Phát triển tư duy Toán học cho học sinh lớp 9 ở trường TH&THCS Đông Anh thông qua các bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các dạng bài toán áp dụng hệ thức Vi-ét trong môn Toán 9. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 1.4.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu: - Đọc SGK Toán 9 và tài liệu liên quan, chọn ra các bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét phù hợp với HS lớp 9, sắp xếp thành 8 dạng toán sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. Dạng 3: Lập phương trình bậc hai. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình. Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm. Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. 1.4.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Tìm hiểu thực trạng học Toán nói chung và học hệ thức Vi-ét nói riêng của học sinh khối 9 trường TH&THCS Đông Anh. - Làm phiếu điều tra đến tất cả HS khối 9 trường TH&THCS Đông Anh về mức độ yêu thích bộ môn Toán, suy nghĩ của HS làm thế nào để phát triển tư duy Toán học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng. 1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực hiện giảng dạy ở khối 9 trường TH&THCS Đông Anh các dạng toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét đã sắp xếp trong các tiết học Tự chọn Toán hàng tuần. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận. Theo Điều 29 của Luật giáo dục phổ thông ngày 14/6/2019, mục tiêu của giáo dục phổ thông là: Nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Giáo dục THCS nhằm củng cố và phát triển kết quả của giáo dục TH; đảm bảo cho học sinh có học vấn phổ thông nền tảng, hiểu biết cần thiết tối thiểu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học THPT hoặc chương trình giáo dục nghề nghiệp. Trong chương trình môn Toán lớp 9 hiện nay, nội dung kiến thức về “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” được dạy trong 2 tiết, cụ thể như sau: + 1 tiết lý thuyết: Học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng. + 1 tiết luyện tập: Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt, tư duy Toán chưa tốt, vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này để phát triển tư duy Toán học nói chung và học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 2.2.1. Thuận lợi: - Bản thân đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn thi tuyển vào lớp 10 liên tục nhiều năm. - Nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong giảng dạy nội dung hệ thức Vi-ét. - Đa số học sinh chăm ngoan nhưng chưa có tư duy Toán tốt, kỹ năng vận dụng kiến thức được học vào làm bài tập chưa tốt. - Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức đã được học trong SGK. 2.2.2. Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét. - Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp, do đó các em ít được chú trọng học thêm để nâng cao kiến thức. - Một bộ phận nhỏ giáo viên ngại đầu tư bổ sung kiến thức nâng cao cho học sinh, luôn luôn mang suy nghĩ “Học sinh nông thôn không chịu học”. 2.2.3. Thực trạng của giáo viên và học sinh trường TH&THCS Đông Anh. - Đa số học sinh của trường là con em nông thôn, điều kiện kinh tế còn khó khăn nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao, ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không có nhiều thời gian để tự học. - Sự quan tâm đến con cái của phụ huynh còn hạn chế. Ý thức học tập của một số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học sinh còn yếu, vì thế hầu hết các em sợ học môn Toán, đặc biệt trong chương trình Toán 9 học sinh làm chưa tốt bài tập vận dụng Hệ thức Vi-ét. - Số học sinh tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế, số lượng cũng như chất lượng đại trà môn Toán chưa cao. - Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ ở cuối năm, trong kỳ thi vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 có 90% học sinh lớp 9 của nhà trường đỗ vào lớp 10 các trường công lập trong huyện, tỉnh. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 2.3.1. Tìm hiểu thực tế chương trình đang giảng dạy và ý kiến của học sinh: - Tổng thời lượng dạy về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: 02 tiết (01 tiết dạy lý thuyết và 01 tiết làm bài tập) - Làm phiếu thăm dò ý kiến của học sinh. Câu hỏi Nội dung câu hỏi Trả lời Có Không 1 Em có thích học Hệ thức Vi-ét không? 2 Em có muốn được tìm hiểu kỹ hơn về Hệ thức Vi-ét bằng cách tăng cường số tiết học không? 2.3.2. Dạy lí thuyết cơ bản trong SGK để học sinh nắm được định lý Vi-ét: Nội dung: * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm : . - Ta có: - Nếu đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Vậy: và . * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 = . * Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 - 4P 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0. 2.3.3. Soạn ra các dạng toán cần sử dụng hệ thức Vi-ét để giải: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn . Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. Dạng 3: Lập phương trình bậc hai. Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm của phương trình. Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm. Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. 2.3.4. Thực hành dạy học trên lớp: Với mỗi dạng bài tập đã soạn, khi lên lớp tôi thực hiện tuần tự theo các bước sau: Bước 1: Hệ thống những kiến thức cơ bản cần nhớ. Bước 2: Lấy ví dụ minh họa.
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Mơn Tốn bậc THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triển kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc TH, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên bậc học cao hơn, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi kiến thức định Tốn học Tuy nhiên, tình trạng học sinh học yếu mơn Tốn cấp THCS thực tế đáng lo ngại nỗi băn khoăn trăn trở nhiều giáo viên dạy Tốn, tình trạng cịn có xu hướng nhiều học sinh địa bàn vùng nông thôn Là giáo viên, mong muốn học sinh học giỏi, làm nào, dạy để học sinh lĩnh hội nhiều tri thức vận dụng tri thức vào q trình học tập khơng phải người giáo viên làm Muốn cho học sinh học Tốn nói riêng tất mơn học khác nói chung tiếp thu tốt kiến thức người giáo viên phải khéo léo dạy cho học sinh cách tư vấn đề Khả tư khơng đích cần đạt mà cịn phương tiện giúp học sinh học tốt mơn Tốn Tuy nhiên, sách lại khơng có học dạy học sinh “tư vấn đề” cả, người thầy phải biết xâu chuỗi kiến thức, biết hệ thống hóa kiến thức, biết suy luận cách chặt chẽ hợp lý để hình thành cho học sinh cách tư duy, suy luận gặp toán, vấn đề học tập Nhận thức vai trò tư hiệu học tập mơn Tốn học sinh, q trình dạy học mơn Tốn tơi ln để ý đến phát triển khả tư cho em so sánh cách làm khác giáo viên tác động đến khả Khi học sinh có tư Tốn học chặt chẽ mơi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ cho em môn học khác, lĩnh vực khác Trong đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏi lớp thường xuất tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét, nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, tập chưa đa dang Đa số học sinh lúng túng không giải dạng tốn chương trình học có tiết, nhà em khơng biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Làm để nâng cao chất lượng mơn Tốn cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải toán liên quan, làm để giúp em phát triển tư Toán học, tự tin kỳ thi Đó lý tơi chọn đề tài “Phát triển tư Tốn học cho học sinh lớp trường TH&THCS Đông Anh thông qua tập áp dụng hệ thức Vi-ét” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đánh giá thực trạng chương trình mơn Tốn nội dung hệ thức Vi-ét, thực trạng học sinh tiếp thu kiến thức hệ thức Vi-ét - Bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét, phát triển tư Toán học cho em học sinh lớp trường TH&THCS Đông Anh, từ em làm tốt tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét kỳ thi - Kích thích, giúp em biết cách tìm kiếm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét mà dạng toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu dạng tốn áp dụng hệ thức Vi-ét mơn Toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu: - Đọc SGK Toán tài liệu liên quan, chọn tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét phù hợp với HS lớp 9, xếp thành dạng toán sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 3: Lập phương trình bậc hai Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 1.4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Tìm hiểu thực trạng học Tốn nói chung học hệ thức Vi-ét nói riêng học sinh khối trường TH&THCS Đông Anh - Làm phiếu điều tra đến tất HS khối trường TH&THCS Đơng Anh mức độ u thích mơn Tốn, suy nghĩ HS làm để phát triển tư Tốn học nói chung học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực giảng dạy khối trường TH&THCS Đơng Anh dạng tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét xếp tiết học Tự chọn Toán hàng tuần 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Theo Điều 29 Luật giáo dục phổ thông ngày 14/6/2019, mục tiêu giáo dục phổ thơng là: Nhằm phát triển tồn diện cho người học đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo; hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp tham gia lao động, xây dựng bảo vệ Tổ quốc Giáo dục THCS nhằm củng cố phát triển kết giáo dục TH; đảm bảo cho học sinh có học vấn phổ thơng tảng, hiểu biết cần thiết tối thiểu kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học THPT chương trình giáo dục nghề nghiệp Trong chương trình mơn Toán lớp nay, nội dung kiến thức “Hệ thức Vi-ét ứng dụng” dạy tiết, cụ thể sau: + tiết lý thuyết: Học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng + tiết luyện tập: Học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt, tư Tốn chưa tốt, giáo viên trực tiếp giảng dạy cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần để phát triển tư Tốn học nói chung học tốt hệ thức Vi-ét nói riêng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: - Bản thân trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối 9, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn thi tuyển vào lớp 10 liên tục nhiều năm - Nhận nhiều ý kiến đóng góp đồng nghiệp giảng dạy nội dung hệ thức Vi-ét - Đa số học sinh chăm ngoan chưa có tư Tốn tốt, kỹ vận dụng kiến thức học vào làm tập chưa tốt - Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức học SGK 2.2.2 Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần cịn hạn chế, cụ thể chương trình lớp có tiết (1 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét - Hầu hết số học sinh trường học sinh vùng q, bố mẹ làm nơng nghiệp, em trọng học thêm để nâng cao kiến thức - Một phận nhỏ giáo viên ngại đầu tư bổ sung kiến thức nâng cao cho học sinh, luôn mang suy nghĩ “Học sinh nông thôn không chịu học” 2.2.3 Thực trạng giáo viên học sinh trường TH&THCS Đông Anh - Đa số học sinh trường em nông thôn, điều kiện kinh tế cịn khó khăn nên việc đầu tư vật chất thời gian cho học tập chưa cao, ngồi đến lớp em cịn phải giúp đỡ bố mẹ cơng việc gia đình, khơng có nhiều thời gian để tự học - Sự quan tâm đến phụ huynh hạn chế Ý thức học tập số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập học sinh cịn yếu, hầu hết em sợ học mơn Tốn, đặc biệt chương trình Tốn học sinh làm chưa tốt tập vận dụng Hệ thức Vi-ét - Số học sinh tự học thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn cịn hạn chế, số lượng chất lượng đại trà mơn Tốn chưa cao - Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhờ học sinh có nhiều tiến cuối năm, kỳ thi vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 có 90% học sinh lớp nhà trường đỗ vào lớp 10 trường công lập huyện, tỉnh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Tìm hiểu thực tế chương trình giảng dạy ý kiến học sinh: - Tổng thời lượng dạy hệ thức Vi-ét ứng dụng: 02 tiết (01 tiết dạy lý thuyết 01 tiết làm tập) - Làm phiếu thăm dò ý kiến học sinh Trả lời Câu hỏi Nội dung câu hỏi Có Khơng Em có thích học Hệ thức Vi-ét khơng? Em có muốn tìm hiểu kỹ Hệ thức Vi-ét cách tăng cường số tiết học không? 2.3.2 Dạy lí thuyết SGK để học sinh nắm định lý Vi-ét: Nội dung: * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm : - Ta có: x1 b b ; x2 2a 2a x1 x2 x1 x2 b b 2b b 2a 2a 2a a b b b 4a 2 b b 4ac 4ac c 4a 4a 4a a - Nếu đặt S P tổng tích hai nghiệm phương trình c b P x1.x2 S x1 x2 a a Vậy: * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương c trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a * Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương c trình có nghiệm x1 = -1, cịn nghiệm x2 = a * Nếu hai số có tổng S tích P S2 - 4P hai số hai nghiệm phương trình x2 - Sx + P = 2.3.3 Soạn dạng toán cần sử dụng hệ thức Vi-ét để giải: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 3: Lập phương trình bậc hai Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 2.3.4 Thực hành dạy học lớp: Với dạng tập soạn, lên lớp thực theo bước sau: Bước 1: Hệ thống kiến thức cần nhớ Bước 2: Lấy ví dụ minh họa Bước 3: Bài tập áp dụng có hướng dẫn đáp án để học sinh tự giải Bước 4: Bài tập nâng cao có hướng dẫn đáp án để học sinh tự giải Cụ thể dạy dạng sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Kiến thức cần nhớ: a Chỉ thực nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp có nghiệm ngun nghiệm ngun cịn nghiệm hữu tỉ b Để thực nhẩm nghiệm (nếu có thể) phương trình x + bx + c = 0, ta làm sau: x1 x2 b x1.x2 c Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho nghiệm x1 x2: Bước 2: Thực phép phân tích c thành tích hai thừa số, c = m.n Với cặp thừa số phân tích được, ta tính m + n, đó: + Nếu m + n = -b, chuyển sang bước + Nếu m + n -b, thực lại bước Bước 3: Kết luận phương trình có hai nghiệm x1 = m x2 = n c Chú ý: + Chú ý 1: Thuật tốn có tính “Dừng” hiểu là: - Nếu tìm cặp (m; n) thỏa mãn điều kiện m + n = -b dừng lại phép thử đưa kết luận - Nếu cặp (m; n) khơng thỏa mãn dừng trường hợp hiểu không nhẩm nghiệm + Chú ý Hai trường hợp đặc biệt phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) c - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = x2 = a c - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1 x2 = a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a x2 - 7x + 10 = b x2 - 2x + = c 3x2 + 7x + = d 5x2 + 4x - = Giải x1 x2 x x 10 2.5 a Theo Vi-ét ta có mà + = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = x2 = b Viết lại phương trình dạng: x2 - 8x + 12 = x1 x2 x x 12 2.6 Theo Vi-ét ta có mà + = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = x2 = c Phương trình có hệ số a = 3; b = 7; c = Ta thấy a - b + c = - + = c 4 Nên phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = a = d Phương trình có hệ số a = 5; b = 4; c = -9 Ta thấy a + b + c = + + (-9) = c 9 Nên phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = a = Bài tập áp dụng: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: a x2 + 4x – 12 = (Đáp số x1 = 2, x2 = -6) b 3x2 + 3x - 18 = (Đáp số x1 = 2, x2 = -3) 51 c 2x2 - 49x - 51 = (Đáp số x1 = -1, x2 = ) 2039 d 2020x2 + 19x - 2039 = (Đáp số x1 = 1; x2 = 2020 Nâng cao: Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình 4.1 Ví dụ: Phương trình x2 - 2px + = có nghiệm x = 2, tìm p nghiệm Giải Phương trình cho có: a = 1; b = -2p; c = Ta thay x1 = vào phương trình x2 - 2px + = 0, ta được: 22 - 2.p.2 + = Hay - 4p + = p 5 c x a 1 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 = = = 5, suy ra: x2 = 4.2 Vận dụng: a Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm b Phương trình x2 - 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình c Tìm q hai nghiệm phương trình: x – qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Hướng dẫn: a Xác định hệ số a, b, c phương trình Ta thay x1 = vào phương trình x2 + 5x + q = tìm q = -50 50 50 c 50 10 x a 1 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = = = -50, suy ra: x2 = b Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x - x2 =11 theo hệ thức Viét: x1 + x2 = ta có hệ phương trình sau: x1 x2 11 x1 x1 x2 x2 2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 c Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Viét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: x1 x2 x x2 50 x2 ( 5)2 x1.x2 50 x2 5 + Với x2 = x1 = 10 suy ra: S = q = 15 + Với x2 = -5 x1 = -10 suy ra: S = q = -15 Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng Kiến thức cần nhớ: u v S - Nếu hai số u v thỏa mãn: u.v P S2 - 4P ≥ u, v nghiệm phương trình x2 - Sx + P = - Nếu phương trình x2 - Sx + P = (đk: S - 4P ≥ 0) có hai nghiệm x 1, x2 ta u x1 ; v x2 u x2 ; v x1 Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải Vì hai số a, b có S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x - = Giải phương trình ta x1 = x2 = - 4, có cặp số (a; b) thỏa mãn đề bài: Nếu a = b = - Nếu a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a S = P = (Đáp số a = b = a = b = 2) b S = -3 P = (Khơng có hai số a, b thỏa mãn) c S = P = 20 (Đáp số a = b = a = b = 4) Nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a a + b = a2 + b2 = 41 b a - b = a.b = 36 c a2 + b2 = 61 a.b = 30 Hướng dẫn: a Theo đề ta biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b a b a b 81 a 2ab b 81 ab Từ 2 81 a b 2 20 x x x 20 x2 Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: Do đó: Nếu a = b = a = b = b Theo đề ta biết tích ab = 36,vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét cần biết tổng a b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36 x1 4 x x 36 x2 Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 a = c = - nên b = a b Cách 2: Từ a b 4ab a b a b 4ab 169 2 a b 13 a b (13)2 a b 13 * Nếu a + b = -13 ab = 36, a b nghiệm phương trình: x 4 x 13 x 36 x2 9 Vậy a = - b = - (vì a - b = 5) * Nếu a + b = 13 ab = 36, a b nghiệm phương trình: x x 13x 36 x2 Vậy a = b = (vì a - b = 5) c Đã biết ab = 30, cần tìm a + b Từ giả thiết ta có: a b 11 a b 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 (11) a b 11 * Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x 5 x 11x 30 x2 6 Vậy a = - b = - a = - b = - * Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình: x1 x 11x 30 x2 Vậy a = b = a = b = 4.2 Giải hệ phương trình: x y 12 xy 4 a x y ( x y )( x y ) 280 b Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) x y x y 2 a Biến đổi phương trình thứ thành (x + y)2 = Xét trường hợp tổng x + y, kết hợp với điều kiện tích xy để suy x, y nghiệm phương trình bậc hai Kết quả: Hệ phương trình có cặp nghiệm (x; y): (1 5;1 5);(1 5;1 5);( 1 5; 1 5);( 1 5; 1 5) b Biến đổi phương trình thứ hai ta (16 - 2xy)(64 - 12xy) = 280 xy xy 31 3(xy)2 - 40xy + 93 = Xét trường hợp tích xy, kết hợp với điều kiện tổng x + y để suy x, y nghiệm phương trình bậc hai Kết quả: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm (x; y) (1; 3) (3; 1) Dạng 3: Lập phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: - Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = b x1 x2 a x x c a (a 0) thì: u v S - Nếu hai số u v thỏa mãn: u.v P S2 - 4P ≥ u, v nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Ví dụ: Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Cho x1 = 3; x2 = Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải Vì phương trình bậc hai có nghiệm x1 = 3và x2 = S x1 x2 P x1.x2 Theo hệ thức Viét, ta có: Vậy x1; x2 nghiệm phương trình: x2 - Sx + P = x2 - 5x + = Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Cho phương trình x2 - 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y1 x2 y2 x1 x1 x2 Giải Vì phương trình bậc hai ẩn y cần lập có nghiệm y1 x2 1 y2 x1 x1 x2 10 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: S y1 y2 x2 1 1 1 x x x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 1 P y1 y2 x2 x1 11 x1.x2 x1 x2 x1 x2 2 y Sy P Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 9 y y2 y 2 hay Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm: a x1 = x2 = - (Đáp án x2 - 5x - 24 = 0) b x1 = 3a x2 = a (Đáp số x2 - 4ax + 3a2 = 0) c x1 = 36 x2 = -104 (Đáp số x2 + 68x - 3744 = 0) d x1 = + x2 = - (Đáp số x2 - 2x - = 0) Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y1 x1 y2 x2 y2 y y2 y x2 x1 (Đáp số: ) Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 x14 y2 x2 (Đáp số: y 727 y ) Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x - 7x + = Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1 - x2 2x2 - x1 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn năm học 2010 - 2011) (Đáp số y2 - 7y - 71 = 0) Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a y1 x1 y2 x2 x12 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 (Đáp số: y y m ) 2 y x2 b y1 x1 (Đáp số: y y (4m 3) ) Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Kiến thức cần nhớ: Biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức 11 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x14 x2 x12 x2 2 2 x12 x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x12 x2 1 x1 x2 x x2 x1 x2 x x x12 x1 x2 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 4x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x14 x2 x12 x2 x12 x2 x x x16 x2 x12 3 2 x2 x x12 x22 x2 10 Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, khơng giải phương trình, tính: a x1 x2 1 x b x2 Giải S x1 x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: P x1.x2 15 a x12 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 82 2.15 34 1 x1 x2 x x x x 15 2 b Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, khơng giải phương trình, tính: x a x2 x1 x2 b x2 x1 (Đáp án: 46) 34 (Đáp án: 15 ) Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, khơng giải phương trình, tính: 2 a x1 x2 (Đáp án: 65) 1 x x2 b (Đáp án: ) 12 Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, khơng giải phương trình, tính: 2 a x1 x2 (Đáp án: 138) 1 x x2 b 14 (Đáp án: 29 ) Cho phương trình: 2x2 - 3x + = 0, không giải phương trình, tính: 2 a x1 x2 (Đáp án: 1) x1 x b x2 x1 (Đáp án: ) 1 x x2 c (Đáp án: 3) x1 x2 x x2 d (Đáp án: 1) Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x1, x2, không giải phương x12 10 x1 x2 x2 Q x1 x23 x13 x2 trình, tính: Hướng dẫn: 2 2.8 x1 x2 x1 x2 x12 10 x1 x2 x2 17 Q 2 x1 x23 x13 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 2.8 80 Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số Kiến thức cần nhớ: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x x2 (thường a ≠ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: (m - 1)x - 2mx + m - = có nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m m m m m ' 5m m m 1 m 13 2m S x x S x x (1) 2 m 1 m 1 P x x m P x x (2) 2 m 1 m 1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 2 x1 x2 m (3) m x x 2 Rút m từ (1), ta có: 3 x1 x2 m (4) m 1 x1 x2 Từ (3) (4), ta có: Rút m từ (2), ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x - 2mx + m - = Chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m a m m m m m 1 m ' 5m 2m S x x m 1 P x x m m Thay vào biểu thức A, ta có: Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: A = 3(x1 + x2 ) + x1x2 - 2m m4 6m 2m 8( m 1) 8 0 m 1 m 1 m 1 A = m 1 m Vậy A = với m Do biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x2 - (m + 2)x + (2m - 1) = có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) = có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Hướng dẫn: 14 Tính ta được: = (m - 2)2 + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 x1 x2 x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được: độc lập m Tính ta được: = 16m2 + 33 > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 x x x1 x2 17 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được: không phụ thuộc giá trị m Dạng 6: Tìm giá trị tham số phương trình để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện Kiến thức cần nhớ: Yêu cầu thường là: “Tìm điều kiện để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện K” “Chứng minh nghiệm phương trình thỏa mãn hệ thức cho trước” Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình cho có nghiệm x x2 (thường a ≠ ≥ 0) Bước 2: Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình x1 x2 f (m) x x g ( m ) (có ẩn tham số), thường Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số Bước để xác định giá trị cần tìm Bước 4: Kết luận Ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = Tìm giá trị tham x x2 x1 x2 số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: Giải Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m m a 2 ' ' m 2m 1 9m 27m ' 3 m 1 m 3 m m m ' m 1 m 1 6(m 1) S x x m P x x 9(m 3) x x x1 x2 m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Vì (giả thiết) 15 6(m 1) 9( m 3) 6(m 1) 9( m 3) 3m 21 m m m Nên (thỏa mãn) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham 3x x x x số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: Giải Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 [ 2m 1 ]2 m2 4m 4m m2 m m S x1 x2 2m P x1.x2 m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x x1 x2 Vì (giả thiết) m m 2m 1 m Nên Đối chiếu với điều kiện, ta thấy m = thỏa mãn Vậy với m = phương trình x x x1 x2 có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: Bài tập áp dụng: Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 Cho phương trình: x2 + 2mx + = a Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 b Tìm m cho x14 + x24 = 32 2 x1 x2 47 x x c Tìm m cho Lưu ý: Trong tập trên, biểu thức nghiệm không cho sẵn tổng nghiệm x1 x2 tích nghiệm x1 x2 , cần phải biến đổi biểu thức cho biểu x1 x2 x1 x2 thức có chứa tổng nghiệm tích nghiệm tự cách làm trình bày làm Hướng dẫn: 16 m 0; m 15 ĐKXĐ: từ vận dụng tương 16 2 m S x1 x2 m 1 m P x x m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Theo đề ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 3x2 x1 x2 x2 x1 x2 3x1 x1 x2 3x2 x1 x2 x1 x2 x x 3x1 Suy ra: Thế (1) vào (2) ta phương trình: m2 + 127m - 128 = m1 = 1; m2 = -128 ' m2 m 2 a x1 x2 2m xx 4 Khi đó, hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn b Biến đổi được: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4m2 - x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12 x22 = (4m2 - 8)2 - 32 m 2 Do đó: x14 + x24 = 32 (4m2 – 8)2 - 32 = 32 (4m2 - 8)2 = 64 m Đối chiếu với điều kiện m = thỏa mãn đề 2 x1 x2 (4m 8)2 32 47 47 x2 x1 16 c Ta có , giải m = Đối chiếu với điều kiện m = thỏa mãn đề Dạng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 r Điều kiện chung m Trái dấu P0 r 0 r 0; P > Cùng dương + + S > P>0 r 0 r 0; P > 0; S > Cùng âm - S0 r 0 r 0; P > 0; S < Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x - (3m + 1)x + m2 - m - = có nghiệm trái dấu Giải Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: 17 [ 3m 1 ]2 4.2 m m m 0m 2 m m2 m P m m P 0 P Vậy với 2 m phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: Cho phương trình: mx2 - 8x + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm Khi đó, tùy theo m dấu hai nghiệm phương trình Cho phương trình x2 - 2(m + 7)x + m2 - = Xác định m để phương trình: a Có hai nghiệm trái dấu b Có hai nghiệm dấu Cho phương trình (m - 1)x2 + 2mx + m + = Xác định m để phương trình: a Có hai nghiệm âm phân biệt b Có hai nghiệm đối Hướng dẫn giải Điều kiện: a ' m 16 Khi đó, hai nghiệm x1 x2 thỏa x x m x x 1 m mãn: + Nếu m > 0, phương trình có hai nghiệm dương + Nếu m < 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm a Điều kiện P < m2 m 53 14m 53 m 2 ' 14 P m m b Điều kiện m a m (m 1)(m 1) ' m 1 m 1 P m 1 S 2m 0 m a Điều kiện 18 m 1 m P m0 S m 0 m b Điều kiện Dạng 8: Tìm giá lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức chứa nghiệm Kiến thức cần nhớ: Để tìm GTLN, GTNN biểu thức, ta sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Cosi, Buinhiacopxki, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối - Phương pháp đổi biến … Trong giới hạn đề tài này, giới thiệu cho học sinh sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu để tìm GTLN, GTNN, cụ thể sau: * * Nếu biến đổi biểu thức y = f(x) dạng y = g(x) 2n + a (với n N a số) Khi ta có y a, suy giá trị nhỏ y = a (GTNN y = a hay y = a) g(x) = * Nếu biến đổi biểu thức y = f(x) dạng y = - [h(x)]2n + b * (với n N b số) Khi ta có y b, suy giá trị lớn y = b (GTLN y = b hay max y = b) h(x) = Ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = Gọi x x2 nghiệm 2 phương trình Tìm m để A = x1 x2 x1 x2 có giá trị nhỏ Giải S x1 x2 2m 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: P x1.x2 m Theo đề ta có: 2 A = x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m 1 8m 4m 12m 2m 3 8 A 8 2m m Suy ra: 2 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biều thức sau: 19 B x1 x2 x x2 x1 x2 1 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: B Giải S x1 x2 m P x1.x2 m m 1 2m x1 x2 x1 x2 2 x x2 x1 x2 1 x1 x2 m2 m 2 2 Theo đề ta có: Cách 1: Biến đổi B cách thêm, bớt sau: B m m 2m 1 m2 m 1 1 m m 1 m 1 0 m2 B 1 Vậy maxB = m = Với cách thêm, bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 2 B 2 m 2 m 2 m2 2 m 2 0 m 2 2 m 2 0 B B m 2 Vì Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m B Bm2 2m B m 2 (với ẩn m B tham số) (*) B B 1 B B Ta có: Để phương trình (*) ln có nghiệm với m ≥ Hay B B B B B 1 B 1 2 B B 1 2 B B B B B 1 B B B m 2 Vậy: max B 1 m ; Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x2 + (2m -1)x - m = 20 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để biểu thức A = x12 + x22 - x1.x2 có giá trị nhỏ Cho phương trình bậc hai: x2 - mx + m - = có hai nghiệm x 1, x2 Với giá x1 x2 trị m, biểu thức R = x x2 2(1 x1 x2 ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Cho phương trình bậc hai: x2 - mx + m - = có hai nghiệm x1, x2 3x12 3x22 2 x x x x 2 a Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: M = 2 b Tìm giá trị m để P = x1 + x2 đạt GTNN Hướng dẫn giải: a Tính = 4m2 + > với m x1 x2 2m x x m b Theo hệ thức Vi-ét ta có: 2 15 15 2m 16 16 A = x12 + x22 - x1.x2 = (x1 + x2)2 - 3x1x2 = 4m2 - m + = 15 m 16 Vậy GTNN Theo Vi-ét: x1 + x2 = m x1.x2 = m - x1 x2 x1 x2 2 x x 2(1 x x ) ( x x ) 2 2 R= = A 2m (m 2) (m 2m 1) (m 1) 1 2 m m m 2 = Suy ra, GTLN R = m = a Theo định lý Vi-ét: x1 + x2 = m x1.x2 = m - x12 x22 3( x1 x2 ) x1 x2 3m 6(m 1) 2 x x ( x x ) m(m 1) x x x x 2 2 M= = (m 0; 1) 2 b P = (x1 + x2) - 2x1x2 = m - 2(m - 1) = (m - 1) + Min P = m = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy tiết học tự chọn Toán cho HS khối trường TH&THCS Đông Anh, kết khảo sát trước sau học chuyên đề Hệ thức Vi-ét 60 học sinh khối sau: Câ Nội dung Kết thống kê Trước dạy Sau dạy 2 21 u hỏi Em có muốn học giỏi khơng ? Em có thích đọc sách tham khảo mơn Tốn khơng ? Em có thích học tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khơng? Em nêu kiến thức cần ghi nhớ “Hệ thức Vi-ét ứng dụng” nhẩm nghiệm phương trình sau: a x2 - x - 12 = b 2019x2 + 2020x - 4039 = Xác định m để phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m + = Có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12 + x22 = chuyên đề Số Tỉ lệ lượng % 60 100% chuyên đề Số Tỉ lệ lượng % 60 100% 15 25% 40 67% 15 25% 40 67% 15 25% 30 50% 12% 25 42% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Tư có vai trị quan trọng đời sống học tập (Tạp trí Giáo dục số 421 - 1/2018 trang 26) Tư Toán học tạo điều kiện ban đầu, thuận lợi cho loại hình tư cao hơn, q trình giảng dạy mơn Tốn, người thầy cần xây dựng hệ thống tập, phân loại tập để phát triển tư cho học sinh theo định hướng rõ ràng, vai trò người thầy cần thể rõ ràng, cụ thể là: * Các định hướng xây dựng, phân loại tập: - Hệ thống tập cần xây dựng cho kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển kiến thức, kĩ nhằm đạt mục tiêu dạy học, có mục tiêu phát triển tư - Hệ thống tập phải đảm bảo tính hệ thống, kế thừa - Hệ thống tập cần xây dựng cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh với khả học tập khác mơn Tốn, có tính đến phức tạp trình tư logic tập * Vai trò người thầy trình giảng dạy: - Xây dựng hệ thống câu hỏi gợi mở để kích thích tư Tốn học sinh 22 - Nâng cao ý thức giáo viên việc rèn luyện phát triển tư Toán hoc cho học sinh - Khi lên lớp phải chuẩn bị chu đáo, giải kỹ tập nhà, xem kỹ trường hợp xảy Để từ tìm thuật Tốn đơn giản nhất, giúp học sinh bước nắm kiến thức có hứng thú giải Tốn - Dạy từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp dựa chuẩn kiến thức, không cần phải bổ sung, nâng cao học sinh yếu kém; cần giúp học sinh nắm kiến thức bản, trọng tâm - Không chủ quan kiến thức dạy, không xem học sinh biết rồi, mà phải tranh thủ thời gian để ôn tập lại kiến thức cũ giảng luyện tập Đối với giáo viên, lực sư phạm không đơn giỏi giảng dạy, tổ chức lớp học có kỷ cương nếp mà cịn phải xây dựng tình cảm gắn bó thầy trò, gây thiện cảm, tạo hứng thú, phát huy tiềm học sinh áp đặt ý muốn chủ quan thầy Khi tìm phương pháp giáo dục phù hợp, với trách nhiệm lương tâm giáo viên tìm đường tới niềm vui giáo dục học sinh yếu Toán, nâng cao kỹ tư Toán học học sinh khối nói riêng học sinh học Tốn nói chung Là giáo viên đến với học sinh với tất lòng, trái tim người thầy chắn thành công 3.2 Kiến nghị: a Nhà trường: - Cần có chương trình dạy mở rộng nâng cao kiến thức mơn Tốn nói riêng mơn học khác nói chung cho học sinh khá, giỏi khối lớp 6; 7; dạy khóa, buổi học thêm … giáo viên - Mỗi giáo viên dạy lớp cần tư vấn, hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham khảo mơn Tốn nói riêng mơn học khác nói chung cho phù hợp với lực học sinh - Bên cạnh hệ thống tài liệu thư viện, trường nên mua bổ sung kịp thời tài liệu nâng cao để giúp giáo viên cập nhật nội dung mang tính thời để đưa vào giảng dạy b Phịng giáo dục cấp: - Tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn cho GV nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy, tìm phương pháp tốt để phát triển tư mơn Tốn cho HS, qua GV có hội trao đổi kinh nghiệm giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn nói riêng tất mơn học khác nói chung - Tổ chức giao lưu học tập kinh nghiệm với trường THCS tỉnh có chất lượng cao như: THCS Nhữ Bá Sỹ huyện Hoằng Hóa, THCS Nguyên Du huyện Quảng Xương hay THCS Lê Đình Kiên huyện Yên Định… 23 Toán học coi "Mơn thể thao trí tuệ, giúp nhiều việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải vấn đề, giúp rèn luyện trí thơng minh sáng tạo" (Phạm Văn Đồng) Tôi mong đề tài “Phát triển tư Toán học cho học sinh lớp trường TH&THCS Đông Anh thông qua tập áp dụng hệ thức Vi-ét” góp phần giúp em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán liên quan đến phương trình bậc hai để em thêm tự tin kỳ thi Chắc hẳn đề tài tơi cịn thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp./ Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2020 XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Huy Trọng PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP Ở TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG HỆ THỨC VIÉT MỤC LỤC MỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 NỘI DUNG TRANG Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị Kết luận 24 3.1 Kiến nghị CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG BÀI VIẾT TT 10 CỤM TỪ VIẾT TẮT HSG TH THCS THPT HS PH PHHS GV SGK SKKN NỘI DUNG Học sinh giỏi Tiểu học Trung học sở Trung học phổ thông Học sinh Phụ huynh Phụ huynh học sinh Giáo viên Sách giáo khoa Sáng kiến kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập tốn hay khó Đại số (NXCB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh - Tác giả Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Toán - Tập Sách giáo viên Toán - Tập Sách tập Toán - Tập Để học tốt Toán - Tập (NXB Hà Nội - Tác giả Lê Hồng Đức - Đào Thiện Hải - Lê Thị Bích Ngọc - Lê Hữu Trí) Nâng cao phát triển Toán 8, tác giả Vũ Hữu Bình Các đề thi học sinh giỏi cấp đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm tỉnh Thanh Hóa Tài liệu ơn thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thanh Hóa Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn tốn NXB Giáo dục Việt Nam 10 Tạp trí Giáo dục 25 ... = - (Đáp án x2 - 5x - 24 = 0) b x1 = 3a x2 = a (Đáp số x2 - 4ax + 3a2 = 0) c x1 = 36 x2 = -1 04 (Đáp số x2 + 68x - 3744 = 0) d x1 = + x2 = - (Đáp số x2 - 2x - = 0) Cho phương trình 3x2 + 5x -. .. Hoàng Khanh - Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Toán - Tập Sách giáo viên Toán - Tập Sách tập Toán - Tập Để học tốt Toán - Tập (NXB Hà Nội - Tác giả Lê Hồng Đức - Đào Thiện Hải - Lê Thị Bích Ngọc - Lê... cứu thực tiễn: - Tìm hiểu thực trạng học Tốn nói chung học hệ thức Vi-ét nói riêng học sinh khối trường TH&THCS Đông Anh - Làm phiếu điều tra đến tất HS khối trường TH&THCS Đông Anh mức độ u thích