3. Mục tiêu nghiên cứu
2.2 Phân tích bất khả quy của ideal đơn thức
Định nghĩa 2.2.1. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. Giả sử
J =
n
\
i=1
Ji, trong đó mỗi Ji là các ideal đơn thức bất khả quy.
Ví dụ 2.2.2. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Một phân tích bất khả quy của
ideal đơn thức J = (x3, x2y, y3)R là
J = (x2, y3)R∩(x3, y)R.
Định lý dưới đây chỉ ra sự tồn tại phân tích bất khả quy của một ideal đơn thức bất kỳ.
Định lý 2.2.3. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. Nếu J ( R là một ideal đơn thức thì có các ideal đơn thức bất khả quy J1, ..., Jn của R sao cho J =
n
\
i=1
Ji.
Chứng minh. Nếu J = 0 thì J là bất khả quy, nên nó là giao của một ideal đơn thức bất khả quy.
Giả sử có một ideal đơn thức khác khơng J ( R không là giao của một số hữu hạn các ideal đơn thức bất khả quy của R. Khi đó tập hợp
Σ ={J ( R | J 6= 0, J không là giao của một số hữu hạn các ideal
đơn thức bất khả quy của R}
là một tập không rỗng gồm các ideal đơn thức của R. Khi đó Σ có một phần tử tối đại J. Đặc biệt J khơng là bất khả quy, do đó tồn tại các ideal đơn thức I, K ⊆ R sao cho J = I ∩ K và J ( I, K. Đặc biêt, ta có 0 6= I 6= R
và 06= K 6= R. Do J là tối đại trong Σ, ta có I, K 6= Σ. Do đó, có các ideal
đơn thức bất khả quy I1, ..., Im, K1, ..., Kn sao cho I =
m \ j=1 Ij và K = n \ i=1 Ki. Từ đó dẫn đến J = I ∩K = m \ j=1 Ij ∩ n \ i=1 Ki !
do đó J là giao của hữu hạn các ideal đơn thức bất khả quy, mâu thuẫn.
Định nghĩa 2.2.4. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến, J ( R là một ideal đơn thức. Một phân tích bất khả quy J =
m
\
j=1
tại cặp chỉ số i 6= i0 sao cho Ji ⊆ Ji0. Một phân tích bất khả quy J =
m
\
j=1
Ji là
thu gọn nếu nó là khơng thừa, nghĩa là với mọi cặp chỉ số i 6= i0 ta cóJi * Ji0
Ví dụ 2.2.5. Trong vành đa thức R = A[x, y], xét ideal đơn thức J = (x3, x2y, y3)R. Phân tích bất khả quy của J trong Ví dụ 2.2.2
J = (x2, y3)R∩(x3, y)R
là thu gọn. Thật vậy, ta có x2 ∈ (x2, y3)R \ (x3, y)R do đó (x2, y3)R * (x3, y)R. Ta cũng có y ∈ (x3, y)R\(x2, y3)R do đó (x3, y)R * (x2, y3)R.
Bên cạnh đó, phân tích bất khả quy
J = (x2, y3)R∩(x3, y)R∩(x, y)R
là không thu gọn bởi (x2, y3)R ⊆(x, y)R. Điều này chứng tỏ rằng, nói chung
phân tích bất khả quy khơng phải là duy nhất. Tuy nhiên, dưới đây ta chỉ ra phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất. Trước hết, ta chỉ ra mỗi phân tích bất khả quy đều có thể biến đổi thành dạng phân tích thu gọn.
Thuật tốn 2.2.6. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. Gọi J là một ideal đơn thức với phân tích bất khả quy J =
n
\
i=1
Ji, n ≥ 1.
Bước 1: Kiểm tra xem phân tích J =
n
\
i=1
Ji có thu gọn hay khơng.
Bước 1a: Nếu với mọi chỉ số j và j0 sao cho j 6= j0 ta có Ij * Ij0, thì phân tích của J là thu gọn, thuật toán kết thúc.
Bước 1b: Nếu tồn tại các chỉ số j và j0 sao cho j 6= j0 và Ij ⊆ Ij0, thì phân tích của J là không thu gọn, chuyển sang bước 2.
Bước 2: Bỏ đi các ideal làm cho phân tích của J không thu gọn. Theo giả thiết, tồn tại các chỉ số j và j0 sao cho j 6= j0 và Jj ⊆ Jj0. Khơng mất tính tổng quát, giả sử j0 = n. Khi đó j < n và Jj ⊆ Jn, suy ra J =
n−1
\
i=1
Ji.
Bước 3: Áp dụng bước 1 đối với phân tích mới J =
n−1
\
i=1
Ji.
Thuật tốn sẽ kết thúc sau tối đa n−1 bước bởi chỉ có thể bỏ đi tối đa n−1
Hệ quả 2.2.7. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. Mọi ideal đơn thức J ( R đều có một phân tích bất khả quy thu gọn.
Mệnh đề 2.2.8. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. Gọi J là một ideal trong R với phân tích bất khả quy J =
n
\
i=1
Ji. Khi đó hai mệnh đề sau tương đương: (a) Phân tích J = n \ i=1 Ji là thừa. (b) Có một chỉ số j sao cho J = \ i6=j Ji. Chứng minh. (i) ⇒(ii) : Giả sử phân tích J =
n
\
i=1
Ji là thừa. Khi đó tồn tại các chỉ số j 6= j0 sao cho Jj ⊆ Jj0, suy ra J = \
i6=j
Ji.
(ii) ⇒(i) : Giả sử tồn tại một chỉ số j sao cho J = \
i6=j Ji (điều này dẫn đến n ≥2). Khi đó ta có \ i6=j Ji = J = n \ i=1 Ji ⊆ Jj. Theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại một chỉ số j0 sao cho Jj0 ⊆ Jj, do đó phân tích J là thừa.
Định lý sau đây chứng minh phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất, sai khác một cách sắp thứ tự. Kết quả này tương tự như định lý về tính duy nhất của phân tích nguyên tố của số nguyên.
Định lý 2.2.9. Cho R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến. J là một ideal đơn thức trong R với phân tích bất khả quy thu gọn J =
n \ i=1 Ji = m \ h=1 Ih. Khi đó m = n và tồn tại một phép thế σ ∈ Sn sao cho Jt = Iσ(t) với t= 1, ..., n.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh: với t = 1, ..., n tồn tại một chỉ số u
sao cho Iu = Jt. Ta có: m \ h=1 Ih = J = n \ i=1 Ji ⊆ Jt
Theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại một chỉ số u sao cho Iu ⊆Jt. Tương tự ta có: n \ i=1 Ji = J = m \ h=1 Ih ⊆ Iu
Theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại một chỉ số v sao cho Jv ⊆ Iu ⊆ Jt. Do phân tích n \ i=1 Ji là thu gọn, nên từ Jv ⊆ Jt ta có v = t, do đó Jt ⊆ Iu ⊆ Jt, tức là Iu = Jt.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh: với t = 1, ..., n tồn tại một chỉ số u duy nhất sao cho Iu = Jt. Thật vậy, nếu Iu = Jt = Iu0 thì từ tính tối giản của phân tích
m
\
h=1
Ih dẫn đến nên u = u0.
Định nghĩa hàm số σ : {1, ..., n} −→ {1, ..., m}, t 7−→ σ(t) = u sao cho
Iu = Jt.
Bằng lí do tương tự ta có: với u = 1, ..., m tồn tại một chỉ sốtduy nhất sao cho Iu = Jt. Định nghĩa hàm số ω :{1, ..., m} −→ {1, ..., n}, u 7−→ ω(u) =t
sao cho Iu = Jt. Hàm số ω là hàm ngược của hàm σ, suy ra điều phải chứng
minh.
Trong các mục từ 2.3 đến 2.6 ta luôn luôn giả sử A là một vành giao hốn khác khơng có đơn vị và R = A[x1, ..., xd] là vành đa thức d biến.