Tổng hợp bài toán cực trị hình không gian

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN I CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Áp dụng các phương pháp tính thể tích thông qua tam giác vuông; các loại góc và khoảng cách trong không gian cũng như các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ • Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa biến Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương Dạng 2 số hoặc Dạng 3 số hoặc Cách 2 Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến t.

BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH KHƠNG GIAN I CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Áp dụng phương pháp tính thể tích thơng qua tam giác vng; loại góc khoảng cách khơng gian cơng thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ • Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số thực dương a  b2 a  b - Dạng số: a  b  ab  ab  ab   - Dạng số: a  b  c  3 abc  abc  a  b3  c ( a  b  c)3 abc  27 Cách Khảo sát hàm số f(x) khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên) CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SC = Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho A Vmax  40 B Vmax  80 C Vmax  20 D Vmax  24 Lời giải Đặt AD  x  Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD  x Tam giác ABC vng B, có AC  AB  BC  x  16 Tam giác SAC vng A, có SA  SC  AC  20  x Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD 1 VS ABCD  SA.S ABCD  20  x x  x 20  x 3 Ta có x 20  x  x2   20  x  2  20 40  10  V  Dấu xảy x  20  x  x  10 Vậy Vmax  40 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 4, cạnh bên Thể tích lớn khối chóp S.ABCD A Vmax  40 B Vmax  64 C Vmax  Lời giải 128 D Vmax  32 Vì SA  SB  SC  SD  Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) tâm đường tròn ngoại tiếp đáy  SO   ABCD  Đặt AB  x Ta có BD  AB  AD  x  16 Tam giác SBO vng O, có x  16 128  x SO  SB  OB  36   2 Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD 1 128  x 2  SO.S ABCD  x  x 128  x 3 Mà x 128  x  128 x  128  x 2 128 Vậy Vmax  Chọn C  64  V  64  3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 4, SC = Tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích lớn khối chóp S.ABCD A Vmax  40 20 Lời giải C Vmax  20 B Vmax  D Vmax  80 Gọi H trung điểm AD Tam giác SAD cân S  SH  AD Ta có  SAD    ABCD   SH   ABCD   V  SH S ABCD Đặt AD  x  S ABCD  AB AD  x Tam giác HCD vng D, có HC  HD  CD  x  16 Tam giác SHC vng H, có SH  SC  HC  20  x 8 x  20  x 80 Do V  20  x x  x 20  x   3 3 Dấu xảy x  20  x  x  10 Vậy Vmax  80 Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = Các cạnh bên SA = SB = SC = Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho A Vmax  B Vmax  C Vmax  Lời giải Gọi H trung điểm BC, ABC vuông A Suy H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SA  SB  SC  H hình chiếu S (ABC) Đặt AC  x Tam giác ABC vuông  BC  AB  AC  x  D Vmax  x Diện tích tam giác ABC S ABC  AB AC  2 Tam giác SBH vuông H, có SH  SB  BH  15  x 2 1 Do đó, thể tích cần tính V  SH SABC  x 15  x 12 Mà x 15  x  x  15  x 15 15   V   Vậy 2 12 Vmax  Chọn B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 1, cạnh bên SA = x vng góc với mặt đáy (ABCD) Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM = y (0  y  1) Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S.ABCM, biết x  y  A Vmax  3 Lời giải B Vmax  C Vmax  24 D Vmax  3 Từ giả thiết, ta có x  y   y   x x 1  AM  BC  Diện tích mặt đáy S ABCM    AB  2   x  1  x Thể tích khối chóp VS ABCM VS ABCM  SA.S ABCM   Xét hàm số f  x    x  1  x (0;1), có f   x    x2  x2  x  x2   x  2x2  x2 ; f  x   x  1 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta max f  x   f    Vậy Vmax  Chọn B  0;1 2 Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, khoảng cách hai đường thẳng AB SC Thể tích lớn khối chóp S.ABCD A Vmax  B Vmax  24 Lời giải C Vmax  Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Gọi M trung điểm CD, H hình chiếu O SM  SO  CD  CD   SMO   CD  OH  OH   SCD  Ta có  OM  CD Lại có AB / / CD  AB / /  SCD  D Vmax  16  d  AB; SC   d  A;  SCD    2d  O;  SCD   Theo ra, ta có d  AB; SC   2OH   OH  Đặt AB  x  OM  x Tam giác SMO vng O, có 1    SO  2 OH SO OM 2x x2  1 2x x3 V  SO S  x  Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD ABCD 3 x2  x2  Xét hàm số f  x   x3 x2   2;    max f  x   Vậy thể tích lớn cần tính Vmax   16 Chọn D   Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA  x  x  , tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? A Vmax  B Vmax  C Vmax  D Vmax  Lời giải Gọi O tâm hình thoi ABCD  OA  OC (1) Theo ra, ta có SBD  CBD  SO  OC (2) Từ (1) (2), ta có SO  OA  OC  AC  SAC vuông S  AC  SA2  SC  x  Suy OA  AC  x2   x2 OB  AB  OA2  2 Diện tích hình thoi S ABCD  2.OA.OB  x  1   x  Lại có SB  SC  SD   Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD  H  AC Tam giác SAC vng S, có SH  SA.SC SA2  SC Do đó, thể tích cần tính V  SH S ABCD  3 Mà x  x  x  x x2   1   x  x x 1  x  x x2   x2 3   V   Vậy Vmax  Chọn C 2 Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = x cạnh cịn lại Thể tích tứ diện ABCD lớn giá trị x A x  C x  Lời giải B x  D x  2 Gọi M, N trung điểm CD, AB Hai tam giác ACD, BCD  AM  BM  3 3 2  ABM cân M  MN  AB  MN  BM  BN  36  x  BM  CD  CD   ABM   VABCD  2VC ABM  CM S ABM Ta có   AM  CD 36  x Do đó, thể tích cần tính VABCD  x  x 36  x 2 Mà x 36  x  x  36  x  18  V  18  3 Dấu xảy x  36  x  x  36  x  Chọn B Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng cân A, SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính cos thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất? A cos  Lời giải B cos  C cos  D cos  3 ( H  SM ) Gọi M trung điểm BC, kẻ AH  SM Tam giác ABC cân A suy BC  AM Mà SA   ABC   SA  BC Suy BC   SAM   AH  BC  AH   SBC  Do d  A;  SBC    AH  Tam giác AMH vuông  AM  Tam giác vuông cân ABC  BC  AM  S ABC  sin  9  sin   cos 2 Khi đó, thể tích khối chóp V  SA.SABC    cos   cos 27 Xét hàm số f  x     cos x  cos x , ta f ( x )  Suy V  Dấu xảy cos  Chọn D Ví dụ 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) ¼  SCB ¼  90 Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC tích nhỏ 2, SAB B AB  A AB  C AB  D AB  10 Lời giải Gọi D điểm cho ABCD hình vng  AB  AD  AB  AD   AB   SAD   AB  SD Ta có  ·  SAB  90  AB  SA Tương tự, ta có BC  SD suy SD   ABCD  Kẻ DH  SC  H  SC   DH   SBC  Khi d  A;  SBC    d  D;  SBC    DH Đặt AB  x  Tam giác SCD vng D, có 1    2 DH SD DC  2  1   SD  SD x x x2  2 x3 Do đó, thể tích khối chóp S.ABC VS ABC  VS ABCD  x2  Xét hàm số f  x   x3 x2    f  x  f 2;  , ta  2;   3  3 Chọn A Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vng cân B, AC = Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M, N khác phía so với mặt phẳng (ABC) cho AM.AN = Thể tích khối tứ diện MNBC nhỏ A Vmin  Lời giải B Vmin  C Vmin  D Vmin  Đặt AM  x, AN  y suy AM AN  x y  Tam giác ABC vuông cân B, có AB  BC  Diện tích tam giác vng ABC S ABC  AC  2 AB.BC  x y Ta có VMNBC  VM ABC  VN ABC  SABC  AM  AN   3 Lại có x  y  xy (bất đẳng thức AM – GM)  Dấu xảy x  y  Vậy Vmin  x y  3 Chọn C Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SA = AB = Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB SC Thể tích lớn Vmax khối chóp S.AHK A Vmax  Lời giải B Vmax  C Vmax  D Vmax  Đặt AC  x (0  x  2) Tam giác ABC vuông C  BC  AB  AC   x Tam giác SAB vuông cân A, có đường cao AH  SH  SB SK SA2 Tam giác SAC vuông A, có SA  SK SC    SC SC  x2 Ta có VS AHK SH SK 2 x  x2     VS AHK  VS ABC SB SC x  x  x 4 2 x  x2 Xét hàm số f  x    0;  , ta max f  x    0;2 x 4 Chọn A Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB = x, AD = 3, góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABBA  30 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật tích lớn A x  15 B x  C x  2 D x  5 Lời giải Ta có BB  BC AB  BC  BC   ABBA   B hình chiếu vng góc C  ABBA  · B  30 Suy · AC ;  ABBA   ·AC ; AB   CA · B  Tam giác ABC vng B, có tan CA BC  AB  3 AB Tam giác AAB vng A, có AA  AB  AB  27  x Do thể tích khối hộp VABCD ABC D  AA AB AD  x 27  x Lại có x 27  x  x  27  x 27 27 81   VABCD ABC D   2 2 Dấu xảy x  27  x  x  Chọn B Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, thể tích V Gọi M trung điểm SA, N điểm nằm cạnh SB cho SN = 2NB, mặt phẳng    di động qua điểm M,N cắt cạnh SC, SD hai điểm phân biệt K, Q Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S.MNKQ A V B 2V C V D V Lời giải Đặt x  SK SC   x  1 Hình vẽ tham khảo Vì mặt phẳng    di động qua điểm M, N cắt cạnh SC, SD hai điểm phân biệt K, Q nên ta có Ta có SA SC SB SD SD 2x     2    SM SK SN SQ x SQ  x VS MNPQ VS ABCD  SM SN SK SM SK SQ   x  2x          SA SB SC SA SC SD   x   x  Xét hàm số f  x   2x 1   0;1 ta max f  x   f  1   0;1 x2 Vậy thể tích lớn cần tính VS MNPQ  V Chọn C Ví dụ 15: Cho nhơm hình vng cạnh 18 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm, gập nhơm lại hình vẽ để có hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = B x = C x = Lời giải Sau cắt bốn góc hình vng cạnh x, ta khối hộp có • Chiều cao x cm • Đáy hình vng cạnh 18  2x cm Do đó, thể tích khối hộp chữ nhật V  x  18  x   x  18  x   18  x  Ta có x  18  x   18  x   x  18  x  18  x   27  363  1728 27 Suy V  1728  432 Dấu xảy x  18  x  x  Chọn D D x = Ví dụ 16: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72 dm3 chiều cao dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a,b (đơn vị dm) hình vẽ Tính a,b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a  b  B a  3, b  D a  4, b  C a  2, b  Lời giải Thể tích bể cá V  3ab  72  ab  24  b  24 a Diện tích bể cá gồm: mặt có diện tích 3a (hai mặt bên vách ngăn); mặt có diện tích 3b (hai mặt bên) mặt đáy có diện tích ab (đơn vị dm ) Do đó, tổng diện tích làm bể S   3a    3b   ab  9a  6b  ab  9a  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 9a  144  24 a 144 144  9a  72 a a Suy S  72  24  96 Dấu xảy 9a  144  a  4; b  Chọn C a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = Tìm thể tích lớn khối chóp S.ABC A B C D 12 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2, đáy ABC tam giác vng A, AB = Tìm thể tích lớn khối chóp S.ABC A B C D Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = Tìm thể tích lớn khối chóp S.ABC A B 12 C D 12 Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho A Vmax  B Vmax  12 C Vmax  D Vmax  6 Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độ dài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho A Vmax  16 B Vmax  16 C Vmax  6 D Vmax  12 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 4, cạnh bên Tìm thể tích lớn khối chóp S.ABCD A 130 B 128 C 125 D 250 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SB  x (0  x  3) Tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? A x  3 B x  2 C x  D x  Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Biết SC = 1, tìm thể tích lớn khối chóp S.ABC A 12 B 12 C 27 D 27 Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, AB = Cạnh bên SA = vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích lớn khối chóp S.ABC A B C 12 D Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SC = Thể tích lớn khối chóp S.ABCD A 40 B 80 C 20 D 24 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 1 · SA.SB sin BSA  SA.SB  2 S SAB  1 1 Mặt khác d  C ;  SAB    SC nên VS ABC  S SAB d  C ;  SAB    SC  3 Dấu xảy  SA  SB  SC Chọn B Câu 2: Do SA = SB = SC =  hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm BC Đặt BC  x  HA  HB  HC  x (với H trung điểm BC) Ta có: AC  x  1; SH  SA2  HA2   x Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 x2  1 V  SH S ABC   x2  3  12  16  x   x  1  Vậy Vmax    x   4x 2  1 16  x  x   12 Chọn A Câu 3: Đặt AC  x , gọi E trung điểm SB đó: CE  SB suy SB   ACE  ta có : AE  CE    AE  SB Gọi H trung điểm AC tam giác AEC cân nên x2 EH  AC  HE  AE  AH   4 2 1 x2 VS ABC  VS EAC  VB ACE  SB.S ACE  HE AH  x  3 4 Lại có x2 x2 x  x2 x2   x         4 4 4 4   VABCD  1  Vmax  Dấu xảy   x  x  8 Cách 2: Nhận xét Vmax  S ACE lớn  Vậy Vmax  Chọn C 3 AE.CE sin ·AEC  sin ·AEC  8 Câu 4: Giả sử kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c ta có  ab  bc  ca   36  ab  bc  ca  18   a  b  c  ab  18(*) Lại có: a  b  c   a  b2  c  36   a  b  c    ab  bc  ca   36  abc  a  b   c (*)   c c  ab  18   ab  18  c  6c    Do  a  b   4ab   c      18  c  6c   c   Lại có: V  abc  18  c  6c c  c  6c  18c  f  c  (với c  0;  ) c  2 Ta có: f   c   3c  12c  18    c  Lại có: f    0; f Suy Vmax  2  f  2    2; f  c   c     a  b    a; b; c   2; 2; hoán vị Chọn C ab     Câu 5: Giả sử kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c ta có:  a  b  c   32  a  b  c  Lại có: a  b  c   a  b2  c  24   a  b  c    ab  bc  ca   24  ab  bc  ca  20   a  b  c  ab  20    c  c  ab  20 a  b   c  ab  20  c  8c Do  a  b   4ab    c    20  c  8c   2 c4 4  Lại có V  abc   20  c  8c  c  c  8c  20c  f  c  (với c   ;  ) 3   10 c Khi f   c   3c  16c  20     c  2  10  400 ; f    16 Mặt khác f    0; f    16; f      27 Do Vmax  16 Chọn B Câu 6: Do SA = SB = SC = SD nên hình chiếu vng góc đỉnh S xuống đáy tâm O hình chữ nhật ABCD x  16 Đặt AB  x  BD  x  16  OB  Khi SO  SB  OB  36  x  16 128  x  1 128  x x Ta có VS ABCD  SO.S ABCD   128 x 128  x   x  128  x   3 Do Vmax  128  x  Chọn B Câu 7: Ta có: SAC  ADC (c – c – c) Do SO  DO (2 đường trung tuyến tương ứng) Suy SO  BD  SBD vuông S (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện nửa cạnh ấy) Khi BD  SB  SD   x  AC  2OA  AB  BD  x2  1   x2 4  x SB.SD x  x Lại có VS ABCD  AC.S SBD   3 Áp dụng BĐT AM – GM ta có: x  x  Dấu xảy  x   x  x  x2   x2  V  2 Chọn C Câu 8: Đặt CA  CB  x  SA   x Ta có: VS ABC 1 x  SA.S ABC   x   x x 3 4 Xét hàm số f  x     x  x  x  x Ta có: f   x   x  x   x   x   0;1  2 x 3  2 4 f  x   f    Vmax   Khi Max Chọn D    0;1 27 27   27 Câu 9: Đặt AC  x  BC   x 1 x2   x2 Ta có: VS ABC  SA.S ABC  x  x   6 Dấu xảy  x   AC  BC  Chọn A Câu 10: Đặt AC  x  SA  SC  x  36  x Lại có AD  AC  AB  x  16 1 VS ABCD  SA.S ABCD  36  x x  16 3 36  x  x  16 40   3 Vậy Vmax  40  x  26 Chọn A ... Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độ dài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho A Vmax  16 B Vmax  16 C Vmax  6 D Vmax  12 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình. .. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = Tìm thể tích lớn khối chóp S.ABC A B 12 C D 12 Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình. .. cần tính VS MNPQ  V Chọn C Ví dụ 15: Cho nhơm hình vng cạnh 18 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm, gập nhơm lại hình vẽ để có hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận