Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TIẾP TUYẾN Chuyên đề 40 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI I – Kiến thức cần nhớ Phương trình tiếp tuyến C : y f x điểm M xo ; yo có dạng: : y k x xo yo Với k y ' xo hệ số góc tiếp tuyến Điều kiện cần đủ để hai đường C1 : y f x C2 : y g x tiếp xúc hệ f x g x có nghiệm (nhớ: "hàm hàm, đạo đạo") f ' x g ' x II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp Viết PTTT C : y f x , biết có hệ số góc k cho trước Gọi M xo ; yo tiếp điểm Tính y ' y ' xo Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k y ' xo k i yo f xo : y k x xo yo Giải i tìm xo Lưu ý Hệ số góc k y '( xo ) tiếp tuyến thường cho gián tiếp sau: Phương trình tiếp tuyến // d : y ax b k a Phương trình tiếp tuyến d : y ax b k a Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc k tan k a tan k a Viết PTTT C : y f x , biết qua (kẻ từ) điểm A x A ; y A Phương trình tiếp tuyến tạo với d : y ax b góc Gọi M xo ; yo tiếp điểm Tính yo f xo k y ' xo theo xo Phương trình tiếp tuyến M xo ; yo : y k x xo yo Do A x A ; y A y A k x A xo yo i xo yo k Giải phương trình i phương trình Viết PTTT C : y f x , biết cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB vuông cân có diện tích S cho trước Gọi M ( xo ; yo ) tiếp điểm tính hệ số góc k y '( xo ) theo xo i ii OAB vuông cân tạo với Ox góc 45o O Đề cho S OAB S OA.OB S xo yo ; k phương trình tiếp tuyến Giải i ii Tìm điểm đường thẳng d : ax by c mà từ vẽ 1, 2,3, , n tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y f x Gọi M xM ; yM d : ax by c (sao cho có biến xM M) PTTT qua M có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM f x k x xM yM Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x k i ii Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thế k từ ii vào i , được: f x f ' x x xM yM iii Số tiếp tuyến C vẽ từ M số nghiệm x iii Tìm điểm M xM ; yM mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y f x hai tiếp tuyến vng góc PTTT qua M có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM i ii iii f x k x xM yM Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x k Thế k từ ii vào i , được: f x f ' x x xM yM Qua M vẽ hai tiếp tuyến với C iii có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Hai tiếp tuyến vng góc k1.k2 1 y ' x1 y ' x2 1 Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với C cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh iii : có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 f x1 f x2 Đối với tốn tìm điểm M C : y f x cho tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng d cho trước, ta cần gọi M xo ; yo tiếp tuyến với k f ' xo Rồi áp dụng k f ' xo kd cho song song f ' xo kd 1 cho vuông góc xo yo M xo ; yo Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến đường cong y x3 3x điểm có hồnh độ x0 A y 9x Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y A y 2 x Câu B y 9x B y 2 x C y 9x D y 9x x điểm có hoành độ x x 1 C y x D y x (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị C điểm có tung độ là: A k Câu B k 2 C k (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số y D k x 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số điểm M 1;0 1 1 1 B y x C y x D y x x 2 2 2 (Chuyên Lê Thánh Tơng -2019) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số A y Câu y x mx 2m 3 x có hệ số góc dương A m Câu B m C m D m 1 x (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến đồ thị C : y điểm có x 1 tung độ song song với đường thẳng A d : y x B d : y x C d : y x D d : y 2 x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số y x cos x có đồ thị C Hồnh độ điểm C mà tiếp tuyến C song song trùng với trục hoành A x Câu Câu k k B x k k C x k k D x k 2 k (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x x 3x A Có hệ số góc 1 B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x x điểm cực tiểu đồ thị cắt đồ thị A, B khác tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng AB A C 2 B D Câu 10 Tìm tất giá trị tham số m cho tiệm cận ngang đồ thị hàm số y mx tiếp x m 1 xúc với parabol y x A m Câu 11 B m C m D m x có đồ thị (C) điểm A( a;1) Gọi S tập x 1 hợp tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng tất (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y giá trị phần tử S A Câu 12 B C D (Mã 102 2018) Cho hàm số y x x có đồ thị C Có điểm A thuộc đồ thị C cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1; y1 ; N x2 ; y2 ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 y2 x1 x2 A Câu 13 C D (Mã 101 2018) Cho hàm số y x x có đồ thị C Có điểm A thuộc C B cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1 ; y ; N x2 ; y2 khác A thỏa mãn y1 y2 6( x1 x2 ) A Câu 14 B (Mã 103 -2018) Cho hàm số y C D 14 x x có đồ thị C Có điểm A thuộc C 3 cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1 ; y1 , N x2 ; y2 ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 y2 x1 x2 ? A B C D xb Câu 15 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y , ab 2 Biết a , b giá trị thỏa ax mãn tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : x y Khi giá trị a 3b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2 Câu 16 B C 1 D x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị x2 hàm số điểm có hồnh độ m Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A x1 ; y1 cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B x2 ; y2 Gọi S tập hợp (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hàm số y số m cho x2 y1 5 Tính tổng bình phương phần tử S A 10 Câu 17 B C D x2 1 Đường thẳng d : y ax b 2x tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y cho OAB cân O Khi a b A 1 B C D 3 Câu 18 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số ax b y f x , a, b, c, d ; c 0, d 0 có đồ thị C Đồ thị hàm số y f x cx d hình vẽ Biết C cắt trục tung điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục hoành A x y Câu 19 B x y C x y D x y (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi M , N hai điểm di động đồ thị C hàm số y x3 3x2 x cho tiếp tuyến C M N song song với Hỏi M , N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm điểm đây? A Điểm N 1; 5 B Điểm M 1; 5 C Điểm Q 1;5 D Điểm P 1;5 x2 đồ thị C Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x 1 C đến tiếp tuyến C Giá trị lớn d đạt Câu 20 Cho hàm số y A 3 B C D 2 Câu 21 (HSG Bắc Ninh 2019) Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số x 2mx m cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến đồ thị hai điểm xm vng góc với A B C D 1 Câu 22 Cho hàm số y x x có đồ thị (C ) Có điểm A thuộc (C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y y1 y2 5( x1 x2 ) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D 2x Câu 23 Có tiếp tuyến đồ thị y qua giao điểm hai đường tiệm cận? x2 A B Không có C Vơ số D x2 Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y 1 Đường thẳng d : y ax b 2x tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B cho OAB cân O Khi a b A 1 B Câu 25 C D 3 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số y 3 x x C Xét hai điểm 2 A a; y A B b; yB phân biệt đồ thị C mà tiếp tuyến A B song song Biết đường thẳng AB qua D 5;3 Phương trình AB A x y Câu 26 B x y D x y x3 có đồ thị C , điểm M x 1 thay đổi thuộc đường thẳng d : y x cho qua M có hai tiếp tuyến C với hai tiếp (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hàm số y điểm tương ứng A, độ dài đường thẳng OH A Câu 27 C x y 34 B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Tính B 10 C 29 D 58 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f x x 3x mx Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt A 0;1 , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x B , C vuông góc với Giá trị S A Câu 28 11 f x (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số y f x , y g x , y Hệ số góc g x 1 B C D tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x khác Khẳng định đúng? 11 11 A f 1 3 B f 1 3 C f 1 D f 1 4 Câu 29 (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số y f x , biết điểm A, B, C đồ thị hàm số y f x có tiếp tuyến thể hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A f xC f xA f xB B f xA f xB f xC C f xA f xC f xB D f xB f xA f xC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 30 Cho hàm số y x m 3 x C Tìm tất A 1; 1 kẻ hai tiếp tuyến đến C 1 : y 1 điểm P P N có hồnh độ x A Không tồn m B m giá trị m thỏa mãn qua tiếp xúc với C N cắt C C m ; m 2 D m 2 Câu 31 Cho hàm số y x x có đồ thị C điểm A 1; m Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để qua A kể ba tiếp tuyến tới đồ thị C Số phần tử S A B C D BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TIẾP TUYẾN Chuyên đề 40 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI I – Kiến thức cần nhớ Phương trình tiếp tuyến C : y = f x điểm M xo ; yo có dạng: : y = k x xo yo Với k = y ' xo hệ số góc tiếp tuyến Điều kiện cần đủ để hai đường C1 : y = f x C2 : y = g x tiếp xúc hệ f x = g x có nghiệm (nhớ: "hàm = hàm, đạo = đạo") f ' x = g ' x II – Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến thường gặp Viết PTTT C : y = f x , biết có hệ số góc k cho trước Gọi M xo ; yo tiếp điểm Tính y ' y ' xo Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k y ' xo = k i yo = f xo : y = k x xo yo Giải i tìm xo Lưu ý Hệ số góc k = y '( xo ) tiếp tuyến thường cho gián tiếp sau: Phương trình tiếp tuyến // d : y = ax b k = a Phương trình tiếp tuyến d : y = ax b k = a Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc k = tan k a = tan k a Viết PTTT C : y = f x , biết qua (kẻ từ) điểm A x A ; y A Phương trình tiếp tuyến tạo với d : y = ax b góc Gọi M xo ; yo tiếp điểm Tính yo = f xo k = y ' xo theo xo Phương trình tiếp tuyến M xo ; yo : y = k x xo yo Do A x A ; y A y A = k x A xo yo i xo yo k Giải phương trình i phương trình Viết PTTT C : y = f x , biết cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước Gọi M ( xo ; yo ) tiếp điểm tính hệ số góc k = y '( xo ) theo xo o OAB vng cân tạo với Ox góc 45 O Đề cho S OAB = S OA.OB = S i ii xo yo ; k phương trình tiếp tuyến Giải i ii Tìm điểm đường thẳng d : ax by c = mà từ vẽ 1, 2,3, , n tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y = f x Gọi M xM ; yM d : ax by c = (sao cho có biến xM M) PTTT qua M có hệ số góc k có dạng : y = k x xM yM f x = k x xM yM Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x = k i ii Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thế k từ ii vào i , được: f x = f ' x x xM yM iii Số tiếp tuyến C vẽ từ M = số nghiệm x iii Tìm điểm M xM ; yM mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y = f x hai tiếp tuyến vng góc PTTT qua M có hệ số góc k có dạng : y = k x xM yM f x = k x xM yM Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x = k Thế k từ ii vào i , được: f x = f ' x x xM yM i ii iii Qua M vẽ hai tiếp tuyến với C iii có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Hai tiếp tuyến vng góc k1.k2 = 1 y ' x1 y ' x2 = 1 Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với C cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh iii : có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 f x1 f x2 Đối với tốn tìm điểm M C : y = f x cho tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng d cho trước, ta cần gọi M xo ; yo tiếp tuyến với k = f ' xo Rồi áp dụng k = f ' xo = kd cho song song f ' xo kd = 1 cho vuông góc xo yo M xo ; yo Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 3x điểm có hồnh độ x0 = A y = 9x B y = 9x C y = 9x D y = 9x Lời giải Xét hàm y = f ( x) = x x f '( x) = 3x x f '(1) = Ta có x0 = y0 = M 1; Phương trình tiếp tuyến điểm M 1; có dạng: y y0 = f '( x0 ) x x0 y = x 1 y = x Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = 2 x B y = 2 x x điểm có hồnh độ x = x 1 C y = x D y = x Lời giải Tập xác định D = \ 1 Ta có y = 2 ( x 1) x x 1 Ta có x0 = y0 = 3 nên M 0; 3 Gọi M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số y = Mà y = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M 0; 3 y = 2 x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = x x có đồ thị C Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị C điểm có tung độ là: A k = B k = 2 C k = Lời giải D k = Chọn C Ta có hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình x3 3x = x = Ta có y ' = 3x Hệ số góc tiếp tuyến k = y ' 1 = Câu (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số y = x 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số điểm M 1;0 A y = x 2 B y = 1 x 2 C y = 1 x 2 D y = 1 x Lời giải Chọn B Ta có y = x 1 y 1 = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M 1;0 y= Câu 1 x 1 y = x 2 (Chun Lê Thánh Tơng -2019) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x mx 2m 3 x có hệ số góc dương A m B m C m D m Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x mx 2m 3 x y = x 2mx 2m Vì hệ số góc dương với x nên ta có a = y = x 2mx 2m m 6m m m Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến đồ thị C : y = tung độ song song với đường thẳng A d : y = x B d : y = x C d : y = x 1 x điểm có x 1 D d : y = 2 x Lời giải y = 2 x 1 Gọi A x0 ;1 C x0 = x0 = x0 Tiếp tuyến C điểm A có phương trình: y = y x y = 2 x Suy tiếp tuyến song song với d : y = 2 x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số y = x cos x có đồ thị C Hoành độ điểm C mà tiếp tuyến C song song trùng với trục hoành A x = k k B x = k k C x = k k D x = k 2 k Lời giải Ta có y = 4sin x Khi đó, hồnh độ điểm C mà tiếp tuyến C song song trùng với trục hoành nghiệm phương trình: y = 4sin x = sin x = x = Câu k 2 x = k k (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 x 3x A Có hệ số góc 1 B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x = Lời giải Gọi x0 hoành độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số Khi hệ số góc tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số là: y x0 = Vậy ta loại đáp án A, C, D chọn đáp án Câu B (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x x điểm cực tiểu đồ thị cắt đồ thị A, B khác tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng AB A B C 2 Lời giải D x = Ta có: y = x x; y = x = 2 BBT: Từ BBT suy điểm cực tiểu đồ thị hàm số M 0;3 Tiếp tuyến đồ thị điểm cực tiểu đường thẳng y = Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị tiếp tuyến là: x = 1 x4 x2 = x4 x2 = 4 x = 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giả sử tiếp tuyến qua A a;1 tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = x0 , phương trình tiếp tuyến có dạng : y = 1 x0 1 x x0 x0 d x0 Vì A d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : x0 2 x0 x0 a = 1 1= a x0 x0 x0 x0 1 1 Để có tiếp tuyến qua A phương trình 1 có nghiệm khác = 2a = a= 1 a = 2a a = 2 a = Câu 12 (Mã 102 2018) Cho hàm số y = x x có đồ thị C Có điểm A thuộc đồ thị C cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1; y1 ; N x2 ; y2 ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 y2 = x1 x2 A B C Lời giải D Chọn D Phương trình đường thẳng MN có dạng k= x x2 y y2 hệ số góc đường thẳng MN = x1 x2 y1 y2 y1 y2 = x1 x2 Vậy tiếp tuyến A x0 ; x04 x02 có hệ số góc x0 = 1 7 k = f x0 = x0 x0 = x0 x0 = x0 = 2 2 x0 = 2 13 11 +) Với x0 = 1 A 1; Phương trình tiếp tuyến y = x 8 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = 1 13 11 11 x x = 3x x x x = x = A 1; thỏa mãn đề 8 8 8 x = 1 171 195 +) Với x0 = A 3; Phương trình tiếp tuyến y = x 8 Xét phương trình hoành độ giao điểm 195 195 x x = 3x x4 x2 3x = x 3 x x 13 = x = Tiếp 8 8 171 tuyến cắt đồ thị điểm A 3; Không thỏa mãn Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 +) Với x0 = 2 A 2; 5 Phương trình tiếp tuyến: y = x Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = 2 7 x x = 3x x x 3x = x 2 x2 x = x = 8 x = A 2; 5 Thỏa mãn đề Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 13 (Mã 101 2018) Cho hàm số y = x x có đồ thị C Có điểm A thuộc C cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1 ; y ; N x2 ; y2 khác A thỏa mãn y1 y2 = 6( x1 x2 ) A B C Lời giải D Chọn D Ta có A C A t ; t t 3 y = x x y t = t 7t Phương trình tiếp tuyến C A 7 y = t 7t x t t t y = t 7t x t t 4 Phương trình hồnh độ giao điểm: 7 x x = t 7t x t t 4 x 14 x t 7t x 3t 14t = x t x 2tx 3t 14 = x = t 2 x 2tx 3t 14 = 1 Tiếp tuyến cắt đồ thị C hai điểm phân biệt M x1 ; y ; N x2 ; y2 khác A phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác t t t 3t 14 2 21 2 t t t t 14 Khi dó y1 = t 7t x1 t t x1 x2 = 2t y1 y2 = t 7t x1 x2 x x = t 14 y = t 7t x t t 2 Ta có y1 y2 = 6( x1 x2 ) t 7t x1 x2 = x1 x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t = 1 n t = t = 2 n (do ) t 7t = t 1 t t = t t = t = l 13 Với t = 1 ta có A 1; 4 Với t = 2 ta có A 2; 10 có hai điểm thỏa yêu cầu toán 14 Câu 14 (Mã 103 -2018) Cho hàm số y = x x có đồ thị C Có điểm A thuộc C 3 cho tiếp tuyến C A cắt C hai điểm phân biệt M x1; y1 , N x2 ; y2 ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 y2 = x1 x2 ? A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: Gọi d tiếp tuyến C A x = 28 y = x x y = x = 3 x = Do tiếp tuyến A cắt C M , N x A 7; xA = 28 y1 y2 Ta có: y1 y2 = x1 x2 = k d = Suy xA x A = xA = 1 3 x1 x2 xA = 2 xA = 1 Đối chiếu điều kiện: Vậy có điểm A thỏa ycbt xA = 2 Cách 2: 14 Gọi A a; a a tọa độ tiếp điểm 28 14 4 Phương trình tiếp tuyến A d : y = a a x a a a 3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm C d là: 28 28 14 x x = a a x a a4 a2 3 3 3 x = a x a x 2ax 3a 14 = 2 x 2ax 3a 14 = 1 Để C cắt d điểm phân biệt Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác a a 7; \ 6a 14 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 28 4 Theo đề bài: y1 y2 = x1 x2 a a x1 x2 = x1 x2 3 a = 28 a a = a = 1 3 a = 2 a = 1 Đối chiếu điều kiện: Vậy có điểm A thỏa đề a = 2 Câu 15 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = xb , ab 2 Biết a , b giá trị thỏa ax mãn tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : x y = Khi giá trị a 3b A 2 B Có y = ab ax C 1 Lời giải D Do A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số nên 1 b = 2 b = a a2 Do tiếp tuyến A 1; 2 song song với d : x y = nên y 1 = 3 ab a 2 = 3 Thay b = 2a ta phương trình a = a 2a = 3 a 5a 15a 10 = a = Với a = b = 1 (loại, ab 2 ) Với a = b = Phương trình tiếp tuyến A 1; y = 3 x 1 song song với d Vậy a = , b = 1, suy a 3b = 2 Câu 16 x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị x2 hàm số điểm có hồnh độ m Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A x1 ; y1 cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B x2 ; y2 Gọi S tập hợp (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hàm số y = số m cho x2 y1 = 5 Tính tổng bình phương phần tử S A 10 B C Lời giải D Điều kiện m Phương trình tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số là: x = y = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m là: 3x m 6m Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm m2 m2 m6 A 2; cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B 2m 2;1 m (d ) : y= Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 theo giả thiết ta có 2m m6 = 5 m = 1; m = 3 m Vậy tổng bình phương phần tử S 10 Câu 17 x2 1 Đường thẳng d : y = ax b 2x tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y = cho OAB cân O Khi a b A 1 B C Lời giải x2 3 Tập xác định hàm số y = D = \ 2x 2 Ta có: y = 1 x 3 D 3 0, x D Mặt khác, OAB cân O hệ số góc tiếp tuyến 1 Gọi tọa độ tiếp điểm x0 ; y0 , với x0 Ta có: y = 1 x0 3 = 1 x0 = 2 x0 = 1 Với x0 = 1 y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = x loại A B O Với x0 = 2 y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = x thỏa mãn Vậy d : y = ax b hay d : y = x a = 1; b = 2 a b = 3 Câu 18 Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số ax b y f x , a, b, c, d ; c 0, d 0 có đồ thị C Đồ thị hàm số y f x cx d (Cụm hình vẽ Biết C cắt trục tung điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục hoành A x y B x y C x y D x y Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C cắt trục tung điểm có tung độ nên với x có f 0 2 b 2 b 2d (1) d ad bc d Có y f x khơng xác định điểm x Từ đồ thị hàm số c cx d y f x ta thấy hàm số y f x không xác định điểm x 1 Vậy d 1 c d (2) c c d ac 2c a 2c ax 2c Từ (1) (2) suy f x f x 2 b 2d 2c cx c cx c c x 1 Ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục tung điểm y nên x f 0 x2 a 2c f x a c f x x 1 c x 1 x2 với trục hoành ứng với y x x 1 1 f 2 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 2 x y 3 Giao điểm đồ thị C hàm số y f x Câu 19 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi M , N hai điểm di động đồ thị C hàm số y x3 3x x cho tiếp tuyến C M N song song với Hỏi M , N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm điểm đây? A Điểm N 1; 5 B Điểm M 1; 5 C Điểm Q 1;5 D Điểm P 1;5 Lời giải 1 11 Ta có y 3x2 x 1 ; y x y x Suy phương trình đường thẳng qua 3 hai điểm cực đại cực tiểu : y 11 x 3 Do M , N hai điểm di động đồ thị C hàm số y x3 3x x cho tiếp tuyến C M N song song với nhau, nên ta xét trường hợp M , N hai điểm cực trị đồ thị, phương trình MN phương trình đường thẳng Thử trực tiếp ta điểm Q 1;5 , điểm cịn lại khơng thuộc x2 đồ thị C Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x 1 C đến tiếp tuyến C Giá trị lớn d đạt Câu 20 Cho hàm số y = A 3 B C Lời giải D 2 Chọn C Tiệm cận đứng d1 : x = , tiệm cận ngang d : y = tâm đối xứng I 1;1 1 a2 a2 x a Phương trình tiếp tuyến điểm M a; C là: y = a 1 a 1 a 1 d Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 Khi d I , d = a 1 1 a Câu 21 = a 1 a2 a 1 1 a 1 a 1 = 1 a 1 a 1 = 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số x 2mx m cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến đồ thị hai điểm xm vng góc với A B C D Lời giải y= y= 3m m x 2mx m 3m m y = = x 3m xm xm x m Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục Ox x 2mx m = f x = x 2mx m = * x m xm Để đồ thị hàm số cho cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến hai điểm vng góc với phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác m y x1 y x2 = 1 m m = m m m f m = 3m m m =5 m 3m2 m 3m2 m y x y x = = m = x m x m 2 m = x x có đồ thị (C ) Có điểm A thuộc (C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn Câu 22 Cho hàm số y = y1 y2 = 5( x1 x2 ) A B C Lờigiải D Chọn B y ' = x3 x Gọi A( x0 ; x04 x02 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến A Phương tuyến A đường thẳng (d) có phương trình: y = ( x03 x0 )( x x0 ) x04 x02 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) là: 1 ( x03 x0 )( x x0 ) x04 x02 = x x ( x x0 ) ( x x0 x x02 12) = 4 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ trình tiếp TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 x x0 = x x0 x x0 12 = (2) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt khác A chi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 x (3) x0 Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (d) cắt (C) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) đó: x0 x02 y2 = ( x03 x0 )( x2 x0 ) x04 x02 4 y1 y2 = ( x0 x0 )( x1 x2 ) y1 = ( x03 x0 )( x1 x0 ) Từ giả thiết ta suy ra: ( x03 x0 )( x1 x2 ) = 5( x1 x2 ) x03 x0 = (Vì x1 x2 ) x0 = 1 1 21 x0 = x = 1 21 x0 = 1 Kết hợp với điều kiện (3) có hai giá trị x0 thỏa mãn yêu cầu toán x = 1 21 2x qua giao điểm hai đường tiệm cận? x2 B Khơng có C Vơ số D Lời giải Câu 23 Có tiếp tuyến đồ thị y = A Chọn B Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = d = 2 làm tiệm cận đứng c a = làm tiệm cận ngang c Vậy I 2; giao điểm hai đường tiệm cận TXĐ: D = y'= ( x 2)2 2x có dạng: x2 2x : y = y ' x0 ( x x0 ) y0 hay : y = ( x x0 ) ( x0 2) x0 Gọi tiếp tuyến M x0 ; y0 đồ thị hàm số y = Vì qua I 2; = 2x (2 x0 ) ( x0 2) x0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2= 2x 2x 7 7 ( x0 2) 2= ( x0 2) x0 ( x0 2) x0 2= x0 10 = 10 , phương trình vơ nghiệm x0 Vậy không tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x mà qua giao điểm hai tiệm x2 cận Câu 24 x2 1 Đường thẳng d : y = ax b 2x tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y = cho OAB cân O Khi a b A 1 B C Lời giải D 3 Chọn D Tập xác định hàm số y = Ta có: y = 1 x 3 x2 3 D = \ 2x 2 0, x D Mặt khác, OAB cân O hệ số góc tiếp tuyến 1 Gọi tọa độ tiếp điểm x0 ; y0 , với x0 Ta có: y = 1 x0 3 = 1 x0 = 2 x0 = 1 Với x0 = 1 y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = x loại A B O Với x0 = 2 y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = x thỏa mãn Vậy d : y = ax b hay d : y = x a = 1; b = 2 a b = 3 Câu 25 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số y = 3 x x C Xét hai điểm 2 A a; y A B b; yB phân biệt đồ thị C mà tiếp tuyến A B song song Biết đường thẳng AB qua D 5;3 Phương trình AB A x y = B x y = C x y = D x y = Lời giải Chọn D + y = f x = 3 x x f ' x = x 3x 2 Hệ số góc tiếp tuyến A a; y A đồ thị C f ' a = a 3a Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hệ số góc tiếp tuyến B b; yB đồ thị C f ' b = b 3b ( a b A B phân biệt) Mà tiếp tuyến A B song song nên f ' a = f ' b 3 a 3a = b 3b 2 a = b l 2 1 a b a b = a b a b 1 = b = 2a 2 2 a b = 3 + A a; a a ; B b; b3 b 2 1 3 BA a b; a b3 a b = a b 2; a ab b 3a 3b 2 2 véc tơ pháp tuyến đường thẳng AB n a ab b 3a 3b; 2 = a 2a 2; 2 Phương trình đường thẳng AB qua A a; a a có véc tơ pháp tuyến n a 1 2a x a y a a = 2 1 Mà đường thẳng AB qua D 5;3 a 2a a 3 a a = 2 a = 1 a 2a = a = Với a = 1 , phương trình đường thẳng AB x y = x y = Với a = , phương trình đường thẳng AB x y = x y = Cách trắc nghiệm Dễ thấy AB qua điểm uốn I 1;1 đường thẳng AB trùng với đường thẳng ID ID 4; = 2;1 véc tơ pháp tuyến n đường thẳng AB n 1; 2 Câu 26 x3 có đồ thị C , điểm M x 1 thay đổi thuộc đường thẳng d : y = x cho qua M có hai tiếp tuyến C với hai tiếp (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hàm số y = điểm tương ứng A, độ dài đường thẳng OH A 34 B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Tính B 10 C 29 D 58 Lời giải Chọn D • M d : y = x M m;1 2m • Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y = kx 2m km • Điều kiện để qua M có hai tiếp tuyến với C là: x3 x = kx 2m km có nghiệm phân biệt k = x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x3 4x 4m có nghiệm phân biệt = 2m 2 x 1 x 1 x 1 mx m x m = (*) có nghiệm phân biệt khác m m 1 • Khi đó, nghiệm phương trình (*) hồnh độ hai điểm A, +) Cho m = : x = x = A B 2;5 , B 2;5 Phương trình đường thẳng AB: y = x x = 1 5 +) Cho m = 3: 3x x = A ' 1; 1 , B ' ;7 x = 3 Phương trình đường thẳng A’B’: y = 3x • H điểm cố định nên H giao điểm hai đường thẳng AB A’B’: 4 xH yH = 5 x = H H 3;7 3 xH yH = 2 yH = OH = 58 Câu 27 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f x = x3 3x mx Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = f x cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt A 0;1 , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f x B , C vng góc với Giá trị S A B Lời giải C D 11 Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f x đường thẳng y = là: x = x3 3x2 mx = x3 3x mx = x 3x m = Để hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt phương trình x2 3x m = phải có hai nghiệm 32 4.1.m 4m 9 m phân biệt khác 0 3.0 m m m Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt A 0;1 , B xB ; yB , C xC ; yC , xB , xC nghiệm phương trình x2 3x m = Ta có: f x = 3x x m Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f x B , C k B = f xB = 3xB2 xB m ; kC = f xC = 3xC2 xC m Để hai tiếp tuyến vng góc k B kC = 1 Suy ra: 3xB2 xB m 3xC2 xC m = 1 xB xC 18xB2 xC 3mxB2 18 xB xC2 36 xB xC 6mxB 3mxC2 6mxC m2 = 1 xB xC 18 xB xC xB xC 3m xB2 xC2 36 xB xC 6m xB xC m = xB xC = 3 Ta lại có theo Vi-et: Từ xB2 xC2 = xB xC xB xC = 2m xB xC = m Suy ra: 9m2 18m 3 3m 2m 36m 6m 3 m2 = 4m2 9m = 65 m = (thỏa mãn) 65 m = Vậy S = Câu 28 65 65 = 8 (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số y = f x , y = g x , y = f x Hệ số góc g x 1 tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định đúng? 11 11 A f 1 3 B f 1 3 C f 1 D f 1 4 Lời giải Chọn C f x g x 1 g x f x 3 f 1 g 1 1 g 1 f 1 3 y 1 = Ta có: y = 2 g x 1 g 1 1 Vì y 1 = f 1 = g 1 nên ta có f 1 g 1 1 g 1 f 1 3 g 1 1 = f 1 g 1 f 1 3 g 1 1 =1 2 11 1 g 1 f 1 3 = g 1 1 f 1 = g 1 g 1 = g 1 2 11 f 1 Câu 29 (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số y = f x , biết điểm A, B, C đồ thị hàm số y = f x có tiếp tuyến thể hình vẽ bên Mệnh đề đúng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A f xC f xA f xB B f xA f xB f xC C f xA f xC f xB D f xB f xA f xC Lời giải Chọn D Ý nghĩa hình học, đạo hàm cấp hàm số y = f x x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f x điểm x0 ; f x0 Quan sát hình vẽ ta thấy hệ số góc tiếp tuyến A Hệ số góc tiếp tuyến B dương (tiếp tuyến lên từ trái qua phải); Hệ số góc tiếp tuyến C âm (tiếp tuyến xuống từ trái qua phải) Câu 30 Cho hàm số y = x m x C Tìm tất A 1; 1 kẻ hai tiếp tuyến đến C 1 : y = 1 điểm P P N có hồnh độ x = A Không tồn m B m = giá trị m thỏa mãn qua tiếp xúc với C N cắt C C m = ; m = 2 Lời giải D m = 2 Chọn A Nhận xét: Đồ thị hàm số khơng thể có tiếp tuyến đường thẳng song song với trục tung Gọi k hệ số góc đường thẳng qua A Phương trình đường thẳng : y = k x 1 Để tiếp xúc với C hệ sau phải có nghiệm: x m 3 x = k x 1 I : 3 x m 3 x = k 1 2 x3 m 3 x = 3x x 1 m 3 x x 1 x 3m x m 3 x = * Một tiếp tuyến 1 : y = 1 , suy ra: k = x = x m 3 x = x = m 3 Với x = , k = thay vào (1), không thỏa mãn Với x = m 3 , k = thay vào (1) ta được: 3 m 12 m = m = m = 2 Thử lại, với m = 2 thay vào hệ (I), ta được: x x = k x 1 3 x x = k Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x = x3 3x = x x x 1 x3 x = x = 1 Với x = k = , tiếp tuyến: y = 1 Với x = 1 k = , tiếp tuyến: y = x 1 = x Với m = 2 xét tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng : y = x Xét phương trình: x = 1 x3 x = x x x x = x 1 x = x = Tọa độ giao điểm cịn lại có hồnh độ Không thỏa mãn đề Câu 31 Cho hàm số y = x3 x có đồ thị C điểm A 1; m Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để qua A kể ba tiếp tuyến tới đồ thị C Số phần tử S A B C Lời giải D Chọn B Gọi k hệ số góc đường thẳng d qua A Ta có phương trình d có dạng: y = kx m k kx m k = x3 x m = 2 x3 x * C d tiếp xúc hệ sau có nghiệm: 2 k = x x k = x x Để qua A tiếp tuyến tới C phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt yCT m yCĐ với f x = 2 x3 x Ta có f x = 6 x 6; f x = x = 1 f 1 = = fCĐ ; f 1 = 3 = fCT Suy 3 m Vậy số phần tử S BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... Gọi A( x0 ; x04 x02 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến A Phương tuyến A đường thẳng (d) có phương trình: y = ( x03 x0 )( x x0 ) x04 x02 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) là: 1 ( x03... = m Câu 11 tiếp xúc với parabol y = x m = x có đồ thị (C) điểm A( a;1) Gọi S tập x 1 hợp tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng tất (? ?ề Tham Khảo 2018)... x có đồ thị (C ) Có điểm A thuộc (C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn Câu 22 Cho hàm số y = y1 y2 = 5( x1 x2 ) A
Ngày đăng: 20/06/2021, 22:29
Xem thêm:
