3. Mục tiêu nghiên cứu
3.3 Phân tích bất khả quy của ideal căn
Bài tập 3.3.1. Xét vành đa thức R = A[x, y, z], cho ideal J = (x3y4, x2y4z3, x2z5, y4z3, y3z5)R.
Tìm một phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J). Lời giải. Cách 1. Trước hết ta tìm m-rad(J) bằng Định lý 1.2.18. Ta có: red(x3y4) =xy red(x2y4z3) =xyz red(x2z5) =xz red(y4z3) = yz red(y3z5) = yz
Khi đó xy, xyz, xz, yz, yz là dãy sinh của m-rad(J). Sử dụng Thuật toán 1.1.18 ta được dãy sinh thu gọn làxy, xz, yz, khi đó m-rad(J) = (xy, xz, yz)R.
Bây giờ ta tìm phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J). Ta có:
m-rad(J) = (xy, xz, yz)R
= (x, xz, yz)R∩(y, xz, yz)R
= (x, x, yz)R∩(x, z, yz)R∩(y, x, yz)R∩(y, z, yz)R
= (x, x, y)R∩ (x, x, z)R∩ (y, x, y)R∩(y, x, z)R∩(y, z, y)R
∩(y, z, z)R
= (x, y)R∩(x, z)R∩(x, y)R∩(y, x, z)R∩(z, y)R∩(y, z)R = (x, y)R∩(y, z)R∩(x, z)R
Cách 2.
Ta sẽ tìm phân tích bất khả quy của ideal J như sau:
Khi đó phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J) là:
m-rad(J) = m-rad((x2, y3)R)∩m-rad((x3, z3)R)∩m-rad((y4, z5)R) = (x, y)R∩ (x, z)R∩(y, z)R
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Để tìm phân tích bất khả quy của một ideal, ta sử dụng lệnh IrreducibleDecom_Frobby5.
Nhập các dòng lệnh sau:
J:=Ideal(x∧3y∧4,x∧2y∧4z∧3,x∧2z∧5,y∧4z∧3,y∧3z∧5); IrreducibleDecom_Frobby5(Radical(J));
Kết quả hiển thị như sau:
[Ideal(y,z),Ideal(x,y),Ideal(x,z)]
3.4. Phân tích bất khả quy của tổng
Bài tập 3.4.1. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Tìm phân tích bất khả quy
thu gọn của ideal I +J, trong đó I = (x3, xy2, y3)R và J = (x3, x2y, y3)R. Lời giải.
Cách 1.
Ta tìm các phân tích bất khả quy thu gọn của I và J như sau:
I = (x3, xy2, y3)R = (x3, x, y3)R∩(x3, y2, y3)R = (x, y3)R∩(x3, y2)R J = (x3, x2y, y3)R = (x3, x2, y3)R∩(x3, y, y3) =R(x2, y3)R∩(x3, y)R
Ta có I +J có phân tích bất khả quy như sau:
I +J = ((x, y3)R∩(x3, y2)R) + ((x2, y3)R∩(x3, y)R)
= ((x, y3)R+ (x2, y3)R)∩((x, y3)R+ (x3, y)R)∩ ((x3, y2)R+ (x2, y3)R)
∩((x3, y2)R+ (x3, y)R)
= (x, y3)R∩(x, y)R∩(x2, y2)R∩(x3, y)R = (x, y3)R∩(x2, y2)R∩(x3, y)R
Cách 2.
Trước tiên có thể xác định ideal I +J rồi tìm phân tích bất khả quy của ideal này.
I + J = (x3, xy2, y3)R+ (x3, x2y, y3)R = (x3, xy2, x2y, y3)R
Ta có phân tích như sau:
I +J = (x3, x, x2, y3)R∩(x3, x, y, y3)R∩(x3, y2, x2, y3)R∩(x3, y2, y, y3)R = (x, y3)R∩(y2, x2)∩(x3, y)R
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Nhập các dòng lệnh sau:
I:=Ideal(x∧3,xy∧2,y∧3); J:=Ideal(x∧3,x∧2y,y∧3);
IrreducibleDecom_Frobby5(I+J); Kết quả hiển thị như sau:
[Ideal(x,y∧3),Ideal(x∧2,y∧2),Ideal(x∧3,y)]
Bài tập 3.4.2. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Tìm một phân tích bất khả
quy của tổng
(x2, xy5, y6)R+ (x4, x3y3, y5)R+ (x7, x3y2, y3)R
Lời giải.
Cách 1.
Đặt I = (x2, xy5, y6)R, J = (x4, x3y3, y5)R, K = (x7, x3y2, y3)R. Ta có
các phân tích bất khả quy của I, J, K:
I = (x, y6)R∩(x2, y5)R J = (x5, y5)R∩(x4, y3)R K = (x3, y3)R∩(x7, y2)R
Khi đó ta tìm phân tích bất khả quy của I +J +K như sau: I +J +K = (x, y6)R∩ (x2, y5)R+ (x5, y5)R∩ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩(x7, y2)R = (x, y6)R+ (x5, y5)R+ (x3, y3)R∩ (x, y6)R+ (x5, y5)R+ (x7, y2)R ∩ (x, y6)R+ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩ (x, y6)R+ (x4, y3)R+ (x7, y2)R ∩ x2, y5)R+ (x5, y5)R+ (x3, y3)R∩ (x2, y5)R+ (x5, y5)R+ (x7, y2)R ∩ (x2, y5)R+ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩ (x2, y5)R+ (x4, y3)R+ (x7, y2)R =(x, y5)R∩(x, y2)R∩ (x, y3)R∩(x, y2)R∩(x2, y3)R∩(x2, y2)R∩(x2, y3)R ∩(x2, y2)R =(x2, y3)R Cách 2. Trước hết ta tìm tổng I +J +K = (x2, xy5, y6, x4, x3y3, y5, x7, x3y2, y3)R = (x2, y3)R
Nhận xét rằng ideal(x2, y3)Rlà bất khả quy. Do đó nó khơng thể phân tích được thành giao của các ideal bất khả quy. Vậy phân tích của tổng I+J+K
chỉ gồm một ideal.
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA
Nhập các dòng lệnh sau:
Use R::=QQ[x,y];
I:=Ideal(x∧2,xy∧5,y∧6); J:=Ideal(x∧4,x∧3y∧3,y∧5); K:=Ideal(x∧7,x∧3y∧2,y∧3);
IrreducibleDecom_Frobby5(I+J+K); Kết quả hiển thị như sau
3.5. Phân tích bất khả quy của ideal chia
Bài tập 3.5.1. Xét vành đa thứcR = A[x, y]. Cho các idealI = (x3, xy2, y3)
và J = (x3, x2y, y3). Tìm phân tích bất khả quy của ideal chia (J :R I). Lời giải.
Cách 1.
Ta sử dụng Mệnh đề 2.6.1 và Định lý 2.6.4 để giải bài tốn. Trước hết ta có phân tích bất khả quy thu gọn của J như sau: J = (x2, y3)R∩(x3, y)R.
Theo cách kí hiệu trong Định lý 2.6.4 ta có J1 = (x2, y3)R, J2 = (x3, y)R, f1 = x3, f2 = xy2, f3 = y3. Nhận thấy f2 ∈/ J1. Theo Định lý 2.6.4 ta có
(J :R I) = ((J1 ∩J2) :R I) = (J1 :R xy2).
Bây giờ áp dụng Mệnh đề 2.6.1 ta thấyxy2 ∈/ J1. Dó đó(J1 :R xy2) = (x, y)R.
Vậy phân tích bất khả quy của ideal (J :R I) chỉ gồm một ideal (x, y)R.
Cách 2. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Nhập các dòng lệnh sau: Use R::=QQ[x,y];
IrreducibleDecom_Frobby5(Ideal(x∧3,x∧2y,y∧3):Ideal(x∧3,xy∧2,y∧3)); Kết quả hiển thị như sau:
[Ideal(x,y)]