒ S = 4π R = π a Chọn A Câu 15: Kí hiệu hình vẽ với AH ⊥ ( BCD ) , OP trung trực AC O tâm mặt cầu Ta có R = OA = AC AC = AH AD − DH AC = AD = a; DH = ⇒R= AB a = 3 a 6 ⇒ V = π R3 = π a Chọn A Câu 16: Kí hiệu hình vẽ với AH ⊥ ( BCD ) , OP trung trực AC O tâm mặt cầu Ta có R = OA = AC AC = AH AD − DH AC = AD = a; DH = ⇒R= AB a = 3 a 6 1⇒ a = Chọn C Câu 17: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r = 3a =a 3 SC  2 2 Ta có R =  ÷ + r = a + 3a = 2a ⇒ S = 4π R = 16π a Chọn A   · = Câu 18: Ta có tan BAC BC ⇒ BC = AB = a ⇒ AC = AB + BC = 2a AB Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r = AC =a 2 SA  a Ta có R =  ⇒ V = π R = a 3π Chọn A ÷ +r =   Câu 19: Ta có SC ⊥ ( ABCD ) SA = SB = SC ⇒ C tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Gọi M trung điểm BD Ta có AM = AB − BM = Mà S ABD = a a2 ⇒ S ABD = AM BD = 2 AB.BD AD AB.BD AD a.a.a ⇒ RABD = = = a ⇒ AC = BC = CD = a 4R S ABD a2 4 · Ta có SA ∩ ( ABCD) = { A} SA ⊥ ( ABCD) ⇒ (·SA, ( ABCD)) = (·SA, AC ) = SAC = 450 · = Ta có tan SAC   SC   a = Chọn D   ÷ + RABD ÷ ÷ 2     SC · ⇒ SC = AC tan SAC =a⇒R= AC 2 a 2 a Câu 20: Chiều cao hình chóp h = b −   ÷ ÷ = b −2   Bán kính mặt cầu R= b2 = 2h b2 a b2 − h a Câu 21: tan 45 = a ⇒ h = ⇒ SA = Bán kính mặt cầu R = Chọn A a 2 a + h =  ÷ ÷   SA2 3a 9π a = ⇒ S = 4π R = Chọn A 2h 4 Câu 22: Giả sử hình chóp có cạnh bên a, chiều cao h ⇒ R = Mặt khác ta có sin 45 = Ta có a2 = ⇒ a = 2h 2h h ⇒ a = h Do suy h = 2, a = a AB = a − h = ⇒ AB = ⇒ S ABCD = ⇒ VS ABCD = h.S ABCD = Chọn D 3 a 2 a Câu 23: Chiều cao hình chóp h = a −  = ÷  ÷   ⇒R= a2 a = ⇒ V = π R3 = a 2 2π a Chọn B a 2 a Câu 24: Chiều cao hình chóp h = a −   ÷ ÷ =   a2 a ⇒R= = ⇒ S = 4π R = 2π a Chọn B a 2 2  2a  5a ) ( 25a Chọn C Câu 25: Chiều cao hình chóp h = ( 5a ) −  = 4a ⇒ R = = ÷  ÷ 2.4a   Câu 26: Bán kính đường tròn đáy Rd = AC a = 2 Do SA ⊥ ( ABC ) nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = SA2 a + Rd2 = 4 3 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: V = π R = π a Chọn A Câu 27: Bán kính đường tròn đáy Rd = AC a = 2 Do SA ⊥ ( ABC ) nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = SA2 a + Rd2 = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: S = 4π R = 5π a Chọn A  AD + BD = AB = 4a  AD ⊥ BD ⇒ Câu 28: Ta có   2  AC ⊥ BC  AC + BC = AB = 4a ⇒ C , D nhìn AB góc vng nên tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn bán kính RABCD = R1 = Lại có ∆SAB nên: RSAB = AB = a AB 2a = = R2 3 Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên RS ABCD = R12 + R22 − AB 2a = 4 32 3π a Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: V( C ) = π R = Chọn C 27 Câu 29: Bán kính đường trịn đáy Rd = AC a = 2 Do SA ⊥ ( ABC ) nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = SA2 + Rd2 = 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: S = 4π R = 8π a Chọn A Câu 30: Gọi H chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ( ABC )  SA ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHA ) ⇒ AB ⊥ HA Ta có   AB ⊥ SH Tương tự có: BC ⊥ HC ⇒ ABCH hình vng Do AH / / BC ⇒ AH / / ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) ) Dựng HK ⊥ SC BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SBC ) Do d ( A; ( SBC ) ) = HK = a Mặt khác 1 + = ⇒ SH = a 2 SH HC HK Ta có: RS ABCD = RS HABC = Trong Rd = SH + Rd2 (do tứ giác HABC nội tiếp) AC AB a = = ⇒ RS ABC = a ⇒ V( C ) = π R = 3π a Chọn C 2 Câu 31: Bán kính đường trịn đáy Rd = AC = AB + BC 5a = 2 Do SA ⊥ ( ABC ) nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R = SA2 13 + Rd2 = Chọn C Câu 32: Ta có SC ⊥ AM mặt khác AM ⊥ SB AM ⊥ MC Như ·AMC = 900 Tương tự ·APC = 900 Lại có ·ANC = 900 tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP trung điểm AC Suy R = AC 32 = ⇒ V = π R = π Chọn C 3 Câu 33: Đặt AB = x; CD = y; AD = BC = AC = BD = z Gọi M , N trung điểm AB CD ta có: ∆DAC = ∆DBC ⇒ AN = BN suy NM trung trực AB, tương tự MN trung trực DC Khi I ∈ MN cho ID = IA Lại có AN = AD − DN = z − y2 y x2 ⇒ MN = AN − AM = z − − 4 2 Mặt khác MN = IM + IN = R − AM + R − DN ⇒ R2 − x2 y2 y x2 + R2 − = z − − , giải phương trình 4 4 tìm R Áp dụng: R − 4a + R − 9a = 22a − 13a = 3a ) ( ⇔ R − 4a = 3a − R − 9a ⇒ R − 4a = 9a − 6a R − 9a + R − 9a ⇔ R − 9a = 2a a 85 ⇔R= Chọn B 3 Câu 34: Ta có SA ⊥ ( ECD ) ⇒ ( SED ) ⊥ ( ECD ) Đặt R1 = RSED , R2 = RCED Ta có: ∆ECD vng E ED = a, CE = a Do R2 = CE + ED a = 2 · = Lại có: sin SDA Suy R1 = SA = SD SE = · 2sin SDE SA SA + AD 2 = 10 SA2 + AE 105 = 6 10 Do RS ECD = R12 + R22 − ED a 114 = Chọn D Câu 35: Gọi R1 R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ( SAB ) ( ABC ) ta có: R1 = R2 = a , AB = ( SAB ) ∩ ( ABC ) AB a 15 Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên RS ABC = R12 + R22 − = 5π a 15 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho là: V( C ) = π R = Chọn C 54 Câu 36: Đặt R1 = RABC ; R2 = RSAB , AB = ( SAB ) ∩ ( ABC ) Tam giác ABC vuông cân A nên R1 = BC = AB + AC a = 2 Tam giác SAB tam giác nên RS ABC = R12 + R22 − AB a 21 = 7π a 21 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho là: V( C ) = π R = Chọn B 54 Câu 37: Do S ABC hình chóp tam giác nên SA = SB = SC = a Ta có: ·ASB = 900 ⇒ AB = SA2 + SB = a Gọi M trung điểm BC H trọng tâm tam giác AB Khi SH ⊥ ( ABC ) , AM = ⇒ AH = AB a = 2 a a AM = ⇒ SH = SA2 − AH = 3 Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chóp S ABC là: RS ABC = SA2 a = Chọn B SH Câu 38: Đặt R1 = RABCD ; R2 = RSAB , AB = ( SAB ) ∩ ( ABC ) Tam giác ABDC hình vng cạnh 2a nên R1 = Tam giác SAB vuông cân S nên R2 = AC 2a = = a 2 AB = a AB Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên r = RS ABC = R12 + R22 − = a Chọn D ( ) · · = 450 Câu 39: Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC ; ( ABCD ) = SCA Ta có: AC = AB + AD = a ⇒ SA = AC tan 450 = a Lại có: Rd = RABCD = AC a = 2 Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ R = SA2 a 10 + Rd2 = 4 10π a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: V = π R = Chọn D 3 Câu 40: Gọi H trung điểm AB Do SA = SB ⇒ SH ⊥ AB Ta có: SB + BC = SC = 5a ⇒ SB ⊥ BC Mặt khác: AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SH AC = a Suy SH ⊥ ( ABC ) , đặt R1 = RABC = Đặt R2 = RSAB = SA.SB AB SA.SB AB SA.SB a = = = S SAB 2.SH AB SH SH Trong SH = SB − HB = Suy RS ABC = R12 + R22 − a 2a ⇒ R2 = AB a 259 = Chọn B 14 Câu 41: Vì ABNK tứ giác nội tiếp ⇒ ·AKN = 900 Do tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABKN trung điểm AN Suy ra: a a + ÷ 2 AB + BN a 2 = = 2 RABNK = AN = Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chop S.ABNK là: RABNK = RABNK ( a a 5 SA2 + =  + ÷ ÷ 4   ) = a 17 Chọn A Câu 42: Cơng thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = x + r với • r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy • x= SO − r : S đỉnh hình chóp, O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h chiều cao 2h khối chóp · ; ( ABCD ) = (·SB; BH ) = SBH · Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SB = 600 Tam giác ABC vuông B ⇒ BO = Do BH = AC = AB + BC = 2a 2 4a BO 2a BO = ; HO = = 3 3 Vậy SH = BH tan 600 = 4a 2a 13 ⇒ SO = SH + OH = 3 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABCD r = AC = 2a 2  SO − r  4a 21 Áp dụng công thức, ta R =  Chọn C ÷ +r =  2.SH  Câu 43: Vì E trung điểm AD ⇒ ABCE hình vng ⇒ CE ⊥ AD mà SA ⊥ CE ⇒ CE ⊥ ( SAD ) ⇒ CE ⊥ SE Ta có AB ⊥ BC mà SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SB ⊥ BC Lại có EK ⊥ SD mà EC ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( CKE ) ⇒ CK ⊥ SK Gọi I trung điểm SC ⇒ IS = IA = IB = IC = IE = IK Do I tâm mặt cầu qua sáu điểm S , A, B, C , E , K Vậy bán kính cần tìm R = SC = SA2 + AC = a Chọn A Câu 44: Dễ thấy B, D nhìn AC góc 900 Ta có AD ⊥ CD mà SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AK Lại có AK ⊥ SD mà ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒ AK ⊥ KC ⇒ ·AKC = 900 Chứng minh tương tự, ta ·AHC = 900 ⇒ AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCDEHK Vậy R = AC a π a3 =  →V = π R3 = Chọn A 2 3 Câu 45: Áp dụng định lý Cosin, ta có · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC = − cos α Suy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC R∆ABC = BC − cos α = (định lý Sin) · 2sin α 2.sin BAC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Gọi M trung điểm AB ⇒ OM ⊥ AB mà SA ⊥ OM Suy OM ⊥ ( SAB ) mà M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABB1 Do OA = OB = OB1 Chứng minh tương tự, ta OA = OC = OC1 Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp qua điểm A, B, C , C1 , B1 ⇒ R = R∆ABC = Chọn D Câu 46: Chọn độ dài cạnh lập phương ABCD A ' B ' C ' D − cos α 2sin α Gọi I tâm hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D (tham khảo hình vẽ đây) AC ' = 2 • Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương R1 = AI = • Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương R2 = • Bán kính mặt cầu nội tiếp tiếp xúc với tất cạnh R3 = d  I ; ( C ' D ' )  = IM = AB = 2 2 Vậy R1 + R2 = R3 Chọn B Câu 47: Chọn độ dài cạnh lập phương ABCD A ' B ' C ' D Gọi I tâm hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D (tham khảo hình vẽ đây) AC ' = 2 • Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương R1 = AI = • Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương R2 = • Bán kính mặt cầu nội tiếp tiếp xúc với tất cạnh R3 = d  I ; ( C ' D ' )  = IM = AB = 2 Vậy R3 > R1 > R2 Chọn D  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA ' M ) Câu 48: Gọi M trung điểm BC ⇒   AA ' ⊥ BC Do (·A ' BC ) ; ( ABC ) = (·A ' M ; AM ) = ·A ' MA = 600 Đặt AB = x → AM = x AM x 3 ⇒ A'M = = : =x 2 cos ·A ' MA x2 Suy S ∆A ' BC = A ' M BC = = 18  → x = 36 ⇔ x = 2 Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC R∆ABC = x =2 3 Vậy bán kính mặt cầu cần tính R = R∆2ABC + AA '2 = ( 3) + 32 57 = Chọn B Câu 49: Ta có AC = AB + BC = a Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Gọi E trung điểm MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, d lấy điểm I cho IS = ID ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S DMN ⇒ IS = ID = IM = IN = R Ta có ∆DMN vng D ⇒ DE = → IE = R − DE = R − MN AC a = = 4 5a a , SH = 16 2 2 3  1  37 a Mặt khác: HE =  AD ÷ +  AB ÷ = 16 4  4  Lại có: R − HE = ( SH − IE ) 2 37 a  a 5a ⇔R − = − R2 −  16 16  2  ÷ ÷  37   102 − X2 − ÷ ⇒ X = Chọn C CACL đáp án vào biểu thức X − −  16  16 ÷  Câu 50: Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có: AB AC S ABC 6a r= = BC = AB + AC = 5a Suy r = = a AB + BC + CA p 6a Tam giác ABC vuông A, AP = AE suy tam giác APE vuông cân A ⇒ tam giác AEH vuông cân E ⇒ AE = HE = a Ta có: AH = AE + HE = a ⇒ SH = SA2 − AH = a Ta có: EC = AC − AE = 3a = CF ⇒ MF = BC a 5a − CF = ⇒ HM + HF = 2 Mặt khác IC = IS ⇔ MI + MC = SK + IK ⇔ IM + ( 25a = a ± IM ) + HM (Dấu cộng S , I phía với mặt phẳng ( ABC ) dấu trừ S , I khác phía với mặt phẳng ( ABC ) ) ⇔ IM + ( 25a = a ± IM ) + Giải phương trình ⇒ IM = 5a 3a a 118 ⇒ R = IC = IM + MC = Chọn A 4 Câu 51: Đặt AB = x; CD = y = AD = BC = AC = BD = z R2 − Ta có: x2 y2 y2 x2 + R2 − = z2 − − 4 4 ⇒ R − a + R − b = 4a − ( a + b ) ⇔ R2 − a2 = ( 3a − b − R − b ) ⇔ R − a = 3a − b − 3a − b R − b + R − b ⇔ 2a − b = 3a − b ⇔ R2 = 2 4a − 4a b + b R −b ⇔ R −b = 3a − b 2 2 4a − a b 4a − b ⇔ R = a 3a − b 3a − b Chọn C Câu 52: Gọi I , K trung điểm AB CD Ta có: ∆DAB = ∆CBA ( c − c − c ) ⇒ IC = ID ⇒ IK = CD Tương tự ∆ACD = ∆BDC ( c − c − c ) ⇒ KB = KA ⇒ KI = AB Do KI đường trung trực AB CD Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD O ∈ IK Ta có: AK = AC − CK = ⇒ IK = AK − AI = Mặt khác OI = R − 16 + R − = ⇔ R − 16 = − R − ⇒ R − 16 = 16 − R − + R − ⇔ R2 − = 65 ⇒R= Chọn D 2 ... kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R = a 11 8 B R = a 11 8 C R = a 11 8 D R = a 11 8 Câu 51: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = AD = BD = 2a, CD = 2b ( a > b ) Xác định bán kính R mặt cầu. .. từ tâm cầu đến mặt phẳng d, ta có d = R − r Hình trịn lớn hình cầu S hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình trịn lớn có bán kính R Theo giả thiết,... O1 E Tâm I mặt cầu giao điểm d1 d  Tính bán kính R mặt cầu 2 Tứ giác EO1 IO2 hình chữ nhật, suy IE = O1 E + O2 E Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, SAB Ta có O1 E = O1