3. Mục tiêu nghiên cứu
2.6 Phân tích bất khả quy của ideal chia
Nhắc lại rằng, với S là một tập con của R và I là một ideal của R. Với
mỗi r ∈ R, đặt rS = {rs | s ∈ S}, khi đó ideal chia của I cho S được xác định như sau:
(I :R S) = {r ∈ R | rS ⊆ I}.
Mệnh đề 2.6.1. Giả sử k, t1, ..., tk, et1, ..., etk là các số nguyên dương và
J = xet1 t1 , ..., xetktkR. Với đơn thức f = xn ∈ [[R]], ta có (J :R f) =
R nếu tồn tại một chỉ số i sao cho nti ≥ eti xet1−nt1 t1 , ..., xetktk−ntkR nếu với i = 1, ..., n ta có nti < eti = R nếu f ∈ J xet1−nt1 t1 , ..., xetktk−ntkR nếu f /∈ J
Chứng minh. Ta biết rằng f ∈ J khi và chỉ khi tồn tại một chỉ số i sao cho
f ∈ xetitiR. Bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa, f ∈ J khi và chỉ khi tồn tại một chỉ số i sao cho nti ≥ eti.
Nếu có một chỉ số i sao cho nti ≥ eti thì f ∈ J, do đó (J :R f) = R. Giả
sử với i = 1, ..., k ta có nti < eti. Với i = 1, ..., k, đơn thức xetitk−nti thuộc vào
(J :R f) bởi
xetitk−ntif = xn11 ...xetitk−nti+nti...xndd ∈ xetiti
R ⊆J.
Bây giờ ta lấy cố định một đơn thức g ∈ (J :R f) và chỉ ra rằng g ∈
xetitk−nti
R với chỉ số i nào đó. Đặt g = xm ∈ [[(J :R f)]]. Khi đó f g ∈ J,
nên tồn tại một chỉ số i sao cho 1 ≤ i ≤ n và f g ∈ xetiti
R. Bằng cách so
sánh các vectơ lũy thừa dẫn đến nti +mti ≥ eti, do đó mti ≥ eti −nti. Lại bằng cách so sánh các vectơ lũy thừa ta có g ∈ xetitk−ntiR như yêu cầu.
Hệ quả 2.6.2. Giả sử J là một ideal đơn thức bất khả quy của R và đơn thức f ∈ [[R]]. Khi đó ideal (J :R f) là bất khả quy hoặc (J :R f) =R. Ideal
(J :R f) là bất khả quy khi và chỉ khi f /∈ J.
Chứng minh. Nêu J = 0 thì (J :R f) = 0 và là bất khả quy. Nếu J 6= 0 thì kết quả suy ra từ Định lý 2.1.3 và Mệnh đề 2.6.1.
Ví dụ 2.6.3. Cho R = A[x, y, z] và J = (x2, z3)R. Theo Mệnh đề 2.6.1 ta
có
(J :R xy) = (x, z3)R và (J :R xyz4) = R.
Định lý 2.6.4. Giả sử I là một ideal đơn thức của R với dãy sinh đơn thức f1, ..., ft. Cho J là một ideal đơn thức của R với phân tích bất khả quy
J =
m
\
i=1
Ji. Giả sử rằng I * J. Khi đó một phân tích bất khả quy của (J :R I)
là
(J :R I) = \
fj∈Ji/
(Ji :R fj)
trong đó giao lấy trên tập các cặp sắp thứ tự (i, j) sao cho 1 ≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ t và fj ∈/ Ji. Chứng minh. Ta có: (J :R I) = (J :R (f1, ..., ft)R) = t \ j=1 (J :R fj) = t \ j=1 m \ i=1 (Ji :R fj) ! = t \ j=1 m \ i=1 (Ji :R fj) = \ (i,j)∈S (Ji :R fj).
Áp dụng Hệ quả 2.6.2, khi fj ∈/ Ji thì ideal (Ji :R fj) là bất khả quy.
Ví dụ 2.6.5. Cho R = A[x, y, z] và xét các ideal đơn thức
I = (y4, z5)R
Theo ký hiệu của Định lý 2.6.4, ta có f1 = y4, f2 = z5, J1 = (x2, y3)R và
J2 = (x3, z3)R. Để tìm phân tích bất khả quy của (J :R I), ta tìm các cặp
sắp thứ tự (i, j) sao cho fj ∈/ Ji: f1 ∈ J1, f1 ∈/ J2, f2 ∈/ J1 và f2 ∈ J2. Do đó ta có:
TIỂU KẾT
Trong chương này, chúng tơi đã trình bày được các kiến thức liên quan đến phân tích bất khả quy của ideal đơn thức và của các phép toán trên ideal đơn thức. Chương 2 bao gồm hai thuật tốn được sử dụng để tìm phân tích bất khả quy của một ideal đơn thức bất kì và cách tìm phân tích bất khả quy của các ideal I +J, I ∩J, (I :R J) dựa vào phân tích của I và J.
Chương 3
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
IDEAL ĐƠN THỨC
3.1. Giới thiệu về phần mềm CoCoA
CoCoA là một phần mềm miễn phí để tính tốn với các đa thức nhiều biến. Cụ thể hơn, CoCoA liên quan đến các tính tốn trong các vành đa thức nhiều biến trên Q hoặc Zp về ideal hay module của chúng. Việc thực hiện các phép toán trên ideal hay module dựa trên lý thuyết c s Grăobner. Mt trong những tính năng quan trọng nhất của CoCoA là ngơn ngữ lập trình cấp cao cho phép người dùng tự viết các chức năng của mình và hướng dẫn hệ thống thơng qua các tính tốn phức tạp và liên quan. Ngôn ngữ này đã được thiết kế tự nhiên và trực quan, vì vậy nó dễ học và rất phù hợp với việc giảng dạy. Người dùng chính của CoCoA là các nhà nghiên cứu về Đại số giao hốn và Đại số hình học cùng với các sinh viên của họ. Tuy nhiên, các kỹ thuật đại số tính tốn đang lan rộng sang các lĩnh vực khác (ví dụ như phân tích số, mật mã, thống kê và hệ thống động lực). Hệ thống bao gồm trợ giúp trực tuyến hoàn chỉnh (cũng có sẵn ở định dạng html và pdf). CoCoA là phần mềm có sẵn miễn phí cho mục đích nghiên cứu và giáo dục, có thể xem tại trang web http://cocoa.dima.unige.it cũng như trang web nhân bản ở Mỹ ftp://ftp.reed.edu/mirrors/cocoa.
Để thực hành với phần mềm CocoA, chúng ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Tải phần mềm về máy tính thơng qua trang web:
http://cocoa.dima.unige.it
Bước 2: Chạy chương trình thơng qua file cocoa_qt.exe.
Bước 3: Trên thanh công cụ của giao diện phần mềm, chọn “CocoaServer”, rồi chọn “open” và “execute”. Sau khi nhập lệnh code, ta nhấp vào biểu tượng “Execute curent command set” để chạy chương trình.
3.2. Các phép tốn trên ideal đơn thức
3.2.1. Giao của các ideal đơn thức
Bài tập 3.2.1. Xét vành đa thức R = Z101[x, y]. Tìm dãy sinh đơn thức thu
gọn của các ideal I = (x, y5)R∩(x4, y)R và J = (x4, x3y2, y3)∩(x3, y5)R. Lời giải.
Cách 1.
Ta sử dụng Mệnh đề 1.2.7 và Thuật toán 1.1.18 để giải quyết bài tập này. Trước hết ta tìm dãy sinh thu gọn của ideal I. Ta đi tìm các bội chung lớn nhất sau:
lcm(x, x4) = x4 lcm(x, y) = xy
lcm(y5, x4) =x4y5 lcm(y5, y) = y5
Từ Mệnh đề 1.2.7 ta có dãy x4, xy, x4y5, y5 là dãy sinh của I. Ta dùng Thuật tốn 1.1.18 để tìm dãy sinh thu gọn của ideal này. Đơn thứcx4y5 là bội của đơn thức x4, ta bỏ đơn thức này ra khỏi dãy, thu được dãy mới x4, xy, y5. Không đơn thức nào trong dãy này là bội của ít nhất một đơn thức cịn lại, do đó nó là dãy sinh đơn thức thu gọn của I.
Áp dụng cách làm tương tự với ideal J, ta có các bội chung nhỏ nhất sau: lcm(x4, x3) =x4 lcm(x4, y5) =x4y5 lcm(x3y2, x3) =x3y2 lcm(x3y2, y5) = x3y5 lcm(y3, x3) =x3y3 lcm(y3, y5) = y5
Dãy x4, x4y5, x3y2, x3y5, x3y3, y5 là dãy sinh của J. Đơn thức x4y5 là bội của đơn thứcx4, đơn thức x3y5, x3y3 là bội của đơn thứcx3y2, ta loại các đơn thức này khỏi dãy, vậy dãy sinh đơn thức thu gọn của ideal J là x4, x3y2, y5.
Để thực hiện phép toán giao của các ideal đơn thức ta dùng lệnhIntersection.
Lưu ý: Môi trường vành mặc định được sử dụng trong CoCoA là vành đa thức ba biến hệ số hữu tỉ R = Q[x, y, z]. Trong bài tập này, để xét phép
toán trên vành R = Z101[x, y] ta thêm câu lệnh Use R::=ZZ/(101)[x,y]. Nhập các dòng lệnh sau vào cửa sổ đầu vào:
Use R::=ZZ/(101)[x,y];
Intersection(Ideal(x,y∧5),Ideal(x∧4,y));
Intersection(Ideal(x∧4,x∧3y∧2,y∧3),Ideal(x∧3,y∧5)); Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(xy, x∧4, y∧5) Ideal(x∧4, x∧3y∧2, y∧5)
Bài tập 3.2.2. Xét vành đa thức R = Z101[x, y]. Chứng minh rằng (xy2)R∩(x2y)R = (x2y2)R và (x2, y3)R∩(x3, y)R = (x3, x2y, y3)R
.
Lời giải.
Cách 1.
Đặt I = (xy2)R∩(x2y)R và J = (x2, y3)R∩(x3, y)R.
Trước hết ta tìm ideal I. Bội chung nhỏ nhất của hai đơn thức xy2 và x2y
là đơn thức lcm(xy2, x2y) = x2y2. Do đó ideal I sinh bởi đơn thức này. Vậy
I = (xy2)R∩(x2y)R = (x2y2)R.
Bây giờ ta tìm ideal J. Ta có được các bội chung nhỏ nhất như sau:
lcm(x2, x3) = x3 lcm(x2, y) = x2y
lcm(y3, x3) =x3y3 lcm(y3, y) = y3
Khi đó thu được dãy x3, x2y, x3y3, y3 là dãy sinh đơn thức của ideal J. Ta tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của ideal này bằng thuật toán 1.1.18. Đơn thức x3y3 là bội của đơn thức x2y, ta loại đơn thức này ra khỏi dãy, thu được
dãy x3, x2y, y3. Không đơn thức nào trong dãy này là bội của ít nhất một đơn thức cịn lại, do đó nó là dãy sinh đơn thức thu gọn của I. Từ Bổ đề 1.2.6 và Mệnh đề 1.2.7 ta được J = (x2, y3)R∩(x3, y)R = (x3, x2y, y3)R.
Cách 2. Sử dụng CoCoA để tìm giao của hai ideal đơn thức.
Nhập các câu lệnh sau vào cửa sổ đầu vào:
Intersection(Ideal(xy∧2),Ideal(x∧2y)); Intersection(Ideal(x∧2,y∧3),Ideal(x∧3,y)); Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(x∧3,z∧2y,y∧3)
Bài tập 3.2.3. Xét vành đa thức R = Z101[x, y]. Cho các ideal đơn thức I = (x2, y5)R, J = (x4, y)R và K = (x3, xy, y5)R.
Chứng minh rằng (I +J)∩K = (I ∩ K) + (J ∩K). Lời giải.
Cách 1.
Trước tiên ta có I + J = (x2, y)R. Bây giờ ta tìm (I +J)∩K, I ∩K và
J ∩K. Ta có các bội chung nhỏ nhất sau:
lcm(x2, x3) = x3 lcm(x2, xy) = x2y lcm(x2, y5) = x2y5 lcm(y, x3) =x3y lcm(y, xy) = xy lcm(y, y5) = y5
Dãy x3, x2y, x2y5, x3y, xy, y5 là dãy sinh đơn thức của ideal (I + J) ∩
K. Sử dụng Thuật toán 1.1.18 ta tìm được dãy sinh đơn thức thu gọn là x3, xy, y5, suy ra (I +J)∩K = (x3, xy, y5)R. Bằng cách làm tương tự ta có I∩K = (y5, x2y, x3)R và J∩K = (xy, x4, y5)R. Do đó (I∩K) + (J∩K) = (y5, x2y, x3)R+ (xy, x4, y5)R = (x3, xy, y5)R.
Cách 2. Sử dụng phần mềm CoCoA..
Nhập các câu lệnh sau vào cửa sổ đầu vào: Use R::=ZZ/(101)[x,y]; I:=Ideal(x∧2,y∧5); J:=Ideal(x∧4,y); K:=Ideal(x∧3,xy,y∧5); Intersection(I+J,K); Intersection(I,K)+Intersection(J,K);
Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(xy, x∧3, y∧5)
Ideal(y∧5, x∧2y, x∧3, xy, x∧4)
Bằng Thuật tốn 1.1.18 ta có (y5, x2y, x3, xy, x4)R = (xy, x3, y5)R.
3.2.2. Ideal căn
Bài tập 3.2.4. Xét vành đa thức R = Q, y, z]. Cho các ideal đơn thức I = (x3, y2z4)R và J = (x4y, y3, x2y3z2, z9)R. Tìm dãy sinh đơn thức thu
gọn của m-rad(I) và m-rad(J).
Lời giải.
Cách 1.
Ta sử dụng Định lý 1.2.18 để giải quyết bài tập này. Trước tiên ta tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của m-rad(I). Ta có red(x3) =x, red(y2z4) =yz. Khi
đó dãy x, yz là dãy sinh đơn thức của m-rad(I) và dãy này là thu gọn. Bây giờ ta tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của m-rad(J). Ta có red(x4y) = xy, red(y3) = y, red(x2y3z2) = xyz, red(z9) = z. Khi đó dãy xy, y, xyz, z là dãy sinh của m-rad(J). Sử dụng Thuật tốn 1.1.18 ta tìm được dãy sinh đơn thức thu gọn là y, z.
Cách 2. Sử dụng phần mềm CoCoA..
Để tìm ideal căn của một ideal đơn thức, ta sử dụng lệnh Radical. Với bài tập này, ta nhập dòng lệnh sau:
Radical(Ideal(x∧3,y∧2z∧4));
Radical(Ideal(x∧4y,y∧3,x∧2y∧3∧2,z∧9)); Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(x,yz) Ideal(y,z)
Bài tập 3.2.5. Xét vành đa thức R = Q[x, y, z]. Cho các ideal đơn thức I = (x2y, y2, xz3) và J = (xy4, xy2z2, y3, z5). Chứng minh rằng:
(a) I ⊂ m-rad(I).
(c) m-rad(I + J) = m-rad(I) + m-rad(J).
(d) m-rad(IJ) =m-rad(I ∩J).
Lời giải.
Cách 1.
(a) Sử dụng cách làm của Bài tập 3.2.4 để tìm m-rad(I). Ta có red(x2y) = xy, red(y2) = y, red(xz3) = xz, thu được dãy các đơn thức xy, y, xz là dãy sinh của ideal m-rad(I). Từ đó ta có m-rad(I) = (y, xz)R.
Bây giờ ta nhận xét rằng các phần tử sinh của ideal I đều có thể biểu diễn qua các phần tử sinh của ideal m-rad(I). Do đó I ⊂ m-rad(I).
(b) Bằng cách tìm ideal căn tương tự ta thu được m-rad(J) = (y, z)R và m-rad(m-rad(J) = (y, z)R. Vậy ta có điều phải chứng minh.
(c) Ta có (I +J) = (x2y, y2, xz3, xy4, z5)R. Tính tốn tương tự ta được
m-rad(I +J) =m-rad(x2y, y2, xz3, xy4, z5)R = (y, z)R
m-rad(I) +m-rad(J) = (y, z)R
. Vậy ta có điều phải chứng minh. (d) Ta có
IJ = x3y3z2, xy4z2, x2y4, y5, xy3z3, x2yz5, yz5, zx8)R I ∩J = (y3, xy2z2, xz5, y2z5)R
Tương tự ta được
m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J) = (xz, y)R
Cách 2. Sử dụng phần mềm CoCoA.
(a) Nhập các câu lệnh sau:
I:=Ideal(x∧y,y∧2,xz∧3); Radical(I);
Kết quả thu được như sau:
Ideal(y,xz) (b) Nhập tiếp các câu lệnh sau:
J:=(xy∧4,xy∧2z∧2,y∧3,z∧5); Radical(J);
Kết quả thu được như sau:
Ideal(y,z) Ideal(y,z) (c) Nhập tiếp các câu lệnh sau:
Radical(I+J);
Radical(I)+Radcal(J); Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(y,z) Ideal(y,xz,z) (d) Nhập tiếp các câu lệnh sau:
Radical(I*J);
Radical(Intersection(I,J)); Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(xz,y) Ideal(y,xz)
3.2.3. Ideal chia
Bài tập 3.2.6. Xét vành đa thức R = Q[x, y, z]. Cho các ideal đơn thức I = (x2, y3, z5)R, J = (xz, x4y3, y2z6)R, K = (xyz3, x2y4, z)R. Chứng minh
rằng I ⊆ (I :R J) và ((I :R J) :R K) = ((I :R K) :R J). Lời giải.
Cách 1.
Trước hết ta tính các ideal chia. Theo phần chứng minh Định lý 1.2.19 ta có:
(I :R J) = (I :R xzR)∩(I :R x4y3R)∩(I :R y2z6R).
Nhận thấy rằng xz /∈ I, sử dụng Mệnh đề 2.6.1 dẫn đến (I :R xzR) = (x, y2, z4)R. Tương tự ta có x4y3 ∈ I nên (I :R x4y3R) = R và y2z6 ∈/ I nên
(I :R y2z6R) = R. Do đó (I :R J) = (x, y2, z4)R∩R∩R = (x, y2, z4)R. Vậy
ta kết luận được rằng I ⊆ (I :R J) do các phần tử sinh của ideal I đều có thê biểu diễn được qua các phần tử sinh của ideal (I :R J).
Bằng cách tương tự ta có các ideal chia
((I :R J) :R K) = (x, y3, z3)R (I :R K) = (x2, y3, z4)R
((I :R K) :R J) = (x, y3, z3)R
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách 2. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Để tìm ideal chia ta sử dụng lệnh Colon hoặc :.
Nhập các câu lệnh sau:
I:=Ideal(x∧2,y∧3,z∧5);
J:=Ideal(xz,x∧4y∧3,y∧2z∧6); K:=Ideal(xyz∧3,x∧2y∧4,z); I:J; (hoặc Colon(I,J);) (I:J):K;
I:K; (I:K):J Kết quả hiển thị như sau:
Ideal(x, y∧3, z∧4) Ideal(x, y∧3, z∧3) Ideal(x∧2, y∧3, z∧4) Ideal(x, z∧3, y∧3)
3.2.4. Lũy thừa hình thức của ideal
Bài tập 3.2.7. Xét vành đa thức R = Z101[x, y, z]. Cho các ideal đơn thức I = (x2y, yz, z5)R và J = (xy, z)R.
(a) Tìm I(4).
(c) Chứng minh rằng I(3) ⊆ J(3) và J(3) * I(3).
(d) Chứng minh rằng (I ∩J(2))(3) = I(3) ∩(J(2))(3) = I(3) ∩J(6). (e) Kiểm chứng xem đẳng thức (IJ)(3) = I(3)J(3) là đúng hay sai.
Lời giải. (a) Theo Mệnh đề 1.2.24 ta có I(4) = (x8y4, y4z4, z20)R. (b) Ta có: x8y4 = x6y3.(x2y) + 0.(yz) + 0.(z5) y4z4 = 0.(x2y) +y3z3.(yz) + 0.(z5) z20 = 0.(x2y) + 0.(yz) +z19.(z20)
Các phần tử sinh của I(4) đều thuộc I, do đó I(4) ⊆ I. (c) Ta có:
x2y = x.(xy) + 0.(z) yz = 0.(xy) +y.(z)
z5 = 0.(xy) +z4.(z5)
Các phần tử sinh của I đều thuộc J, do đó I ⊆ J. Khơng có phần tử sinh
nào của J có thể biểu diễn qua các phần tử sinh của I, do đó J * I. Theo Bổ đề 1.2.28, I(3) ⊆ J(3) và J(3) * I(3). (d) Ta có: (I ∩J(2))(3) = (x2y, yz, z5)R∩ ((xy, z)R)(2) (3) = (x2y, yz, z5)R∩ (x2y2, z2)R(3) = (yz2, x2y2, z5)R(3) = (y3z6, x6y6, z15)R I(3)∩ (J(2))(3) = (x2y, yz, z5)R(3) ∩((xy, z)R)(2) (3) = (x6y3, y3z3, z15)R∩ (x2y2, z2)R(3) = (x6y3, y3z3, z15)R∩(x6y6, z6)R = (y3z6, x6y6, z15)R
I(3) ∩J(6) = (x2y, yz, z5)R(3)∩((xy, z)R)(6) = (x6y3, y3z3, z15)R∩(x6y6, z6)R = (y3z6, x6y6, z15)R
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
3.3. Phân tích bất khả quy của ideal căn
Bài tập 3.3.1. Xét vành đa thức R = A[x, y, z], cho ideal J = (x3y4, x2y4z3, x2z5, y4z3, y3z5)R.
Tìm một phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J). Lời giải. Cách 1. Trước hết ta tìm m-rad(J) bằng Định lý 1.2.18. Ta có: red(x3y4) =xy red(x2y4z3) =xyz red(x2z5) =xz red(y4z3) = yz red(y3z5) = yz
Khi đó xy, xyz, xz, yz, yz là dãy sinh của m-rad(J). Sử dụng Thuật toán 1.1.18 ta được dãy sinh thu gọn làxy, xz, yz, khi đó m-rad(J) = (xy, xz, yz)R.
Bây giờ ta tìm phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J). Ta có:
m-rad(J) = (xy, xz, yz)R
= (x, xz, yz)R∩(y, xz, yz)R
= (x, x, yz)R∩(x, z, yz)R∩(y, x, yz)R∩(y, z, yz)R
= (x, x, y)R∩ (x, x, z)R∩ (y, x, y)R∩(y, x, z)R∩(y, z, y)R
∩(y, z, z)R
= (x, y)R∩(x, z)R∩(x, y)R∩(y, x, z)R∩(z, y)R∩(y, z)R = (x, y)R∩(y, z)R∩(x, z)R
Cách 2.
Ta sẽ tìm phân tích bất khả quy của ideal J như sau:
Khi đó phân tích bất khả quy thu gọn của m-rad(J) là:
m-rad(J) = m-rad((x2, y3)R)∩m-rad((x3, z3)R)∩m-rad((y4, z5)R) = (x, y)R∩ (x, z)R∩(y, z)R
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Để tìm phân tích bất khả quy của một ideal, ta sử dụng lệnh IrreducibleDecom_Frobby5.
Nhập các dòng lệnh sau:
J:=Ideal(x∧3y∧4,x∧2y∧4z∧3,x∧2z∧5,y∧4z∧3,y∧3z∧5); IrreducibleDecom_Frobby5(Radical(J));
Kết quả hiển thị như sau:
[Ideal(y,z),Ideal(x,y),Ideal(x,z)]
3.4. Phân tích bất khả quy của tổng
Bài tập 3.4.1. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Tìm phân tích bất khả quy
thu gọn của ideal I +J, trong đó I = (x3, xy2, y3)R và J = (x3, x2y, y3)R. Lời giải.
Cách 1.
Ta tìm các phân tích bất khả quy thu gọn của I và J như sau:
I = (x3, xy2, y3)R = (x3, x, y3)R∩(x3, y2, y3)R = (x, y3)R∩(x3, y2)R J = (x3, x2y, y3)R = (x3, x2, y3)R∩(x3, y, y3) =R(x2, y3)R∩(x3, y)R
Ta có I +J có phân tích bất khả quy như sau:
I +J = ((x, y3)R∩(x3, y2)R) + ((x2, y3)R∩(x3, y)R)
= ((x, y3)R+ (x2, y3)R)∩((x, y3)R+ (x3, y)R)∩ ((x3, y2)R+ (x2, y3)R)
∩((x3, y2)R+ (x3, y)R)
= (x, y3)R∩(x, y)R∩(x2, y2)R∩(x3, y)R = (x, y3)R∩(x2, y2)R∩(x3, y)R
Cách 2.
Trước tiên có thể xác định ideal I +J rồi tìm phân tích bất khả quy của ideal này.
I + J = (x3, xy2, y3)R+ (x3, x2y, y3)R = (x3, xy2, x2y, y3)R
Ta có phân tích như sau:
I +J = (x3, x, x2, y3)R∩(x3, x, y, y3)R∩(x3, y2, x2, y3)R∩(x3, y2, y, y3)R = (x, y3)R∩(y2, x2)∩(x3, y)R
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA.
Nhập các dòng lệnh sau:
I:=Ideal(x∧3,xy∧2,y∧3); J:=Ideal(x∧3,x∧2y,y∧3);
IrreducibleDecom_Frobby5(I+J); Kết quả hiển thị như sau:
[Ideal(x,y∧3),Ideal(x∧2,y∧2),Ideal(x∧3,y)]
Bài tập 3.4.2. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Tìm một phân tích bất khả
quy của tổng
(x2, xy5, y6)R+ (x4, x3y3, y5)R+ (x7, x3y2, y3)R
Lời giải.
Cách 1.
Đặt I = (x2, xy5, y6)R, J = (x4, x3y3, y5)R, K = (x7, x3y2, y3)R. Ta có
các phân tích bất khả quy của I, J, K:
I = (x, y6)R∩(x2, y5)R J = (x5, y5)R∩(x4, y3)R K = (x3, y3)R∩(x7, y2)R
Khi đó ta tìm phân tích bất khả quy của I +J +K như sau: I +J +K = (x, y6)R∩ (x2, y5)R+ (x5, y5)R∩ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩(x7, y2)R = (x, y6)R+ (x5, y5)R+ (x3, y3)R∩ (x, y6)R+ (x5, y5)R+ (x7, y2)R ∩ (x, y6)R+ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩ (x, y6)R+ (x4, y3)R+ (x7, y2)R ∩ x2, y5)R+ (x5, y5)R+ (x3, y3)R∩ (x2, y5)R+ (x5, y5)R+ (x7, y2)R ∩ (x2, y5)R+ (x4, y3)R+ (x3, y3)R∩ (x2, y5)R+ (x4, y3)R+ (x7, y2)R =(x, y5)R∩(x, y2)R∩ (x, y3)R∩(x, y2)R∩(x2, y3)R∩(x2, y2)R∩(x2, y3)R ∩(x2, y2)R =(x2, y3)R Cách 2. Trước hết ta tìm tổng I +J +K = (x2, xy5, y6, x4, x3y3, y5, x7, x3y2, y3)R = (x2, y3)R
Nhận xét rằng ideal(x2, y3)Rlà bất khả quy. Do đó nó khơng thể phân tích được thành giao của các ideal bất khả quy. Vậy phân tích của tổng I+J+K
chỉ gồm một ideal.
Cách 3. Sử dụng phần mềm CoCoA
Nhập các dòng lệnh sau: