3. Mục tiêu nghiên cứu
3.6 Một số bài tập tương tự
Bài tập 3.6.1. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], tìm giao của hai ideal
đơn thức I và J trong các trường hợp sau:
(a) I = (x2y3, xy4z, xz)R và J = (xz2, x2yz3)R.
(b) I = (x4z2y, x5z, xz5, z3)R và J = (xyz, y3z4, x2)R.
Bài tập 3.6.2. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x4z, x4y, y2z2)R, J = (xy3z, xz3, z5)R và K = (x3y3z3, x4z2, yz5)R.
Bài tập 3.6.3. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x2y3, xz3, x4, z4)R và J = (y2z, yz3, x, y3)R.
Chứng minh rằng J(I :R J) ⊆ I ⊆ (I :R J).
Bài tập 3.6.4. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x5, y3y, xy3, z)R, J = (x2y2z2, xz3, xy5)R và K = (x, y, z)R. Chứng
minh rằng (K :R (I + J)) = (K :R I)∩(K :R J).
Bài tập 3.6.5. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x2yz3, xy2z, x3z3)R, J = (xyz, x3, y3, z3)R và K = (xy, yz, x2)R.
Chứng minh rằng ((I :R J) :R K) = (I :R (J :R K)) = (I :R J K).
Bài tập 3.6.6. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x2, y, z2)R, J = (xyz, y3, z3)R, K = (x2z, x2y)R và L = (xy4z, xz)R.
Chứng minh rằng ((I ∩J ∩K) :R L) = (I :R L)∩(J :R L)∩(K :R L). Bài tập 3.6.7. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho ideal đơn thức
I = (xy5, zx4, yz3, xy2z3, z4)R.
Chứng minh rằng: (a) I ⊆ m-rad(I).
(b) m-rad(I) =m-rad(m-rad(I)).
(c) m-rad(I2) =m-rad(I).
Bài tập 3.6.8. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (y5z, y2z2) và J = (x3yz, xy3z, xyz3, x3y3)R.
Chứng minh rằng m-rad(IJ) = m-rad(I ∩J) =m-rad(I)∩m-rad(J).
Bài tập 3.6.9. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z], cho các ideal đơn thức I = (x2yz2, xy2z2)R, J = (xyz3, xy3z) và K = (xy, yz)R. Chứng minh rằng
m-rad(I +J +K) = m-rad(I) +m-rad(J) +m-rad(K).
Bài tập 3.6.10. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], tìm phân tích bất khả
quy thu gọn của ideal sau:
Bài tập 3.6.11. Xét vành đa thức R = Q[x, y, z]. Tìm phân tích bất khả
quy thu gọn của m-rad(I) với ideal đơn thức I được cho như sau: (a) I = (x3y3, x5y5z4, yz)R.
(b) I = (x3yz, xy3z, xz3, xyz)R.
(c) I = (x2y5, xz3, yz3, xy2z2)R.
Bài tập 3.6.12. Xét vành đa thức R = Q[x, y, z]. Tìm phân tích bất khả
quy thu gọn của tổng I +J trong các trường hợp sau: (a) I = (x3y6, yz, z3yz2)R và J = (x3z, x2y)R.
(b) I = (x2y, xy2z, x3z3)R và J = (x3, y3, z3, xy, yz, xz)R.
Bài tập 3.6.13. Xét vành đa thức R = Q[x, y, z]. Tìm phân tích bất khả
quy thu gọn của ideal chia (I :R J) trong các trường hợp sau: (a) I = (x4, y5, z6)R và J = (xy3z, x2y5z, x3yz)R.
(b) I = (xyz, x3y3)R và J = (x2z2, z3, xy2z2)R.
(c) I = (xy3z, x3yz, x3y3)R và J = (x3y3, y2z5, xyz5, x3z5)R. Bài tập 3.6.14. Trong vành đa thức R = Q[x, y, z, t], cho các ideal
I = (xy, yz, zt, tx)R và J = (x, y2, z3, t4)R.
TIỂU KẾT
Trong chương này, chúng tơi đã trình bày được cách sử dụng phần mềm CoCoA để giải một số bài toán về ideal đơn thức, bao gồm các phép toán trên ideal đơn thức và phân tích bất khả quy thu gọn, bên cạnh việc trình bày cách giải dựa vào các nội dung kiến thức trong chương 1, 2. Từ đó có thể áp dụng tương tự cho các nội dung khác trong Đại số giao hốn và Hình học đại số. Việc sử dụng phần mềm này sẽ giúp cho người học tiếp cận tri thức một cách tự nhiên hơn và kích thích sự say mê nghiên cứu của người học.
Khóa luận "Ứng dụng phần mềm CoCoA để giải một số bài toán
về ideal đơn thức" đã thu được một số kết quả sau:
Một là, trình bày những nội dung kiến thức về ideal đơn thức, các phép tốn trên ideal đơn thức và phân tích bất khả quy của chúng. Hai là, đưa ra cách sử dụng phầm mềm CoCoA trong việc giải một số bài toán về ideal đơn thức, như thực hành các phép tốn trên ideal đơn thức và phân tích bất khả quy của ideal đơn thức. Trong mỗi bài tập ở chương 3, chúng tơi trình bày cách giải bài tập theo cơ sở lý thuyết và cách giải dựa vào phần mềm CoCoA. Đặc biệt trong một số bài tập như bài 2.2.7 được chúng tôi đưa ra như một gợi ý trong việc sử dụng phần mềm CoCoA trong việc đổi mới phương pháp dạy học, giúp sinh viên tự tìm ra một số tính chất của các khái niệm.
Chúng tơi hy vọng rằng khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành toán quan tâm tới những phần mềm hỗ trợ cho quá trình học tập và nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo
[1] Ammone Phomphiban (2015), Ideal đơn thức và sự phân tích của ideal đơn thức, Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Thái Nguyên,
Thái Nguyên.
[2] Phạm Thị Bích Hà (2016), "Cấu trúc của ideal nguyên tố của vành đa thức", Tạp chí khoa học trường Đại học Hồng Đức, 29 (1), tr79-83. [3] Nguyễn Thị Sắt (2016), Ideal đơn thức, khóa luận tốt nghiệp đại học,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội.
[4] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam,
Hà Nội.
[5] Đỗ Thị Phương Thanh (2014), Cơ s Grăobner trong vnh a thức, luận
văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tp. Hồ Chí Minh.
[6] Huy Tài Hà & Susan Morey (2010), "Embedded associated primes of powers of squarefree monomial ideals", Journal of Pure and Applied Algebra, 214 (4), pp. 301– 308.
[7] Jăurgen Herzog & Takayuki Hibi (2013), "Bounding the socles of powers of squarefree monomial ideals", Commutative Algebra and Noncommu- tative Algebraic Geometry, 68 (1), pp. 223-229.
[8] Mark Rogers, Sean Sather-Wagstaff (2010), Monomial Ideals: Course Notes, Springer International Publishing, American.
[9] Mark Rogers, W. Frank Moore & Sean Sather-Wagstaff (2015), Mono- mial ideals and their decompositions, Springer International Publishing,
American.
[10] Shizuo Endo & Masao Narita (1964), "The number of irrducible com- ponents of an ideal and the semi-regularity of a local ring", Proceedings of the Japan Academy, Series A, 40 (8), pp. 627-630.
[11] CoCoATeam, CoCoA: a system for doing Computations in Communi- tative Algebra, http://cocoa.dima.unige.it.