3. Mục tiêu nghiên cứu
2.3 Phân tích bất khả quy của lũy thừa hình thức của một ideal
một ideal
Nhắc lại rằng, với J là ideal đơn thức của R, k = 1,2..., lũy thừa hình
thức của ideal J xác định bởi
J(k) = ({fk | f ∈ [[J]]})R.
Mệnh đề 2.3.1. Giả sử I là một ideal đơn thức của R với phân tích bất khả quy I =
n
\
j=1
Ij và k là một số nguyên dương.
(i) Ideal I là bất khả quy khi và chỉ khi ideal I(k) là bất khả quy. (ii) Phân tích bất khả quy của I(k) là I(k) =
n \ j=1 Ij(k). (iii) Phân tích I = n \ j=1
Ij là thu gọn khi và chỉ khi phân tích I(k) =
n
\
j=1
Ij(k)
Chứng minh. (i) Nếu I là một ideal đơn thức bất khả quy của R thì I(k) là bất khả quy. Thật vậy, nếu I = 0 thì I(k) = 0 là bất khả quy. Giả sử I 6= 0.
Theo Định lý 2.1.3 tồn tại các số nguyên dương m, t1, ..., tm, e1, ..., em, 1 ≤
t1 < ... < tm ≤ d sao cho I = xe1t1, ..., xemtmR. Ta có I(k) = xke1t1 , ..., xkemtm R nên I(k) là bất khả quy.
Ngược lại, giả sử rằng I(k) là bất khả quy. Như chứng minh trên, khơng mất tính tổng quát giả sử rằng I 6= 0. Gọi f1, f2, ..., fm là dãy sinh đơn thức thu gọn của I. Khi đó dãy sinh đơn thức thu gọn của I(k) là f1k, f2k, ..., fmk. Vì I(k) là bất khả quy nên theo Định lý 2.1.3 suy ra với i = 1,2, ..., m, tồn
tại chỉ số ji và lũy thừa ei sao cho fik = xeij
i. So sánh vectơ lũy thừa ta thấy rằng với i = 1,2, ..., m luôn tồn tại lũy thừa ai sao cho ei = kai và fi = xaij
i. Từ đó suy ra I là bất khả quy. (ii) Ta có I(k) = n \ j=1
Ij(k). Theo (i) mỗi ideal Ij(k) là bất khả quy.
(iii) Nếu phân tích I =
n
\
j=1
Ij là thu gọn thì có các chỉ số i 6= i0 sao cho
Ii ⊆ Ii0. Ta có Ii(k) ⊆Ii(k)0 , do đó phân tích I(k) =
n
\
j=1
Ij(k) là thu gọn.
Ngược lại, nếu phân tích I(k) =
n \ j=1 Ij(k) là thu gọn thì có các chỉ số i 6= i0 sao cho Ii(k) ⊆ Ii(k)0 . Ta có Ii ⊆Ii0, do đó phân tích I = n \ j=1 Ij là thu gọn.
Ví dụ 2.3.2. Cho R = A[x, y, z] và xét ideal đơn thức
J = (x3y4, x2y4z3, x2z5, y4z3, y3z5)R = (x2, y3)R∩(x3, z3)R∩(y4, z5)R.
Đây là phân tích bất khả quy thu gọn của J. Khi đó ta có phân tích bất khả quy thu gọn của I(k) là:
J(3) = (x9y12, x6y12z9, x6z15, y12z9, y9z15)R = (x6, y9)R∩ (x9, z9)R∩(y12, z15)R.
2.4. Phân tích bất khả quy của ideal căn
Trong phần này chúng tơi trình bày cách sử dụng phân tích bất khả quy của ideal đơn thức J để tìm phân tích bất khả quy của m-rad(J). Nhắc lại rằng
m-rad(J) = ({z ∈ [[R]] | xn ∈ J, với n ≥ 1 nào đó })R.
Mệnh đề 2.4.1. Giả sử I là ideal đơn thức của R với phân tích bất khả quy
I =
n
\
j=1
Ij.
(i) Mỗi ideal m-rad(Ij) là bất khả quy.
(ii) Một phân tích bất khả quy của m-rad(I) là m-rad(I) =
n
\
j=1
m-rad(Ij).
(iii) Nếu phân tích I =
n \ j=1 Ij là thu gọn thì m-rad(I) = n \ j=1 m-rad(Ij) cũng thu gọn. Chứng minh. (i) Rõ ràng. (ii) Ta có m-rad(I) = m-rad n \ j=1 Ij = n \ j=1 m-rad(Ij).
Theo (i), các ideal m-rad(Ij) là bất khả quy nên suy ra đây là phân tích bất khả quy.
(iii) Giả sử rằng phân tích I =
n
\
j=1
Ij là thu gọn. Khi đó tồn tại chỉ số
j 6= j0 sao cho Ij ⊆ Ij0. Ta cũng có m-rad(Ij) ⊆ m-rad(Ij0) nên phân tích m-rad(I) =
n
\
j=1
m-rad(Ij) cũng là thu gọn.
Ví dụ 2.4.2. Cho R = A[x, y, z]. Ideal J = (x2z2, y4, y3z2)R = (x2, y3)R ∩
(y4, z2)R có m-rad(J) = (xz, y)R với phân tích bất khả quy m-rad(J) = (x, y)R∩(y, z)R.