Chủ đề 1 đại cương về hình học không gian

CHỦ ĐỀ 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN Mặt phẳng Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng, cho ta hình ảnh của một mặt phẳng trong không gian Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng một chữ cái trong ngoặc ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy Ví dụ mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng ((), mặt phẳng (() và viết tắt là mp Ví dụ mp(P), mp(Q), mp((), mặt phẳng (() hoặc (P), (Q), ((), (() Điểm thuộc đư.

CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHƠNG GIAN Mặt phẳng: Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, gương phẳng,… cho ta hình ảnh mặt phẳng không gian Người ta thường biểu diễn mặt phẳng hình bình hành dùng chữ ngoặc ( ) để đặt tên cho mặt phẳng Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β)… viết tắt mp Ví dụ: mp(P), mp(Q), mp(α), mặt phẳng (β)…hoặc (P), (Q), (α), (β)… Điểm thuộc đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng Điểm thuộc mặt phẳng điểm điểm không thuộc mặt phẳng Đường thẳng nằm mặt phẳng đường thẳng cắt mặt phẳng Điểm A ∈ mp ( P ) hay A ∈ ( P ) Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) Điểm A ∉ mp ( P ) hay A ∉ ( P ) Ký hiệu: d ⊂ ( P ) Điểm C giao điểm d (P) Ký hiệu: C = d ∩ ( P ) Hình biểu diễn hình khơng gian Khi vẽ hình không gian ta tuân thủ quy tắc sau: - Đường thẳng vẽ đường thẳng, đoạn thẳng vẽ đoạn thẳng - Hai đường thẳng song song vẽ song song, hai đường thẳng cắt vẽ cắt - Hình vẽ phải giữ nguyên quan hệ điểm thuộc đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để vẽ đường nhìn thấy nét đứt đoạn vẽ cho đường bị che khuất - Một hình có đáy hình vng, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành ta vẽ hình bình hành góc nhọn hình bình hành nên vẽ ≤ 450 II Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Tồn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng Đường thẳng d = ( P ) ∩ ( Q ) Tính chất 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Chú ý: Nếu đường thẳng qua điểm hai phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng  A ∈ d ⇒ A ∈ ( P) Vậy  d ⊂ ( P ) III Điều kiện xác định mặt phẳng  Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng  Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng  Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt Ký hiệu: - Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ký hiệu mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng qua đường thẳng d điểm A không nằm a ký hiệu mặt phẳng (A;a) (a;A) - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b ký hiệu mặt phẳng (a;b) IV Hình chóp hình tứ diện Cho đa giác A1A2…An điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác Nối S với đỉnh A 1, A2, …,An để n tam giác: SA1A2, SA2A3,…., SAnA1 - Hình chóp n tam giác đa giác A1A2…An gọi hình chóp ký hiệu A.A1A2…An - Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1A2 An gọi hình chóp ký hiệu S.A1A2 An - Các cạnh mặt đáy gọi cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1, SA2,…,SAn gọi cạnh bên hình chóp - Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác Hình chóp tam giác S.ABC Hình chóp tứ giác S.ABCD Hình chóp ngũ giác S.ABCDE Hình tứ diện: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay gọi tắt tứ diện) ký hiệu ABCD Các điểm A, B, C, D gọi đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi cạnh tứ diện Hai cạnh khơng có điểm chung gọi hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi mặt tứ diện Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện với mặt  Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải: Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q) thường tìm sau: Tìm hai đường thẳng a b thuộc mặt phẳng (P) (Q) nằm mặt phẳng (R) Giao điểm M = a ∩ b điểm chung mặt phẳng (P) (Q) II CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối diện khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: A (SAC) (SBD) B (SAC) (MBD) C (MBC) (SAD) Lời giải D (SAB) (SCD) O ∈ AC ⊂ ( SAC ) a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD ⇒  O ∈ BD ⊂ ( SBD ) Khi hai mặt phẳng (SAC) (SBD) có hai điểm chung S O ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) b) Điểm M ∈ SA ⇒ M ∈ ( SAC ) Hai mặt phẳng (SAC) (MBD) có hai điểm chung O M nên OM = ( SAC ) ∩ ( MBD )  F ∈ ( MBC ) Khi hai mặt phẳng (MBC) (SAD) có hai điểm chung c) Gọi F = AD ∩ BC suy  F ∈ SAD ( )  M F ⇒ MF = ( MBC ) ∩ ( SAD )  E ∈ ( SAB ) ⇒ hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có hai điểm chung S d) Gọi E = AB ∩ CD suy   E ∈ ( SCD ) E ⇒ SE = ( SAB ) ∩ ( SCD ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng không song song với mặt cắt cạnh AB BC J K Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: A Mặt phẳng (IJK) (SAC) B Mặt phẳng (IJK) (SAB) C Mặt phẳng (IJK) (SBC) Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABC) gọi M = JK ∩ AC Khi mặt phẳng (IJK) (SAC) có hai điểm chung I M Suy IM = ( IJK ) ∩ ( SAC ) b) Hai mặt phẳng (IJK) (SAB) có hai điểm chung I J ⇒ IJ = ( IJK ) ∩ ( SAB ) c) Trong mặt phẳng (SAC) gọi E = SC ∩ IM  E ∈ ( IJK ) ⇒ hai mặt phẳng (IJK) (SBC) có hai điểm chung E K Do Khi   E ∈ ( SBC ) KE = ( IJK ) ∩ ( SBC ) Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (JAD) b) Điểm M nằm cạnh AB, điểm N nằm cạnh AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) Lời giải a) Ta có: I ∈ AD ⇒ I ∈ ( JAD ) ∩ ( IBC ) J ∈ BC ⇒ J ∈ ( JAD ) ∩ ( IBC ) Do IJ = ( IBC ) ∩ ( JAD ) b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = DM ∩ IB suy E ∈ ( DMN ) ∩ ( IBC ) Do EF = ( DMN ) ∩ ( IBC ) Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Điểm M nằm bên tam giác ABD, điểm N nằm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a) (AMN) (BCD) b) (DMN) (ABC) Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABD) gọi Q = AM ∩ BD Khi Q ∈ ( AMN ) ∩ ( BCD ) Tương tự gọi P = AN ∩ CD ⇒ P = ( AMN ) ∩ ( BCD ) Do PQ = ( AMN ) ∩ ( BCD ) b) Trong mặt phẳng (ABD) gọi E = DM ∩ AB suy E ∈ ( DMN ) ∩ ( ABC ) Trong mặt phẳng (ACD) gọi F = DN ∩ AC suy F ∈ ( DMN ) ∩ (ABC) Do EF = ( DMN ) ∩ ( ABC ) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành tâm O, gọi M, N, P trung điểm BC, CD SO Tìm giao tuyến a) Mặt phẳng (MNP) (SAB) b) Mặt phẳng (MNP) (SBC) Lời giải a) Gọi H = NO ∩ AB, mặt phẳng (SHN) dựng NP cắt SH Q ⇒ Q ∩ ( MNP ) ∩ ( SAB ) Gọi F = NM ∩ AB ⇒ F ∈ ( MNP ) ∩ ( SAB ) Do QF = ( SAB ) ∩ ( MNP ) b) Trong mặt phẳng (SAB) Gọi E = QF ∩ SB ⇒ E = ( SBC ) ∩ ( MNP ) Do ME = ( MNP ) ∩ ( SBC ) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I J trung điểm SA SB Khẳng định sau sai? A IJCD hình thang B ( SAB ) ∩ ( IBC ) = IB C ( SBD ) ∩ ( JCD ) = JD D ( IAC ) ∩ ( IBD ) = AO, (O tâm ABCD) Lời giải  IJ PAB ⇒ IJ PCD ⇒ Loại A Ta có   AB PCD +) ( SAB ) ∩ ( IBC ) = IB ⇒ Loại B +) ( SBD ) ∩ ( JCD ) = JD ⇒ Loại C +) ( IAC ) ∩ ( JBD ) = ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Chọn D Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AD//BC) Gọi M trung điểm CD Giao tuyến hai mặt phẳng (MSB) (SAC) là: A SI, I giao điểm AC BM B SJ (J giao điểm AM BD) C SO (O giao điểm AC BD) D SP (P giao điểm AB CD) Lời giải Ta có: ( MSB ) ∩ ( SAC ) = SI Chọn A Ví dụ 8: Cho hình tứ diện ABCD, cạnh AB AC lấy điểm M N cho MN cắt đường thẳng BC E, điểm P thuộc cạnh BD Gọi Q giao điểm CD PE Khẳng định sau sai: A ( MNP ) ∩ ( BCD ) = PE B ( MNP ) ∩ ( ABD ) = MP C ( MNP ) ∩ ( ABC ) = MN D ( MNP ) ∩ ( ACD ) = PN Lời giải Ta có: E ∈ MN ⇒ E ∈ ( MNP ) Khi (MNP) (BCD) có điểm chung P E Do ( MNP ) ∩ (BCD) = PE Điểm M, P ∈ ( ABD ) suy ( MNP ) ∩ ( ABD ) = MP Điểm M, N ∈ ( ABC ) suy ( MNP ) ∩ ( ABC ) = MN ( MNP ) ∩ ( ACD ) = NQ Khẳng định sai D Chọn D Ví dụ 9: Cho hình tứ diện ABCD, cạnh AB, AC AD lấy điểm M, N P Đường thẳng MN BC cắt E, đường thẳng MP BD cắt F Khẳng định sau sai A ( MNP ) ∩ ( ABC ) = ME B ( MNP ) ∩ ( ABD ) = MF C ( MNP ) ∩ ( ACD ) = CD D ( MNP ) ∩ ( BCD ) = EF Lời giải Điểm M, E thuộc mặt phẳng (MNP) (ABC) ( MNP ) ∩ ( ABC ) = ME Tương tự: ( MNP ) ∩ ( ABD ) = MF +) ( MNP ) ∩ ( ACD ) = NP +) ( MNP ) ∩ ( BCD ) =EF Khẳng định sai C Chọn C Ví dụ 10: Cho hình tứ diện ABCD, điểm M N nằm tam giác ABD ACD, AM cắt BD P, AN cắt CD Q, đường thẳng PQ cắt BC E Khẳng định sau sai? A ( AMN ) ∩ ( BCD ) = PQ C ( AMN ) ∩ ( ABD ) = AE B ( AMN ) ∩ ( ABC ) = AE D ( AMN ) ∩ ( ABD ) = AP Lời giải Hai mặt phẳng (AMN) (BCD) có điểm chung P Q ( AMN ) ∩ ( BCD ) = PQ Vì PQ ∩ ( BC ) = E ⇒ E thuộc (APQ) (ABC) Hai mặt phẳng (AMN) (ABC) có điểm chung A E nên ( AMN ) ∩ ( ABC ) = AE Hai mặt phẳng (AMN) (ABD) có điểm chung A P ( AMN ) ∩ ( ABD ) = AP Đáp án sai C Chọn C  Dạng 2:Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Đường thẳng a cắt mp (P) điểm M Điểm M gọi giao điểm đường thẳng a mp (P) Kí hiệu: a ∩ ( P ) = M Phương pháp giải: Ta tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) mà b cắt đường thẳng a điểm M Khi đó: a ∩ ( P ) = M Trong trường hợp đường thẳng b chưa có sẵn ta dựa vào phương pháp sau để tìm giao điểm - Bước 1: Dựa vào hình vẽ xác định mặt phẳng chứa đường thẳng a Giả sử xác định mp (Q) chứa a - Bước 2: Xác định giao tuyến mp (P) mp (Q) Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = b - Bước 3: Xác định giao điểm đường thẳng a giao tuyến b Do a b nằm mp (Q) nên a ∩ b = M Kết luận: M ∈ a; M ∈ ( P ) Vậy M = a ∩ ( P ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M, tam giác SCD lấy điểm N a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SMN) (ABCD) b) Tìm giao điểm MN (SAC) c) Tìm giao điểm SC với (AMN) Lời giải a) Trong mặt phẳng (SBC) gọi E = SM ∩ BC ⇒ E = ( SMN ) ∩ ( ABCD ) Trong mặt phẳng (SCD) gọi F = SN ∩ CD ⇒ F = ( SMN ) ∩ ( ABCD ) Do EF = ( SMN ) ∩ ( ABCD ) b) Ta có: SO = ( SMN ) ∩ ( SAC ) Trong mặt phẳng (SEF) gọi I = MN ∩ SO Do I = MN ∩ ( SAC ) c) Dễ thấy AI = ( AMN ) ∩ ( SAC ) Trong mặt phẳng (SAC) gọi K = AI ∩ SC ⇒ K = SC ∩ ( AMN ) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N hai điểm AC AD Điểm O điểm bên ∆BCD Tìm giao điểm của: a) MN (ABO) b) AO (BMN) Lời giải a) Trong mặt phẳng (BCD) kẻ BO giao CD I Trong (ACD) kẻ MN giao AI J ⇒ J giao điểm MN (ABO) b) Trong mặt phẳng (ABI): AO giao BJ K ⇒ K giao điểm AO (BMN) Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC K điểm cạnh BD không trùng với trung điểm BD Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng (MNK) Lời giải Trong mặt phẳng (BCD): NK giao CD điểm J ⇒ J giao điểm CD với mp (MNK) Trong mặt phẳng (ACD): MJ giao với AD điểm T ⇒ T giao điểm AD với mp(MNK) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD Điểm M điểm cạnh SC a) Tìm giao điểm AM (SBD) b) Gọi N điểm cạnh BC Tìm giao điểm SD (AMN) Lời giải a) Trong mp(ABCD): AC giao BD O Trong mp(SAC) SO giao MA J Từ J giao điểm AM (SBD) b) Giả sử AN giao CD K Trong mp(SCD): KM giao SD T, từ T giao điểm SD (AMN) Nếu AN CD song song với nhau, ta việc kẻ MT song song với CD (T thuộc SD) từ suy T điểm cần tìm Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD, điểm M thuộc cạnh SC điểm K giao điểm AM SO Có khẳng định khẳng định sau: (1) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO (2) ( ABM ) ∩ SD = N với N giao điểm BK SD (3) ( ABM ) ∩ ( SCD ) = MD (4) ( ABM ) ∩ ( SAD ) = AN với N giao điểm BK SD A B.2 C.3 Lời giải Gọi N giao điểm BK SD Ta có: ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ( ABM ) ∩ SD = N; ( ABM ) ∩ (SCD) = MN D.4 Và ( ANM ) ∩ ( SAD ) = AN Các khẳng định 1, Khẳng định sai Chọn C Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD, I giao điểm AB CD, J giao điểm AD BC Có khẳng định khẳng định sau: (1) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO (2) Mặt phẳng (SBD) cắt IJ giao điểm BD IJ (3) ( SAD ) ∩ ( SBC ) = SI (4) ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SJ A B C Lời giải D Ta có: ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ( SAD ) ∩ ( SBC ) = SJ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI Các khẳng định Khẳng định sai Chọn B  Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng nên thẳng hàng Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường thẳng cịn lại Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm D, E F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải I ∈ ( DEF ) ⇒ I ∈ giao tuyến hai mặt phẳng (DEF) (ABC) Ta có: I = DE ∩ AB ⇒  I ∈ ( ABC ) Tương tự J = EF ∩ BC ⇒ J thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (DEF) (ABC) K = FD ∩ AC ⇒ K thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (DEF) (ABC) Do I, J, K thẳng hàng thuộc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (DEF) (ABC) Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, S điểm không thuộc mp(ABCD), M N trung điểm đoạn AB SC a) Xác định giao điểm I = AN ∩ ( SBD ) b) Xác định giao điểm J = MN ∩ ( SBD ) c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng Lời giải a) Gọi O = AC ∩ BD I = AN ∩ SO Khi I ∈ SO ⇒ I ∈ ( SBD ) ⇒ I = AN ∩ ( SBD ) b) Gọi E = CM ∩ BD Trong mặt phẳng (SCM) gọi J = MN ∩ SE Khi J = MN ∩ ( SBD ) c) Các điểm I, J, B thuộc đường thẳng AI, MN, AM nên I, J, B ∈ mp ( AMN ) Mặt khác điểm I, J, B ∈ ( SBD ) Do I, J, B thuộc giao tuyến mặt phẳng (AMN) (SBD) ⇒ I, J, B thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN khơng song song với SC a) Tìm giao tuyến mp(LMN) (ABC) b) Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN ) J = SC ∩ ( LMN ) c) Chứng minh M, I, J thẳng hàng Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAB) gọi E = LM ∩ AB, mặt phẳng (LMN) (ABC) có điểm chung E N suy ( LMN ) ∩ ( ABC ) = EN b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi I = BC ∩ EN I = BC ∩ ( LMN ) Trong mặt phẳng (SAC) gọi J = LN ∩ SC J = SC ∩ ( LMN ) c) điểm M, I, J thuộc mặt phẳng (LMN) (SBC) ⇒ M, I, J thuộc giao tuyến mặt phẳng (LMN) (SBC) ⇒ M, I, J thẳng hàng Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD điểm S∉(ABCD) Gọi M, N hai điểm BC SD a) Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC ) b) Tìm giao điểm I = MN ∩ ( SAC ) c) Chứng minh C, I, J thẳng hàng Lời giải a) Nối AC ∩ BD = O; Nối SO ∩ BN = Suy I giao điểm BN (SAC) b) Nối MD cắt AC E Nối SE cắt MN J ⇒ J giao điểm MN (SAC) c) Ta có I = BN ∩ SO ⇒ IC = ( SAC ) ∩ ( BCN ) Và J = MN ∩ SE ⇒ JC = ( SAC ) ∩ ( BCN ) Do đó, ba điểm C, I, J thẳng hàng ⇒ Đpcm Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD S∉(ABCD) Gọi I, J hai điểm AD SB, AD cắt BC O OJ cắt SC M a) Tìm giao điểm K = IJ (SAC) b) Xác định giao điểm L = DJ (SAC) c) Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng Lời giải a) Trong mp(ABCD), gọi E = AC ∩ BI Trong mặt phẳng (SBI) gọi K = IJ ∩ SE Khi K = IJ ∩ ( SAC ) b) Gọi F = AC ∩ BD Trong mặt phẳng (SBD) gọi L = DJ ∩ SF Khi L = DJ ∩ ( SAC ) c) Các điểm K, L, A, M thuộc mặt phẳng (SAC) (OAJ) chúng thuộc giao tuyến mặt phẳng (SAC) (OAJ) suy A, K, L, M thẳng hàng Dạng 4:Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) đa giác giới hạn đoạn giao tuyến (P) với mặt hình chóp (nối giao điểm (P) với cạnh hình chóp) Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Ba điểm A’, B’, C’ nằm ba cạnh SA, SB,SC không trùng với S, A, B, C Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’, B’, C’) Lời giải Trong mặt phẳng (ABC) gọi O = AC ∩ BD Trong mặt phẳng (SAC) gọi I = SO ∩ A 'C ' ⇒ I ∈ ( SBD ) ∩ ( A ' B'C ' ) Trong mp(SBD) gọi D ' = BI ∩ SD ⇒ thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’) tứ giác A’B’C’D’ Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Lời giải Trong mặt phẳng (ABCD) gọi Q = NP ∩ CD K = NP ∩ BC Trong mp(SBC) gọi E = SB ∩ KM, mp(SAD) gọi F = SD ∩ QM Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) ngũ giác NEMFP Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD, cạnh a Kéo dài BC đoạn CE = a Kéo dài BD đoạn DF = a Gọi M trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MEF) b) Tính diện tích thiết diện Lời giải a) Trong mp(ABC): Dựng ME cắt AC I Trong mp(ABD): Dựng MF cắt AD J Từ thiết diện tứ diện với mp(MEF) ∆MIJ b) Theo cách dựng I J trọng tâm tam giác ABE ABF 2a   AI = AC = 2a ⇒ ⇒ tam giác AIJ ⇒ IJ =  AJ= AD = 2a  3 Mặt khác AI = AJ nên ∆AMI = ∆AMJ ⇒ MI = MJ Trong ∆AMI, MI = MA + IA − 2MA.IA.cos A = S∆MJI 1 2a = IJ.MK = 2 a 13  a 13   a 2 a =  ÷ ÷ −  ÷ 6    Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh BC, N điểm cạnh SD a) Tìm giao điểm I BN (SAC) giao điểm J MN (SAC) b) DM cắt AC K Chứng minh S, K, J thẳng hàng c) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN) Lời giải a) Gọi O giao điểm AC BD Trong mp(SBD), BN cắt SO điểm I Trong mp(ABCD), DM giao AC E Trong mp(SDM), SE ∩ MN = J b) Dễ thấy điểm S, K, J thuộc mặt phẳng (SAC) (SDM) nên điểm S, K, J thuộc giao tuyến mặt phẳng hay chúng thẳng hàng c) Trong mp(SAC), kẻ CI giao SA O Từ thiết diện tạo mp(BNC) với hình chóp từ tứ giác BCNP Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Điểm M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SAD a) Tìm giao điểm I MG với (ABCD), chứng tỏ điểm D thuộc mặt phẳng (CMG) b) Chứng tỏ (CMG) qua trung điểm SA, tìm thiết diện hình chóp với (CMG) c) Tìm thiết diện hình chóp với (AMG) Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAD), gọi J = SG ∩ AD Trong mp(SBJ), gọi I = MG ∩ BJ ⇒ I = MG ∩ ( ABC ) ⇒ I ∈ ( CMG ) Ta có: J trung điểm AD ⇒ JD = BC mà JD PBC ⇒ JD đường trung bình ∆IBC ⇒ D trung điểm CI hay D ∈ ( CMJ ) Do D ∈ ( CMG ) b) Ta có ( CMG ) ≡ ( CIM ) Trong mp(SAD), dựng DG cắt SA E Mặt khác, G trọng tâm ∆SAD ⇒ E trung điểm SA Như tứ giác CMED thiết diện (CMG) với khối chóp c) Gọi O = BJ ∩ AC, Trong mp(SBI), gọi K = SO ∩ MI Trong mp(SAD), dựng AG cắt SD Q Trong mp(SAC), dựng AK cắt SC F, tứ giác AMFQ thiết diện khối chóp với mặt phẳng (AMG) Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình thang với AD đáy lớn P điểm cạnh SD, P không trùng với S D Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Thiết diện hình chóp cắt (MNP) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác Lời giải D Lục giác  K = AD ∩ MN;Q = CD ∩ MN Gọi   F = PK ∩ SA; E = PQ ∩ SC Thiết diện ngũ giác MNEPF Chọn C Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P ba điểm cạnh AD, CD, SO cho M, N, P khơng trùng với đỉnh Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) hình gì? A Tứ giác B Ngũ giác Lời giải Q = AC ∩ MN; K = SA ∩ PQ; F = SC ∩ PQ Gọi  G = BC ∩ M; E = SB ∩ GF Thiết diện ngũ giác MNFEK Chọn B C Tam giác D Lục giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt A Cùng thuộc đường trịn B Cùng thuộc đường elip C Cùng thuộc đường thẳng D Cùng thuộc mặt cầu Câu 2: Cho biết mệnh đề sau sai? A Qua điểm phân biệt không thẳng hàng xác định mặt phẳng B Qua đường thẳng điểm khơng thuộc xác định mặt phẳng C Qua hai đường thẳng xác định mặt phẳng D Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O A’C’ cắt B’D’ O’ Khi hai mặt phẳng (AB’D’) (DD’C’C) cắt theo đường thẳng d xác định nào? A Đường thẳng d qua điểm D’ giao điểm AO’ với CC’ B Đường thẳng d trùng với đường thẳng AD’ C Đường thẳng d trùng với đường thẳng AO’ D Đường thẳng d qua điểm D’ song song với DC’ Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O cịn A’C’ cắt B’D’ O’ Khi A’C cắt mặt phẳng (BDD’B’) điểm T xác định nào? A Giao A’C với OO’ B Giao A’C với AO’ C Giao A’C với AB’ D Giao A’C với AD’ Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AD//BC) Gọi I giao điểm AB DC, M trung điểm SC DM cắt mp(SAB) J Khẳng định sau sai? A S, I, J thẳng hàng B DM ⊂ mp(SCI) C JM ⊂ mp(SAB) D SI = (SAB)∩(SCD) Câu 6: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến mặt phẳng (ACD) (GAB) A AM (M trung điểm AB) B AN (N trung điểm CD) C AH (H hình chiếu B CD) D AK (K hình chiếu C BD) Câu 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC, CD Giao tuyến hai mặt phẳng (MBD) (ABN) A đường thẳng MN B đường thẳng AM C đường thẳng BG (G trọng tâm tam giác ACD) D đường thẳng AH (H trực tâm tam giác ACD) Câu 8: Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi I, K trung điểm AD BC Giao tuyến (IBC) (KAD) A IK B BC C AK D DK Câu 9: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD Giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) giao điểm A CD NP B CD MN C CD MP D CD AP Câu 10: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Mặt phẳng (α) qua MN cắt AD, BC P Q Biết MP cắt NQ I Ba điểm sau thẳng hàng? A I, A, C B I, B, D C I, A, B D I, C, D Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O A’C’ cắt B’D’ O’ Gọi S giao điểm AO’ với CC’ S không thuộc mặt phẳng đây? A (DD’C’C) B (BB’C’C) C (AB’D’) D (CB’D’) Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O A’C’ cắt B’D’ O’ Gọi S giao điểm AO’ với CC’ S không thuộc mặt phẳng đây? A (A’C’C) B (AB’D’) C (AD’C’B) D (A’OC’) Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ( đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O cịn A’C’ cắt B’D’ O’ Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC C’D’ Khi thiết diện mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương hình gì? A Hình tam giác B Hình tứ giác C Hình ngũ giác D Hình lục giác Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (Các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O cịn A’C’ cắt B’D’ O’ Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC OO’ Khi thiết diện mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương hình gì? A Hình tam giác B Hình tứ giác C Hình ngũ giác D Hình lục giác Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O A’C’ cắt B’D’ O’ Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC BB’ Khi thiết diện mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương hình gì? A Hình tam giác B Hình tứ giác C Hình ngũ giác D Hình lục giác LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Qua điểm phân biệt khơng thẳng hàng xác định mặt phẳng Ở thuộc hai mặt phẳng phân biệt nên điều kiện phân biệt thẳng hàng không thỏa mãn Mà điểm đề cho phân biệt nên chúng phải thẳng hàng Chọn C Câu 2: Trường hợp đường thẳng chéo khơng xác định mặt phẳng chứa đường thẳng Hoặc đường thẳng trùng xác định vơ số mặt phẳng Chọn C Câu 3: Vì AB' PDC' ⊂ ( DCC 'D ) AB' ⊂ ( AB' D ' ) nên giao tuyến (AB’D’) (DD’C’C) đường thẳng song song với AB’ Mặt khác D ' ∈ ( DCC ' D ) nên giao tuyến qua D’ Chọn D Câu 4: A’C cắt OO ' ⊂ ( BDD ' B ) mặt phẳng (ACC’A) Chọn A Câu 5: Ta có DM ∩ ( SAB ) = DM ∩ ( SAI ) = J Chọn C Câu 6: A điểm chung hai mặt phẳng (ACD) (GAB)  N ∈ BG ⊂ ( ABG ) ⇒ N ∈ ( ABG ) Lại có BG ∩ CD = N →   N ∈ CD ⊂ ( ACD ) ⇒ N ∈ ( ACD ) ⇒ N điểm chung thứ hai hai mặt phẳng (ACD) (GAB) Vậy ( ABG ) ∩ ( ACD ) = AN Chọn B Câu 7: B điểm chung hai mp: (MBD) (ABN) Vì M, N trung điểm AC, CD Suy AN, DM hai trung tuyến tam giác ACD G ∈ AN ⊂ ( ABN ) ⇒ G ∈ ( ABN ) Gọi G = AN ∩ DM ⇒  G ∈ DM ⊂ ( MBD ) ⇒ G ∈ ( MBD ) ⇒ G điểm chung thứ hai hai mặt phẳng (MBD) (ABN) Vậy ( ABN ) ∩ ( MBD ) = BG Chọn C Câu 8: Điểm K trung điểm BC suy K ∈ ( IBC ) ⇒ IK ⊂ ( IBC ) Điểm I trung điểm AD suy I ∈ ( KAD ) ⇒ IK ⊂ ( KAD ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) IK Chọn A  N ∈ BC ⇒ NP ⊂ ( BCD ) suy NP, CD đồng phẳng Câu 9: Ta có  P ∈ BD  Gọi E giao điểm NP CD Mà NP ⊂ ( MNP ) suy CD ∩ ( MNP ) = E Vậy giao điểm CD mp(MNP) giao điểm E NP CD Chọn A Câu 10: Theo tính chất đường giao tuyến ta có: MP = ( ABC ) ∩ ( α ) , NQ = ( BCD ) ∩ ( α ) , BD = ( BCD ) ∩ ( ABC ) giao tuyến MP, NQ, BD song song đồng quy Mặt khác MP cắt NQ I nên giao tuyến đồng quy I suy I, B, D thẳng hàng Chọn B Câu 11: Điểm S thuộc mặt phẳng (DD’C’C), (BB’C’C) Và S đối xứng với A qua O nên dễ thấy AB’SD’ hình bình hành S thuộc mặt phẳng (AB’D’) Điểm S không thuộc mặt phẳng (CB’D’) Chọn D Câu 12: Do SC PAA ' nên S, A’, A, C đồng phẳng Do S đối xứng với A qua O nên dễ thấy AB’SD’ hình bình hành S thuộc mặt phẳng (AB’D’) Các điểm A’, O, C’ thuộc mặt phẳng (A’C’C) nên S, A’, O, C’ đồng phẳng Điểm S không thuộc mặt phẳng (AD’C’B) Chọn C Câu 13: Gọi Q trung điểm A’D’ ⇒ A 'C ' PPQ PMN Kẻ PQ cắt A’B’ H, cắt B’C’ K Nối MH cắt AA’ F NK cắt CC’ E Vậy thiết diện cần tìm lục giác MNEPQF Dễ thấy FQ, NE đường trung bình hai tam giác AA’D’, BCC’ suy FQ PNE FQ = NE Tương tự, ta chứng minh FM PPE FM = PE Do đó, lục giác MNEPQF lục giác Chọn D Câu 14: Gọi P trung điểm OO’ ⇒ P tâm hình lập phương Gọi E điểm đối xứng với M qua P ⇒ E trung điểm C’D’ Gọi F trung điểm A’D’ ⇒ FE PA 'C ' PMN Kẻ EF cắt A’B’ H, cắt B’C’ K Nối MH cắt AA’ I NK cắt CC’ G Vậy thiết diện cần tìm lục giác MNGEFI Chọn D Câu 15: Hình vẽ minh họa: Thiết diện mà mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương tam giác MNP Chọn A  ... 1, A2, …,An để n tam giác: SA1A2, SA2A3,…., SAnA1 - Hình chóp n tam giác đa giác A1A2…An gọi hình chóp ký hiệu A.A1A2…An - Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1A2 An gọi hình chóp ký hiệu S.A1A2...- Một hình có đáy hình vng, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành ta vẽ hình bình hành góc nhọn hình bình hành nên vẽ ≤ 450 II Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng... cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1, SA2,…,SAn gọi cạnh bên hình chóp - Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp