Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các dấu hiệu chia hết

Chƣơng 2 HỆ THỐNG GHI SỐ

3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các dấu hiệu chia hết

3.2.1. Dấu hiệu chia hết cho 2.

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8.           là tổng của 5 số hạng bằng nhau, mỗi số hạng là 2, ta chuyển thành phép nhân, viết nhƣ sau:

Đọc là: Hai nhân năm bằng mƣời. Dấu đƣợc gọi là dấu nhân

Chứng minh: Giả sử ac cn n1...c c1 0 . Ta có 1 1 2 1 1 0 1 1 0 10n 10n ... 10 ( 10n 10n ... ).10 n n n n ac c    c c  c  c    c c

Từ đây suy ra a chia hết cho 2 khi và chỉ khi c0 chia hết cho 2 hay c0 0, 2,

4, 6 hoặc 8. Ta có điều phải chứng minh.

Đối với chƣơng trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 2 nhƣ sau:

- Các số có chữ số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2.

- Các số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9 thì không chia hết cho 2. Ví dụ 3.2.1: Trong các số 3457; 4568; 66 814; 2050; 2229; 3576; 900; 2355. a) Số nào chia hết cho 2?

b) Số nào không chia hết cho 2? Giải

a) Số chia hết cho 2 là: 4568; 66814; 2050; 3576; 900. Vì có các chữ số tận cùng là 0, 4, 6, 8.

b) Số không chia hết cho 2 là: 3457; 2229. Vì có các chữ số tận cùng là 7 hoặc 9.

Ví dụ 3.2.2: Cho 3 chữ số 2, 3, 5. Từ ba chữ số đã cho, hãy viết tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 2.

Giải

Các số chia hết cho 2 phải có tận cùng là 2. Các số đó là: 222; 232; 252;

322; 332; 352; 522; 532; 552.

Ví dụ 3.2.3: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2? Giải

Vì cứ hai số tự nhiên thì có một số chia hết cho 2 nên trong khoảng từ 1 đến 100 có các số chia hết cho 2: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 số.

Ví dụ 3.2.4: Điền chữ số vào dấu * để đƣợc số 54* thỏa mãn điều kiên chia hết cho 2.

Giải

Một số chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng bên phải của nó là chữ số chẵn. Thay dấu * bởi một trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8.

Ta đƣợc các số 540; 542; 544; 546; 548.

3.2.2. Dấu hiệu chia hết cho 5

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0, hoặc 5. Chứng minh: Giả sử ac cn n1...c c1 0 . Ta có 1 1 2 1 1 0 1 1 0 10n 10n ... 10 ( 10n 10n ... ).10 n n n n ac c    c c  c  c    c c .

Từ đây suy ra a chia hết cho 5 khi và chỉ khi c0 chia hết cho 2 hay c0 0 hoặc 5. Ta có điều phải chứng minh.

Đối với chƣơng trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 5 nhƣ sau:

- Các số có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

- Các số không có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5. Ví dụ 3.2.5: Trong các số 3457; 4568; 66 814; 2050; 2229; 3576; 900; 2355. a) Số nào chia hết cho 5?

b) Số nào không chia hết cho 5?

Giải a) Số chia hết cho 5 là: 2050; 900; 2355. Vì có các chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

b) Số không chia hết cho 5 là: 3457; 4568; 66 814; 2229; 3576. Vì các số không có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5.

Giải

Vì cứ năm số tự nhiệ thì có một số chia hết cho 5 nên trong khoảng từ 1 đến 100 có các số chia hết cho 5: (100 – 5) : 5 + 1 = 20 số.

Ví dụ 3.2.7: Điền chữ số vào dấu * để đƣợc số 54* thỏa mãn điều kiên chia hết cho 5.

Giải

Một số chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng bên phải của nó là chữ số 0 hoặc chữ số 5.

Thay dấu * bởi một trong các chữ số 0 hoặc chữ số 5. Ta đƣợc các số: 540; 545.

Ví dụ 3.2.8: Có thể viết bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là số lẻ.

Giải

Các số cần tìm đƣợc viết từ các chữ số: 1; 3; 5; 7; 9. + Chữ số hàng đơn vị là 5 (vì số cần tìm chia hết cho 5)

+ Chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau) + Chữ số hàng trăm có 3 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau) + Chữ số hàng chục có 2 cách chọn (vì các số cần tìm có các chữ số khác nhau)

Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là các số lẻ là: 1 4 3 2   24(số).

Ví dụ 3.2.9: Loan có ít hơn 20 quả táo. Biết rằng, nếu Loan đem số táo đó chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 2 bạn thì cũng vừa hết. Hỏi Loan có bao nhiêu quả táo?

Giải

Vì Loan có ít hơn 20 quả táo nên số táo của Loan là một số nhỏ hơn 20 và khác 0. Nếu Loan đem số táo đo chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 2 bạn

thì cũng vừa hết nên số táo của Loan là một số chia hết cho cả 2 và 5. Vậy số đó có chữa số tận cùng là 0.

Số tận cùng là 0, nhỏ hơn 20 và khác 0 là số 10. Vậy loan có 10 quả táo.

3.2.3. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Số tự nhiên a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

Chứng minh: Giả sử ac cn n1...c c1 0 . Ta có 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 10 10 ... 10 (9 1) (9 1) ... (9 1) =... =T 9 ( ... ). n n n n n n n n n n n a c c c c c c c c c c c c                       

Từ đây suy ra a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi cncn1  ... c1 c0

chia hết cho 3 (hoặc 9) hay tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9). Ta có điều phải chứng minh.

Đối với chƣơng trình sách giáo khoa Toán 4 giới thiệu cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 5 nhƣ sau:

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3. - Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9. Ví dụ 3.2.10: Trong các số 156 ; 2018 ; 2505 ; 11 200 ; 781 :

a) Số nào chia hết cho 3 ?

b) Số nào không chia hết cho 3 ? Giải a) Các số chia hết cho 3 là: 156; 2505.

b) Các số không chia hết cho 3 là: 2018; 11200; 781.

Ví dụ 3.2.11: Trong các số 99; 1999; 108; 5643; 7853; 29385. a) Số nào chia hết cho 9 ?

b) Số nào không chia hết cho 9 ? Giải

a) Các số chia hết cho 9 là: 99; 108; 5643; 29385.

Vì 99 có tổng các chữ số là 9 + 9 = 18. Mà 18 chia hết cho 9. Vậy 99 chia hết cho 9. Tƣơng tự đối với các số còn lại.

b) Các số không chia hết cho 9 là: 1999; 7853.

Vì 1999 có tổng các chữ số là 1 + 9 + 9 + 9 = 28. Mà 28 không chia hết cho 9. Vậy 1999 không chia hết cho 9. Tƣơng tự đối với các số còn lại.

Ví dụ 3.2.12: Dùng ba trong bốn chữ số 4, 5, 3, 0 hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho các số đó:

a) Chia hết cho 9;

b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9; Giải

a) Số chia hết cho 9 phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Do đó các số cần tìm là: 450; 540; 405; 504.

b) Số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 phải có tổng các chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó các số cần tìm là: 543; 534; 453; 435; 345; 354.

Ví dụ 3.2.13: Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 3?

b) Chia hết cho 9?

Giải

a) Muốn viết số nhỏ nhất có năm chữ số thì số đầu tiên phải là chữ số nhỏ nhất có thể đƣợc, chữ số đó phải là 1. Chữ số thứ hai là chữ số nhỏ nhất có thể đƣợc, đó là chữ số 0. Tƣơng tự chữ số thứ ba, thứ tƣ cũng là 0. Vì số phải tìm chia hết cho 3 nên tổng các chữ số phải chia hết cho 3. Do đó chữ số cuối cùng phải là chữ số 2. Vậy số phải tìm là: 10002. b) Tƣơng tự phần a, số phải tìm là 10008.

3.2.4. Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc 25).

Chứng minh: Giả sử ac cn n1...c c1 0 . Ta có 1 1 1 0 2 3 1 2 1 0 10 10 ... 10 ( 10 10 ... ).100 . n n n n n n n n a c c c c c c c c c               

Từ đây suy ra a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi c c1 0 chia hết cho 4

(hoặc 25) hay số tạo bởi hai chữ số tận cùng của a chia hết cho 4 (hoặc 25). Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.2.14: Hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số: 0, 3, 6, 9 thỏa mãn điều kiện chia hết cho 4.

Giải

Các số chia hết cho 4 phải có hai số tận cùng chia hết cho 4. Mặt khác, mỗi số đều có các chữ số khác nhau nên các số viết đƣợc là: 360; 960; 936; 396.

3.2.5. Dấu hiệu chia hết cho 11

Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.

Chứng minh: Giả sử ac cn n1...c c1 0 . Ta có 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 4 2 1 3 2 1 10 10 ... 10 (11 1) (11 1) ... (11 1) c =11T ( 1) 11 ( 1) ... 11 =11(T ... ) ( ... ) ( ... ). n n n n n n n n n n n n n n n n k k a c c c c c c c c T c T c c T T c c c c c c c                                           

Từ đây suy ra a chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.2.15: Tìm số chẵn có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 5, 9 và 11

Giải

Gọi số cần tìm là nabc. Vì n là số chẵn chia hết cho 5 nên c bằng 0. Thay vào ta đƣợc nab0. Vì n chia hết cho 11 nên a b chia hết cho 11. Suy ra

ab

Mặt khác n chia hết cho 9 nên a b   0 a b chia hết cho 9. Suy ra a b chỉ có thể bằng 0, 9 hoặc 18.

Từ các kết quả trên đây suy ra a b 9. Thay vào ta đƣợc n990

3.2.6. Dấu hiệu chia hết cho một số bất kì

* Dấu hiệu chia hết cho g1 (ví dụ g 10, g 1 9)

0 1... n g( ) 1 0 1 ... n 1 Aa a a g a   a a g (Tổng các chữ số chia hết cho g1) Chứng minh 1 0 n 1 n ... n 1 n Aa g a g   a  ga (a0 0, 0a a0, ,...,1 an  g 1) Vì gk 1(modg1) vì g 1(modg1) 0 1 ... n 1 n(mod 1) A a a a  a g        Vậy A g 1 a0   a1 ... a gn 1.

* Dấu hiệu chia hết cho d, d là ƣớc số của g

(Ví dụ: g 10 thì d 2,5) n A d  a d (chữ số tận cùng chia hết cho d) Chứng minh: 0 1 ( n ... n ) n A a g  a  g a  A d nếu và chỉ nếu a dn

0 1 0 1 ( ... ) g ( ... ) n n n n a g a g a g a g d      

* Dấu hiệu chia hết cho e (e là ƣớc g1) (Ví dụ: g10,g   1 9 e 3)

0 1 ... n

A ea   a a e (tổng các chữ số chia hết cho e)

Vì gk 1(modg 1) gk 1(mod )e do e g/ 1

Nếu Aa0   a1 ... an(mod )e  đpcm. * Dấu hiệu chia hết cho g1

(Ví dụ: g 10 thì g 1 11).

1 2 3 0

1 n n n n ... ( 1)n 1

A g a a  a  a     a g .

3.3. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong thực tiễn.

3.3.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo khối lượng

Đơn vị đo khối lƣợng là một đơn vị đo dùng để cân một sự vật cụ thể ví dụ nhƣ: khối lƣợng của 1 bao gạo, khối lƣợng của quả táo, khối lƣợng của một con voi,… để đo khối lƣợng của một đồ vật ngƣời ta thƣờng dùng cân. Tuy nhiên có những vật thể không thể dùng cân để đo khối lƣợng.

Đơn vị đo khối lƣợng là đại lƣợng cơ bản mà học sinh tiểu học bắt đầu làm quen trong chƣơng trình Toán lớp 2. Lên lớp 4 học sinh đã đƣợc học đầy đủ các đơn vị đo khối lƣợng đƣợc hệ thống qua bảng sau:

Lớn hơn ki - lô - gam Ki - lô -

gam Bé hơn ki - lô – gam

Tấn Tạ Yến kg hg dag g 1 tấn = 10 tạ =1000kg 1 tạ = 10 yến = 100 kg 1 yến = 10 kg 1 kg = 10 hg = 1000 g 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dag = 10 g 1 g

Trong toán học ở đại học thì hệ cơ số g10 hay còn gọi là hệ thập phân. Phép đếm này ta gặp trong phép đo khối lƣợng : 1 tấn = 10 tạ, 1 tấn =

1000 kg,… trong hê thập phân cứ 10 đơn vị của hàng sau có giá trị bằng 1 đơn vị ở hàng liền trƣớc nó.

Để có thể thực hiện đổi đơn vị đo khối lƣợng thì học sinh cần hiểu rõ đƣợc bản chất của phép biến đổi đó là gì. Khi đã nắm đƣợc bản chất thì học sinh chỉ cần dịch chuyển dấu phẩy sang trái hoặc sang phải mỗi đơn vị đo liền sau nó là một chữ số hoặc thêm một chữ số 0 (nếu thiếu) ứng với mỗi đơn vị đo.

Cụ thể nhƣ sau:

- Khi đổi đơn vị đo khối lƣợng từ đơn vị lớn hơn sang đơn vị bé hơn liền kề thì chúng ta nhân số đó với 10

Ví dụ: 1 tấn = 10 tạ = 100 yến.

- Khi đổi đơn vị đo khối lƣợng từ đơn vị nhỏ sang đơn vị lớn hơn liền kề, chúng ta chia số đó cho 10

Ví dụ: 20 hg = 2 kg.

Nói chung, mỗi đơn vị đo khối lƣợng liền kề nhau thì sẽ gấp hoặc kém nhau 10 lần.

Ví dụ 1: Khi đổi từ 1 tấn sang kg, chúng ta thấy phải nhân số đó với 3 lần số 10 (10  10  10 = 1000). Vậy ta suy ra 1 tấn = 1 1000 =1000 kg.

Ví dụ 2: Khi đổi từ 200 dag sang kg, chúng ta thấy phải chia 200 với 2 lần số 10 (10  10 = 100). Vậy ta suy ra kết quả là 200 dag = 200 : 100 = 2 kg.

3.3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo kích thước

Đơn vị đo độ dài là đại lƣợng dùng để do khoảng cách giữa hai điểm, để làm mốc so sánh về độ lớn cho mọi đọ dài khác. Đơn vị đo độ dài dùng để đo: độ dài của quãng đƣờng, độ dài của cuộn dây, độ dài của cái bàn,… dùng để đo độ dài của các vật cụ thể.

Ví dụ:

- Một chiếc thƣớc kẻ dài 20 cm thì 20 là độ dài, cm là đơn vị dùng để đo. - Quãng đƣờng từ điểm A đến điểm B là 1 km thì 1 là độ dài còn km là đơn vị đo độ dài.

Ở lớp 3 học sinh đƣợc học các đơn vị đo độ dài đƣợc hệ thống qua bảng sau: Lớn hơn mét Mét Nhỏ hơn mét km hm dam m dm cm mm 1 km = 10 hm =1000 m 1 hm = 10dam = 100 m 1 dam = 10 m 1 m = 10 dm =100 cm =1000mm 1 dm = 10 cm =100mm 1 cm = 10mm 1 mm

Trong toán học cơ sở ở đại học thì hệ cơ số g10 hay còn gọi là hệ thập phân. Phép đếm này ta gặp trong phép đo khối lƣợng : 1 km = 10 hm, 1 km = 1000 mm,… trong hệ thập phân cứ 10 đơn vị của hàng sau có giá trị