(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh phương pháp tìm max min số phức bằng phương pháp hình học

MỤC LỤC 1.1 Lí chọn đề tài ……………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề……………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với 3 3 10 10 thân, đồng nghiệp nhà trường………………………………………………… 3.1 Kết luận………………………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………… 20 21 22 23 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Những năm trở trước, số phức nội dung khơng khó chiếm tỉ lệ nhỏ đề thi THPT quốc gia Kể từ mơn Tốn thi trắc nghiệm, số phức lại nội dung khai thác nhiều trải mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Trong đó, tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN) giá trị lớn (GTLN) môđun số phức thường khai thác mức độ vận dụng thấp đến mức độ vận dụng cao Thông thường, toán giải theo phương pháp đại số, mà chủ yếu dùng bất đẳng thức thường đánh giá theo cách khác Cách làm địi hỏi học sinh phải có tư sáng tạo cao vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức phần bất đẳng thức Đối với học sinh có học lực trung bình trở xuống, mảng kiến thức thách thức Chính vậy, q trình giảng dạy, tơi nhận thấy đa số học sinh thường có xu hướng bỏ qua tập liên quan đến GTLN, GTNN môđun số phức đề thi Tuy nhiên, cách chuyển toán cực trị số phức sang toán cực trị hình học nhiều giải đơn giản, hiệu vận dụng cho nhiều tập khác Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tốn cực trị số phức song đưa phương pháp đại số để giải có đề cập đến phương pháp hình học rời rạc, khơng hệ thống Do đó, học sinh lúng túng vận dụng, cách chuyển toán cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Để học sinh khơng thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi giải tốn này, tơi lựa chọn nghiên cứu triển khai thực đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán cực trị số phức phương pháp hình học” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa cho học sinh phương pháp đơn giản hiệu để giải toán cực trị số phức mà đa số học sinh tiếp thu vận dụng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài toán cực trị số phức cách giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để làm tốn cực trị số phức, ngồi kiến thức số phức, học sinh cần trang bị thêm số kiến thức sau mô đun số phức cực trị hình học: 2.1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ  Môđun số phức: Số phức Oxy Độ dài véctơ uuuu r OM z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng z = a + bi = a + b gọi mơđun số phức z Kí hiệu  Tính chất uuuu r z = a + b = zz = OM z.z ' = z z ' ; z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = z z = , ( z ' ≠ 0) z' z' ; ; z − z' ≤ z± z' ≤ z + z' ; kz = k z , k ∈ ¡ 2 z = a − b + 2abi = (a − b ) + 4a 2b = a + b = z = z = z.z  Chú ý: Lưu ý: z1 + z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy z1 − z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy z1 + z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy z1 − z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ( z1 + z2 + z1 − z = z1 + z2 z = z z = z ⇔ z1 = kz ( k ≥ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ ) ) ∀z ∈ £ 2.1.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP [6] Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức • z Quỹ tích điểm A ( a; b ) • thỏa mãn z − a − bi = z M ( x; y ) z Min Khi ta có biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với 1   z Min = z0 = a + b  z = a + b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện • , tìm Quỹ tích điểm M ( x; y ) z − a − bi = z − c − di biểu diễn số phức z Tìm z Ta có đường trung trực đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c; d ) z Min = d ( O, AB ) = • a + b2 − c − d 2 ( a − c) +(b−d)  Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: z − a − bi = z − c − di • Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi ta biến đổi z − a − bi = z − c − di ⇔ z − a + bi = z − c − di • Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a − bi = iz − c − di ⇔ z + −a − bi −c − di = z+ ⇔ z + b + = z + d + ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn z TQ: Cho số phức • • thỏa mãn điều kiện Quỹ tích điểm M ( x; y ) z − a − bi = R > ( z − z0 = R ) biểu diễn số phức z Tìm đường trịn tâm z Max , z Min I ( a; b ) Ta có bán kính R 2 z  Max = OI + R = a + b + R = z0 + R  2  z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R   Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức i (Chia hai vế cho ) z iz − a − bi = R ⇔ z + thỏa mãn điều kiện ⇔ z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z −a − bi R = i i z − a − bi = R ⇔ z − a + bi = R thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức ( c + di ) z − a − bi z thỏa mãn điều kiện =R⇔ z+ − a − bi R R = = c + di c + di c2 + d z0 z − z1 = R ⇔ z − Hay viết gọn z1 R = z0 z0 (Chia hai vế cho z0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức ta có Quỹ tích điểm • M ( x; y ) z thỏa mãn điều kiện biểu diễn số phức z Elip: z − c + z + c = 2a , ( a > c ) x2 y2 + =1 a2 a2 − c2  z Max = a  2  z Min = a − c • TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức Thỏa mãn 2a > z1 − z2 z thỏa mãn điều kiện z − z1 + z − z = 2a Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z1 , z2 ≠ ±c, ±ci Đặt Nếu P = z − z0  z1 − z2 = 2c  2 b = a − c z0 − Nếu ) Tìm Max, Min z − z1 + z − z2 = 2a , ( z1 − z2 < 2a ) z1 + z2 =0  z1 + z2 >a  z0 −  z − z = k ( z − z )   PMax = a   PMin = b (dạng tắc)  z1 + z2  PMax = z0 − + a    P = z − z1 + z2 − a  Min Khi Nếu Nếu  z1 + z