Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn toán ở tiểu học

Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại công nghệ 4.0, nhiệm vụ của trường Phổ thông, đặc biệt là bậc Tiểu học, là giáo dục con người phát triển toàn diện để đáp ứng yêu cầu của xã hội Môn Toán, cùng với môn Tiếng Việt, đóng vai trò quan trọng trong chương trình học Tiểu học, vì kiến thức và kỹ năng từ môn Toán không chỉ cần thiết trong cuộc sống hàng ngày mà còn hỗ trợ cho các môn học khác Hơn nữa, môn Toán còn là nền tảng vững chắc cho việc học tập ở các bậc học cao hơn.

Môn toán ở bậc Tiểu học đóng vai trò quan trọng trong việc giáo dục học sinh, giúp các em phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thẩm mỹ và năng lực, chuẩn bị cho việc học lên trung học cơ sở Theo giáo sư Ngô Bảo Châu, "Đến một lúc nào đó, bạn làm toán vì bạn thích chứ không phải để chứng tỏ một cái gì đó nữa", điều này thể hiện giá trị của việc học toán không chỉ là kiến thức mà còn là niềm đam mê Hơn nữa, môn toán còn rèn luyện tính trung thực, cẩn thận và tinh thần hăng say lao động, góp phần hình thành những phẩm chất tốt đẹp của con người.

Trong môn Toán Tiểu học, số học được xem là trọng tâm và hạt nhân của chương trình giảng dạy Việc dạy và học các phép tính số học, đặc biệt là các phép tính trên số tự nhiên, đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc phát triển tư duy toán học của học sinh.

Học bốn phép tính với số tự nhiên không chỉ giúp học sinh phát triển các kỹ năng như suy luận, ghi nhớ và quan sát, mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc tiếp thu các phép tính phức tạp hơn như phân số và số thập phân Qua quá trình này, học sinh có cơ hội áp dụng kỹ năng tính toán vào thực tiễn hàng ngày, đồng thời rèn luyện tính cẩn thận, chăm chỉ và tác phong làm việc nhanh nhẹn, chính xác.

Định hướng dạy học hiện nay tập trung vào việc phát triển năng lực cho người học, trong đó việc giảng dạy nội dung số học đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực tính toán - một kỹ năng thiết yếu cho người lao động Qua quá trình này, học sinh không chỉ học cách giải quyết vấn đề theo quy trình cụ thể mà còn tạo nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán thực tiễn và học tập tốt hơn ở các môn học khác trong tương lai.

Trong dạy học môn Toán ở Tiểu học, việc rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh được coi trọng, nhưng nhiều em vẫn mắc lỗi và chưa nắm vững quy trình tính Điều này dẫn đến việc các em gặp khó khăn trong việc áp dụng kĩ năng tính toán vào giải quyết vấn đề học tập và trong cuộc sống Phần số học về số tự nhiên trong chương trình Tiểu học có vai trò quan trọng, kéo dài từ lớp 1 đến hết bậc Tiểu học Do đó, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức về số tự nhiên là rất cần thiết.

Trong chương trình toán Tiểu học, khái niệm số tự nhiên được giới thiệu từ lớp 1 thông qua phép đếm, dựa trên mô hình "số đứng liền sau" Các số được sắp xếp theo thứ tự, do đó việc hình thành số tự nhiên cần chú trọng cả bản số và tự số Để giúp học sinh tiếp thu tri thức hiệu quả, cần tìm ra phương pháp dạy học hợp lý, tổ chức hoạt động học tập phù hợp với khả năng của các em.

Hiện nay, mặc dù có nhiều nghiên cứu về dạy số tự nhiên ở Tiểu học, nhưng chưa có tài liệu nào nghiên cứu sâu về hệ thống ghi số và mối liên hệ của nó với các nội dung trong chủ đề số và phép tính trong môn Toán Do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học” để làm rõ những vấn đề này.

Mục tiêu nghiên cứu

Phân tích và khai thác kiến thức về hệ thống ghi số là rất quan trọng, vì nó giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa các khái niệm số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học Việc nắm vững hệ thống ghi số không chỉ hỗ trợ việc thực hiện các phép tính mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các khái niệm toán học nâng cao sau này Học sinh cần được hướng dẫn để nhận biết và áp dụng các quy tắc ghi số trong các bài toán thực tiễn, từ đó phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu

Khóa luận này giới hạn nghiên cứu hệ thống ghi số và các tính chất của tập hợp số tự nhiên, cùng với các phép toán liên quan trực tiếp đến chương trình môn Toán ở bậc Tiểu học.

Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được các nhiệm vụ và mục tiêu của khóa luận, chúng tôi áp dụng kiến thức từ nhiều lĩnh vực toán học như lý thuyết chia hết, thuật toán Euclid, lý thuyết chuỗi và hàm phần nguyên Ban đầu, chúng tôi nghiên cứu kiến thức cơ bản về hàm phần nguyên, phép chia Euclid, chuỗi số, cũng như chương trình môn toán ở Tiểu học và các tài liệu liên quan (SGK, sách bài tập, ) Sau đó, chúng tôi phân tích và khai thác các vấn đề lý thuyết cùng bài tập liên quan đến hệ thống ghi số, từ đó chỉ ra mối liên hệ và sự thể hiện của cơ sở toán học này trong nội dung môn Toán ở Tiểu học.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học

Bài viết này nhằm làm rõ cơ sở toán học của hệ thống ghi số bằng cách phân tích và khai thác các vấn đề lý thuyết, bài tập, cũng như mối liên hệ với các nội dung liên quan đến số và phép tính trong môn Toán ở cấp Tiểu học.

Ý nghĩa thực tiễn

Khóa luận này phân tích mối liên hệ giữa cơ sở toán học của hệ thống ghi số và các nội dung liên quan đến số và phép tính trong môn Toán Tiểu học Tài liệu này sẽ trở thành nguồn tham khảo hữu ích cho giáo viên và sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.

Cấu trúc của đề tài

Bài viết bao gồm phần mở đầu, bảng ký hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, cùng với nội dung chính được chia thành 3 chương.

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương 2 HỆ THỐNG GHI SỐ

Chương 3 MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ NỘI

DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Hàm phần nguyên

1.1.1 Khái niệm về phần nguyên Định nghĩa 1.1 Cho một số thực x Số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x đƣợc gọi là phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) của x Ta thường kí hiệu phần nguyên của xlà   x Nhiều tài liệu gọi phần nguyên của x là sàn và kí hiệu phần nguyên của xlà    x , vì sàn có liên quan mật thiết với khái niệm trần     x của x Hai khái niệm trần và sàn thường được sử dụng trong tin học Trong luận văn này ta sẽ dùng cả hai kí hiệu phần nguyên (sàn) là  x và     x Định nghĩa 1.2 Cho một số thực x  Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn x đƣợc gọi là trần của x và kí hiệu    x Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.2 tương đương với:

Phần dƣ (hay phần thập phân, phần lẻ) của một số thực x, ký hiệu là {x}, được định nghĩa theo công thức {x} = x - [x], trong đó [x] là phần nguyên của x Cụ thể, nếu x thuộc tập hợp số nguyên thì {x} = x, còn nếu x không thuộc tập hợp số nguyên thì {x} = x + 1.

Từ định nghĩa 1.3 ta suy ra ngay, 0    x  1 với mọi x  và   z  0 khi và chỉ khi z là số nguyên

Mỗi số thực x đều có một số nguyên z sao cho z ≤ x < z + 1 Khoảng cách từ x đến số nguyên gần nhất được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất giữa hai số x - z và z + 1 - x, và được ký hiệu là d(x).

  x    x z 0, 5 với mọi x Định nghĩa 1.5: Số nguyên gần một số thực x nhất và đƣợc kí hiệu là   x và

  x đƣợc gọi là số làm tròn của x

Khái niệm làm tròn số đƣợc sử dụng rộng rãi trong máy tính Để xác định, nếu có hai số nguyên cùng gần x nhất (nghĩa là khi

0,5 ( 1) 0,5 x   z  z   thì z và z 1 cùng có khoảng cách tới x bằng

0,5  x      z z 1 x 0, 5  thì ta quy ƣớc chọn số lớn, tức là nếu z    x z 0,5, thì   x  z , còn nếu z  0, 5    x z 1 thì   x   z 1

1.1.2 Các tính chất cơ bản của phần nguyên

Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đi đến các tính chất tuy đơn giảnnhƣng rất cơ bản và hay sử dụng sau đây của phần nguyên

Tính chất 2.1 Với mọi x  ta có a)   x   x   x  1 hay x   1   x  x ; b)     x    1 x     x hay x      x   x 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên

Tính chất 2.3  x z      x  z x z ;       x với mọi z  Đảo lại,     x  y thì y x z với z  nào đó

Tính chất 2.4 Nếu x thì   x  x và   x  0

Ngƣợc lại nếu   x  x hoặc   x  0 thì x 

Nếu x là số hữu tỉ nhƣng không phải là số nguyên thì   x cũng là một số hữu tỉ thuộc khoảng (0;1)

Nếu x là số vô tỉ thì   x cũng là một số vô tỉ thuộc khoảng (0;1)

Tính chất 2.5 Phần dƣ, sàn và trần có tính chất lũy đẳng (idempotent), tức là khi hai lần áp dụng phép toán thì kết quả không đổi:

Các quy tắc hoán vị và kết hợp trong phép cộng và phép nhân vẫn được áp dụng cho cả phần nguyên và phần dư Điều này có nghĩa là thứ tự và cách nhóm các số trong các phép toán này không làm thay đổi kết quả cuối cùng.

Tính chất 2.7 Phép làm tròn số ( ) x thông thường như đã nêu trong Định nghĩa 1.5 chính là phép lấy phần nguyên của x  0, 5, tức là   x   x  0,5 

Tính chất 2.8 Nếu     x  y thì x   y 1 hay    1 x y 1

Tính chất 2.9 Nếu x  y thì     x  y Đảo lại, nếu     x  y thì x  y

Cả hai số x và y là số nguyên khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 0 Nếu trong hai số x và y có một số nguyên và một số không phải là số nguyên, thì tổng của chúng nằm trong khoảng từ 0 đến 1 Đối với hai số x và y không phải là số nguyên, tổng x + y sẽ là một số nguyên khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 1.

Tính chất 2.11 a Với mọi ,x y ta có

Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a có thể được phát biểu dưới dạng sau

Tính chất 2.12a Với mọi x và y là các số thực ta có

Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a có thể viết dưới dạng sau

Tính chất 2.12 a) Nếu max     ,  1 x y 2 thì

Tính chất 2.12b Nếu min     ,  1 x y   2 max    x , y       x  y  1 thì

      và          2 x  2 y  x  y   x y    1 2     x  2 y  1 c) Nếu min     ,  1 x y   2 max    x , y    1     x  y thì

Tính chất 2.13 Với mọi x  ta luôn có

Hệ quả 2.5 Với mọi số nguyên dương ta luôn có 1

Tính chất 2.14 a Với mọi x y,  ta luôn có

Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a có thể phát biểu dưới dạng sau đây

Tính chất 2.15 Với mọi số tự nhiên n và với mọi số thực x  ta có

Tính chất 2.16 Với mọi số thực x không phải là số nguyên và với mọi số nguyên n ta luôn có    x   n x    n 1

Tính chất 2.17 Với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ta luôn có:

Tính chất 2.18 Với mọi x và n là số tự nhiên ta luôn có x   x n n

Tính chất 2.19 Với mọi số tự nhiên k 3 và mọi số tự nhiên n ta có

Tính chất 2.20 Cho k k 1 , 2 , , k n là bộ n số nguyên dương Khi ấy

Tính chất 2.21 Với mọi sô nguyên k ta luôn có

Tính chất 2.22 Cho   , là những số vô tỉ dương sao cho 1 1 1

Tập hợp các số nguyên dương có thể được phân hoạch thành hai tập không giao nhau, trong đó tập đầu tiên là {a_n} với a_n = α và tập thứ hai là {b_n} với b_n = β Hai tập này hợp lại tạo thành toàn bộ tập số nguyên dương, tức là {a_n} ∪ {b_n} = ℕ⁺.

Tính chất dưới đây được sử dụng nhiều trong tin học

Tính chất 2.23 Cho a và b2 là các số tự nhiên bất kì Khi ấy  log b a 1 chính là số các chữ số của một số a viết trong hệ đếm cơ số b

1.1.3 Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên

Từ các định nghĩa phần nguyên (sàn), trần, phần dƣ, số làm tròn, ta có thể đƣa ra các định nghĩa sau đây

Hàm sàn: Hàm f :  , ( ) : f x    x cho tương ứng mỗi số x với phần nguyên   x  của nó đƣợc gọi là hàm phần nguyên

Hàm phần nguyên, hay còn gọi là hàm sàn (floor function), được ký hiệu là f(x) = ⌊x⌋, thể hiện giá trị nguyên lớn nhất không vượt quá x Đồ thị của hàm phần nguyên thể hiện sự biến đổi của giá trị này theo các khoảng nguyên.

Hàm phần nguyên là một hàm hằng số từng khúc, trong đó giá trị của nó không thay đổi trên từng nửa khoảng \[ z, z + 1 \) với \( z \in \mathbb{Z} \) Hàm này có tính gián đoạn loại một tại các điểm \( z \in \mathbb{Z} \) với độ lệch không đổi bằng 1, thể hiện qua giới hạn \(\lim_{x \to z^-} f(x) = z\) và \(\lim_{x \to z^+} f(x) = z + 1\).

Hàm phần nguyên có tính chất không liên tục (gián đoạn loại 1), nhưng lại nửa liên tục từ phía trên Khi x tiến tới n từ bên trái và bên phải, hiệu giữa giới hạn của hàm số bằng 1 Mặc dù hàm này là hàm hằng từng khúc, đạo hàm của nó tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không nguyên, trong khi tại các điểm nguyên, đạo hàm không tồn tại và hàm số trở nên không liên tục.

Hàm trần: Hàm f :  , ( ) : f x      x cho tương ứng mỗi số x với trần   x  của nó đƣợc gọi là hàm trần Đồ thị của hàm trần

Hàm trần là hàm hằng số từng khúc, có giá trị không đổi trên từng nửa khoảng \((z, z+1]\) với \(z \in \mathbb{R}\) Hàm này gián đoạn loại một tại các điểm \(x = z\) với độ lệch không đổi bằng 1, tức là \(\lim_{x \to z^-} f(x) = \lim_{x \to z^+} f(x) + 1\).

Hàm trần không liên tục nhưng là nửa liên tục dưới, với đặc điểm là hàm hằng từng khúc Đạo hàm của hàm này tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không nguyên, trong khi đó, đạo hàm không tồn tại tại các điểm nguyên.

Mặt khác, đồ thị của hàm trần có thể nhận đƣợc bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm f x ( ) :    x lên trên (theo trục tung) 1 đơn vị trên các khoảng

 z z ;  1 , z  Tuy nhiên, tại các điểm nguyên thì chúng nhận các giá trị khác

Hàm phần dư là hàm f: ℝ → [0;1], với f(x) = {x} cho mọi x ∈ ℝ, tương ứng mỗi số thực x với phần dư {x} của nó Hàm này còn được gọi là hàm phần phân hoặc hàm phần lẻ Đồ thị của hàm phần dư được biểu diễn bởi f(x) = {x} = -x [x].

Hình 3 Hàm phần dƣ chỉ nhận giá trị trong nửa khoảng  0;1 , tăng từng khúc

(tăng trên từng nửa khoảng  z z ;  1  với z  và gián đoạn loại một tại các điểm x z z,  với lim ( ) lim ( ) 1 x z x z f x f x

    Đặc biệt, hàm phần dƣ là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là  x   1    x với mọi x 

Hàm khoảng cách f(x) được định nghĩa từ tập số thực đến khoảng [0; 0,5], thể hiện khoảng cách giữa một số thực x và số nguyên gần nhất Hàm này cho phép chúng ta xác định mức độ gần gũi của x với số nguyên, được ký hiệu là f(x) = |x - round(x)|.

Hàm khoảng cách chỉ nhận giá trị trong đoạn  0; 0, 5 , tăng từng khúc trên từng đoạn  z z ;  0, 5  và giảm từng khúc trên  z  0,5; z  1  với z 

Hàm khoảng cách là hàm liên tục và tuyến tính từng khúc Đặc biệt, hàm khoảng cách là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là  x   1    x với mọi x

Hàm làm tròn là một hàm số f : ℝ → ℤ, chuyển đổi các số thực thành số nguyên gần nhất Đối với mỗi số thực x, hàm làm tròn được ký hiệu là f(x) = ⌊x⌋, trong đó ⌊x⌋ biểu thị số nguyên gần nhất với x.

Hàm làm tròn f(x) = ⌊x + 0,5⌋ luôn có giá trị x với mọi x, theo tính chất 2.7 Đồ thị của hàm f(x) = ⌊x⌋ là đồ thị của hàm f(x) = ⌊x + 0,5⌋ được dịch chuyển sang bên trái 0,5 đơn vị, điều này có thể dễ dàng nhận thấy qua việc so sánh hai đồ thị.

Từ tính chất 2.3 suy ra một tính chất thú vị của hàm phần dƣ sau đây

Tính chất 3.1: Hàm phần dƣ và hàm khoảng cách (từ xtới số nguyên gần nó nhất) là hàm tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất bằng 1

Phép chia Euclid

1.2.1 Phép chia hết và chia có dư

1.2.1.1 Phép chia hết a) Định nghĩa

Cho hai số tự nhiên , ;a b b0 Nếu có số tự nhiên q sao cho ab q thì ta nói a chia hết cho b Số q gọi là thương của avà b và kí hiệu là: : qa b

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên q nói trên gọi là phép chia các số tự nhiên b) Tính chất

Từ định nghĩa ta thấy ngay các tính chất sau:

- Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0

- Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1

- Nếu a a 1 , 2 , , a n là những số tự nhiên chia hết cho b thì a x 1 1  a x 2 2   a x n n cũng chia hết cho b với x 1 , ,x n là những số tự nhiên tùy ý

Khác với trường hợp hiệu, ta không tìm được điều kiện xác định sự tồn tại của thương :a b Tuy nhiên ta có định lý sau: a) Định lý

Với mọi cặp số tự nhiên trong đó b  0bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho: abq r , 0 r b

+) M là một bộ phận khác rỗng của , vì ta có 0  M

+) M bị chặn trên Thật vậy, vì b  0 nên b  1 suy ra ba  a Điều này chứng tỏ M bị chặn trên bởi a  1

Vậy M là một bộ phận khác rỗng và bị chặn trên của , do đó M có số lớn nhất

Giả sử q là số lớn nhất của M , nghĩa là q  M nhƣng q '    q 1 M Hay ta có:

 1  bq   a b q   bq  b Đặt r   a bq thì a  bq r  và bất đẳng thức trên cho ta 0   r b

Giả sử tồn tại hai cặp ,q r và q r 1 , 1 sao cho abq r 0 r b

Từ đó suy ra bq r bq 1r 1

Giả sử q 1 q, khi đó tồn tại mM , sao cho q q 1 m

Vì r 1 b nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi m0 Khi đó q  q 1 và r r 1 Vậy cặp q r , là tồn tại duy nhất b) Định nghĩa

Trong phép chia của số tự nhiên a cho b, số q và r thỏa mãn đẳng thức a = bq + r (với 0 ≤ r < b) được gọi là thương và dư Quy tắc xác định cặp số tự nhiên a và b tương ứng với số tự nhiên q và r này được gọi là phép chia có dư.

Chú ý: Khi r 0 thì phép chia có dƣ trở thành phép chia hết Nhƣ vậy phép chia hết là một trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

Cho hai số nguyên a và b khác 0, khi chia a cho b, ta nhận được thương q1 và số dư r1 Tiếp tục chia b cho r1, ta có thương q2 và số dư r2 Quá trình này tạo ra một dãy số tự nhiên giảm dần đến 0: b, r1, r2, Do đó, thuật toán sẽ kết thúc sau một số bước hữu hạn, tức là tồn tại một số tự nhiên n sao cho dư r(n+1) = 0 Từ đó, áp dụng bổ đề trên, ta có kết quả cần thiết.

Chuỗi số

1.3.1 Các khái niệm cơ bản

Cho dãy số vô hạn ( n ) u n Z  , tổng vô hạn

1 2 3 n u     u u u đƣợc gọi là chuỗi số, kí hiệu là:

  u n đƣợc gọi là số hạng thứ n

1.3.1.2 Dãy tổng riêng Đặt s n     u 1 u 2 u 3 u n đƣợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

  ( u n ) n Z   đƣợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số

1.3.1.3 Chuỗi số hội tụ, phân kỳ

  đƣợc gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn lim n x s s

  và s đƣợc gọi là tổng của nó Ta viết

 không tồn tại hay bằng  thì chuỗi số

  đƣợc gọi là phân kì và khi đó chuỗi số không có tổng

Trong trường hợp chuỗi số

  hội tụ có tổng bằng s kí hiệu ss n đƣợc gọi là phần dƣ thứ n của chuỗi số

Vậy, dưới dạng ngôn ngữ “ N ”, ta có:

1.3.2 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số

1.3.3 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ

 khi n 1.3.3.3 Chú ý n 0 u n    chỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số

Chẳng hạn, xét chuỗi số

1.3.4 Tính chất của chuỗi số hội tụ

  hội tụ có tổng là s , chuỗi số

  hội tụ có tổng là

  cũng hội tụ và có tổng là s  s '

Gọi s n và s' n lần lƣợt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số

Tính tổng của chuỗi số sau:

  hội tụ có tổng là s thì chuỗi số

  cũng hội tụ và có tổng là ks

Gọi s n lần lƣợt là tổng riêng thứ n của chuỗi số:

Tính chất hội tụ hoặc phân kỳ của một chuỗi số vẫn được giữ nguyên khi loại bỏ một số hữu hạn các số hạng đầu tiên.

  m số hạng đầu tiên, ta đƣợc chuỗi số

Gọi s n và s' k lần lƣợt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số

  phân kỳ s m k  không có giới hạn khi k  và do s m hữu hạn  s ' k không có giới hạn khi k   chuỗi số

Xét sự hội tụ của chuỗi số

Giải Chuỗi này suy từ chuỗi điều hòa bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng đầu tiên Mà chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi

(Điều kiện hội tụ của chuỗi số không âm)

  nếu và chỉ nếu dãy tổng riêng (S ) n bị chặn,

Vì a n 0 nên (S ) n là dãy tăng S 1  S 2  S 3   S n

Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi (S ) n hội tụ Do (S ) n là dãy không âm, tăng nếu

(S ) n hội tụ khi và chỉ khi (S ) n bị chặn, nghĩa là tồn tại M  để S n  M n 

(Hiển nhiên (S ) n nên bị chặn dưới bởi 0, do đó ta chỉ cần chặn trên (S ) n bởi M)

Chương 1 đã trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở liên quan đến vấn đề mà khóa luận nghiên cứu bao gồm: Hàm phần nguyên, Phép chia Eucid, Chuỗi số Trong phép chia Euclid với số bị chia và số chia là các số nguyên dương, phần nguyên của phân số mà tử số và mẫu số tương ứng là số bị chia và số chia đã cho cho ta thương của phép chia Ngoài ra, phần nguyên của logarit lấy theo cơ số g còn đƣợc sử dụng để xác định số chữ số của một số tự nhiên khi biểu diễn trong hệ cơ số g Phép chia Euclid đƣợc sử dụng trong chỉ ra sự tồn tại duy nhất của sự biểu diễn một số tự nhiên trong cơ số g tùy ý Kiến thức cơ bản về chuỗi số, đặc biệt là chuỗi số không âm là cơ sở cho việc chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của việc biểu diễn một số thực trong cơ số cho trước.

HỆ THỐNG GHI SỐ

Biểu diễn số tự nhiên trong hệ cơ số g

2.1.1 Công thức và phương pháp biểu diễn

Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1 Khi đó mỗi sô tự nhiên a  0 đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

Trước hết, thực hiện phép chia có dư của a cho g ta có:

Nếu q 0 0 thì c 0  a 0ta đƣợc ac 0 là sự biểu diễn của a (với n0) Nếu q 0 0, lại thực hiện phép chia có dƣ của q 0 cho g:

Nếu q 1 0thì c 1 q 0 0 và ta đƣợc ac g c 1  0 là sự biểu diễn của a (với 1 n )

Nếu \( q_1 \neq 0 \), chúng ta tiến hành phép chia \( q_1 \) cho \( g \) cho đến khi thương bằng 0 Quá trình này sẽ dừng lại sau một số bước hữu hạn, vì dãy số tự nhiên \( a > q_0 > q_1 > \) là một dãy giảm thực sự, dẫn đến tồn tại \( q_n = 0 \) tại một thời điểm nào đó.

(Chú ý theo lập luận ở trên trong phép chia nào số thương bằng 0 thì số dư phải khác 0)

Nhân đẳng thức thứ hai với g , đẳng thức thứ ba với g 2 ,…, đẳng thức cuối cùng với g n và cộng lại ta đƣợc:

Bây giờ ta phải chứng minh sự biểu diễn trên của số a là duy nhất Giả sử số tự nhiên a có hai sự biểu diễn:

Với 0  c i g 1, 0b j  g 1,i0,1, , ;n j 0,1, ,m và c n 0,b m 0. Đẳng thức trên chứng tỏ c 0 và b 0 đều là dƣ trong phép chia của a cho g và theo tính chất duy nhất của phép chia có dƣ ta có b 0 c 0

Trong đẳng thức trên, giản ƣớc hai về cho b 0 c 0 ta đƣợc:

Chia hai vế của đẳng thức này cho g ta đƣợc:

Và điều này chứng tỏ c 1 và b 1 đều là dƣ trong phép chia của a 1 cho g , trong đó c 1  b 1 ,…

Bằng lí luận nhƣ vậy, giả sử nmta đƣợc c 0 b c 0 , 1 b 1 , ,c n b n

Nhƣng khi đó m n vì nếu ngƣợc lại từ đẳng thức đầu tiên sau khi giản ƣớc các số hạng bằng nhau ở hai vế ta đƣợc:

0  b g m m   b n  1 g n  với b m 0,g1, 0  b i g 1,i  n 1, ,m là điều không thể sảy ra Vậy hai sự biểu diễn của số a phải trùng nhau Đpcm

Giả sử a là số tự nhiên khác 0, g là số tự nhiên lớn hơn 1

Nếu ac g n n c n  1 g n  1   c g 1 c 0, với 0  c i g 1,i0,1, ,n và c n 0 thì ta viết:

1 1 0 n n g a c c  c c và nói đó là sự biểu diễn số tự nhiên a trong hệ g - phân

Để biểu diễn một số tự nhiên a trong hệ g, ta chỉ cần sử dụng g ký hiệu, với điều kiện 0 ≤ a < g Nếu g ≤ 10, ta có thể dùng các ký hiệu từ 0 đến 9 Ngược lại, nếu g > 10, cần tạo thêm các ký hiệu mới để biểu diễn các giá trị.

2.1.1.3 Biểu diễn số tự nhiên trong hệ g - phân

Phép chứng minh định lý không chỉ làm sáng tỏ nội dung mà còn hướng dẫn cách biểu diễn một số tự nhiên trong hệ g-phân Để minh họa, chúng ta sẽ trình bày phương pháp này thông qua một ví dụ cụ thể.

Để chuyển đổi số 3791 sang hệ thất phân (hệ 7), ta thực hiện liên tiếp phép chia 3791 cho 7 và ghi lại các thương của phép chia.

Để chuyển đổi một số từ hệ g-phân sang hệ g’-phân, ta cần thực hiện phép chia liên tiếp số đó và các thương của các phép chia đó cho g’.

Trong trường hợp này, tất cả các phép tính cần thực hiện trong hệ g-phân, mà chúng ta chưa quen thuộc Do đó, việc chuyển đổi số từ hệ g-phân sang hệ g’-phân thường được thực hiện qua hệ thập phân Cụ thể, chúng ta sẽ đổi từ hệ g-phân sang hệ thập phân trước, sau đó chuyển từ hệ thập phân sang hệ g’-phân.

+ Việc đổi một số trong hệ thập phân sang hệ g - phân đã đƣợc trình bày ở trên

+ Việc đổi một số trong hệ g - phân sang hệ thập phân cũng đơn giản

Ví dụ: Viết số 14024 7 trong hệ thập phân

Theo định nghĩa ta có:

Ta tìm lại kết quả đã làm ở ví dụ trên

Ví dụ: Đổi cơ số 43521 8 trong hệ bát phân sang hệ 5 - phân (ngũ phân) ta có:

     Đổi số 18089 sang hệ ngũ phân ta đƣợc:

2.1.3 So sánh các số tự nhiên trong hệ cơ số g Để làm cơ sở cho việc so sánh các số trong hệ g – phân, ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu trong hệ g – phân, số tự nhiên a đƣợc viết là: ac c n n  1 c c 1 0 thì

Theo giả thiết ta có: ac g n n c n  1 g n  1   c g 1 c 0 t

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc:

2.1.3.2 So sánh hai số tự nhiên

Cho hai số tự nhiên a, b trong hệ g – phân (giả sử a  b )

Có thể chỉ nhìn vào các chữ số của a và b mà xác định đƣợc thứ tự giữa chúng hay không?

Có hai trường hợp xảy ra: a) Nếu nm, chẳng hạn nm Khi đó ta khẳng định a  b Thật vậy, nếu n m  thì n m 1 và theo bổ đề ta có:

Kết luận rằng trong hệ g – phân, số có nhiều chữ số hơn sẽ lớn hơn Nếu a và b có cùng số chữ số, tức là n m = , thì chúng có giá trị bằng nhau.

Vì a b nên chắc chắn phải tồn tại chỉ số i ( 0 i n) sao cho c i b i

Giả sử k là chỉ số lớn nhất mà c k b k nghĩa là: n n c b , c n  1 b n  1 , ,c k  1 b k  1 , c k b k

Khi đó, nếu c k b k ta khẳng định a b Thật vậy, vì c k b k nên c k  b k  1 , ta có:

Nhƣng theo bổ đề trên thì g k b k  1 g k  1   b 0

Kết luận rằng trong hệ thập phân, nếu hai số có cùng số chữ số, số nào có chữ số đầu tiên lớn hơn từ trái sang phải sẽ lớn hơn số còn lại.

Các phép tính trong hệ cơ số g

Để thực hiện phép cộng và nhân trong hệ g-phân, cần lập bảng cộng và bảng nhân cho các số có một chữ số Dựa trên các bảng này, chúng ta có thể thực hiện phép tính với các số có nhiều chữ số bằng cách áp dụng quy tắc nhớ.

Các phép toán trong hệ nhị phân (2 - phân)

Phép cộng: Là phép tính làm cơ sở cho các phép tính khác

Khi thực hiện phép cộng cần lưu ý:

1+ 1 = 0 nhớ 1 (đem qua bít cao hơn)

Ngoài ra nếu cộng nhiều số nhị phân cùng một lúc ta nên nhớ:

+ Nếu số bít 1 chẵn, kết quả là 0;

+ Nếu số bít 1 lẻ kết quả là 1

+ Và cứ 1 cặp số 1 cho 1 số nhớ (bỏ qua số 1 dƣ, ví dụ với 5 số 1 ta đƣợc kết quả là 2 cặp)

0 - 1 =1 nhớ 1 cho bit cao hơn

Lần chia đầu tiên, 5 bit của số bị chia nhỏ hơn số chia nên ta đƣợc kết quả là

0, sau đó ta lấy 6 bit của số bị chia để chia tiếp (tương ứng với việc dịch phải số chia 1 bit trước khi thực hiện phép trừ)

Các phép toán trong hệ tứ phân (4 - phân)

Phép cộng: Lập bảng cộng trong hệ 4 – phân

Phép nhân: Lập bảng nhân trong hệ 4 - phân

Các phép toán trong hệ 6 - phân (lục phân)

Chú ý: Khi lập bảng cộng và bảng nhân, ta thực hiện phép tính trong hệ thập phân rồi đổi kết quả ra hệ lục phân

Ví dụ 1: Trong hệ thập phân ta có 5.5 = 25 và 25 = 4.6 +1 = 41 6

Vậy 5 6 5 6 41 6 Để thực hiện phép tính trên các số có nhiều chữ số, ta thực hiện phép tính trên các chữ số của chúng (theo bảng trên) và áp dụng quy tắc nhớ tương tự nhƣ khi tính toán trong hệ thập phân

Các phép toán trong hệ bát phân (8 - phân )

Phép cộng trong hệ bát phân tương tự như trong hệ thập phân và các hệ khác Khi cộng hai số "4", ta được giá trị "10" trong hệ bát phân, tương ứng với giá trị trong hệ thập phân Tương tự, trong hệ thập phân, khi hai số đơn vị được cộng, nếu kết quả bằng hoặc lớn hơn 10, giá trị của hàng tiếp theo sẽ được nâng lên.

Hiện tượng "nhớ" hoặc "mang sang" xuất hiện trong các hệ thống số dùng để tính toán, đặc biệt khi tổng số vượt quá giá trị cơ sở của hệ số Khi đó, phương thức "nhớ" sẽ chuyển một sang vị trí bên trái và thêm một hàng mới Tương tự, phương thức "nhớ" cũng được áp dụng trong hệ bát phân.

Trong ví dụ trên, hai số đƣợc cộng với nhau:234 (156 thập phân) và 8

Khi thực hiện phép cộng số 3628 (tương đương với 242 thập phân), chúng ta bắt đầu từ cột cuối cùng bên phải Cột đầu tiên, 4 cộng 2 bằng 6, và 8 được ghi lại Tiếp theo, ở cột thứ hai, 3 cộng 6 cộng 1 (số được nhớ) cho kết quả 10, ta ghi 0 và nhớ 1 Cuối cùng, ở cột thứ ba, 6 cộng 1 bằng 7, và cột cuối cùng là 1 Kết quả cuối cùng của phép cộng là 6168.

Phép tính nhân trong hệ bát phân tương tự như trong hệ thập phân, với hai số A và B được nhân thông qua các tích số cục bộ Mỗi con số trong B sẽ được nhân với từng con số trong A, và kết quả sẽ được ghi xuống hàng mới, mỗi hàng dịch chuyển sang bên trái để đảm bảo rằng con số cuối cùng ở bên phải thẳng hàng với vị trí của con số B đang sử dụng Cuối cùng, tổng của các tích cục bộ sẽ cho ra kết quả của phép nhân.

 Ở đây, cột đầu tiên bên phải ta có 3 4 12 1 8 4     nên ghi 4 nhớ

1 Cột tiếp theo 7 4 28  nhớ 1 là 29, 29  3 8 5 nên ghi 5 nhớ 3 Tương tự cho các cột tiếp theo và cộng các hàng nhƣ phép cộng trong bát phân.

Dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số g

2.3.1 Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 Tương tự, số a chia hết cho 5 khi chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 Việc xác định tính chia hết của số tự nhiên a theo các quy tắc này rất quan trọng trong toán học.

2, 4, 6 hoặc 8 b) Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5

Giả sử ac c n n  1 c c 1 0 Khi đó có thể viết a  c n 10 n   c 1 10  c 0 hay

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5) là c 0 chia hết cho 2 (hoặc 5) Từ đó suy ra đpcm

2.3.2 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25)

Thật vậy, số tự nhiên a c c n n  1 c c 1 0 đƣợc viết thành

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi

1.10 0 c c chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c 1 0 chia hết cho 4 (hoặc 25) Đpcm

2.3.3 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Một số chia hết cho 3 (tương ứng cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9)

Trước hết nhận xét rằng một lũy thừa bất kì của 10 chia cho 3 hoặc cho 9 đều có dƣ bằng 1 Thật vậy, theo công thức nhị thức Niutơn ta có:

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:

      Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho

9) khi và chỉ khi c n c n  1   c 1 c 0 chia hết cho 3 (tương ứng cho 9) Đpcm

2.3.4 Dấu hiệu chia hết cho 11

Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí chẵn và tổng các chữ số ở vị trí lẻ (hoặc ngược lại) là một bội số của 11.

Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11 q  1 hoặc

Nhƣ vậy 10 n 11.q1 nếu n chẵn và 10 n 11.q1 nếu n lẻ

Do đó số tự nhiên a c c n n  1 c c 1 0 có thể viết thành

Nếu phép trừ không thể thực hiện trong N, hãy đổi vai trò giữa tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ Đẳng thức cuối cùng cho thấy rằng số a chia hết cho 11 khi và chỉ khi điều kiện này được thỏa mãn.

Liên hệ với hàm số mũ, lôgarit

2.4.1 Liên hệ với hàm số mũ

Một số dạng bài tập

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b                 ab vì trong cơ số 2: a1000000: 7 chữ số

111111 b : 6 chữ số Bài 3: Chứng minh rằng:

Bài 4: So sánh biểu thức a) 3 4 5 4

Bài 5: So sánh biểu thức a) 1 1 1 1 1

2.4.2 Liên hệ với hàm số lôgarit

Tìm chữ số của a trong cơ số g ( g  2 )

Gọi k là số chữ số của n

Chú ý: g k  1 1000 0 ( ) g là số nhỏ nhất k chữ số

1000 00( ) k g  g là số nhỏ nhất k1 chữ số k số 0

Ví dụ: an! thì số chữ số của !n trong hệ thập phân quen thuộc là ( thường kí hiệu log 10 aloga)

3   thập phân vô hạn tuần hoàn

Tổng quát: Phân số tối giản a b, b có ƣớc nguyên tố khác 2; 5 sẽ có biểu diễn thập phân vô hạn tuần hoàn

77 là phân số có biểu diễn thập phân vô hạn tuần hoàn

125 là phân số thập phân hữu hạn vì tối giản và mẫu 125  5 5 5 chỉ có ƣớc nguyên tố là 5

* Xét trong cơ số g 3 lại khác

9 100  sau dấu phẩy chỉ có hữu hạn chữ số (số 3 - phân hữu hạn) số tam phân hữu hạn

9   số thập phân vô hạn tuần hoàn

21 0, (010212) là số 3 - phân vô hạn tuần hoàn (tam phân vô hạn tuần hoàn)

Tổng quát: a b tối giản (UCLN(a, b) 1) mà trong hệ 3 - phân là hữu hạn:

 b (trong phân tích b chỉ có một loại thừa số là 3)

Hệ số a b tối giản có biến chẵn trong hệ 3 - phân là hữu hạn nếu và chỉ nếu b chỉ có ước nguyên tố là 3 hoặc b có dạng 3k Ngược lại, nếu a b có dạng 3 - phân vô hạn tuần hoàn thì b không thỏa mãn các điều kiện trên.

1) Mỗi phân số tối giản a b có thể biểu diễn một và chỉ một trong hai dạng

+ g - phân vô hạn tuần hoàn

2) a b là g - phân hữu hạn khi và chỉ khi tập các ƣớc nguyên tố của b nằm trong tập ƣớc nguyên tố của g

Chứng minh: a b là g - phân hữu hạn UCLN(a,b) = 1, a b tối giản

Suy ra ag n   A b b ag/ n vì UCLN(a,b) = 1

Nên ( /b g n ) các ƣớc nguyên tố của b (trong phân tích b thành các thừa số nguyên tố) phải là ƣớc của g n là do đó phải là ƣớc của g

Ví dụ: g12 2 2 3 có ƣớc nguyên tố là 2;3

15 tối giản: b  15   3 5 có ƣớc nguyên tố là 52;3 7

15 khi biểu diễn trong hệ 12 - phân là vô hạn tuần hoàn

27 33 tối giản: b3 3 chỉ có ƣớc nguyên tố là 3  là hữu hạn.

Biểu diễn số thực trong hệ cơ số g

Mỗi số thực (real number) có một biểu thị thập phân tương ứng (có thể là vô hạn) nhƣ sau:

() sign là hàm signum (hàm dấu, sign(x)1 nếu x0, sign(x) 1 nếu 0 x )

Tập hợp các số từ 0 đến 9, ký hiệu là {0, 1, , 9}, với a_i thuộc tập hợp này cho tất cả các giá trị i, biểu thị các con số trong phần thập phân Giá trị a_i sẽ bằng 0 đối với tất cả các i lớn hơn một số nhất định, mà số này chính là lôgarit tự nhiên của x.

Tổng này tăng trưởng trong khi i giảm xuống, và có thể là các dãy số của những con số lớn hơn a i, lặp lại theo tiến trình vô hạn.

Số hữu tỷ (rational number) là số có thể biểu diễn dưới dạng p/q, trong đó mẫu số là các thừa số nguyên tố, ngoại trừ 2 và 5 Khi số này được rút gọn về dạng đơn giản nhất, nó sẽ tạo ra một chuỗi số thập phân lặp lại đặc trưng.

Biểu diễn x dưới dạng thập phân là

Phần thập phân (sau dấu phẩy): a  1 a a  2  3 a  m

Chẳng hạn ở ví dụ trên x 324, (3) ta có

 là chuỗi hội tụ (với a i  0,1, ,9 i)

Thật vậy để đơn giản hóa không gian tổng quát ta chỉ cần chứng minh chuỗi:

(Không cần quan tâm phần đầu: a n 10 n   a 1 10a 0 )

1010  10 m cấp số nhân công bội 1

 bị chặn theo tính chất 1.3.4.4 chuỗi hội tụ

3) Từ (2) suy ra mỗi chuỗi số dạng :

Cho ta một số thực (là tổng của chuỗi), ở đây a i  0,1, ,9  với mọi i số thực này chính là số a a n n  1 a 1 a a a a 0 ,  1  2  3 a  m

Khi viết dạng thập phân

4) Ta thấy 10 bằng cơ số g 1 thì cũng thu được kết quả tương tự:

  x có biểu diễn duy nhất n i i , a i  0,1, , 1  i i x a g g

Xem xét các số hữu tỷ có mẫu số là các thừa số nguyên tố, nhƣ 2 và 5 - có thể biểu thị bằng

2 5 a b p Những số này cho chúng ta một dãy số thập phân hữu hạn

Một số số thực không thể biểu diễn bằng dãy số thập phân thông thường mà có thể được thể hiện dưới dạng các biểu thức khác, trong đó có sự xuất hiện của các con số 9 lặp lại Ví dụ, 1 bằng 0,99999 và 1 bằng 0,499999 là những trường hợp điển hình cho hiện tượng này.

Số vô tỷ (irrational number) là những số có biểu thị thập phân đặc thù, với đặc điểm vừa hữu hạn vừa vô hạn.

Phần biểu thị thập phân trở nên đặc thù khi không tính đến các phần kết thúc bằng số 9 tái diễn Hệ tam phân pháp (trichotomy) cũng được áp dụng cho các gốc hệ đếm khác trong các hệ đếm sử dụng vị trí định lượng (positional numeral system).

+ Biểu thị hữu hạn: số hữu tỷ với mẫu số chia hết cho một số n k nào đó + Biểu thị tái diễn: một trường hợp khác của số hữu tỷ

+ Biểu thị vô hạn, bất tái diễn: số vô tỷ

Một sao bản của hiện trạng này cũng thấy áp dụng trong các hệ đếm vô tỷ, chẳng hạn nhƣ thể dạng golden mean base

2.5.2 Một số vấn đề về số thập phân

Hệ thống thập phân (cơ số 10) tập hợp này gồm 10 ký hiệu rất quen thuộc, đó là các con số từ 0 đến 9:

Khi một số được tạo thành từ nhiều chữ số, giá trị của từng chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó trong số đó, và giá trị này được gọi là trọng số của chữ số.

Ví dụ số 1998 trong hệ thập phân có giá trị xác định bởi triển khai theo đa thức của 10:

Trong triển khai đa thức, số mũ thể hiện vị trí của ký hiệu trong số, với quy ước rằng hàng đơn vị có số mũ bằng 0, và các vị trí liên tiếp bên trái tăng dần từ 1 trở đi.

2, 3, Nếu có phần lẻ, vị trí đầu tiên sau dấu phẩy là -1, các vị trí liên tiếp về phía phải là -2, -3,

Trong hệ thống số thập phân, số 9 đầu tiên (sau số 1) có trọng số là 900, trong khi số 9 thứ hai chỉ có trọng số là 90 Điều này cho thấy rằng, trong hệ 10, ký hiệu đứng trước có trọng số gấp 10 lần ký hiệu đứng ngay sau nó.

Tổng quát, một hệ thống số đƣợc gọi là hệ b sẽ gồm b ký hiệu trong một tập hợp:

  i a b i chính là trọng số của một ký hiệu trong S b ở vị trí thứ i

Số thập phân thực chất là số hữu tỷ, và có thể coi là một dạng khác của phân số, bao gồm phân số hữu hạn và phân số vô hạn tuần hoàn Số hữu tỷ được định nghĩa qua thương của phép chia hai số tự nhiên, với ký hiệu a/b (a, b là các số tự nhiên, b ≠ 0) Trong quá trình chia, nếu không thể chia hết, số dư sẽ được chuyển đổi thành phần mười để tiếp tục phép chia, bằng cách thêm chữ số 0 bên phải số dư và đặt dấu phẩy để phân tách phần nguyên và phần thập phân Số thập phân có thể được xem là phân số với mẫu số là 10, 100, 1000, và do đó, bản chất của số thập phân vẫn là số hữu tỷ.

10 100 1000 1 đều có mẫu số là lũy thừa của 10 với số mũ tự nhiên Các phân số dạng này ta thường gặp trong các phép đo đại lƣợng, chẳng hạn:

- Chiều dài cạnh bàn là 1m 25cm hay 1m 25

- Gói hàng cân nặng 365g hay 365

Trong chương trình Toán lớp 5 nội dung kiến thức Số thập phân gồm các bài sau:

Phần số thập phân gồm:

- Khái niệm số thập phân

- Hàng của số thập phân, đọc, viết số thập phân

- Số thập phân bằng nhau

- Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân

- Viết các số đo diện tích dưới dạng số thập phân

Phần các phép tính đối với số thập phân gồm:

- Cộng hai số thập phân

- Tổng nhiều số thập phân

- Trừ hai số thập phân

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên

- Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,…

- Nhân một số thập phân với một số thập phân

- Chia một số thập phân cho một số tự nhiên

- Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,…

- Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên thương tìm được là một số thập phân

- Chia một số tự nhiên cho một số thập phân

- Chia một số thập phân cho một số thập phân

- Giải toán về tỉ số phần trăm

2.5.3 So sánh các số thực trong hệ cơ số g Để so sánh hai số thực x và y bất kỳ, ta thực hiện quy tắc dưới đây:

1) Trường hợp x và y đều không âm, giả sử

Ta nói rằng x nhỏ hơn y viết là x y, nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho i i a b với i0,1, 2,3, ,k1 và a k  b k

2) Mọi số thực không âm đều lớn hơn một số thực âm bất kì

3) Số thực âm x gọi là nhỏ hơn số thực âm y , nếu y  x

Ta nói x  y , nếu x y hoặc x y (đọc là nhỏ hơn hoặc bằng y ) Nhận xét

1) Bằng quy tắc 1, chúng ta đã đưa việc so sánh hai số thực dương về so sánh hai số thập phân không âm; trước hết ta so sánh a 0 và b 0 Nếu

Nếu a0 < b0 (hoặc b0 < a0), thì x < y (hoặc y < x) Trong trường hợp a0 = b0, ta tiếp tục so sánh a1 và b1 theo nguyên tắc tương tự cho đến khi tìm được chỉ số k mà a k < b k (hoặc b k < a k) Nếu a k = b k với mọi k, ta kết luận rằng x = y.

2) Từ quy tắc 1 và 2 ta suy ra mọi số thực dương đều lớn hơn 0 và mọi số thực âm đều nhỏ hơn 0

Chương 2 trình bày những kiến thức cơ bản về hệ thống ghi số, bao gồm các vấn đề: Công thức và phương pháp biểu diễn một số tự nhiên trong hệ cơ số g; Chuyển cơ số; So sánh các số tự nhiên khi biết biểu diễn của chúng trong một cơ số cho trước; Các phép tính thực hiện trong hệ cơ số; Các dấu hiệu chia hết Bên cạnh việc tổng hợp lại những kiến thức đã biết, chương này còn khai thác và mở rộng đƣợc một số kết quả mớí, chẳng hạn: Đƣa ra dấu hiệu chia hết cho một số trường hợp trong cơ số g tùy ý; liên hệ với hàm số mũ, logarit; Đƣa ra tiêu chuẩn cho một phân số có biểu diễn g-phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn Những khai thác mới cho thấy nhiều vấn đề trong hệ thập phân quen thuộc có thể mở rộng tương tự cho trường hợp cơ số g tùy ý.

MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các phép toán

3.1.1 Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép cộng và phép trừ

* Viết số tự nhiên, cấu tạo số

- Hình thành số tự nhiên từ 1 đến 9

Sách giáo khoa toán lớp 1 giới thiệu khái niệm số tự nhiên như là số lượng phần tử trong một tập hợp hữu hạn Phương pháp tiếp cận này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản trong toán học.

Các số 1, 2, 3 được hình thành từ các tập hợp tương đương, trong đó mỗi tập hợp có điểm chung là số lượng phần tử giống nhau Qua quá trình này, các số tự nhiên dần dần được xác định tương ứng với số phần tử của từng tập hợp.

Trong sách giáo khoa toán 1, khi giới thiệu các số 1, 2, 3, mô hình biểu diễn đường cong khép kín được sử dụng, với biểu đồ Venn minh họa cho tập hợp Bên trong biểu đồ, có 1, 2 hoặc 3 đồ vật giống nhau, gần gũi với cuộc sống hàng ngày của học sinh, đại diện cho các phần tử của tập hợp Tương tự, các số 4 và 5 cũng được hình thành theo cách này.

Sách giáo khoa hình thành số 6 được xây dựng dựa trên cách tiếp cận theo thứ tự và mối quan hệ số liền sau, thông qua việc đếm thêm 1 vào số 5 Hình ảnh minh họa có 5 bạn nhỏ đang chơi, trong đó có một bạn nhỏ khác đang tiến đến Phương pháp này cũng áp dụng tương tự cho các số 7, 8, 9 và 10.

Sách giáo khoa định nghĩa số 0 là bản số của tập hợp rỗng, có nghĩa là nó biểu thị cho tập hợp không có phần tử nào Ví dụ, trong một chậu nuôi cá ban đầu có 3 con cá, khi lần lượt vớt ra từng con, cuối cùng chậu sẽ không còn cá nào, thể hiện rõ cách tiếp cận này Đây là một minh chứng cho hệ tiên đề Peano, trong đó số 0 được hiểu qua mối quan hệ "số liền trước" bằng cách giảm dần từ 3.

- Hình thành các số tròn chục, tròn trăm

Khái niệm về một chục được hình thành như một tập hợp gồm 10 phần tử, ví dụ như một chục que tính có 10 que tính Tương tự, khái niệm về một trăm được hiểu là một tập hợp gồm 100 phần tử, được minh họa qua hình ảnh một tấm bìa với 100 ô vuông.

Từ đó hình thành khái niệm các số tròn chục (2 chục que tính = 20 que tính, 3 chục que tính = 30 que tính,…), tròn trăm (200 bằng 2 tấm bìa 100 ô vuông,

300 bằng 3 tấm bìa 100 ô vuông,…) Từ đó hình thành thêm các số tròn nghìn

- Hình thành các số tự nhiên 2, 3 và nhiều chữ số

Hình thành số có 2 chữ số: Trên cơ sở hình thành các số tròn chục, các số có 2 chữ số đƣợc xây dựng theo cách:

+ Đếm thêm 1 (hoặc 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) vào 10 và đọc là mười một (11), mười hai (12)

+ Đếm thêm 1 (hoặc 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) vào sau số 20, 30, 40,… và đọc là (hai mươi ba,…)

Từ đó hình thành khái niệm ban đầu về hàng chục và hàng đơn vị

Trong sách giáo khoa toán lớp 2, phần 6 về các số trong phạm vi 1000, bài đầu tiên giới thiệu khái niệm về đơn vị, chục, trăm và nghìn Sách giáo khoa tiếp tục trình bày các số tròn chục từ 110 đến 200, các số từ 101 đến 110, và các số từ 111 đến 200, giúp học sinh nhận biết cấu trúc của các số này, bao gồm hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị, cũng như cách đọc chúng Qua đó, học sinh dần hình thành khái niệm về số có ba chữ số.

Hình thành số có 4, 5 và nhiều chữ số là bước quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu cấu tạo của các loại số này Cụ thể, số có 4 chữ số bao gồm 4 hàng: hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị; trong khi số có 5 chữ số được cấu tạo từ 5 hàng: hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị Từ việc nắm vững các hàng này, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm về số có 4, 5 và nhiều chữ số một cách rõ ràng và dễ hiểu.

Hình thành khái niệm hàng và lớp của một số tự nhiên

Từ những hiểu biết ban đầu của học sinh về hàng sách giáo khoa đƣa ra các khái niệm về lớp: bao gồm các lớp:

+ Lớp đơn vị gồm: hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị

+Lớp nghìn gồm: hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn

+ Lớp triệu gồm: hàng trăm triệu, hàng chục triệu, hàng triệu

Phân tích cấu tạo thập phân của các số tự nhiên:

00 10 00 0 abcd a b c d a b c d ab cd abc d a b bc a d bc

Ví dụ 3.1.2: Cho bốn chữ số 0; 1; 2; 3 Viết đƣợc tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn số đã cho

Giải Lần lƣợt lựa chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm , hàng chục và hàng đơn vị nhƣ sau:

- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn

- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm

- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục

- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: 3 3 2 1 18    (số)

Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, với điều kiện rằng khi thêm chữ số 3 vào bên trái, số mới sẽ gấp 25 lần số ban đầu.

Giải Gọi số cần tìm là: abc (0a; a,b< 10)

Theo bài ra ta có: 3abc25abc

3000abc 25abc (Phân tích cấu tạo số)

300024abc (Trừ cả 2 vế cho abc )

Số tự nhiên cần tìm là: 125

Ví dụ 3.1.4: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó?

Giải Gọi số tự nhiên cần tìm là: ab (0   a 9; 0   b 9 )

Theo bài ra ta có: ab  7 (a b)

Từ (*) ta thấy những số tự nhiên cần tìm có chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị, ta có các số sau: 21; 42; 63; 84 Đáp số: 21; 42; 63; 84

Trong các phép tính, ứng dụng của phép cộng rất quan trọng Hiện nay, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm phép cộng và giới thiệu thuật toán cộng cột dọc, bắt đầu từ các số trong phạm vi 10.

Tiếp đến cộng các số có hai chữ số ta thực hiện từ phải qua trái bắt đầu từ hàng đơn vị

Kĩ năng cộng cột dọc là kĩ năng cơ bản cần hình thành cho cho học sinh trong toàn bộ chương trình Tiểu học

Phép trừ trong toán học được giới thiệu trong sách giáo khoa hiện hành như là phép tính ngược của phép cộng, liên quan chặt chẽ với nhau Các thuật ngữ như "bớt đi" và "lấy đi" thường được sử dụng để diễn tả quá trình này, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hai phép toán.

Ví dụ 3.1.7: Có 5 bông hoa, lấy đi 2 bông hoa Ta nói 5 bớt 2 bằng 3 Đối với phép trừ có nhớ là vấn đề khó trong dạy học ở Tiểu học

+ 1 không trừ đƣợc 5, mƣợn 1 thành 11

3.1.2 Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép nhân và phép chia Đối với phép nhân: sách giáo khoa lớp 2 chương trình 2000 trình bày cụ thể nhƣ sau:

Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các dấu hiệu chia hết

3.2.1 Dấu hiệu chia hết cho 2

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8

  là tổng của 5 số hạng bằng nhau, mỗi số hạng là 2, ta chuyển thành phép nhân, viết nhƣ sau: Đọc là: Hai nhân năm bằng mười

Dấu đƣợc gọi là dấu nhân

Từ đây suy ra a chia hết cho 2 khi và chỉ khi c 0 chia hết cho 2 hay c 0 0, 2,

4, 6 hoặc 8 Ta có điều phải chứng minh Đối với chương trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 2 nhƣ sau:

- Các số có chữ số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2

- Các số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9 thì không chia hết cho 2

Ví dụ 3.2.1: Trong các số 3457; 4568; 66 814; 2050; 2229; 3576; 900; 2355 a) Số nào chia hết cho 2? b) Số nào không chia hết cho 2?

Giải a) Số chia hết cho 2 là: 4568; 66814; 2050; 3576; 900

Vì có các chữ số tận cùng là 0, 4, 6, 8 b) Số không chia hết cho 2 là: 3457; 2229

Vì có các chữ số tận cùng là 7 hoặc 9

Ví dụ 3.2.2: Cho 3 chữ số 2, 3, 5 Từ ba chữ số đã cho, hãy viết tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 2

Các số chia hết cho 2 phải có tận cùng là 2 Các số đó là:

Ví dụ 3.2.3: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2?

Vì cứ hai số tự nhiên thì có một số chia hết cho 2 nên trong khoảng từ 1 đến

100 có các số chia hết cho 2: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 số

Ví dụ 3.2.4: Điền chữ số vào dấu * để đƣợc số 54* thỏa mãn điều kiên chia hết cho 2

Giải Một số chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng bên phải của nó là chữ số chẵn

Thay dấu * bởi một trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8

3.2.2 Dấu hiệu chia hết cho 5

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0, hoặc 5

Từ đây suy ra a chia hết cho 5 khi và chỉ khi c 0 chia hết cho 2 hay c 0 0 hoặc

5 Ta có điều phải chứng minh Đối với chương trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 5 nhƣ sau:

- Các số có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

- Các số không có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5

Ví dụ 3.2.5: Trong các số 3457; 4568; 66 814; 2050; 2229; 3576; 900; 2355 a) Số nào chia hết cho 5? b) Số nào không chia hết cho 5?

Giải a) Số chia hết cho 5 là: 2050; 900; 2355

Vì có các chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 b) Số không chia hết cho 5 là: 3457; 4568; 66 814; 2229; 3576

Vì các số không có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5

Ví dụ 3.2.6: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2?

Vì cứ năm số tự nhiệ thì có một số chia hết cho 5 nên trong khoảng từ 1 đến

100 có các số chia hết cho 5: (100 – 5) : 5 + 1 = 20 số

Ví dụ 3.2.7: Điền chữ số vào dấu * để đƣợc số 54* thỏa mãn điều kiên chia hết cho 5

Giải Một số chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng bên phải của nó là chữ số 0 hoặc chữ số 5

Thay dấu * bởi một trong các chữ số 0 hoặc chữ số 5

Ví dụ 3.2.8: Có thể viết bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là số lẻ

Giải Các số cần tìm đƣợc viết từ các chữ số: 1; 3; 5; 7; 9

+ Chữ số hàng đơn vị là 5 (vì số cần tìm chia hết cho 5)

+ Chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau)

+ Chữ số hàng trăm có 3 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau)

+ Chữ số hàng chục có 2 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau)

Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là các số lẻ là: 1 4 3 2   24(số)

Loan có ít hơn 20 quả táo Nếu Loan chia đều số táo đó cho 5 bạn hoặc 2 bạn thì số táo sẽ vừa đủ Hãy tìm số lượng quả táo mà Loan đang có.

Loan có ít hơn 20 quả táo, tức là số táo của cô nhỏ hơn 20 và khác 0 Nếu Loan chia đều số táo cho 5 bạn hoặc 2 bạn, số táo sẽ hết, cho thấy số táo của Loan chia hết cho cả 2 và 5 Do đó, số táo của Loan phải có chữ số tận cùng là 0.

Số tận cùng là 0, nhỏ hơn 20 và khác 0 là số 10 Vậy loan có 10 quả táo

3.2.3 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Số tự nhiên a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9)

Từ đây suy ra a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi c n c n  1    c 1 c 0 chia hết cho 3 (hoặc 9) hay tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9)

Ta có điều phải chứng minh Đối với chương trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 5 nhƣ sau:

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9

Ví dụ 3.2.10: Trong các số 156 ; 2018 ; 2505 ; 11 200 ; 781 : a) Số nào chia hết cho 3 ? b) Số nào không chia hết cho 3 ?

Giải a) Các số chia hết cho 3 là: 156; 2505 b) Các số không chia hết cho 3 là: 2018; 11200; 781

Ví dụ 3.2.11: Trong các số 99; 1999; 108; 5643; 7853; 29385 a) Số nào chia hết cho 9 ? b) Số nào không chia hết cho 9 ?

Giải a) Các số chia hết cho 9 là: 99; 108; 5643; 29385

Vì 99 có tổng các chữ số là 9 + 9 = 18 Mà 18 chia hết cho 9 Vậy 99 chia hết cho 9 Tương tự đối với các số còn lại b) Các số không chia hết cho 9 là: 1999; 7853

Vì 1999 có tổng các chữ số là 1 + 9 + 9 + 9 = 28 Mà 28 không chia hết cho 9 Vậy 1999 không chia hết cho 9 Tương tự đối với các số còn lại

Sử dụng ba trong bốn chữ số 4, 5, 3, 0, chúng ta có thể tạo ra các số tự nhiên có ba chữ số Để tìm các số chia hết cho 9, chúng ta cần đảm bảo tổng các chữ số chia hết cho 9 Trong khi đó, để tìm các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, tổng các chữ số chỉ cần chia hết cho 3 và không phải là bội số của 9.

Để xác định số chia hết cho 9, tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9 Các số đáp ứng điều kiện này bao gồm: 450, 540, 405, và 504 Đối với số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, tổng các chữ số phải chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 Các số tìm được là: 543, 534, 453, 435, 345, và 354.

Ví dụ 3.2.13: Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 3? b) Chia hết cho 9?

Để viết số nhỏ nhất có năm chữ số, chữ số đầu tiên cần phải là 1, vì đây là chữ số nhỏ nhất có thể Tiếp theo, chữ số thứ hai phải là 0, và tương tự, chữ số thứ ba và thứ tư cũng là 0.

Vì số phải tìm chia hết cho 3 nên tổng các chữ số phải chia hết cho 3

Do đó chữ số cuối cùng phải là chữ số 2 Vậy số phải tìm là: 10002 b) Tương tự phần a, số phải tìm là 10008

3.2.4 Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc 25)

Số a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số c1c0, được tạo bởi hai chữ số tận cùng của a, cũng chia hết cho 4 (hoặc 25).

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.2.14: Hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số: 0,

3, 6, 9 thỏa mãn điều kiện chia hết cho 4

Các số chia hết cho 4 phải có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 Với điều kiện mỗi chữ số khác nhau, các số thỏa mãn là: 360, 960, 936 và 396.

3.2.5 Dấu hiệu chia hết cho 11

Số tự nhiên a sẽ chia hết cho 11 nếu và chỉ nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí hàng chẵn và tổng các chữ số ở vị trí hàng lẻ của nó cũng chia hết cho 11.

Số a chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí chẵn và tổng các chữ số ở vị trí lẻ của nó cũng chia hết cho 11.

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.2.15: Tìm số chẵn có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 5, 9 và 11

Số cần tìm là n = abc, trong đó n là số chẵn và chia hết cho 5, nên c phải bằng 0 Do đó, ta có n = ab0 Vì n cũng chia hết cho 11, nên hiệu a - b phải chia hết cho 11, từ đó suy ra a = b.

Mặt khác n chia hết cho 9 nên a b     0 a b chia hết cho 9 Suy ra a b chỉ có thể bằng 0, 9 hoặc 18

Từ các kết quả trên đây suy ra a b 9 Thay vào ta đƣợc n990

3.2.6 Dấu hiệu chia hết cho một số bất kì

* Dấu hiệu chia hết cho g  1 (ví dụ g 10, g 1 9)

(Tổng các chữ số chia hết cho g  1)

* Dấu hiệu chia hết cho d, d là ƣớc số của g

A d  a d n (chữ số tận cùng chia hết cho d )

* Dấu hiệu chia hết cho e (e là ƣớc g1)

A ea   a a e (tổng các chữ số chia hết cho e )

* Dấu hiệu chia hết cho g  1

3.3 Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong thực tiễn

3.3.1 Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo khối lượng Đơn vị đo khối lƣợng là một đơn vị đo dùng để cân một sự vật cụ thể ví dụ nhƣ: khối lƣợng của 1 bao gạo, khối lƣợng của quả táo, khối lƣợng của một con voi,… để đo khối lượng của một đồ vật người ta thường dùng cân Tuy nhiên có những vật thể không thể dùng cân để đo khối lƣợng Đơn vị đo khối lƣợng là đại lƣợng cơ bản mà học sinh tiểu học bắt đầu làm quen trong chương trình Toán lớp 2 Lên lớp 4 học sinh đã được học đầy đủ các đơn vị đo khối lƣợng đƣợc hệ thống qua bảng sau:

Lớn hơn ki - lô - gam Ki - lô - gam Bé hơn ki - lô – gam

Tấn Tạ Yến kg hg dag g

Trong toán học đại học, hệ cơ số g = 10, hay còn gọi là hệ thập phân, là phương pháp phổ biến trong việc đo khối lượng, ví dụ như 1 tấn = 10 tạ và 1 tấn = 1000 kg Trong hệ thập phân, mỗi 10 đơn vị của hàng sau có giá trị bằng 1 đơn vị ở hàng trước Để đổi đơn vị đo khối lượng, học sinh cần hiểu rõ bản chất của phép biến đổi này Khi đã nắm vững kiến thức, học sinh chỉ cần dịch chuyển dấu phẩy sang trái hoặc phải, mỗi đơn vị đo liền sau tương ứng với một chữ số, hoặc thêm một chữ số 0 nếu cần thiết.

- Khi đổi đơn vị đo khối lƣợng từ đơn vị lớn hơn sang đơn vị bé hơn liền kề thì chúng ta nhân số đó với 10

Ví dụ: 1 tấn = 10 tạ = 100 yến

- Khi đổi đơn vị đo khối lƣợng từ đơn vị nhỏ sang đơn vị lớn hơn liền kề, chúng ta chia số đó cho 10

Nói chung, mỗi đơn vị đo khối lƣợng liền kề nhau thì sẽ gấp hoặc kém nhau

Ví dụ 1: Khi đổi từ 1 tấn sang kg, chúng ta thấy phải nhân số đó với 3 lần số

10 (10  10  10 = 1000) Vậy ta suy ra 1 tấn = 1 1000 00 kg

Ví dụ 2: Khi đổi từ 200 dag sang kg, chúng ta thấy phải chia 200 với 2 lần số

10 (10  10 = 100) Vậy ta suy ra kết quả là 200 dag = 200 : 100 = 2 kg

3.3.2 Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo kích thước Đơn vị đo độ dài là đại lƣợng dùng để do khoảng cách giữa hai điểm, để làm mốc so sánh về độ lớn cho mọi đọ dài khác Đơn vị đo độ dài dùng để đo: độ dài của quãng đường, độ dài của cuộn dây, độ dài của cái bàn,… dùng để đo độ dài của các vật cụ thể

- Một chiếc thước kẻ dài 20 cm thì 20 là độ dài, cm là đơn vị dùng để đo

Quãng đường từ điểm A đến điểm B dài 1 km, trong đó 1 là độ dài và km là đơn vị đo độ dài Học sinh lớp 3 sẽ được học về các đơn vị đo độ dài thông qua bảng hệ thống.

Lớn hơn mét Mét Nhỏ hơn mét km hm dam m dm cm mm