Tổng hợp - Bài toán thực tế hình không gian

BÀI TỐN THỰC TẾ HÌNH KHƠNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngắn (cung mặt kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a,b (đơn vị dm) hình vẽ Tính a,b để bể cá tốn ngun liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a  24, b  24 B a  3, b  C a  2, b  D a  4, b  Lời giải Thể tích bể Vb  3ab  72 � ab  24 Diện tích bể cá S  9a  6b  ab  24  9a  6b �24  a.6b  24  54ab  96 �ab  24 �a  �� Chọn D Dấu xảy � 9a  6b b6 � � Ví dụ 2: Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (khơng có đáy) Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18  dm  Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước (hình đây) Tính thể tích nước cịn lại bình A 12  dm  B 54  dm  C 6  dm  Lời giải D 24  dm  Gọi bán kính khối cầu R (dm) Thể tích nước tràn ngồi thể tích nửa khối cầu �  R  2.18 � R3  27 � R   dm   Chiều cao bình nước là: h  R  2.3   dm  Bán kính đáy hình nón IA 1   IA SI IH Suy IA2  12 Vậy thể tích nước cịn lại 1 V  VN  18   RN h  18   12.6  18  6 3 Chọn C Ví dụ 3: Có bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước Người ta cho ba khối nón giống có thiết diện qua trục tam giác vuông cân vào bể cho ba đường tròn đáy ba khối nón tiếp xúc với nhau, khối nón có đường tròn đáy tiếp xúc với cạnh đáy bể hai khối nón cịn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh đáy bể Sau người ta đặt lên đỉnh ba khối nón khối cầu có bán kính lần bán kính đáy khối nón Biết khối cầu vừa đủ ngập nước lượng nước trào 337 cm3   Tính thể tích nước ban đầu bể A �885,  cm  B �1209,  cm  C �1106,  cm  D �1174,  cm  Lời giải Gọi r bán kính đáy hình nón suy chiều cao nón h = r (do thiết diện tam giác vuông cân) Chiều dài khối hộp b = 4r; bán kính khối cầu R  r 337 � r   cm  Thể tích nước bị tràn  r h   R  3 Gọi A, B, C tâm đáy khối nón suy ΔABC cạnh 2r  RABC  Chiều rộng khối hộp a  2r   2r  r 2  đỉnh nón chạm mặt cầu điểm M , N , P � MNP  ABC d  I ;  MNP    R  R2ABC  (với I tâm mặt cầu) d  I ;  MNP    r 2r Suy chiều cao khối trụ c  R  r  r  3r   3 Thể tích nước ban đầu abc  12  r  1209,  cm  Chọn B Ví dụ 4: Một hộp khơng nắp làm từ mảnh tơng theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x (cm), chiều cao h (cm) thể tích 500 cm3 Tính độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa tơng A x  cm B x  10 cm C x  cm Lời giải Theo giả thiết ta tích hộp V  x h  500 � h  2 Diện tích mảnh cát tông f  x   x  4hx  x  Xét hàm số f  x   x  D x  cm 500 x2 2000 x 2000 2000  x   ta có: f �  x   x   � x  10 x x Từ ta có: f  x  nhỏ x = 10 cm Chọn B Ví dụ 5: Một sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 kem giống theo đơn đặt hàng Cốc đựng kem có dạng hình trịn xoay tạo thành quay hình thang ABCD vng A D xung quanh trục AD (xem hình vẽ) Chiếc cốc có bề dày khơng đáng kể, chiều cao 7,2 cm, đường kính miệng cốc 6,4 cm, đường kính đáy cốc 1,6 cm Kem đổ đầy cốc dư phía ngồi lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bán kính miệng cốc Cơ sở cần dùng lượng kem gần với giá trị giá trị sau? A 132 dm3 B 293 dm3 C 954 dm5 Lời giải D 170 dm3 Thế tích kem cần tính bao gồm Thể tích hình nón cụt có bán kính đáy lớn R1  3, cm , bán kính đáy nhỏ r1  0,8 cm chiều cao h  7, cm Thể tích nửa khối cầu có bán kính R = 3,7 cm 1 �4 2 3� Suy V   h  R1  R1r1  r1   �  R ��170 cm �3 � Vậy thể tích 1000 kem 170.103 cm3 = 170 dm3 Chọn D Ví dụ 6: Một xưởng sản xuất muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần không tơ màu làm thủy tinh) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau? A 711,6 cm3 B 1070,8 cm3 C 602,2 cm3 D 6021,3 cm3 Lời giải 2 Thể tích hình trụ V1   r h   6, 13,  1806,39 cm 4 � 13,  � Thể tích hình cầu chứa cát V2   R3   � � 735, 62 cm 3 � � Vậy lượng thủy tinh cần phải làm V  V1  V2  1070, 77 cm Chọn B Ví dụ 7: Một cốc hình trụ có đường kính đáy cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ đến mép nước ngang với đường kính đáy cốc Khi diện tích bề mặt nước cốc A 26   cm  10 C 26   cm  2 B 26  cm  D 26   cm  Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ cắt mặt nước theo thiết diện tam giác vuông ABM Hình chiếu vng góc mặt phẳng thiết diện xuống đáy nửa đường trịn đường kính AB Theo cơng thức hình chiếu ta có: Scos     � MAB  ;  NAB  1 S C    R   2 Lại có: cos   R R  h2  Vậy S  9 26 Chọn C 26 Ví dụ 8: Người ta thả viên billiards snooker có dạnh hình cầu với bán kính nhỏ 4,5cm vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt mrớc sau dâng (tham kháo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc 5,4 cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Bán kính viên billiards A 4,2 cm B 3,6 cm C 2,6 cm D 2,7 cm Lời giải 2 Thể tích mực nước ban đầu là: V1   r1 h1   5, 4,5 Gọi R bán kính viên bi ta có tổng thể tích nước bi sau thả viên bi vào cốc là: V   r12  2R    5, 42.2R Thể tích cầu là: V C    R Ta có: V  V1  V2 � 5, 4,5  R  5, 2.2 R Giải phương trình với điều kiện R  4,5 � R  2, cm Chọn D Ví dụ 9: Một kẽm hình vng ABCD có cạnh 30 cm Người ta gập kẽm theo hai cạnh EF GH AD BC trùng hình vẽ bên để hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn là: A x  5cm B x  cm C x  cm D x  10 cm Lời giải Thể tích khối lăng trụ tạo thành V  S FDH AD Thể tích đạt giá trị lớn SNAD lớn Theo hệ thức Hê-rông ta có: SNAD  Suy S  15  15  x  p  p  a   p  b   p  c   15  15  x  � 15   30  x  � � � �a  b  c �  x  15  Áp dụng bất đẳng thức abc �� � ta có: � � 15  x  15  x  x  15 �  15  x   15  x   x  15 �� � � 125 � � Dấu xảy � 15  x  x  15 � x  10 cm Chọn D Ví dụ 10: Cho nhơm hình vng cạnh l (m) hình vẽ Người ta cắt phần tô đậm nhôm gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x (m) Tìm giá trị x để khối chóp nhận tích lớn A x  B x  C x  2 D x  Lời giải Đặt cạnh bên y cạnh đáy chóp x x� Ta có: Độ dài đường cao mặt bên là: a  y  � �� �2 � Khi theo hình ta được: 2a  x  � y  � x2 � � �y  � 4� �  2x  x2  x  (bằng đường chéo hình vng)  x  x  � y  x  x  2 1 �x � x2 1 x x2 Lại có: Vchop  hS  y �  1 x �.x  �2 � ñ 3 � �   � � 2 0; Xét hàm f  x  x 1 x � x  5x4  4x3  � x  �ta có: f �  � 2� Từ suy Vmax đạt x  2 Chọn C Ví dụ 11: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152 m2 chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường) A 16 �24 m B �48 m C 12 �32 m Lời giải D 24 �32 m Gọi h chiều cao cố định nhà xưởng Và a, b chiều dài, chiều rộng mặt sàn Xét phòng sau bị ngăn tường, phịng hình chữ nhật có “chiều cao h, kích thước hai cạnh đáy a , b ” => diện tích xây xưởng a a S  .b  .h  4.b.h  2ab  2h  a  2b  3 Mà ab  1152 � b  1152 2304 2304 nên suy a  2b  a  �2 a  96 a a a Dấu xảy a  2304 � a  48 Do Smin  192h  2304 a Vậy cần xây phịng theo kích thước a �b  16 �24 m chi phí thấp Chọn A a� �  x  �phần cịn lại tam Ví dụ 12: Cắt ba góc tam giác cạnh a đoạn x, � 2� � giác bên ngồi hình chữ nhật, gấp hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác hình vẽ Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn a A x  a B x  Lời giải a C x  �  300 � MI  x Xét ΔAMI hình vẽ, đặt AM  x  0, MAI Lăng trụ tạo thành lăng trụ tam giác cạnh đáy a� � a  x, � 0 x � 2� � Chiều cao là: h   a  2x  V x thể tích khối lăng trụ là: 3 x a x  4ax  x3  a D x  1� 3�  x  �� Ta chọn a  Xét f  x   x  x  x � 2� � � x   loai  � f�  x    8x  12 x  � � � x � a �1 � Max f  x   x   Chọn D f  x   lim1 f  x   0; f � � Lại có: lim nên � 1� x �0 27 6 0; � x� �6 � 27 � � � Ví dụ 13: Ơng An cần sản xuất thang để trèo qua tường nhà Ông muốn thang ln dược đặt qua vị trí C biết điểm C cao 2m so với nhà điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên) Giả sử kinh phí để sản xuất thang 400.000 đồng/ mét dài Hỏi ông An cần tiền để sản xuất thang? (kết làm trịn đến hàng nghìn đồng) A 1.400.000 đồng B 800.000 đồng C 2.160.000 đồng D 1.665.000 đồng Lời giải Đặt   � ACx AC  � ; BCy  90o   cos   Do BC  � AB    � 0;90o  o cos  sin  cos  90     Ta có: AB� 2sin  cos    � 2sin   cos3  cos  sin  � tan    � T  ABmin 400000 �1665000 Chọn D Ví dụ 14: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng hình vẽ Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R  3 cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) B 54 cm3 A 108 cm3 D 45 cm3 C 18 cm3 Lời giải Xét khối trụ nội tiếp khối cầu Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ cho �h � Khi ta có: r  R  � � h � 0; R  �2 � 2 Thể tích khối trụ V   r h   Lại có V �   4R  h2  h  2R R  3h   � h   Khi Vmax  4 3R Do khối trụ nằm nửa hộp kem nên Vmax  2 3R  54 Chọn B Ví dụ 15: Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu đảo lộn phễu lên chiều cao nước ? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,3 (cm) B 0,5 (cm) C 0,216 (cm) D 0,188 (cm) Lời giải Gọi V thể tích phễu Khi thể tích nước bình V1 � V1 �h1 � thể tích phần  � � V �h � 27 26V V h2 � Ta có: V   R h;  � không chứa nước V2  � � (với h2 chiều cao cần tính) 27 V �h � 26 �h2 � 26 Suy  � �� h2  h � hct  h  h2 �0,188  cm  (với hct chiều cao cần tìm) 27 �h � 27 Chọn D Ví dụ 16: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9 �3 người ta gấp tơn hình vẽ dưới, biết mặt cắt máng xối (bởi mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ, có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x (m) thể tích máng xối lớn nhất? A x  0,5 B x  0, C x  0, Lời giải D x  0, 65 Mặt đáy máng xối nước thang cân có đáy lớn x đáy bé 0,3 m x  0,3 � Cạnh bên hình thang 0,3m suy chiều cao hình thang h  0,3  � � � � � 2 Khi S ht  0,3  x x  0,3 �x  0,3 � h  0,32  � �  f  x   x  0,3 2 � � Đến xét hàm f  x  thay giá trị x đề cho ta f  0,5  2 ; f  0,  �0,105; f  0,  �0,117; f  0, 65  �0,1158 25 Do ta thấy f max  f  0,  Chọn C Ví dụ 17: Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA = 27 m Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần Tính độ dài đoạn MN A 27    m B 9    m C 9    m D    m Lời giải Gọi V1; V2 lượng nước cịn lại sau lần nước thứ thứ hai, V thể tích nước ban đầu 2V V �SM � Sau lần nước thứ cịn lại: V1  �   � � Do SM  27 V �SA � 3 Sau lần nước thứ hai cịn lại V2  Vậy MN  SM  SN  9  V V �SN � �   � �� SN  9 V �SA �   Chọn C Ví dụ 18: Một phễu có dạng hình chóp tứ giác S.ABCD Đổ nước vào phễu cho chiều cao mực nước 98  cm  Sau ta đậy nắp phễu lật úp lại (lấy ABCD mặt đáy phễu) lúc chiều cao mực nước (cm) Hỏi chiều cao phễu bao nhiêu? A 16 (cm) B 12 (cm) C 10 (cm) Lời giải D 14 (cm) Gọi h chiều cao chóp tứ giác, V thể tích chóp; Vn thể tích nước đổ vào chóp 3 V �h � V  Vn �h  h2 � Ban đầu n  �1 �; sau lật ngược phễu ta có: � �với h1  98; h2  V �h � V � h �  h   � h  10cm Chọn C Cộng vế theo vế ta  784  h h3 Ví dụ 19: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144, đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 Các lối phịng bên kim tự tháp chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg/m3 Số lần để vận chuyển đá cho việc xây dựng kim tự tháp A 740600 B 7406 C 74060 Lời giải D 76040 Thế tích Kim tự tháp khơng kể lối phòng bên kim tự tháp là: V1  144.2302  2539200  m3  Thể tích Kim tự tháp kể lối phòng bên kim tự tháp là:  100%  30%  2539200  1777440  m3  Gọi n số lần vận chuyển đá cho việc xây dựng kim tự tháp, ta có: n 10.6000 : 2,5.103  1777440 � n  74060 (lần) Chọn C Ví dụ 20: Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy cm, chiều dài lăn 23 cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện tích A 1735 cm B 3450 cm2 C 862,5 cm Lời giải D 1725 cm Chu vi đáy lăn trụ là: C  2 R  5  cm  Khi lăn trọn 15 vịng tạo nên sân phẳng có chiều dài là: 15.C  15.5  75  cm  Diện tích sân phẳng là: S  75 23  1725  cm  Chọn D Ví dụ 21: Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng khơng song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ (giả sử khúc gỗ khơng thấm nước kết làm tròn đến phần hàng chục) A R  8, cm B R  4,8 cm C R  6, cm Lời giải D R  5, cm Đường trịn nội tiếp hình chữ nhật  hình chữ nhật hình vng cạnh 2R Thể tích hình hộp chữ nhật Vh.h  S h  20  R   80 R cm3 Cơng thức tính nhanh khối trịn xoay  1 khối trụ cụt có bán kính R Diện tích xung quanh khối trụ cụt Sxq   R  h1  h2  h h � 2� Thể tích khối trụ cụt V   R �1 � � � Với toán trên, khúc gỗ khối trụ cụt có chiều cao h1  12 cm � � h2  20 cm � h h � 2� Thể tích khúc gỗ Vg   R �1 � 16. R cm � �  2 Vì đặt khúc gỗ vào hình hộp lượng nước cịn lại Vh.h  Vg  2000 cm Từ (1), (2) (3) suy 80 R  16 R  2000 � R   3 2000 �8, cm Chọn A 80  16 Ví dụ 22: Người ta dùng sắt tây hình chữ nhật có kích thước 30  48 cm để làm hộp không nắp cách cắt bỏ bốn hình vng bốn góc gấp lên Thể tích lớn hộp A 3886 cm3 B 3880 cm3 C 3900 cm3 Lời giải D 3888 cm3 Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt Khi đó, thể tích khối hộp V  x  30  x   48  x   x   12  x  26 x  120  Xét hàm số f  x   x  30  x   48  x  với x � 0;15  Ta có f �  x  15  x  15 � � �� � x   x   � �2 Phương trình f �  x    x  20   �x  26 x  120  � Dựa vào bảng biến thiên, suy f  x  đạt giá trị lớn f    3888 � Vmax  3888cm Chọn D Ví dụ 23: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công xây bể 500.000 đồng/m2 Chi phí th nhân cơng thấp là: A 150 triệu đồng B 75 triệu đồng C 60 triệu đồng Lời giải D 100 triệu đồng Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) Gọi h chiều cao bể nên ta có V  S h  x h  500 250 250 � x h  �h 3 3x 2 Diện tích bể S  2.h.x  2.2h.x  x  x  6.hx  x  Áp dụng bất đẳng thức AM  GM, ta có x  Dấu = xảy x  250 500 x  x  3x x 500 250 250 250 250  2x2   �3 x  150 x x x x x 250 � x  125 � chi phí thấp thuê nhân công 150  75 triệu đồng x Chọn B Ví dụ 24: Một cơng ty dự kiến chi tỷ đồng để sản xuất thùng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí để làm mặt xung quanh thùng 100.000 đ/m2, chi phí để làm mặt đáy 120.000 đ/m2 Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối không đáng kể) A 12525 thùng B 18209 thùng C 57582 thùng Lời giải D 58135 thùng Gọi r h bán kính đáy chiều cao thùng sơn Suy dung tích thùng sơn V   r h  0, 005  m  Diện tích xung quanh thùng S xq  2 rh, diện tích đáy S d  2 r 2 Chi phí T  2 rh.100  2 r 120 ta tìm Tmin T  40  5rh  6r  � F  5rh  6r nhỏ Ta có F  0, 005 1 1  6r    6r �3 6r  3 r 80 r 80 r 80 r 80 r 3200 Chi phí sản xuất nhiều thùng Khi số thùng tối đa sản xuất là: n  1.000.000  58135 thùng Chọn D Tmin Ví dụ 25: Một người muốn làm thùng dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, đáy hình vng tích 2,16/m3 Biết giá vật liệu làm đáy mặt bên thùng 90 000 đồng/ m2 36 000 đồng/m2 Để làm thùng với chi phí mua vật liệu thấp người thợ phải chọn kích thước thùng bao nhiêu? A Cạnh đáy 1,5 m chiều cao 0,96 m C Cạnh đáy 1,0 m chiều cao 1,7 m B Cạnh đáy 1,2 m chiều cao 1,5 m D Cạnh đáy m chiều cao 0,54 m Lời giải Gọi cạnh đáy hình hộp chữ nhật x chiều cao y Ta có: V  x y  2,16 m , S d  x ; S xq  xy 2 Khi T  90 x  36  xy   90 x  Dấu xảy � 90 x  311,04 155,52 155,52  90 x   �3 90.155,522  388,8 x x x 155,52 � x   1, 2; y  1,5 Chọn B x Ví dụ 26: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100000 đ/m2 Phần thân làm tôn giá 90000 đ/m2, nắp nhôm giá 120000 đ/m Hỏi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp tỉ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? A 22 B 22 C 31 22 D Lời giải Gọi bán kính đáy R, chiều cao h Mặt khác: V   R h  150 � h  150  R2 Diện tích đáy là:  R � Chi phí làm đáy là: 10 R (chục nghìn đồng ) Diên tích thân là: 2 Rh  2 R 150 300 300 2700  � Chi phí làm thân là:  R R R R Diện tích nắp là:  R � Chi phí làm nắp 12 R 2 Chi phí sản xuất bể là: 10 R  Ta có: 22 R  �3 22 R 2700 2700  12 R  22 R  (đồng) R R 2700 � 2700 � � 1350 1350 �  �22 R   � �22 R  � R R �� R R � � 1350 1350  3 22 1350 R R Dấu = xảy � 22 R  1350 675 h 150 22 � R3  �   Chọn A R 11 R  R3 21 32 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Một xưởng làm khí nhận làm thùng phuy với thể tích theo yêu cầu 2000 π lít nước Hỏi bán kính đáy chiều cao thùng để tiết kiệm vật liệu nhất? A m m B dm dm C m m D dm dm Câu 2: Một phễu có dạng hình nón với chiều cao 30 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 15 cm (Hình 1) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên (Hình 2) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau đây? A 15 cm B 1,306 cm C 1,233 cm D 1,533 cm Câu 3: Một bình nước dạng hình nón khơng có đáy, đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo thể tích nước tràn 16 dm3 Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (hình vẽ bên) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Tính diện tích xung quanh bình nước A 4 dm C 9 10 dm B 4 10 dm D 3 dm Câu 4: Từ miếng sắt tây hình trịn bán kính R, ta cắt hình quạt cuộn phần cịn lại thành phễu hình nón số đo cung hình quạt bị cắt phải độ (làm trịn đến đơn vị độ) để hình nón có dung tích lớn nhất? A 65° B 90° C 45° D 60° Câu 5: Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột trụ tròn gồm 10 ngơi nhà Trước hồn thiện, cột khối bê tơng cốt thép hình lăng trụ đều, có đáy tứ giác có cạnh 20 cm Sau hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) cột khối trụ trịn có đường kính đáy 50 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 65000 cm3 xi măng Hỏi cần xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn hệ thống cột? A 77 B 65 C 90 D 72 Câu 6: Một khối cầu thép có bán kính m Để làm lu đựng nước, người ta cắt bớt hai phần hai mặt phẳng cách m cung vng góc với đường kính AB, tạo thành thiết diện hai đáy hình trịn tâm I I’ hình vẽ Mặt phẳng đáy (chứa I) cách tâm O khối cầu a m Sau cắt, đáy hàn kín lại thép hình trịn, đáy để trống Giả sử mét vng thép có giá 100.000 đồng Tính số tiền tối thiểu mua thép để hàn kín đáy biết lu chứa 126 m nước (Coi bề dày khối cầu thép đáy khơng đáng kể, kểt làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) A triệu 827 nghìn đồng B triệu 513 nghìn đồng C triệu 140 nghìn đồng D triệu 768 nghìn đồng Câu 7: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn m, có bán kính đáy m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5 m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị m3) A 12,637 m3 B 114,923 m3 C 11,781 m3 D 8,307 m3 Câu 8: Cho hình vẽ hình bên Một quạ muốn uống nước cốc có dạng hình chữ nhật (khơng có nắp) với đáy hình vng cạnh cm Mực nước cốc có chiều cao cm Vì vậy, quạ chưa thể uống Để uống nước quạ cần thả viên bi đá vào cốc cho mực nước dâng cao thêm cm Biết viên bi hình cầu có đường kính cm, chìm hồn tồn nước có số lượng đủ dùng Hỏi quạ cần thả viên bi vào cốc để uống nước? A 48 viên B viên C 76 viên D 24 viên Câu 9: Để làm cống thoát nước cho khu dân cư người ta cần đúc 500 ống hình trụ có đường kính chiều cao ống m, độ dày thành ống 10 cm Để trộn khối bê tông dùng để đúc ống nói cần bao xi măng, số bao xi măng cần dùng để làm đù 500 ống nói gần với số số sau A 1230 B 1210 C 1220 D 1200 Câu 10: Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước a 2a (a độ dài cho trước) Người ta nhơm thành hình trụ, biết chu vi đáy hình trụ 2a Tính thể tích V khối trụ A V  a3  C V  B V   a3 a3 2 D V  2 a Câu 11: Hai bạn X Y có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b Bạn X cuộn bìa theo chiều dài cho hai mép sát dùng băng dính dán lại mặt trịn xung quanh hình trụ khối trụ tích V (khi chiều rộng bìa chiều cao hình trụ) Bạn Y cuộn bìa theo chiều rộng theo cách tương tự để mặt xung quanh hình trụ khối trụ tích V2 Tính tỉ số A V1 b  V2 a B V1  V2 V1 V2 C V1  ab V2 D V1 a  V2 b LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi R (m) h (m) bán kính đáy chiều cao thùng phuy 3 Ta có: 2000 lít  2  m  Thể tích thùng phi V  2  m  � 2 R h  2 � h  R2 �2 � Diện tích tồn phần thùng phuy là: Stp  2 R  2 Rh  2 �R  � R� � Mặt khác R  1 1  R   �3 R  R R R R R Dấu xảy � R  1 m  � h   m  Chọn A V �1 � Câu 2: Thể tích nước ban đầu V 1, thể tích phễu V �  � � (Do hai hình nón đồng dạng V �2 � theo tỷ lệ k  15  ) 30 Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên (Hình 2) chiều cao cột nước phễu x suy chiều cao phần không chứa nước h2  30  x 3 V �h � �30  x � Thể tích phần khơng chứa nước V2  V suy  �2 ��  � � V �h � � 30 � x 1� 30 x 1,306 cm Chọn B Câu 3: Xét hình nón hình vẽ: h  SO  3r , r  OA, l  SA Xét hình trụ: h1  2r  NQ, r1  ON  IQ Ta có: IQ / /OP � IQ SI r   � r1  (định lý Talet) OP SO 3 Thể tích khối trụ là: Vt   r12 h1  2 r 16  � r  � h  9 � l  h  r  10 � S xq   r l  4 10 dm Chọn B Câu 4: Xét hình nón tạo thành, có độ dài đường sinh ln = R Gọi α (rad) số đo cung hình quạt cịn lại, độ dài cung lại L = αR Và L chu vi đường trịn đáy hình nón � 2 rn  L   R � rn   R 2 2 2 2 Vây thể tích khối nón V   rn hn   rn ln  rn   x R  x với x  rn 3 2 Ta có x  R  x   x2 x2 R6 2R 2 R  R  x  �4 � x2 R2  x2 � � Vmax  2 27 3 x2 3 � R � Dấu đẳng thức xảy  R  x � R  rn2  � ��    �2940 2 �2 � Vậy số đo cung bị cắt là: 3600  2940  660 Chọn A Câu 5: Tổng thể tích 10 khối trụ sau hoàn thiện �50 � V1  10 r h  10 � �.400  2500000 cm �2 � Để tính thể tích vữa ta tính thể tích 10 khối lăng trụ tứ giác cạnh đáy 20 cm, chiều cao 4m Chú ý đáy khối cột hình tứ giác cạnh 20 cm, ta có diện tích đáy: S  20  400 cm Vì tổng thể tích 10 cột ban đầu là: V2  10 Sh  10.400.400  1600000 cm Thể tích vữa cần dùng là: V  V1  V2  2500000  1600000  cm  Số bao xi măng cần dùng n  0,8V �77 Chọn A 65000 �IA  OA  OI   a Câu 6: Dựa vào hình vẽ, ta thấy � B  AB  AI  II �  a 1 �I � 500 Thể tích khối cầu bán kính R  V0   R  3 h1 �  a  10    a   B V1   h � Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h1  I � �R  � � 3� 2 h2 �  16  a   a  1  Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h2  IA V2   h22 � �R  � � 3� Vậy thể tích Lu V  V0  V1  V2 �  a  10    a    16  a   a  1  122 2 Do a  � Bán kính đường trịn đáy r  R  a  Vậy diện tích đáy S   r  9 nên số tiền mua thép T ≈ triệu 827 nghìn đồng Chọn A Câu 7: Thể tích khối dầu cịn lại diện tích mặt cắt ngang phần dầu (diện tích hình trịn chứa cung � ABC ) cịn lại nhân với chiều dài bể Ta có IH  0,5 � OH  0,5 � AC  OA2  OH  3 Do S OAC  OH AC  sin � AOC  �� AOC  1200 Suy diện tích cần tính S  360  120 2  R  S OAC   360 Vậy thể tích khối dầu lại V  h.S  10  �12, 637 m3 Chọn A 4 �1 �  Câu 8: Thể tích viên bi Vbi   R  � � cm3 3 �2 � Để mực nước dâng thêm cm thể tích dâng thêm Vt  B.h   25 cm Do đó, mực nước dâng thêm thể tích n viên bi Vậy n  Vt  150  25 :  �48 viên Chọn A Vbi  2 Câu 9: Thể tích khối trụ bán kính 0,6 m V1   R1 h   0,  2 Thể tích khối trụ bán kính 0,5 m V2   R2 h   0,5  Do đó, thể tích bê tơng để đúc ống V  V1  V2  Suy lượng bê tông để đúc 500 ống V500  500 9 25  11 100 11  55 100 Vậy số lượng bao xi măng cần mua 55 �1210 Chọn B Câu 10: Vì hình trụ có chu vi đáy 2a � Chiều cao h  a Bán kính đáy hình trụ R  C 2a a   2 2  a3 �a � Vậy thể tích khối trụ V   R h   � �.a  Chọn A  � � Câu 11: Bạn X cuộn bìa khối trụ có chiều cao h1  b; chu vi đáy C1  a � R1  Ban Y cuộn bìa khối trụ có chiều cao h  a; chu vi đáy C  b � R  2 b 2 a 2b ab �a � �b � Do thể tích V1   R h   � �.b  ; thể tích V2   R2 h2   � �.a  4 4 �2 � �2 � 1 Vậy tỉ số V1 a 2b ab a  :  Chọn D V2 4 4 b a 2 ... giống theo đơn đặt hàng Cốc đựng kem có dạng hình trịn xoay tạo thành quay hình thang ABCD vng A D xung quanh trục AD (xem hình vẽ) Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm, đường kính... muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần không tô màu làm thủy tinh) Khi đó, lượng... bên hình chữ nhật, gấp hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác hình vẽ Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn a A x  a B x  Lời giải a C x  �  300 � MI  x Xét ΔAMI hình