Mặt cầu, khối cầu từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 23 MẶT CẦU - KHỐI CẦU TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Tâm I , bán kính R = IA = IB = IM  Đường kính AB = R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán  kính R  Diện tích mặt cầu: Hình thành: Quay đường AB R= trịn tâm I , bán kính quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ S = 4π R  Thể tích khối cầu: V= 4π R 3 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng Diện tích xung quanh, bán kính Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R = Diện tích mặt cầu cho 32π A B 8π C 16π D 4π Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 500π 100π A 25π B C 100π D Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 64π 256π A 16π B 64π C D Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 500π A Câu Câu B 25π 100π C (Mã 101 2018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng: π R2 2 π R A B C 2π R D 100π D 4π R (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích kính mặt cầu 16π a Khi đó, bán Trang A 2a Câu C 2a 2a (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4π a Câu B a D B 16π a 4π a D C 16a (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu cầu A 8cm B 2cm C 4cm ( S) 16π ( cm ) Bán kính mặt D 6cm biết chu vi đường tròn lớn 4π C S = 64π D S = 8π Câu (Bình Phước 2019) Tính diện tích mặt cầu A S = 32π B S = 16π Câu 10 (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh π có bán kính A Câu 11 B C D (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a A 16π a 2 B π a 4π a C D 4π a 8π a Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích Bán kính mặt cầu a A a B a C a D Câu 13 (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện tích bề mặt bóng rổ (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị) A 629 cm2 B 1886 cm2 C 8171 cm2 D 7700 cm2 Câu 14 (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu 4π A S = 32π B S = 16π ( S) biết chu vi đường tròn lớn C S = 64π D S = 8π Dạng Thể tích Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho bằng: 256π 64π A B 64π C D 256π Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho 64π 256π A 64π B C 256π D Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho Trang 32π B A 16π TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C 32π 8π D Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu 8π 32π A B 16π C 32π D Câu (Mã 102 2018) Thể tích khối cầu bán kính R π R3 π R3 A B C 4π R (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối cầu bán kính a : π a3 4π a 3 A B 2π a C Câu Câu Câu Câu 10 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho mặt cầu 4πa A Câu 12 B 4π a ( S) ( cm3 ) πa cm3 ) ( B ( S) có diện tích 4πa ( cm ) Khi đó, thể tích 64πa cm ) ( C 16πa cm3 ) ( D (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36π a Thể tich khối cầu 3 3 A 18π a B 12π a C 36π a D 9π a (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính 3cm ( cm ) V = 108π ( cm3 ) C S = 36π cm ) cm3 ) ( ( S = 18 π V = 108 π B ( cm2 ) V = 36π ( cm3 ) D S = 18π (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3a A 4π a Câu 14 D 2π a cm ) cm3 ) ( ( S = 36 π V = 36 π A Câu 13 π a3 C (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Thể tích khối cầu bán kính cm 36π ( cm ) 108π ( cm3 ) 9π ( cm ) 54π ( cm3 ) A B C D khối cầu Câu 11 D 4π a (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng: π 4π A 2π B C D 4π 4π a A Câu D 2π R B 12π a C 36π a D 36π a (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36π a Thể tich khối cầu A 18π a B 12π a C 36π a D 9π a Trang Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu (Mã 123 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a A R = 3a Câu a= 3R 9π a C D 3π a 7π 14 C 9π B 9π D 9π B cm3 C 9π cm3 27π D cm3 C 16π a B 4π a D 8π a (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3cm là: 27 π cm3 A Câu 3π a B (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a , a , 2a A 8a Câu D a = 3R C a = R (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh cm 27π A cm3 Câu 3R (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước , , A 36π Câu B a= (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , AD = AA ' = 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 9π a Câu D R = 3a C 100 (Mã 110 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề đúng? A Câu B R = a 9π cm3 B C 9π cm 27 π cm3 D (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a A 3a Câu Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a π a3 V= A Câu 10 C 6a B a 4π a V= B π a3 V= C Cho khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Gọi k= khối cầu khối lập phương Tính Trang 3a D V1 V2 π a3 V= D V1 V ; thể tích TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 11 k= 2p B k= p C k= p D Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh π π π A 12 B C Chuyên đề 23 k= p 2π D MẶT CẦU - KHỐI CẦU TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT CẦU Một số công thức:  Tâm I , bán kính R = IA = IB = IM  Đường kính AB = R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Hình thành: Quay đường AB R= trịn tâm I , bán kính quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S = 4π R V=  Thể tích khối cầu: 4π R 3 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng Diện tích xung quanh, bán kính (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R = Diện tích mặt cầu cho 32π A B 8π C 16π D 4π Lời giải Chọn C S = 4π R = 16π (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 500π 100π A 25π B C 100π D Lời giải Chọn C 2 Diện tích mặt cầu S = 4π r = 4π = 100π (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r = Diện tích mặt cầu cho Trang A 16π 256π D 64π C Lời giải B 64π Chọn B 2 Diện tích mặt cầu 4π r = 4.π = 64π (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 500π A 100π C B 25π D 100π Lời giải Chọn D 2 Diện tích mặt cầu có bán kính r = là: S = 4π r = 4π = 100π (Mã 101 2018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng: π R2 2 A π R B C 2π R Lời giải Chọn D D 4π R (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích kính mặt cầu A 2a B a D C 2a Lời giải 2a 16π a Khi đó, bán Chọn C 2 Ta có: S = 4π R = 16π a ⇒ R = 2a (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4π a B 16π a 2 C 16a 4π a D Lời giải S = 4π R = 4π ( 2a ) = 16π a 2 Ta có: (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu cầu A 8cm B 2cm C 4cm Lời giải 2 Ta có: 4π R = 16π ⇔ R = ⇒ R = 2(cm) (Bình Phước 2019) Tính diện tích mặt cầu A S = 32π B S = 16π ( S) 16π ( cm ) Bán kính mặt D 6cm biết chu vi đường trịn lớn 4π C S = 64π D S = 8π Lời giải Chọn B Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu ( S) đường tròn qua tâm mặt cầu kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu Trang ( S) ( S) nên bán Chu vi đường tròn lớn mặt cầu Vậy diện tích mặt cầu 10 ( S) ( S) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4π ⇒ 2π R = 4π ⇔ R = S = 4π R = 16π (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh π có bán kính A B C Lời giải D Chọn C S mc = 4π R = π Þ R = 11 (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a A 16π a 2 B π a 4π a C Lời giải D 4π a Chọn D 2 Bán kính mặt cầu R = a ⇒ Diện tích mặt cầu S = 4π R = 4π a 12 8π a (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích Bán kính mặt cầu a A a B a C Lời giải a D Chọn A Ta có diện tích mặt cầu 13 S = 4π r ⇒ r = S 8π a a = = 4π 3.4π (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện tích bề mặt bóng rổ (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị) A 629 cm2 B 1886 cm2 C 8171 cm2 D 7700 cm2 Lời giải Chọn B 24.5 r= = 12.25(cm) Ta có bán kính bóng rổ 2 Vậy diện tích bề mặt bóng rổ S = 4π r = 4π (12.25) ≈ 1886 (cm ) 14 (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu 4π A S = 32π B S = 16π ( S) biết chu vi đường trịn lớn C S = 64π Lời giải D S = 8π Chọn B Trang Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu ( S) đường tròn qua tâm mặt cầu kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu Chu vi đường tròn lớn mặt cầu Vậy diện tích mặt cầu ( S) ( S) ( S) nên bán ( S) 4π ⇒ 2π R = 4π ⇔ R = S = 4π R = 16π Dạng Thể tích (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho bằng: 256π 64π A B 64π C D 256π Lời giải Chọn A 256π V = π r3 = 3 Thể tích khối cầu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho 64π 256π A 64π B C 256π D Lời giải Chọn D 4 256π V = π R = π 43 = 3 Thể tích khối cầu cho (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho 32π 8π A 16π B C 32π D Lời giải Chọn B 4 32 V = π r = π 23 = π 3 Thể tích khối cầu cho : (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu 8π 32π A B 16π C 32π D Lời giải Chọn A 4 32 V = π r = π 23 = π 3 Ta có: Trang (Mã 102 2018) Thể tích khối cầu bán kính R π R3 π R3 A B C 4π R Lời giải Chọn B D 2π R (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối cầu bán kính a : π a3 A TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4π a C Lời giải B 2π a D 4π a Chọn C (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng: π 4π A 2π B C D 4π Lời giải Chọn C 4 V = π R3 = π 3 Thể tích khối cầu: (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a 4π a A π a3 C Lời giải B 4π a D 2π a Chọn A 4π a Đường kính khối cầu 2a , nên bán kính a , thể tích khối cầu (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Thể tích khối cầu bán kính cm A 36π ( cm ) B 108π ( cm3 ) 9π ( cm ) C Lời giải D 54π ( cm3 ) 4 V = π R = π 33 = 36π ( cm3 ) 3 Thể tích khối cầu là: 10 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho mặt cầu khối cầu 4πa A ( S) ( S) có diện tích 4πa ( cm ) Khi đó, thể tích 64πa 16πa 3 cm3 ) cm ) ( ( ( cm ) C D Lời giải 2 Gọi mặt cầu có bán kính R Theo đề ta có 4π R = 4π a Vậy R = a(cm) 3 Khi đó, thể tích khối cầu 11 πa cm3 ) ( B ( S) là: V= 4π R 4π a = ( cm3 ) 3 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36π a Thể tich khối cầu A 18π a 3 B 12π a C 36π a Lời giải 3 D 9π a Gọi R bán kính mặt cầu 2 2 Mặt cầu có diện tích 36π a nên 4π R = 36π a ⇔ R = 9a ⇒ R = 3a Trang 4 V = π R = π (3a ) = 36π a 3 Thể tích khối cầu 12 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính 3cm ( cm ) V = 36π ( cm3 ) A S = 36π ( cm2 ) V = 108π ( cm3 ) B S = 18π ( cm ) V = 108π ( cm3 ) C S = 36π ( cm2 ) V = 36π ( cm3 ) D S = 18π Lời giải Chọn A =4 Mặt cầu bán kính r có diện tích là: Sπr Vπr = Khối cầu bán kính r tích là: 13 π= 32 =π 36 π= 3 π= 36 ( cm ) ( cm ) (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3a A 4π a B 12π a C 36π a Lời giải D 36π a Chọn D - Bán kính khối cầu: R = 3a 4π R 4π ( 3a ) V= = = 36π a 3 - Thể tích khối cầu: 14 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36π a Thể tich khối cầu A 18π a B 12π a C 36π a Lời giải 3 D 9π a Chọn C Gọi R bán kính mặt cầu 2 2 Mặt cầu có diện tích 36π a nên 4π R = 36π a ⇔ R = 9a ⇒ R = 3a 4 V = π R = π (3a ) = 36π a 3 Thể tích khối cầu Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ (Mã 123 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a A R = 3a Chọn A Trang 10 B R = a C 100 Lời giải D R = 3a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bốn điểm O, A, B, C tạo thành tam diện vuông OA2 + OB + OC R= Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC Đặt OA = a; OB = b, a, b > Ta có a + b = ⇔ b = − a OA2 + OB + OC a + b + 12 = R= = 2 Vậy a + ( − a ) + 12 2  1 3 2 a − ÷ + ÷  2 4÷   = ≥ Vậy Câu Rmin = a=b= , (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình cm , AB = cm Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD hành, cạnh bên hình chóp A 12π cm B 4π cm C 9π cm Lời giải D 36π cm Chọn D Trang 115 Gọi O giao điểm AC BD Ta có ∆SAC cân S nên SO ⊥ AC ∆SBD cân S nên SO ⊥ BD SO ⊥ ( ABCD ) Khi Ta có: ∆SAO = ∆SBO = ∆SCO = ∆SDO ⇒ OA = OB = OC = OD Vậy hình bình hành ABCD hình chữ nhật Đặt BC = x ⇒ AC = 42 + x ⇒ AO = Xét ∆SAO vng O , ta có: AC 16 + x = 2 SO = SA2 − AO = − 16 + x − x2 = 1 − x2 = SO.S ABCD = x = − x x 3 VS ABCD Thể tích khối chóp S ABCD là: a + b2 2 − x2 + x2 ab ≤ V = − x x ≤ = 3 Áp dụng bất đẳng thức : ta có: Dấu " = " xảy ⇔ − x = x ⇔ x = Do đó: BC = 2, SO = SAO ) Gọi M trung điểm SA , ( kẻ đường trung trực SA cắt SO I Khi mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có tâm I bán kính R = IS SI SM SA2 = ⇒ SI = = = ⇒ R = 3(cm) 2.SO 2.1 Vì ∆SMI ∽ ∆SOA( g g ) nên SA SO 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 4π R = 4π = 36π (cm ) Câu Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = Khối tứ diện ABCD có tất đỉnh thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) cho tam giác ABC vuông cân B DA = DB = DC Biết thể tích lớn a a khối tứ diện ABCD b ( a , b số nguyên dương b phân số tối giản), tính a+b A a + b = 1173 Chọn B Trang 116 B a + b = 4081 C a + b = 128 Lời giải D a + b = 5035 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H trung điểm AC , Vì tam giác ABC vng cân B DA = DB = DC nên DH ⊥ ( ABC ) tâm I mặt cầu ( S ) thuộc tia DH Đặt DH = x AH = a ( < a ≤ 5, < x < 10 ) IH = x − Có ID = IA = 2 2 2 Xét tam giác vuông AIH có a = AH = AI − IH = 25 − ( x − 5) = 10 x − x S= Diện tích tam giác ABC là: AC.BH = a = 10 x − x 2 1 V = S ABC DH = (10 x − x ) x 3 Thể tích khối chóp ABCD là: 1 f ( x ) = (10 x − x ) x = (10 x − x ) 3 Xét với < x < 10 Lập bảng biến thiên cho hàm số f ( x) ta giá trị lớn hàm số f ( x ) nửa 4000 20 x = 0;10 ( ) ta có kết 81 khoảng Vậy a = 4000, b = 81 nên a + b = 4081 Câu · Trong không gian cho tam giác ABC có AB = R, AC = R, CAB = 120 Gọi M điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B , bán kính R Giá trị nhỏ MA + 2MC B 6R A 4R C R 19 Lời giải D R Chọn C ( ) uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r  BA uuur MB uuu r 2  uuur uuu r 2 MA2 = MB + BA = MB + 2MB.BA + BA =  MB + BA ÷ =  2MB + BA ÷ BA  MB    Ta có uuu r uuur BA uuur uuu r2 ⇒ MA = 2MB + BA ⇒ MA = MB + ( ) Trang 117 uuu r uuur BA uuur uuur uuuu r BD = MA = MB + BD = MD = 2MD , Gọi D điểm thỏa mãn Do MA + MC = ( MC + MD ) ≥ 2CD 19 19 R ⇒ CD = R Lại có Dấu xảy M giao điểm đoạn CD với mặt cầu tâm B bán kính R CD = AC + AD − AC AD cos120° = Vậy giá trị nhỏ MA + 2MC R 19 Câu 10 ( S) 3( m) , đường kính AB Qua A B dựng tia At1 , Bt tiếp xúc với mặt cầu vng góc với M N hai điểm di chuyển Cho mặt cầu có bán kính ( ) At1 , Bt cho MN tiếp xúc với ( S ) Biết khối tứ diện ABMN tích V m khơng đổi V thuộc khoảng sau đây? A ( 17; 21) B ( 15;17 ) ( 25; 28) C Lời giải Chọn A ( S ) H Giả sử MN tiếp xúc 1 V = x.2 R y = Rxy Đặt MA = MH = x , NB = NH = y Khi MA ⊥ AB , MA ⊥ BN Ta có tam giác AMN vng A ( Vì ) ⇒ AN = ( x + y ) − x 2 2 Lại có tam giác ABN vuông B ⇒ AN = R + y ( x + y ) − x = R + y ⇔ xy = 2R Suy 2R3 V = R.2 R = = 18 ∈ ( 17; 21) 3 Vậy Trang 118 D ( 23; 25 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11 · ( P ) cho góc xOy = 60° Đoạn SO = a vng góc với mặt phẳng ( α ) Các Trên mặt phẳng điểm M ; N chuyển động Ox , Oy cho ta ln có: OM + ON = a Tính diện tích mặt ( S) cầu có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN π a2 B 4π a A 8π a C Lời giải 16π a D Chọn A Gọi H , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tâm bán mặt cầu ngoại tiếp tứ a2 ⇒ R = OH + IH = + OH diện SOMN 2 MN MN = 2OH ⇔ OH = Áp dụng định lý hàm số sin tam giác OMN ta có sin60° Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác OMN ta có · MN = OM + ON − 2.OM ONcos MON = OM + ON − OM ON = ( OM + ON ) − 3OM ON ≥a ( OM + ON ) −3 ⇒ MN ≥ = a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 ⇔ 3OH ≥ ⇒ R2 = + OH ≥ + = 4 4 3.4 a Bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN Tính diện tích mặt cầu Câu 12 ( S) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN 4π R = 4π a BCD ) Cho tứ diện ABCD có hình chiếu A lên mặt phẳng ( H nằm tam giác BCD Biết H tâm mặt cầu bán kính tiếp xúc cạnh AB, AC , AD Dựng hình bình hành AHBS Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD Trang 119 B 3 A C 3 D Lời giải Chọn D Gọi M,N,P hình chếu H lên AB,AC,AD ta có HM=HN=HP= ⇒ AM=AN=AP ⇒ AH ⊥ ( MNP ) ⇒ ( MNP ) P( BCD ) ⇒ AB = AC = AD ( AH trục đường tròn ∆MNP ) Vậy A thuộc trục đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD AH trục đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD Gọi I=AHI BS ⇒ IB=IC=ID=IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.BCD 1 12 x 2 IH = x ⇒ = + ⇒ HB = HM HB HA2 4x2 − x4 + x2 ∆HBI ⊥taiH : BI = HB + HI = 4x2 − 4t + 9t 16t − 24t − 27 ′ t = x ⇒ f (t ) = (t > ) ⇒ f (t ) = 4t − ( 4t − 3) f ′(t ) = ⇒ t = ( n ) ∨ t = − (l ) 4 Vẽ bảng biến thiên Câu 13 Trang 120 Rmin = 3 (SGD Điện Biên - 2019) Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương khơng có nắp Khi thả khối cầu kim loại đặc vào hình lập phương thấy khối cầu tiếp xúc với tất mặt TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 hình lập phương Tính bán kính khối cầu, biết thể tích nước cịn lại hình lập phương 10 Giả sử mặt hình lập phương có độ dày khơng đáng kể A 15 12 − 2π B 24− 4π C Lời giải 15 24 − 4π D 12 − 2π Chọn A Giả sử hình lập phương có cạnh x Khi thể tích khối lập phương x x Bán kính khối cầu tiếp xúc với mặt khối lập phương Do thể tích khối cầu tiếp  x  π x3 π ÷ =  2 xúc với mặt hình lập phương Theo đề ta có x3 − π x3 60 = 10 ⇔ x = 6− π Do bán kính khối cầu Câu 14 R= x 15 = 12 − 2π (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao thùng nước đo thể tích nước tràn 54 3π ( dm3 ) Biết khối cầu tiếp xúc với mặt thùng nửa khối cầu chìm nước (hình vẽ) Thể tích nước cịn lại thùng có giá trị sau đây? 46 3π ( dm3 ) A B 18 3π ( dm3 ) 46 3π ( dm3 ) C Lời giải D 18π ( dm3 ) Chọn C Trang 121 Xét thiết diện qua trục hình nón hình vẽ Hình thang cân ABCD ( IJ trục đối xứng) thiết diện thùng nước, hình trịn tâm I bán kính IH thiết diện khối cầu Các đường thẳng AD , BC , IJ đồng qui E Đặt bán kính khối cầu IH = R , bán kính mặt đáy thùng JD = r , chiều cao thùng IJ = h Ta có 3 π R = 54 3π ⇔ R = 3 h = 2R = ⇔ h = 3 , EJ JC r 1 1 1 = = = ⇒ EJ = = 2+ 2⇔ = 2+ ⇔r=2 EI IB 3r IA IE 27 9r 108 , IH 1 208 3π V1 = π IA2 IE − π JD JE = 3 Suy thể tích thùng nước Vậy thể tích nước cịn lại thùng Câu 15 V= 208 3π 46 3π − 54 3π = dm3 ) ( 3 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vng góc với Gọi r bán kính mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện Giả a a ≥ b , a ≥ c sử Giá trị nhỏ r A + B + C Lời giải Chọn D Trang 122 D + TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Kẻ đường cao AH tam giác ABC 1 bc = + ⇒ OH = 2 2 OH OB OC b + c2 Dễ thấy OH ⊥ BC nên Tam giác AOH vng O có AH = OA2 + OH ⇒ AH = a 2b2 + b2 c + c a b2 + c2 AH BC = a 2b + b c + c a 2 Tam giác OBC có BC = b + c nên Vậy diện tích tồn phần hình chóp O ABC là: S ABC = ) ( ab + bc + ca + a 2b + b 2c + c a 2 1 V = abc = Stp r Dễ thấy thể tích khối chóp O ABC Suy Stp = SOAB + SOBC + SOCA + S ABC = 1 a 2S ab + bc + ca + a 2b + b c + c a abc = Stp r ⇒ = = r bc bc a a a2 a2 +1+ + +1+ ≥ 1+1+1+ 1+1+1 = + c b c b a = b = c Dấu “=” xẩy = Câu 16 Cho hai mặt cầu ( S1 ) ( S2 ) R = 10 Xét tứ đồng tâm O , có bán kình R1 = (S ) (S ) diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm hai đỉnh C , D nằm Thể tích lớn khối tứ diện ABCD A B C Lời giải D Chọn D Trang 123 Dựng mặt phẳng tâm I Dựng mặt phẳng tâm J ( P) ( O; R1 ) theo giao tuyến đường tròn chứa AB song song với CD , cắt ( Q) ( O; R2 ) theo giao tuyến đường tròn chứa CD song song với AB , cắt Dựng hai đường kính A′B′, C ′D′ hai đườn tròn cho A′B′ ⊥ C ′D′ IJ = d ( AB; CD ) = d ( A′B′; C ′D′ ) Khi ( P ) CD nằm ( Q ) ta có: Xét tất tứ diện có cạnh AB nằm 1 VABCD = AB.CD.IJ sin ·AB, CD ≤ A′B′.C ′D′.IJ = VA′B′C ′D′ 6 ( ) Do ta cần xét tứ diện có cặp cạnh đối AB ⊥ CD chúng có trung điểm I , J thẳng hàng với O Đặt ( ) IA = x, < x ≤ 10 , JC = y, ( < y ≤ ) Khi đó: 2 , ta có: OI = 10 − x , OJ = − y d ( AB, CD ) = IJ = OI + OJ = 10 − x + − y Thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 VABCD = AB.CD.IJ = x.2 y 10 − x + − y = xy 6 ) ( ( 10 − x + − y ) 14 − x − y2 10 − x = 10 − x ≤ ; − y2 ≤ Có 24 − x − y 24 − 2 xy 12 − xy 10 − x + − y ≤ ≤ = 4 Suy VABCD Ta được: 2 12 − xy ≤ xy = 3 ( )( 0 < x ≤ 10, < y ≤   10 − x =   x = ⇔  4− y =1   y = x = y   xy = 12 − xy Đẳng thức xảy khi:  Trang 124  xy + 12 − xy  xy 12 − xy ≤  ÷ ÷ =6 2   ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy max VABCD = Câu 17 (S ) ( S2 ) , hình lập Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp mặt cầu ngoại tiếp phương ngoại tiếp ( S2 ) ( S3 ) Gọi nội tiếp mặt cầu r1 , r2 , r3 bán kính mặt (S ) (S ) (S ) cầu , , Khẳng định sau đúng? (Mặt cầu nội tiếp tứ diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện, mặt cầu nội tiếp hình lập phương mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương) r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 = = = = = = = = C r2 r3 D r2 r3 A r2 r3 3 B r2 r3 Lời giải Chọn C Giả sử tứ diện ABCD có cạnh Khi đó, diện tích mặt tứ diện Gọi H tâm tam giác BCD AH đường cao hình chóp A.BCD BH = = 3 2   h = AH = AB − BH = −  ÷ =  3 Do chiều cao hình chóp 2 1 2 V = S BCD h = = 3 12 Suy thể tích khối tứ diện ABCD r1 = Bán kính mặt cầu ( S1 ) 3V S BCD nội tiếp diện ABCD 2 = 12 = 4 (S ) Trong mặt phẳng ABH , đường thẳng trung trực AB cắt AH I I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD AB 12 AI = = = AH 2 AI AM r2 = = 2 ⇒ Gọi M trung điểm AB , ta có AB AH ⇒ (S ) Độ dài cạnh hình lập phương ngoại tiếp (S ) Bán kính mặt cầu a = 2r2 = ngoại tiếp hình lập phương r3 = a 3 = = 2 r1 r2 = = Từ ta r2 r3 Trang 125 Câu 18 · · (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có ABC = ADC = 90° , ABCD ) cạnh bên SA vng góc với ( , góc tạo SC đáy ABCD 60° , CD = a tam a2 giác ADC có diện tích Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S ABCD S = 16π a S = 4π a S = 32π a S = 8π a A mc B mc C mc D mc Lời giải SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC ABCD ) Giả thiết: hình chiếu SC lên ( · , ( ABCD ) = SC · , AC = SCA · SC = 60° Do đó: ) ( ( ) Xét tam giác ADC vng D , diện tích Khi đó: AC = AD + DC ∆SAC vng A , ta có: = ( a 3) S∆ADC = + a = 2a a2 AD.DC = 2 ⇔ AD = a SA AC ⇒ SA = AC.tan 60° = 2a · tan SAC = Gọi I trung điểm SC ( ) , H trung điểm AC ⇒ IH ⊥ ( ABCD ) Khi IH // SA µ µ Tứ giác ABCD có D = B = 90° , H trung điểm AC nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ IA = IB = IC = ID ( ) giác ABCD Suy Từ ( ) ( ) suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 1 R = SC = 4a + 12a = 2a 2 Bán kính mặt cầu: 2 Diện tích mặt cầu: S = 4π R = 16π a Câu 19 Trang 126 (Yên Phong - 2018) Cho mặt cầu tâm O bán kính 2a, mặt phẳng (α) cố định cách O đoạn a, (α) cắt mặt cầu theo đường tròn (T) Trên (T) lấy điểm A cố định, đường thẳng qua A TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 vng góc với (α) cắt mặt cầu điểm B khác A Trong (α) góc vng xAy quay quanh A cắt (T) điểm phân biệt C, D không trùng với A Khi chọn khẳng định đúng: A Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ a 21 B Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn a 21 C Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ 2a 21 D Do (α) không qua O nên không tồn giá trị lớn hay nhỏ diện tích tam giác BCD Lời giải Gọi I tâm đường trịn thiết diện Ta có OI=a, OI ⊥(α), IA = a Do góc CAD vng nên CD đường kính đường trịn tâm I, CD = 2a 2 Đặt AD = x, AC= y Ta có x + y = 12a ( < x, y < 2a ) Gọi H hình chiếu A lên CD Ta có BH⊥CD S BCD = CD.BH = BH a = a AB + AH 2 Ta có OI AB đồng phẳng, gọi E trung điểm AB, ta có OE⊥AB, tứ giác OIAE hình chữ nhật, AB = 2OI = 2a S BCD = a 4a + AH 1 4 = 2+ 2≥ = ⇒ AH ≤ 3a 2 2 ⇒ S BCD ≤ a 4a + 3a = a 21 x y x +y 12a Ta có AH Dấu xảy x = y Câu 20 (THPT Hải An - Hải Phòng - 2018) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 B V = 576 C V = 576 D V = 144 Lời giải Trang 127 Gọi I tâm mặt cầu S ABCD hình chóp nội tiếp mặt cầu Gọi x độ dài cạnh SO Gọi M trung điểm SD SI SO = SM SD = SD ⇒ SD = 2SI SO = 18 x Ta có 2 Suy OD = 18 x − x 1 2 V = SO.S ABCD = x.2.OD = x ( 18 x − x ) = x ( 18 − x ) 3 3 Thể tích khối chóp S ABCD  18  x x ≤  ÷ = 864 x ( 18 − x ) = ( 18 − x ) 3 Ta có Vậy thể tích khối chóp cần tìm V = 576 Câu 21 (THPT Yên Khánh A - 2018) Cho hình chóp tứ giác chiều cao h nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm h theo R để thể tích khối chóp lớn 4R 3R V= V= A h = 3R B h = R C D Lời giải Gọi a độ dài cạnh đáy hình chóp tứ giác S ABCD Gọi O, I tâm đáy tâm cầu ngoai tiếp hình chóp a2 a2 2 ( h − R ) + = R ⇒ = R − ( h − R ) = Rh − h 2 Tam giác IBO có 1 V = a h = 2 Rh − h h 3 Thể tích khối chóp là: ( Trang 128 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm số y = ( Rh − h ) h 0; 2R ) y′ Trên ( , h= với < h < R , đổi dấu từ “+” sang “-” qua y′ = Rh − 3h2 ⇒ y′ = ⇒ h = h= 4R 4R nên thể tích hình chóp đạt lớn 4R Trang 129 ... D 256 π Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho 64π 256 π A 64π B C 256 π D Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu cho... khối cầu: 4π R 3 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng... Chọn B 2 Diện tích mặt cầu 4π r = 4.π = 64π (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r = Diện tích mặt cầu cho 50 0π A 100 π C B 25? ? D 100 π Lời giải Chọn D 2 Diện tích mặt cầu có bán kính r