Chuyên đề 23 ôn tập toán mặt cầu, khối cầu (câu hỏi + đáp án)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MẶT CẦU - KHỐI CẦU Chuyên đề 23 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT CẦU Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Một số công thức:  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM  Đường kính AB  R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường trịn tâm I , bán kính R Hình thành: Quay đường AB trịn tâm I , bán kính R  quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S  4 R 4 R  Thể tích khối cầu: V  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng Diện tích xung quanh, bán kính Câu Câu Câu Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R  Diện tích mặt cầu cho 32 A B 8 C 16 D 4 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  Diện tích mặt cầu cho 500 100 A 25 B C 100 D 3 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  Diện tích mặt cầu cho 64 256 A 16 B 64 C D 3 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r  Diện tích mặt cầu cho A Câu Câu 500 C 100 D 100 (Mã 101 2018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng: A  R B  R C 2 R D 4 R (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích 16 a Khi đó, bán kính mặt cầu A 2a Câu B 25 B 2a C 2a D a 2 D 4 a (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4 a B 16 a C 16a Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu 16  cm  Bán kính mặt cầu A 8cm Câu B 2cm C 4cm D 6cm (Bình Phước 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  biết chu vi đường trịn lớn 4 A S  32 B S  16 C S  64 D S  8 Câu 10 (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh  có bán kính B C D 2 (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a A Câu 11 A 16 a B  a C 4 a D 4 a 8 a Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích Bán kính mặt cầu a a a a B C D 3 Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện tích bề mặt bóng rổ (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị) A 629 cm2 B 1886 cm2 C 8171 cm2 D 7700 cm2 A Câu 14 (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  biết chu vi đường trịn lớn 4 A S  32 B S  16 C S  64 D S  8 Dạng Thể tích Câu Câu Câu Câu Câu Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho bằng: 256 64 A B 64 C D 256 3 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho 64 256 A 64 B C 256 D 3 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho 32 8 A 16 B C 32 D 3 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu 8 32 A B 16 C 32 D 3 (Mã 102 2018) Thể tích khối cầu bán kính R A  R B  R C 4 R D 2 R (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối cầu bán kính a : 4 a D 4 a 3 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng: A Câu  a3 B 2 a C Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 4 A 2 B C 3 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a D 4 4 a  a3 B 4 a C D 2 a 3 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Thể tích khối cầu bán kính cm A Câu A 36  cm  Câu 10 B 108  cm  C 9  cm  D 54  cm  (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho mặt cầu  S có diện tích 4a  cm  Khi đó, thể tích khối cầu  S A Câu 11 4a  cm3  B a  cm3  C 64a  cm3  D 16a  cm3  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36 a Thể tich khối cầu A 18 a B 12 a C 36 a D 9 a Câu 12 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính 3cm A S  36  cm  V  36  cm  B S  18  cm  V  108  cm  C S  36  cm  V  108  cm  Câu 13 (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3a A 4 a3 Câu 14 D S  18  cm  V  36  cm  B 12 a C 36 a D 36 a3 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36 a Thể tich khối cầu A 18 a B 12 a C 36 a D 9 a Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu (Mã 123 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a Câu A R  a B R  a C 100 D R  a (Mã 110 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề đúng? 3R 3R B a  C a  R D a  3R 3 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  AA '  2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A a  Câu 3 a 9 a C D 3 a 4 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước 1, , A 9 a Câu 7 14 9 9 C D (THPT Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh cm A 36 Câu B A 27 cm3 B B 9 cm3 C 9 cm3 D 27 cm3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a , a , 2a Câu A 8a B 4 a C 16 a D 8 a (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh cm là: 9 27 27 cm3  cm3  cm3 B C 9 cm3 D (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh A Câu a A 3a Câu C 6a D 3a Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a 4 a  a3  a3 C V  D V  3 Cho khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Gọi V1 ; V2 thể tích A V  Câu 10 B a  a3 B V  khối cầu khối lập phương Tính k  V1 V2 2   B k  C k  Câu 11 Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh    A B C 12 A k  D k  D  2 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 23 MẶT CẦU - KHỐI CẦU TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT CẦU Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Một số công thức:  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM  Đường kính AB  R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Hình thành: Quay đường AB trịn tâm I , bán kính R  quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S  4 R 4 R  Thể tích khối cầu: V  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng Diện tích xung quanh, bán kính Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính R  Diện tích mặt cầu cho 32 A B 8 C 16 D 4 Lời giải Chọn C S  4 R2  16 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  Diện tích mặt cầu cho 500 100 A 25 B C 100 D 3 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cầu S  4 r  4 52  100 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r  Diện tích mặt cầu cho 64 256 A 16 B 64 C D 3 Lời giải Chọn B Diện tích mặt cầu 4 r  4.  64 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho mặt cầu bán kính r  Diện tích mặt cầu cho A 500 B 25 C 100 D 100 Lời giải Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Câu Chọn D Diện tích mặt cầu có bán kính r  là: S  4 r  4 52  100 (Mã 101 2018) Diện tích mặt cầu bán kính R bằng: A  R B  R C 2 R D 4 R Lời giải Chọn D 16 a Khi đó, bán (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu có diện tích kính mặt cầu A 2a B C 2a 2a D a 2 Lời giải Chọn C Ta có: S  4 R  16 a  R  2a Câu (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4 a 2 B 16 a C 16a 4 a D Lời giải Ta có: S  4 R  4  2a   16 a Câu (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Diện tích mặt cầu 16  cm  Bán kính mặt cầu A 8cm B 2cm C 4cm D 6cm Lời giải 2 Ta có: 4 R  16  R   R  2(cm) Câu (Bình Phước 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  biết chu vi đường tròn lớn 4 A S  32 B S  16 C S  64 Lời giải D S  8 Chọn B Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu  S  đường tròn qua tâm mặt cầu  S  nên bán kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu  S  Chu vi đường tròn lớn mặt cầu  S  4  2 R  4  R  Vậy diện tích mặt cầu  S  S  4 R  16 Câu 10 (Trường THPT Thăng Long 2019) Một mặt cầu có diện tích xung quanh  có bán kính A B Lời giải C D Chọn C Smc  4 R    R  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11 (THPT Cẩm Bình 2019) Diện tích mặt cầu có đường kính 2a A 16 a B  a 4 a Lời giải C D 4 a Chọn D Bán kính mặt cầu R  a  Diện tích mặt cầu S  4 R  4 a Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho mặt cầu có diện tích 8 a Bán kính mặt cầu A a B a a Lời giải C D a Chọn A Ta có diện tích mặt cầu S  4 r  r  S 8 a a   4 3.4 Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Quả bóng rổ size có đường kính 24.5 cm Tính diện tích bề mặt bóng rổ (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị) A 629 cm2 B 1886 cm2 C 8171 cm2 D 7700 cm2 Lời giải Chọn B 24.5 Ta có bán kính bóng rổ r   12.25(cm) Vậy diện tích bề mặt bóng rổ S  4 r  4 (12.25)  1886 (cm ) Câu 14 (SGD Bình Phước - 2019) Tính diện tích mặt cầu  S  biết chu vi đường trịn lớn 4 A S  32 B S  16 C S  64 Lời giải D S  8 Chọn B Nhận xét : Đường tròn lớn mặt cầu  S  đường tròn qua tâm mặt cầu  S  nên bán kính đường trịn lớn bán kính mặt cầu  S  Chu vi đường tròn lớn mặt cầu  S  4  2 R  4  R  Vậy diện tích mặt cầu  S  S  4 R  16 Dạng Thể tích Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho bằng: 256 64 A B 64 C D 256 3 Lời giải Chọn A 256 Thể tích khối cầu V   r  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho 64 256 A 64 B C 256 D 3 Lời giải Chọn D 4 256 Thể tích khối cầu cho V   R3   43  3 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r  Thể tích khối cầu cho 32 8 A 16 B C 32 D 3 Lời giải Chọn B 4 32 Thể tích khối cầu cho : V   r   23   3 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối cầu có bán kính r = Thể tích khối cầu 8 32 A B 16 C 32 D 3 Lời giải Chọn A 4 32 Ta có: V   r   23   3 Câu Câu (Mã 102 2018) Thể tích khối cầu bán kính R A  R B  R C 4 R Lời giải Chọn B D 2 R (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối cầu bán kính a : A  a3 B 2 a 4 a 3 Lời giải C D 4 a Chọn C Câu (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Thể tích khối cầu có bán kính bằng:  4 A 2 B C D 4 3 Lời giải Chọn C 4 Thể tích khối cầu: V   R3   3 Câu (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối cầu có đường kính 2a A 4 a B 4 a C  a3 D 2 a Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A Đường kính khối cầu 2a , nên bán kính a , thể tích khối cầu Câu 4 a (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Thể tích khối cầu bán kính cm A 36  cm  B 108  cm  C 9  cm  D 54  cm  Lời giải 4 Thể tích khối cầu là: V   R3   33  36 cm3 3  Câu 10  (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho mặt cầu  S có diện tích 4a  cm  Khi đó, thể tích khối cầu  S 64a 16a D cm  cm    3 Lời giải Gọi mặt cầu có bán kính R Theo đề ta có 4 R  4 a Vậy R  a (cm) A 4a cm   B a cm3   Khi đó, thể tích khối cầu  S là: V  Câu 11 C 4 R 4 a   cm3  3 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36 a Thể tich khối cầu A 18 a B 12 a C 36 a Lời giải D 9 a Gọi R bán kính mặt cầu Mặt cầu có diện tích 36 a nên 4 R2  36 a  R2  9a  R  3a 4 Thể tích khối cầu V   R3   (3a )3  36 a 3 Câu 12 (THPT Đồn Thượng – Hải Dương 2019) Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính 3cm A S  36  cm  V  36  cm  B S  18  cm  V  108  cm  C S  36  cm  V  108  cm  D S  18  cm  V  36  cm  Lời giải Chọn A Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S  4πr  4π.32  36π  cm  Khối cầu bán kính r tích là: V  Câu 13 4 πr  π.3  36π  cm  3 (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Thể tích khối cầu bán kính 3a A 4 a3 B 12 a C 36 a Lời giải D 36 a3 Chọn D - Bán kính khối cầu: R  3a - Thể tích khối cầu: V  4 R 4  3a    36 a3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 14 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Cho mặt cầu có diện tích 36 a Thể tich khối cầu A 18 a B 12 a 3 D 9 a C 36 a Lời giải Chọn C Gọi R bán kính mặt cầu 2 2 Mặt cầu có diện tích 36 a nên 4 R  36 a  R  9a  R  3a 4 3 Thể tích khối cầu V   R   (3a )  36 a 3 Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu (Mã 123 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a A R  3a B R  a C 100 Lời giải D R  3a Chọn A Đường chéo hình lập phương: AC   3a Bán kính R  Câu AC  a (Mã 110 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề đúng? A a  3R B a  3R C a  R D a  3R Lời giải Chọn B Gọi O  AC   AC  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương Bán kính mặt cầu: R  OA  a R 3R AC   a  2 3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bốn điểm O, A, B, C tạo thành tam diện vuông OA2 + OB + OC Đặt OA = a; OB = b, a, b  Ta có a + b =  b = − a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC R = a + (1 − a ) + 12 OA2 + OB + OC a + b2 + 12 = Vậy R = = 2 2  1 3 2 a −  +      =  Vậy Rmin = Câu , a = b = (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên hình chóp cm , AB = cm Khi thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD A 12 cm2 B 4 cm2 C 9 cm2 D 36 cm2 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S M I A D O C B Gọi O giao điểm AC BD Ta có SAC cân S nên SO ⊥ AC SBD cân S nên SO ⊥ BD Khi SO ⊥ ( ABCD ) Ta có: SAO = SBO = SCO = SDO  OA = OB = OC = OD Vậy hình bình hành ABCD hình chữ nhật Đặt BC = x  AC = 42 + x  AO = AC 16 + x = 2 Xét SAO vuông O , ta có: SO = SA2 − AO = − 16 + x − x2 = 1 − x2 Thể tích khối chóp S.ABCD là: VS ABCD = SO.S ABCD = x = − x x 3 2 2 − x + x2 a +b Áp dụng bất đẳng thức : ab  ta có: V = − x x  = 3 Dấu " = " xảy  − x2 = x  x = Do đó: BC = 2, SO = Gọi M trung điểm SA , ( SAO ) kẻ đường trung trực SA cắt SO I Khi mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm I bán kính R = IS Vì SMI ∽ SOA( g.g ) nên SI SM SA2 =  SI = = =  R = 3(cm) SA SO 2.SO 2.1 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: 4 R = 4 32 = 36 (cm2 ) Câu Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = Khối tứ diện ABCD có tất đỉnh thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) cho tam giác ABC vuông cân B DA = DB = DC Biết thể tích lớn khối tứ diện ABCD tính a + b A a + b = 1173 a a ( a , b số nguyên dương phân số tối giản), b b B a + b = 4081 C a + b = 128 Lời giải D a + b = 5035 Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H trung điểm AC , Vì tam giác ABC vng cân B DA = DB = DC nên DH ⊥ ( ABC ) tâm I mặt cầu ( S ) thuộc tia DH Đặt DH = x AH = a (  a  5,  x  10 ) Có ID = IA = IH = x − Xét tam giác vng AIH có a = AH = AI − IH = 25 − ( x − 5)2 = 10 x − x AC.BH = a = 10 x − x 1 Thể tích khối chóp ABCD là: V = S ABC DH = (10 x − x ) x 3 1 Xét f ( x) = (10 x − x ) x = (10 x − x ) với  x  10 3 Lập bảng biến thiên cho hàm số f ( x ) ta giá trị lớn hàm số f ( x ) nửa Diện tích tam giác ABC là: S = khoảng ( 0;10 ) ta có kết 20 4000 x = 81 Vậy a = 4000, b = 81 nên a + b = 4081 Câu Trong không gian cho tam giác ABC có AB = 2R, AC = R, CAB = 1200 Gọi M điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B , bán kính R Giá trị nhỏ MA + 2MC D R C R 19 B 6R A 4R Lời giải Chọn C A D B C ( Ta có MA = MB + BA ) ( = MB + MB.BA + BA ) 2 MB  BA    = MB + BA  =  MB + BA  BA  MB    BA  MA = MB + BA  MA = MB + Gọi D điểm thỏa mãn BD = BA , MA = MB + BD = MD = 2MD Do MA + 2MC = ( MC + MD )  2CD Lại có CD = AC + AD − AC AD cos120 = 19 19 R  CD = R Dấu xảy M giao điểm đoạn CD với mặt cầu tâm B bán kính R Vậy giá trị nhỏ MA + 2MC R 19 Câu 10 Cho mặt cầu ( S ) có bán kính ( m) , đường kính AB Qua A B dựng tia At1 , Bt2 tiếp xúc với mặt cầu vng góc với M N hai điểm di chuyển Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 At1 , Bt2 cho MN tiếp xúc với ( S ) Biết khối tứ diện ABMN tích V ( m3 ) không đổi V thuộc khoảng sau đây? A (17; 21) B (15;17 ) C ( 25;28) D ( 23; 25) Lời giải Chọn A Giả sử MN tiếp xúc ( S ) H 1 Đặt MA = MH = x , NB = NH = y Khi V = x.2 R y = Rxy Ta có tam giác AMN vng A ( Vì MA ⊥ AB, MA ⊥ BN )  AN = ( x + y ) − x Lại có tam giác ABN vng B  AN = 4R + y Suy ( x + y ) − x = R + y  xy = R 2 R3 = 18  (17; 21) Vậy V = R.2 R = 3 Câu 11 Trên mặt phẳng ( P ) cho góc xOy = 60 Đoạn SO = a vng góc với mặt phẳng ( ) Các điểm M ; N chuyển động Ox , Oy cho ta ln có: OM + ON = a Tính diện tích mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN A 4 a B  a2 8 a Lời giải C D 16 a Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tâm bán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN  R = OH + IH = a2 + OH Áp dụng định lý hàm số sin tam giác OMN ta có MN MN = 2OH  OH = sin60 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác OMN ta có MN = OM + ON − 2.OM ONcosMON = OM + ON − OM ON = ( OM + ON ) − 3OM ON  a  MN  2 ( OM + ON ) −3 = a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2  R = + OH  +  3OH  = 4 3.4 4 Bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN a 4 a Tính diện tích mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN 4 R = Câu 12 Cho tứ diện ABCD có hình chiếu A lên mặt phẳng ( BCD ) H nằm tam giác BCD Biết H tâm mặt cầu bán kính A tiếp xúc cạnh AB, AC , AD Dựng hình bình hành AHBS Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD 3 B 3 C D 2 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M,N,P hình chếu H lên AB,AC,AD ta có HM=HN=HP= AM=AN=AP  AH ⊥ ( MNP )  ( MNP ) ( BCD)  AB = AC = AD ( AH trục đường tròn MNP ) Vậy A thuộc trục đường tròn ngoại tiếp  BCD AH trục đường tròn ngoại tiếp  BCD Gọi I=AH IH = x  BS  IB=IC=ID=IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.BCD 1 12 x 2 = +  HB = HM HB HA2 x2 − HBI ⊥taiH : BI = HB + HI = x4 + x2 x2 − 4t + 9t 16t − 24t − 27 t = x  f (t ) = (t  )  f (t ) = 4t − ( 4t − 3) f (t ) =  t = (n)  t = − (l ) 4 Vẽ bảng biến thiên Rmin = Câu 13 3 (SGD Điện Biên - 2019) Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương khơng có nắp Khi thả khối cầu kim loại đặc vào hình lập phương thấy khối cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương Tính bán kính khối cầu, biết thể tích nước cịn lại hình lập phương 10 Giả sử mặt hình lập phương có độ dày không đáng kể A 15 12 − 2 B 24 − 4 C 15 24 − 4 D Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 12 − 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giả sử hình lập phương có cạnh x Khi thể tích khối lập phương x x Bán kính khối cầu tiếp xúc với mặt khối lập phương Do thể tích khối cầu tiếp  x   x3 xúc với mặt hình lập phương    = 2 Theo đề ta có x −  x3 = 10  x = Do bán kính khối cầu R = Câu 14 60 − x 15 = 12 − 2 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao thùng nước đo thể tích nước tràn 54 3 ( dm3 ) Biết khối cầu tiếp xúc với mặt thùng nửa khối cầu chìm nước (hình vẽ) Thể tích nước cịn lại thùng có giá trị sau đây? A 46 3 ( dm3 ) B 18 3 ( dm3 ) 46 3 ( dm3 ) Lời giải C D 18 ( dm3 ) Chọn C Xét thiết diện qua trục hình nón hình vẽ Hình thang cân ABCD ( IJ trục đối xứng) thiết diện thùng nước, hình trịn tâm I bán kính IH thiết diện khối cầu Các đường thẳng AD , BC , IJ đồng qui E Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt bán kính khối cầu IH = R , bán kính mặt đáy thùng JD = r , chiều cao thùng IJ = h Ta có 3  R = 54 3  R = 3 , h = R =  h = EJ JC r 1 1 1 = 2+ 2 = = =  EJ = , = 2+  r = 2 IH EI IB 3r IA IE 27 9r 108 1 208 3 Suy thể tích thùng nước V1 =  IA2 IE −  JD JE = 3 Vậy thể tích nước cịn lại thùng V = Câu 15 208 3 46 3 − 54 3 = ( dm3 ) 3 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc với Gọi r bán kính mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện Giả a sử a  b, a  c Giá trị nhỏ r A + B + C D + Lời giải Chọn D Kẻ đường cao AH tam giác ABC 1 bc = +  OH = Dễ thấy OH ⊥ BC nên 2 OH OB OC b2 + c Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tam giác AOH vng O có AH = OA2 + OH  AH = a 2b + b c + c a b2 + c AH BC = a 2b + b 2c + c a Vậy diện tích tồn phần hình chóp O.ABC là: Stp = SOAB + SOBC + SOCA + S ABC = ab + bc + ca + a 2b + b 2c + c a 1 Dễ thấy thể tích khối chóp O.ABC V = abc = Stp r Suy Tam giác OBC có BC = b2 + c2 nên S ABC = ) ( 1 a 2S ab + bc + ca + a 2b + b 2c + c 2a abc = Stp r  = = r bc bc a a a2 a2 +1+ + +1+  1+1+1+ 1+1+1 = + c b c b Dấu “=” xẩy a = b = c = Câu 16 Cho hai mặt cầu ( S1 ) ( S2 ) đồng tâm O , có bán kình R1 = R2 = 10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm ( S1 ) hai đỉnh C , D nằm ( S2 ) Thể tích lớn khối tứ diện ABCD A B D C Lời giải Chọn D A A' B I A B' O D' I B O J J D C D C C' Dựng mặt phẳng ( P ) chứa AB song song với CD , cắt ( O; R1 ) theo giao tuyến đường tròn tâm I Dựng mặt phẳng ( Q ) chứa CD song song với AB , cắt ( O; R2 ) theo giao tuyến đường tròn tâm J Dựng hai đường kính AB, C D hai đườn tròn cho AB ⊥ CD Khi IJ = d ( AB; CD ) = d ( AB; CD) Xét tất tứ diện có cạnh AB nằm ( P ) CD nằm ( Q ) ta có: ( ) 1 AB.CD.IJ sin AB, CD  AB.C D.IJ = VABC D 6 Do ta cần xét tứ diện có cặp cạnh đối AB ⊥ CD chúng có trung điểm I , J thẳng VABCD = hàng với O Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ( ) Đặt IA = x,  x  10 , JC = y, (  y  ) , ta có: OI = 10 − x , OJ = − y Khi đó: d ( AB, CD ) = IJ = OI + OJ = 10 − x2 + − y Thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 VABCD = AB.CD.IJ = x.2 y 10 − x + − y = xy 6 ) ( ( 10 − x + − y ) 14 − x − y2 Có 10 − x = 10 − x  ; − y2  Suy 10 − x + − y  Ta được: VABCD 24 − x − y 24 − 2 xy 12 − xy  = 4 2 12 − xy  xy = 3 (  xy + 12 − xy  xy 12 − xy    =   )( ) 0  x  10,  y    10 − x =   x =  Đẳng thức xảy khi:  − y =  y =  2 x = y   xy = 12 − xy  Vậy max VABCD = Câu 17 Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp ( S1 ) mặt cầu ngoại tiếp ( S2 ) , hình lập phương ngoại tiếp ( S2 ) nội tiếp mặt cầu ( S3 ) Gọi r1 , r2 , r3 bán kính mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) Khẳng định sau đúng? (Mặt cầu nội tiếp tứ diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện, mặt cầu nội tiếp hình lập phương mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương) A r r r r r r r1 r 1 1 B = = C = = D = = = = r3 3 r3 r3 r2 r2 r3 r2 r2 3 Lời giải Chọn C Giả sử tứ diện ABCD có cạnh Khi đó, diện tích mặt tứ diện Gọi H tâm tam giác BCD AH đường cao hình chóp A.BCD BH = = 3 2   Do chiều cao hình chóp h = AH = AB − BH = −   =  3 2 1 2 = Suy thể tích khối tứ diện ABCD V = S BCD h = 3 12 Bán kính mặt cầu ( S1 ) nội tiếp diện ABCD r1 = 3V S BCD 2 = 12 = 4 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trong mặt phẳng ABH , đường thẳng trung trực AB cắt AH I I tâm mặt cầu ( S2 ) ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB , ta có Độ dài cạnh hình lập phương ngoại tiếp ( S2 ) a = 2r2 = Bán kính mặt cầu ( S3 ) ngoại tiếp hình lập phương r3 = a 3 = = 2 Từ ta Câu 18 AB 12 3 AI AM = = =  AI =  r2 = AB AH AH 2 2 2 r r1 1 = = r3 r2 3 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABC = ADC = 90 , cạnh bên SA vuông góc với ( ABCD ) , góc tạo SC đáy ABCD 60 , CD = a tam a2 Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S.ABCD B S mc = 4 a C S mc = 32 a D Smc = 8 a giác ADC có diện tích A Smc = 16 a Lời giải Giả thiết: SA ⊥ ( ABCD )  AC hình chiếu SC lên ( ABCD ) ( ) ( ) Do đó: SC , ( ABCD ) = SC , AC = SCA = 60 Xét tam giác ADC vuông D , diện tích S ADC = Khi đó: AC = AD2 + DC = (a 3) a2 AD.DC =  AD = a 2 + a = 2a SA  SA = AC.tan 60 = 2a AC Gọi I trung điểm SC (1) , H trung điểm AC SAC vng A , ta có: tan SAC = Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi IH // SA  IH ⊥ ( ABCD ) Tứ giác ABCD có D = B = 90 , H trung điểm AC nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy IA = IB = IC = ID ( 2) Từ (1) ( 2) suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 1 SC = 4a + 12a = 2a 2 Diện tích mặt cầu: S = 4 R = 16 a Bán kính mặt cầu: R = Câu 19 (Yên Phong - 2018) Cho mặt cầu tâm O bán kính 2a, mặt phẳng (α) cố định cách O đoạn a, (α) cắt mặt cầu theo đường tròn (T) Trên (T) lấy điểm A cố định, đường thẳng qua A vng góc với (α) cắt mặt cầu điểm B khác A Trong (α) góc vng xAy quay quanh A cắt (T) điểm phân biệt C, D khơng trùng với A Khi chọn khẳng định đúng: A Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ a2 21 B Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn a2 21 C Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ 2a2 21 D Do (α) không qua O nên không tồn giá trị lớn hay nhỏ diện tích tam giác BCD Lời giải Gọi I tâm đường tròn thiết diện Ta có OI=a, OI ⊥(α), IA = a Do góc CAD vng nên CD đường kính đường trịn tâm I, CD = 2a Đặt AD = x, AC= y Ta có x + y = 12a (  x, y  2a ) Gọi H hình chiếu A lên CD Ta có BH⊥CD S BCD = CD.BH = BH a = a AB + AH 2 Ta có OI AB đồng phẳng, gọi E trung điểm AB, ta có OE⊥AB, tứ giác OIAE hình chữ nhật, AB = 2OI = 2a S BCD = a 4a + AH Ta có 1 4 = 2+ 2 =  AH  3a  S BCD  a 4a + 3a = a 21 2 AH x y x +y 12a Dấu xảy x = y Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (THPT Hải An - Hải Phịng - 2018) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 C V = 576 B V = 576 D V = 144 Lời giải Gọi I tâm mặt cầu S.ABCD hình chóp nội tiếp mặt cầu Gọi x độ dài cạnh SO Gọi M trung điểm SD Ta có SI SO = SM SD = SD  SD = 2SI SO = 18 x Suy OD = 18 x − x 2 1 Thể tích khối chóp S.ABCD V = SO.S ABCD = x.2.OD = x (18 x − x ) = x (18 − x ) 3 3 x x  18  Ta có x (18 − x ) = (18 − x )    = 864 2  3 Vậy thể tích khối chóp cần tìm V = 576 Câu 21 (THPT n Khánh A - 2018) Cho hình chóp tứ giác chiều cao h nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm h theo R để thể tích khối chóp lớn 4R 3R A h = 3R B h = 2R C V = D V = Lời giải Gọi a độ dài cạnh đáy hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi O, I tâm đáy tâm cầu ngoai tiếp hình chóp Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 a2 = R2  = R − ( h − R ) = Rh − h 2 1 Thể tích khối chóp là: V = a h = ( Rh − h ) h 3 Tam giác IBO có ( h − R ) + Xét hàm số y = ( Rh − h ) h với  h  2R , y = Rh − 3h  y =  h = Trên ( 0;2R ) , y đổi dấu từ “+” sang “-” qua h = h= 4R 4R nên thể tích hình chóp đạt lớn 4R BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 ... có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S  4 R 4 R  Thể tích khối cầu: V  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt. .. https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 23 MẶT CẦU - KHỐI CẦU TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Lý thuyết chung MẶT CẦU Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp... LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MẶT CẦU - KHỐI CẦU Chuyên đề 23 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP MẶT CẦU Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội