Ứng dụng phần mềm cocoa để giải một số bài toán về ideal đơn thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————————– LÊ QUANG TRUNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2020 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————————– LÊ QUANG TRUNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: Th.S Nguyễn Thị Thanh Tâm Phú Thọ, 2020 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Nguyễn Thị Thanh Tâm truyền thụ kiến thức, động viên giúp đỡ hướng dẫn tận tình cho em suốt q trình nghiên cứu, thực hồn thành khóa luận Sinh viên Lê Quang Trung BẢNG KÝ HIỆU, VIẾT TẮT STT Kí hiệu Ý nghĩa [[I]] Tập đơn thức chứa I lcm(f, g) Bội chung nhỏ hai đơn thức f g rad(I) Ideal ideal I red(f ) Rút gọn đơn thức f Mục lục Mục lục LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu 6 7 PHẦN NỘI DUNG Chương IDEAL ĐƠN THỨC 1.1 Tính chất ideal đơn thức 1.1.1 Ideal đơn thức 1.1.2 Phần tử sinh ideal đơn thức 1.2 Các phép toán ideal đơn thức 1.2.1 Giao ideal đơn thức 1.2.2 Ideal 1.2.3 Ideal chia 1.2.4 Lũy thừa hình thức ideal đơn thức 8 14 18 18 23 27 30 Chương PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IDEAL ĐƠN THỨC 2.1 Ideal đơn thức bất khả quy 2.2 Phân tích bất khả quy ideal đơn thức 2.3 Phân tích bất khả quy lũy thừa hình thức ideal 2.4 Phân tích bất khả quy ideal 2.5 Phân tích bất khả quy tổng 2.6 Phân tích bất khả quy ideal chia 35 35 37 41 43 44 46 Chương ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC 3.1 Giới thiêu phần mềm CoCoA 3.2 Các phép toán ideal đơn thức 3.2.1 Giao ideal đơn thức 3.2.2 Ideal 3.2.3 Ideal chia 3.2.4 Lũy thừa hình thức ideal 3.3 Phân tích bất khả quy ideal 3.4 Phân tích bất khả quy tổng 3.5 Phân tích bất khả quy ideal chia 3.6 Một số tập tương tự 50 50 51 51 54 56 57 59 60 63 63 KẾT LUẬN 67 Tài liệu tham khảo 68 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển nhanh chóng nay, tất ngành kinh tế xã hội ứng dụng công nghệ thơng tin quản lí sản xuất ngành giáo dục khơng nằm ngồi xu Cùng với phát triển công nghệ thông tin, hàng loạt phần mềm hỗ trợ dạy học đời tạo bước đột phá cơng tác giảng dạy mơn học, có mơn tốn Đại số phân nhánh lớn tốn học với lý thuyết số, hình học giải tích Theo nghĩa chung nhất, đại số việc nghiên cứu ký hiệu toán học quy tắc cho thao tác ký hiệu Đại số giao hốn phân nhánh đại số trừu tượng nghiên cứu vành giao hoán, ideal chúng module vành Có nhiều phương pháp để nghiên cứu khía cạnh liên quan đến vành đa thức Trong luận văn này, nghiên cứu ideal đơn thức vành đa thức A, tức ideal sinh đơn thức A, bao gồm tính chất phép tốn ideal đơn thức Việc thực tính tốn ideal đơn thức, chẳng hạn phép lấy giao ideal, phép lấy lũy thừa, lấy ideal, hồn tồn thực cách thủ công nhờ sử dụng định nghĩa, định lý, tính chất Tuy nhiên, cơng việc trở nên khó khăn làm việc ideal phức tạp nhiều ideal lúc Trong trường hợp đó, việc sử dụng cơng cụ để hỗ trợ cho việc tính tốn cần thiết Phần mềm CoCoA (viết tắt Computations in Commutative Algebra) phần mềm đại số máy tính hỗ trợ lập trình tính tốn hình thức miễn phí với khả thao tác với số đa thức tương tự tính tốn thủ cơng truyền thống Ứng dụng CoCoA đại số giao hốn hình học đại số, tính tốn vành đa thức nhiều biến tập số hữu tỷ số nguyên, ideal module chúng Một ưu điểm phần mềm miễn phí, thiết kế tự nhiên trực quan, ngôn ngữ, cú pháp giống Pascal, dễ học phù hợp với việc giảng dạy Phần mềm CoCoA phần mềm có tính ứng dụng cao với khả hỗ trợ việc dạy học nội dung liên quan đến đại số giao hốn nói chung, vấn đề ideal đơn thức nói riêng cách hiệu Với lí đây, tơi định chọn đề tài làm khóa luận tốt nghiệp: “Ứng dụng phần mềm CoCoA để giải số toán ideal đơn thức” Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Làm rõ cần thiết ưu điểm, hiệu phần mềm CoCoA q trình học tập, nghiên cứu mơn đại số - Đưa hướng dẫn cụ thể sử dụng phần mềm - Khóa luận làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành toán quan tâm tới phần mềm hỗ trợ cho trình học tập nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Đưa hướng dẫn sử dụng phần mềm CoCoA để thực hành phép toán ideal đơn thức phân tích ideal thành ideal bất khả quy PHẦN NỘI DUNG Chương IDEAL ĐƠN THỨC Nội dung chương trình bày dựa tài liệu tham khảo [1], [3], [4], [5], [9] Trong chương này, ta giả sử A vành giao hốn khác khơng có đơn vị 1.1 Tính chất ideal đơn thức 1.1.1 Ideal đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Cho R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến Một ideal đơn thức R ideal R sinh đơn thức theo biến x1 , , xd Ví dụ 1.1.2 Xét vành đa thức hai biến R = A[x, y] Ideal I = (x2 , y )R ideal đơn thức Chú ý I bao gồm đa thức x2 − y , ideal đơn thức chứa nhiều đơn thức Ideal J = (y − x3 , x3 )R ideal đơn thức J = (y , x3 )R Các ideal tầm thường R ideal đơn thức = (∅)R R = 1R R = x01 x0d R Định nghĩa 1.1.3 Cho R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến Với ideal I ⊆ R, ký hiệu [[I]] tập hợp gồm tất đơn thức chứa I Một ý quan trọng, với ideal đơn thức khác không I ⊆ R, tập [[I]] ∈ R tập vô hạn không ideal Từ định nghĩa có đẳng thức [[I]] = I ∩ [[R]] Bổ đề sau tập hợp tập sinh I Bổ đề 1.1.4 Cho R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến Với ideal đơn thức I ⊆ R ta có I = ([[I]])R Chứng minh Gọi S tập hợp đơn thức sinh I Điều kéo theo S ⊆ [[I]] ⊆ I , I = (S)R ⊆ ([[I]])R ⊆ I , dẫn đến đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 1.1.5 Cho R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến Gọi I J ideal đơn thức R Khi đó: (a) I ⊆ J [[I]] ⊆ [[J]] (b) I = J [[I]] = [[J]] Chứng minh (a) Nếu I ⊆ R [[I]] = I ∩[[R]] ⊆ J ∩[[R]] = [[J]] Ngược lại, [[I]] ⊆ [[J]] theo Bổ đề 1.1.4 ta có I = ([[I]])R ⊆ ([[J]])R = J (b) Suy trực tiếp từ mệnh đề (a) Định nghĩa 1.1.6 Cho R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến (a) Gọi f g đơn thức R Khi f bội g có đơn thức h ∈ R cho f = gh (b) Với đơn thức f = xn ∈ R, vectơ gồm d thành phần n ∈ Nd gọi vectơ lũy thừa f Do đơn thức vành R = A[x1 , , xd ] độc lập tuyến tính A, vectơ lũy thừa đơn thức f ∈ R định nghĩa tốt Do đó, với vectơ m, n ∈ Nd , ta có xm = xn m = n Kết nói tích đơn thức với nhân tử khơng đơn thức khơng đơn thức Điều trực giác đúng, bổ sung thêm phần chứng minh để đảm bảo tính đầy đủ Điểm chứng minh tính độc lập tuyến tính đơn thức 55 (c) m-rad(I + J) = m-rad(I) + m-rad(J) (d) m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J) Lời giải Cách (a) Sử dụng cách làm Bài tập 3.2.4 để tìm m-rad(I) Ta có red(x2 y) = xy , red(y ) = y , red(xz ) = xz , thu dãy đơn thức xy, y, xz dãy sinh ideal m-rad(I) Từ ta có m-rad(I) = (y, xz)R Bây ta nhận xét phần tử sinh ideal I biểu diễn qua phần tử sinh ideal m-rad(I) Do I ⊂ m-rad(I) (b) Bằng cách tìm ideal tương tự ta thu m-rad(J) = (y, z)R m-rad(m-rad(J) = (y, z)R Vậy ta có điều phải chứng minh (c) Ta có (I + J) = (x2 y, y , xz , xy , z )R Tính tốn tương tự ta m-rad(I + J) = m-rad(x2 y, y , xz , xy , z )R = (y, z)R m-rad(I) + m-rad(J) = (y, z)R Vậy ta có điều phải chứng minh (d) Ta có IJ = x3 y z , xy z , x2 y , y , xy z , x2 yz , yz , zx8 )R I ∩ J = (y , xy z , xz , y z )R Tương tự ta m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J) = (xz, y)R Cách Sử dụng phần mềm CoCoA (a) Nhập câu lệnh sau: I:=Ideal(x∧ y,y∧ 2,xz∧ 3); Radical(I); Kết thu sau: Ideal(y,xz) (b) Nhập tiếp câu lệnh sau: J:=(xy∧ 4,xy∧ 2z∧ 2,y∧ 3,z∧ 5); Radical(J); Radical(Radical(J)); 56 Kết thu sau: Ideal(y,z) Ideal(y,z) (c) Nhập tiếp câu lệnh sau: Radical(I+J); Radical(I)+Radcal(J); Kết hiển thị sau: Ideal(y,z) Ideal(y,xz,z) (d) Nhập tiếp câu lệnh sau: Radical(I*J); Radical(Intersection(I,J)); Kết hiển thị sau: Ideal(xz,y) Ideal(y,xz) 3.2.3 Ideal chia Bài tập 3.2.6 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Cho ideal đơn thức I = (x2 , y , z )R, J = (xz, x4 y , y z )R, K = (xyz , x2 y , z)R Chứng minh I ⊆ (I :R J) ((I :R J) :R K) = ((I :R K) :R J) Lời giải Cách Trước hết ta tính ideal chia Theo phần chứng minh Định lý 1.2.19 ta có: (I :R J) = (I :R xzR) ∩ (I :R x4 y R) ∩ (I :R y z R) Nhận thấy xz ∈ / I , sử dụng Mệnh đề 2.6.1 dẫn đến (I :R xzR) = (x, y , z )R Tương tự ta có x4 y ∈ I nên (I :R x4 y R) = R y z ∈ / I nên 57 (I :R y z R) = R Do (I :R J) = (x, y , z )R ∩ R ∩ R = (x, y , z )R Vậy ta kết luận I ⊆ (I :R J) phần tử sinh ideal I có thê biểu diễn qua phần tử sinh ideal (I :R J) Bằng cách tương tự ta có ideal chia ((I :R J) :R K) = (x, y , z )R (I :R K) = (x2 , y , z )R ((I :R K) :R J) = (x, y , z )R Vậy ta có điều phải chứng minh Cách Sử dụng phần mềm CoCoA Để tìm ideal chia ta sử dụng lệnh Colon : Nhập câu lệnh sau: I:=Ideal(x∧ 2,y∧ 3,z∧ 5); J:=Ideal(xz,x∧ 4y∧ 3,y∧ 2z∧ 6); K:=Ideal(xyz∧ 3,x∧ 2y∧ 4,z); I:J; (hoặc Colon(I,J);) (I:J):K; I:K; (I:K):J Kết hiển thị sau: Ideal(x, y∧ 3, z∧ 4) Ideal(x, y∧ 3, z∧ 3) Ideal(x∧ 2, y∧ 3, z∧ 4) Ideal(x, z∧ 3, y∧ 3) 3.2.4 Lũy thừa hình thức ideal Bài tập 3.2.7 Xét vành đa thức R = Z101 [x, y, z] Cho ideal đơn thức I = (x2 y, yz, z )R J = (xy, z)R (a) Tìm I (4) (b) Chứng minh I (4) ⊆ I 58 (c) Chứng minh I (3) ⊆ J (3) J (3) I (3) (d) Chứng minh (I ∩ J (2) )(3) = I (3) ∩ (J (2) )(3) = I (3) ∩ J (6) (e) Kiểm chứng xem đẳng thức (IJ)(3) = I (3) J (3) hay sai Lời giải (a) Theo Mệnh đề 1.2.24 ta có I (4) = (x8 y , y z , z 20 )R (b) Ta có: x8 y = x6 y (x2 y) + 0.(yz) + 0.(z ) y z = 0.(x2 y) + y z (yz) + 0.(z ) z 20 = 0.(x2 y) + 0.(yz) + z 19 (z 20 ) Các phần tử sinh I (4) thuộc I , I (4) ⊆ I (c) Ta có: x2 y = x.(xy) + 0.(z) yz = 0.(xy) + y.(z) z = 0.(xy) + z (z ) Các phần tử sinh I thuộc J , I ⊆ J Khơng có phần tử sinh J biểu diễn qua phần tử sinh I , J I Theo (3) (3) (3) (3) Bổ đề 1.2.28, I ⊆ J J I (d) Ta có: (I ∩ J (2) (3) ) = (x y, yz, z )R ∩ ((xy, z)R) (2) = (x2 y, yz, z )R ∩ (x2 y , z )R = (yz , x2 y , z )R (3) (3) (3) = (y z , x6 y , z 15 )R I (3) ∩ (J (2) )(3) = (x2 y, yz, z )R (3) ∩ ((xy, z)R)(2) = (x6 y , y z , z 15 )R ∩ (x2 y , z )R = (x6 y , y z , z 15 )R ∩ (x6 y , z )R = (y z , x6 y , z 15 )R (3) (3) 59 I (3) ∩ J (6) = (x2 y, yz, z )R (3) ∩ ((xy, z)R)(6) = (x6 y , y z , z 15 )R ∩ (x6 y , z )R = (y z , x6 y , z 15 )R Từ suy điều phải chứng minh 3.3 Phân tích bất khả quy ideal Bài tập 3.3.1 Xét vành đa thức R = A[x, y, z], cho ideal J = (x3 y , x2 y z , x2 z , y z , y z )R Tìm phân tích bất khả quy thu gọn m-rad(J) Lời giải Cách Trước hết ta tìm m-rad(J) Định lý 1.2.18 Ta có: red(x3 y ) = xy red(x2 y z ) = xyz red(x2 z ) = xz red(y z ) = yz red(y z ) = yz Khi xy, xyz, xz, yz, yz dãy sinh m-rad(J) Sử dụng Thuật toán 1.1.18 ta dãy sinh thu gọn xy, xz, yz , m-rad(J) = (xy, xz, yz)R Bây ta tìm phân tích bất khả quy thu gọn m-rad(J) Ta có: m-rad(J) = (xy, xz, yz)R = (x, xz, yz)R ∩ (y, xz, yz)R = (x, x, yz)R ∩ (x, z, yz)R ∩ (y, x, yz)R ∩ (y, z, yz)R = (x, x, y)R ∩ (x, x, z)R ∩ (y, x, y)R ∩ (y, x, z)R ∩ (y, z, y)R ∩ (y, z, z)R = (x, y)R ∩ (x, z)R ∩ (x, y)R ∩ (y, x, z)R ∩ (z, y)R ∩ (y, z)R = (x, y)R ∩ (y, z)R ∩ (x, z)R Cách Ta tìm phân tích bất khả quy ideal J sau: J = (x2 , y )R ∩ (x3 , z )R ∩ (y , z )R 60 Khi phân tích bất khả quy thu gọn m-rad(J) là: m-rad(J) = m-rad((x2 , y )R) ∩ m-rad((x3 , z )R) ∩ m-rad((y , z )R) = (x, y)R ∩ (x, z)R ∩ (y, z)R Cách Sử dụng phần mềm CoCoA Để tìm phân tích bất khả quy ideal, ta sử dụng lệnh IrreducibleDecom_Frobby5 Nhập dòng lệnh sau: J:=Ideal(x∧ 3y∧ 4,x∧ 2y∧ 4z∧ 3,x∧ 2z∧ 5,y∧ 4z∧ 3,y∧ 3z∧ 5); IrreducibleDecom_Frobby5(Radical(J)); Kết hiển thị sau: [Ideal(y,z),Ideal(x,y),Ideal(x,z)] 3.4 Phân tích bất khả quy tổng Bài tập 3.4.1 Xét vành đa thức R = A[x, y] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn ideal I + J , I = (x3 , xy , y )R J = (x3 , x2 y, y )R Lời giải Cách Ta tìm phân tích bất khả quy thu gọn I J sau: I = (x3 , xy , y )R = (x3 , x, y )R ∩ (x3 , y , y )R = (x, y )R ∩ (x3 , y )R J = (x3 , x2 y, y )R = (x3 , x2 , y )R ∩ (x3 , y, y ) = R(x2 , y )R ∩ (x3 , y)R Ta có I + J có phân tích bất khả quy sau: I + J = ((x, y )R ∩ (x3 , y )R) + ((x2 , y )R ∩ (x3 , y)R) = ((x, y )R + (x2 , y )R) ∩ ((x, y )R + (x3 , y)R) ∩ ((x3 , y )R + (x2 , y )R) ∩ ((x3 , y )R + (x3 , y)R) = (x, y )R ∩ (x, y)R ∩ (x2 , y )R ∩ (x3 , y)R = (x, y )R ∩ (x2 , y )R ∩ (x3 , y)R 61 Cách Trước tiên xác định ideal I + J tìm phân tích bất khả quy ideal I + J = (x3 , xy , y )R + (x3 , x2 y, y )R = (x3 , xy , x2 y, y )R Ta có phân tích sau: I + J = (x3 , x, x2 , y )R ∩ (x3 , x, y, y )R ∩ (x3 , y , x2 , y )R ∩ (x3 , y , y, y )R = (x, y )R ∩ (y , x2 ) ∩ (x3 , y)R Cách Sử dụng phần mềm CoCoA Nhập dòng lệnh sau: I:=Ideal(x∧ 3,xy∧ 2,y∧ 3); J:=Ideal(x∧ 3,x∧ 2y,y∧ 3); IrreducibleDecom_Frobby5(I+J); Kết hiển thị sau: [Ideal(x,y∧ 3),Ideal(x∧ 2,y∧ 2),Ideal(x∧ 3,y)] Bài tập 3.4.2 Xét vành đa thức R = A[x, y] Tìm phân tích bất khả quy tổng (x2 , xy , y )R + (x4 , x3 y , y )R + (x7 , x3 y , y )R Lời giải Cách Đặt I = (x2 , xy , y )R, J = (x4 , x3 y , y )R, K = (x7 , x3 y , y )R Ta có phân tích bất khả quy I , J , K : I = (x, y )R ∩ (x2 , y )R J = (x5 , y )R ∩ (x4 , y )R K = (x3 , y )R ∩ (x7 , y )R 62 Khi ta tìm phân tích bất khả quy I + J + K sau: I +J +K = (x, y )R ∩ (x2 , y )R + (x5 , y )R ∩ (x4 , y )R + (x3 , y )R ∩ (x7 , y )R = (x, y )R + (x5 , y )R + (x3 , y )R ∩ (x, y )R + (x5 , y )R + (x7 , y )R ∩ (x, y )R + (x4 , y )R + (x3 , y )R ∩ (x, y )R + (x4 , y )R + (x7 , y )R ∩ x2 , y )R + (x5 , y )R + (x3 , y )R ∩ (x2 , y )R + (x5 , y )R + (x7 , y )R ∩ (x2 , y )R + (x4 , y )R + (x3 , y )R ∩ (x2 , y )R + (x4 , y )R + (x7 , y )R =(x, y )R ∩ (x, y )R ∩ (x, y )R ∩ (x, y )R ∩ (x2 , y )R ∩ (x2 , y )R ∩ (x2 , y )R ∩ (x2 , y )R =(x2 , y )R Cách Trước hết ta tìm tổng I + J + K = (x2 , xy , y , x4 , x3 y , y , x7 , x3 y , y )R = (x2 , y )R Nhận xét ideal (x2 , y )R bất khả quy Do khơng thể phân tích thành giao ideal bất khả quy Vậy phân tích tổng I + J + K gồm ideal Cách Sử dụng phần mềm CoCoA Nhập dòng lệnh sau: Use R::=QQ[x,y]; I:=Ideal(x∧ 2,xy∧ 5,y∧ 6); J:=Ideal(x∧ 4,x∧ 3y∧ 3,y∧ 5); K:=Ideal(x∧ 7,x∧ 3y∧ 2,y∧ 3); IrreducibleDecom_Frobby5(I+J+K); Kết hiển thị sau Ideal(x∧ 2,y∧ 3) 63 3.5 Phân tích bất khả quy ideal chia Bài tập 3.5.1 Xét vành đa thức R = A[x, y] Cho ideal I = (x3 , xy , y ) J = (x3 , x2 y, y ) Tìm phân tích bất khả quy ideal chia (J :R I) Lời giải Cách Ta sử dụng Mệnh đề 2.6.1 Định lý 2.6.4 để giải tốn Trước hết ta có phân tích bất khả quy thu gọn J sau: J = (x2 , y )R ∩ (x3 , y)R Theo cách kí hiệu Định lý 2.6.4 ta có J1 = (x2 , y )R, J2 = (x3 , y)R, f1 = x3 , f2 = xy , f3 = y Nhận thấy f2 ∈ / J1 Theo Định lý 2.6.4 ta có (J :R I) = ((J1 ∩ J2 ) :R I) = (J1 :R xy ) Bây áp dụng Mệnh đề 2.6.1 ta thấy xy ∈ / J1 Dó (J1 :R xy ) = (x, y)R Vậy phân tích bất khả quy ideal (J :R I) gồm ideal (x, y)R Cách Sử dụng phần mềm CoCoA Nhập dòng lệnh sau: Use R::=QQ[x,y]; IrreducibleDecom_Frobby5(Ideal(x∧ 3,x∧ 2y,y∧ 3):Ideal(x∧ 3,xy∧ 2,y∧ 3)); Kết hiển thị sau: [Ideal(x,y)] 3.6 Một số tập tương tự Bài tập 3.6.1 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], tìm giao hai ideal đơn thức I J trường hợp sau: (a) I = (x2 y , xy z, xz)R J = (xz , x2 yz )R (b) I = (x4 z y, x5 z, xz , z )R J = (xyz, y z , x2 )R Bài tập 3.6.2 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x4 z, x4 y, y z )R, J = (xy z, xz , z )R K = (x3 y z , x4 z , yz )R Chứng minh (I + J) ∩ K = (I ∩ K) + (J ∩ K) 64 Bài tập 3.6.3 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x2 y , xz , x4 , z )R J = (y z, yz , x, y )R Chứng minh J(I :R J) ⊆ I ⊆ (I :R J) Bài tập 3.6.4 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x5 , y y, xy , z)R, J = (x2 y z , xz , xy )R K = (x, y, z)R Chứng minh (K :R (I + J)) = (K :R I) ∩ (K :R J) Bài tập 3.6.5 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x2 yz , xy z, x3 z )R, J = (xyz, x3 , y , z )R K = (xy, yz, x2 )R Chứng minh ((I :R J) :R K) = (I :R (J :R K)) = (I :R JK) Bài tập 3.6.6 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x2 , y, z )R, J = (xyz, y , z )R, K = (x2 z, x2 y)R L = (xy z, xz)R Chứng minh ((I ∩ J ∩ K) :R L) = (I :R L) ∩ (J :R L) ∩ (K :R L) Bài tập 3.6.7 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (xy , zx4 , yz , xy z , z )R Chứng minh rằng: (a) I ⊆ m-rad(I) (b) m-rad(I) = m-rad(m-rad(I)) (c) m-rad(I ) = m-rad(I) Bài tập 3.6.8 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (y z, y z ) J = (x3 yz, xy z, xyz , x3 y )R Chứng minh m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J) = m-rad(I) ∩ m-rad(J) Bài tập 3.6.9 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức I = (x2 yz , xy z )R, J = (xyz , xy z) K = (xy, yz)R Chứng minh m-rad(I + J + K) = m-rad(I) + m-rad(J) + m-rad(K) Bài tập 3.6.10 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], tìm phân tích bất khả quy thu gọn ideal sau: I = (x2 y z, y z t, z t2 x, t2 x2 y)R 65 Bài tập 3.6.11 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn m-rad(I) với ideal đơn thức I cho sau: (a) I = (x3 y , x5 y z , yz)R (b) I = (x3 yz, xy z, xz , xyz)R (c) I = (x2 y , xz , yz , xy z )R Bài tập 3.6.12 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn tổng I + J trường hợp sau: (a) I = (x3 y , yz, z yz )R J = (x3 z, x2 y)R (b) I = (x2 y, xy z, x3 z )R J = (x3 , y , z , xy, yz, xz)R Bài tập 3.6.13 Xét vành đa thức R = Q[x, y, z] Tìm phân tích bất khả quy thu gọn ideal chia (I :R J) trường hợp sau: (a) I = (x4 , y , z )R J = (xy z, x2 y z, x3 yz)R (b) I = (xyz, x3 y )R J = (x2 z , z , xy z )R (c) I = (xy z, x3 yz, x3 y )R J = (x3 y , y z , xyz , x3 z )R Bài tập 3.6.14 Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], cho ideal I = (xy, yz, zt, tx)R J = (x, y , z , t4 )R Tìm phân tích bất khả quy ideal I + J , (I :R J) m-rad(I + J) 66 TIỂU KẾT Trong chương này, trình bày cách sử dụng phần mềm CoCoA để giải số toán ideal đơn thức, bao gồm phép toán ideal đơn thức phân tích bất khả quy thu gọn, bên cạnh việc trình bày cách giải dựa vào nội dung kiến thức chương 1, Từ áp dụng tương tự cho nội dung khác Đại số giao hốn Hình học đại số Việc sử dụng phần mềm giúp cho người học tiếp cận tri thức cách tự nhiên kích thích say mê nghiên cứu người học KẾT LUẬN Khóa luận "Ứng dụng phần mềm CoCoA để giải số toán ideal đơn thức" thu số kết sau: Một là, trình bày nội dung kiến thức ideal đơn thức, phép tốn ideal đơn thức phân tích bất khả quy chúng Hai là, đưa cách sử dụng phầm mềm CoCoA việc giải số toán ideal đơn thức, thực hành phép tốn ideal đơn thức phân tích bất khả quy ideal đơn thức Trong tập chương 3, chúng tơi trình bày cách giải tập theo sở lý thuyết cách giải dựa vào phần mềm CoCoA Đặc biệt số tập 2.2.7 đưa gợi ý việc sử dụng phần mềm CoCoA việc đổi phương pháp dạy học, giúp sinh viên tự tìm số tính chất khái niệm Chúng tơi hy vọng khóa luận dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành toán quan tâm tới phần mềm hỗ trợ cho trình học tập nghiên cứu 67 Tài liệu tham khảo [1] Ammone Phomphiban (2015), Ideal đơn thức phân tích ideal đơn thức, Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên [2] Phạm Thị Bích Hà (2016), "Cấu trúc ideal nguyên tố vành đa thức", Tạp chí khoa học trường Đại học Hồng Đức, 29 (1), tr79-83 [3] Nguyễn Thị Sắt (2016), Ideal đơn thức, khóa luận tốt nghiệp đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội [4] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội [5] Th Phng Thanh (2014), C s Grăobner vành đa thức, luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh [6] Huy Tài Hà & Susan Morey (2010), "Embedded associated primes of powers of squarefree monomial ideals", Journal of Pure and Applied Algebra, 214 (4), pp 301– 308 [7] Jă urgen Herzog & Takayuki Hibi (2013), "Bounding the socles of powers of squarefree monomial ideals", Commutative Algebra and Noncommutative Algebraic Geometry, 68 (1), pp 223-229 [8] Mark Rogers, Sean Sather-Wagstaff (2010), Monomial Ideals: Course Notes, Springer International Publishing, American [9] Mark Rogers, W Frank Moore & Sean Sather-Wagstaff (2015), Monomial ideals and their decompositions, Springer International Publishing, American [10] Shizuo Endo & Masao Narita (1964), "The number of irrducible components of an ideal and the semi-regularity of a local ring", Proceedings of the Japan Academy, Series A, 40 (8), pp 627-630 68 69 [11] CoCoATeam, CoCoA: a system for doing Computations in Communitative Algebra, http://cocoa.dima.unige.it ... Chương ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC 3.1 Giới thiêu phần mềm CoCoA 3.2 Các phép toán ideal đơn thức 3.2.1 Giao ideal đơn thức. .. khả quy ideal I + J , I ∩ J , (I :R J) dựa vào phân tích I J Chương ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC 3.1 Giới thiệu phần mềm CoCoA CoCoA phần mềm miễn phí để tính... 6 7 PHẦN NỘI DUNG Chương IDEAL ĐƠN THỨC 1.1 Tính chất ideal đơn thức 1.1.1 Ideal đơn thức 1.1.2 Phần tử sinh ideal đơn thức 1.2 Các phép toán ideal đơn thức