Bia DS>11HKI Bài 1 1 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C và D Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM AN BM NC 1; 2= = Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt (ABD), (ACD[.]
THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 Địa điểm học: Số nhà 57 ngõ 766 Đê La Thành, Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323 CHỦ ĐỀ 1- ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Ta tìm hai điểm chung phân hai mặt phẳng Giao tuyến chúng đường thẳng qua hai điểm α ∩ β = M Nghĩa là: α ∩ β = N ⇒ α ∩ β = MN M ≡ N Bài 1.1 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C D Trên đoạn AB AC lấy hai điểm M N AM AN cho = 1; = Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (DMN) với mặt (ABD), (ACD), (ABC) BM NC (BCD) HDGiải ( DMN ) ∩ ( ADB) = ? Ta có D ∈ ( DMN ) ∩ ( ADB) ⇒ M ∈ ( DMN ) ∩ ( ABD) Vậy : DM = (DMN ) ∩ ( ABD ) ( DMN ) ∩ ( ACD ) = DN ( DMN ) ∩ ( ABC ) = MN ( DMN ) ∩ (BCD ) = ? A M ∈ (DMN ) M ∈ AB ⊂ ( ABD) ⇒ M ∈ ( ABD) M Trong mp(ABC) có D N MN ∩ BC = E Tương tự: ( DMN ) ∩ (BCD ) = DE Hình 1.1 B C AM AN , nên ≠ BM NC E Bài 1.2 Cho S điểm khơng thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) HDGiải Gọi O giao điểm AC BD Ta có S S ∈ (SAC ) ∩ (SBD ) O ∈ AC ⊂ (SAC ) ⇒ O ∈ (SAC ) ∩ (SBD ) O ∈ BD ⊂ (SBD ) nên SO = (SAC ) ∩ (SBD ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) đường thẳng SO A D O B C Hình 1.2 Bài 1.3 Cho S điểm không thuộc mặt phẳnh hình thang ABCD (AB // CD AB > CD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) HDGiải S Gọi I giao điểm AD BC Ta có S I hai điểm chung (SAD) (SBC), nên SI = (SAD ) ∩ (SBC ) A Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) D đường thẳng SI C Hình 1.3 I B Bài 1.4 Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng Gọi I, K trung điểm hai đoạn thẳng AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) b) Gọi M N hai điểm hai đường thẳng AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) HDGiải THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 a) (IBC ) ∩ ( KAD ) = KI Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) đường thẳng KI b) Trong mp (ABD), gọi E = MD ∩ BI , mp(ACD) , gọi F = ND ∩ CI Ta có: (IBC ) ∩ ( DMN ) = EF Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) đường thẳng EF A I M E N F D B Hình 1.4 K C Vấn đề Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α ) Phương pháp: Để tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α ) , ta đưa việc tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng d / nằm mặt phẳng (α ) mp phuï( β ) ⊃ d Nghĩa là: ( β ) ∩ (α ) = d / ⇒ d ∩ (α ) = I d/ ∩ d = I Bài 1.5 Cho tam giác BCD điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi K trung điểm đoạn AD G trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm đường thẳng GK với mặt phẳng (BCD) HDGiải Gọi J giao điểm AG BC Trong mặt A AG AK phẳng (AJD), ta có = ; = nên GK K AJ AD JD cắt Gọi L giao điểm GK JD G Ta có L ∈ GK B D L ∈ JD I ⇒ L ∈ (BCD ) Hình 1.5 JD ⊂ (BCD ) L C Vậy L giao điểm GK (BCD) Bài 1.6 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD, AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Gọi E giao điểm đường thẳng MP BD Tìm giao tuyến hai mp (PMN) (BCD) b) Tìm giao điểm hai mp (PMN) BC HDGiải a ) ( MNP ) ∩ ( BCD ) = EN b) Trong mp (BCD), gọi Q = EN ∩ BC Ta có : BC ∩ ( MNP ) = Q A P M E B D Hình 1.6 Q N C Bài 1.7 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm nằm cạnh AB, AD với AI = AJ = IB 2 JD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD) HDGiải THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 AI = IB Do nên IJ kéo dài cắt BD, gọi giao điểm K Khi K = IJ ∩ ( BCD ) AJ = JD A I J B D Hình 1.7 K C Bài 1.8 Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J lần lựơt hai điểm cạnh BC BD cho IJ không song song với CD a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ACD) b) Lấy điểm N thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến hai mp (MNJ) (ABC) HDGiải P A a) Trong mp(BCD) có IJ khơng song song với CD nên: K = IJ ∩ CD Q M điểm chung thứ (ACD) (IJM) L K điểm chung thứ hai (ACD) (IJM) Vậy: ( IJM ) ∩ ( ACD ) = MK N b) Với L = JN ∩ AB , L giao điểm thứ hai mp(MNJ) M J B (ABC) D Trong mp(ABD), gọi P = JL ∩ AD, Q = PM ∩ AC I Ta có Q giao điểm thứ hai hai mp(MNJ) Hình 1.8 (ABC) C Vậy: ( MNJ ) ∩ ( ABC ) = LQ K Bài 1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song Lấy điểm M thuôc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) (SBM) (SCD) b) (ABM) và(SCD) c) (ABM) (SAC) HDGiải a) Ta có ngay: (SBM ) ∩ (SCD ) = SM S b) Ta có: M ∈ ( ABM ) ∩ (SCD ) Trong mp (ABCD) gọi I = AB ∩ CD M Suy : MI = ( ABM ) ∩ (SCD ) c) Ta có: A ∈ ( ABM ) ∩ (SAC ) A D J Trong mp (SCD), gọi J = IM ∩ SC Hình B Suy ra: J ∈ ( ABM ) ∩ (SAC ) C 1.9 Vậy: AJ = ( ABM ) ∩ (SAC ) I Bài 1.10 Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy điểm I lấy điểm J, K điểm thuộc miền tam giác BCD ACD Gọi L giao điểm JK với mp (ABC) a) Hãy xác định L b) Tìm giao tuyến mp(IJK) với mặt tứ diện ABCD HDGiải a) Trong mp (ACD), gọi N ∈ DK ∩ AC Trong mp (BCD), gọi M = DJ ∩ BC THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 Ta có MN = (DJK ) ∩ ( ABC ) ⇒ MN ⊂ ( ABC ) Vì L = ( ABC ) ∩ JK nên dễ thấy L = JK ∩ MN b) Ta có: I ∈ ( ABC ) ∩ ( IJK ) L = JK ∩ MN Nên có IM = ( ABC ) ∩ (IJK ) Trong mp(ABC) (ACD) gọi E = IL ∩ AC F = EK ∩ CD Suy ra: EF = ( ACD ) ∩ ( IJK ) Trong mp (BCA), nối FJ cắt BD P Suy ra: PF = (BCD ) ∩ (IJK ) PI = ( ABD ) ∩ (IJK ) A L E I Hình 1.10 N B K D P J M F C Bài 1.11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác, M N tương ứng điểm thuộc cạnh SC BC Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) HDGiải Gọi O = AC ∩ BD Trong mp(SAC), gọi S K = SO ∩ AM P Trong mp(ABCD), gọi L = BD ∩ AN Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD M K Và ta có: LK = (SBD ) ∩ ( AMN ) Mà mp (SBD), có LK ∩ SD = P D A Vậy: P = SD ∩ ( AMN ) O B N C Hình 1.11 Vấn đề Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Để chứng ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng riêng biệt Bài 1.12 Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SC lấy điểm D, E F cho cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng HDGiải S I ∈ DE Ta có: ⇒ I ∈ ( DEF ) F DE ⊂ ( DEF ) D I ∈ AB E Và ⇒ I ∈ ( ABC ) AB ⊂ ( ABC ) K A C Suy ra: J ∈ ( MNK ) ∩ (BCD ) Hình 1.12 B Lí luận tương tự ta có: J J, K điểm chung hai mặt phẳng (DEF) (ABC) I Vậy I, J, K thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (DEF) (ABC) nên I, J, K thẳng hàng Bài 1.13 Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) M, N, P Chứng minh M, N, P thẳng hàng HDGiải THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 Ta có M, N, P thuộc hai mặt phẳng (Q) (ABC), nên M, N, P thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (Q) (ABC) Vậy M, N, P thẳng hàng A B C Hình 1.13 M N P Q Bài 1.14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác AC cắt BD O Mặt phẳng (α ) cắt SA, SB, SC SD A1, B1, C1 D1 Gọi I giao điểm A1C1 B1D1 Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng HDGiải S Ta có I = AC ∩ BD O ∈ AC ⊂ (SAC ) (1) A1 D1 O ∈ BD ⊂ (SBD ) S ∈ (SAC ) I ∈ A1C1 ⊂ (SAC ) (2); (3) S ∈ (SBD ) I ∈ B1D1 ⊂ (SBD ) Từ suy S, I, O ba điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Nên S, I, O thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Vậy S, I, O thẳng hàng I B1 C1 A D O B Hình 1.14 C Bài 1.15 Cho hai mặt phẳng (α ) ( β ) cắt theo giao tuyến d Trong (α ) lấy hai điểm A B cho AB cắt d I O điểm nằm (α ) ( β ) cho OA OB cắt ( β ) A’ B’ a) Chúng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng b) Trong (α ) lấy điểm C cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử OC cắt ( β ) C’, BC cắt B’C’ J, CA cắt C’A’ K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng HDGiải a) I, A’, B’ ba điểm chung hai mặt phẳng (OAB) ( β ) nên chúng thẳng hàng C' b) I, J, K ba điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng I C B B' O A K A' Hình 1.15 Bài 1.16 Cho hình chóp S.ABCD có AB CD không song song Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) (ABM) HDGiải a) Gọi N = SM ∩ CD Ta có N = CD ∩ (SBM ) c) Gọi I = SO ∩ BM Ta có I = BM ∩ (SAC ) b) Gọi O = AC ∩ BN Ta có: (SBM ) ∩ (SAC ) = SO THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 d) Gọi R = AB ∩ CD , P = MR ∩ SC Ta có P = SC ∩ ( ABM ) ⇒ PM = (SCD ) ∩ ( ABM ) S M D P I A N B Hình 1.16 O C R Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD M, N trung điểm cạnh SA, SD, G trọng tâm tam giác SCD Tìm giao điểm của: a) MG mp(ABCD) b) BN mp(SAG) HDGiải K ∈ BN ⇒ K = BN ∩ (SAG ) SM K ∈ SI ⊂ (SAG ) a) Do M trung điểm SA nên = (1) SA S Tronh mp(SCD), có E = SG ∩ CD SG G trọng tâm tam giác SDC nên = (2) N SE M SM SG Từ (1) (2) suy ra: ≠ nên K G SA SE D A F = MG ∩ AE Vậy ta có I F ∈ MG E ⇒ F = MG ∩ ( ABCD ) Hình 1.17 F ∈ AE ⊂ ( ABCD ) B F b) Trong mp (ABCD) có I = AE ∩ BD C mp(SBD) có K = BN ∩ SI Ta có Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm nằm tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng BM mp(SAC) c) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (ABM) HDGiải S a) Gọi N = SM∩CD, O = AC∩BN Khi SO = (SAC) ∩ (SBM) b) Trong mp(SBM), đường thẳng BM cắt SO I Ta có I=BM∩(SAC) c) Trong mp(SAC), đường thẳng AI cắt SC P Ta có P M hai điểm chung mp(ABM) mp(SCD) (ABM) ∩ (SCD) = PM Đường thẳng PM cắt SD Q thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) tứ giác ABPQ Q M A I B D P N O C Hình 1.18 Bài 1.19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AB//CD, AB > CD) Gọi THẦY PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 I, J theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC), (SAC) (SBD) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mp(AIJ) c) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(AIJ) HDGiải a) Gọi K giao điểm AD BC, hai mặt phẳng (SAD) (SBC) có hai điểm ching S K Vậy: (SAD ) ∩ ( ABC ) = SK Gọi O giao điểm AC BD Vậy (SAC ) ∩ ( ABD ) = SO b) Gọi M giao điểm SK IJ Khi E A (SAD ) ∩ ( AIJ ) = AM Gọi E giao điểm AM SD E giao điểm SD với mp(AIJ) D c) Thiết diện hình chóp cắt mp(AIJ) tứ giác AIJE S I J M B O C Hình 1.19 K Bài 1.20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, gọi O tâm đáy; M, N trung điểm SA, SC Gọi (P) mặt phẳng qua M, N B a) Tìm giao tuyến (P) với mặt phẳng (SAB), (SBC) b) Tìm giao điểm I SO với mp(P) giao điểm K SD với mp(P) c) Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD), (SDC) d) Xác định giao điểm E, F mặt phẳng (P) với đường thẳng DA, DC chứng tỏ ba điểm E, B, F thẳng hàng HDGiải Rõ ràng, B, E, F ba điểm chung hai mặt a) ( P ) ∩ (SAB) = BM ;( P ) ∩ (SBC ) = BN phẳng (P) mp(ABCD) nên chúng thẳng b) Xét mp(SAC), gọi I giao điểm SO hàng MN I giao điểm SO mp(P) Gọi K S giao điểm đường thẳng BI với SD K giao điểm SD (P) c) ( P ) ∩ (SAD ) = MK ;( P ) ∩ (SDC ) = KN N K F d) Trong mp(SAD) gọi E giao điểm đường Hình M I thẳng MK với đường thẳng AD E giao điểm 1.20 (P) AD A C Tương tự, giao điểm F KN DC giao O điểm (P) DC E A D Bài 1.21 Cho tứ diện có cạnh a Gọi I trung điểm AD, J điểm đối xứng với D qua C, K điểm đối xứng với D qua B a) Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mp(IJK) b) Tính diện tích thiết diện xác định câ a) HDGiải a) Nối I J cắt AC N Nối I K cắt AB Xét tam giác AIM, ta có M Tam giác IMN thiết diện cần tìm IM = AI + AM − AI AM cos 60 b) Dễ thấy M trọng tâm tam giác ADK, N a 4a a a 13 trọng tâm tam giác ADJ Từ đó: = + − = a 36 2 AN = AC; AM = AB Suy AM = AN = a a 13 a 13 3 ⇒ MI = Tương tự: IN = 6 MN / / CB Vậy theo cơng thức Hê-rơng, ta có: 2 Do MN = CB = a 3 THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 S∆IMN = a 13 2 a 13 = + a a a − a 6 6 A I M a (đvdt) D B N K Hình 1.21 C J Bài 1.22 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K theo thứ tự hai điểm tam giác ABC BCD Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) J Hãy xácđịnh giao điểm J HDGiải Xét mp(BIK), gọi M = BI ∩ CA, N = BK ∩ CD J A Khi ( BIK ) ∩ ( ACD ) = MN MN cắt IK Hình điểm J Vậy J giao điểm IK mp(ACD) 1.22 M I D B K N C Bài 1.23 Cho hình bình hành ABCD nằm mặt phẳng (P) điểm S nằm mặt phẳng (P) Gọi M điểm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (CMN) HDGiải a) Trog mặt phẳng (SCA), gọi I giao điểm S CM SO Khi I ∈ CM ⊂ (CMN ) E Vậy I = SO ∩ (CMN ) M b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = NI ∩ SD I Khi đó, ta có M ∈ (CMN ) ∩ (SAD ) D E ∈ NI ⊂ (CMN ) ⇒ E ∈ (CMN ) ∩ (SAD ) E ∈ SD ⊂ (SAD ) Vậy ME = (CMN ) ∩ (SAD ) C O N A B Bài 1.24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác Lấy điểm M, N P điểm đoạn SA, AB BC cho chúng không trùng với trung điểm đoạn Tìm giao điểm (nếu có) mặt phẳng (MNP) với cạnh hình chóp HDGiải Ta tìm giao điểm mặt phẳng (MNP) Suy ra: J = SC ∩ ( MNP ) ; E = CD ∩ ( MNP ) ; với đường thẳng chứa cạnh hình chóp K = SD ∩ ( MNP ) Trong mp(SAB), gọi I = MN ∩ SB S I ∈ MN R Ta có: ⇒ I ∈ ( MNP ) M MN ⊂ ( MNP ) L A Vậy: I = SB ∩ ( MNP ) Tương tự: Trong mp(SBC), gọi J = IP ∩ BC Trong mp(ABCD), gọi E = NP ∩ CD Trong mp(SCD), gọi K = EJ ∩ SD D N B P Hình 1.24 C E I THẦY PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 Bài 1.25 Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng (α ) có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S điểm nằm mặt phẳng (α ) M trung điểm đoạn BC a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD mặt phẳng (MAB) b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy HDGiải a) Gọi E = AB ∩ CD Ta có S ( MAB) ∩ (SCD ) = ME Gọi N = ME ∩ SD Khi N giao điểm M SD mặt phẳng (MAB) Hình 1.25 N b) Gọi I = AM ∩ BN I = AM ∩ BN D C E I AM ⊂ (SAC ) Ta có ⇒ I ∈ SO O BN ⊂ (SBD ) A (SAC ) ∩ (SBD ) = SO B Điều chứng tỏ I, S, O thuộc hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Hay SO, AM, BN đồng quy THẦY PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 TẠI HÀ NỘI_ĐT:0963756323 ... K C Vấn đề Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α ) Phương pháp: Để tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α ) , ta đưa việc tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng d / nằm mặt phẳng (α... nằm mặt phẳng (P) điểm S nằm mặt phẳng (P) Gọi M điểm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng. .. SC Gọi (P) mặt phẳng qua M, N B a) Tìm giao tuyến (P) với mặt phẳng (SAB), (SBC) b) Tìm giao điểm I SO với mp(P) giao điểm K SD với mp(P) c) Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD),