(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN Người thực hiện: Hồ Thị Mai Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận thực tiễn 2.2 Thực trạng vấn đề .3 2.3 Các giải pháp .6 2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) tập hợp D 2.3.2 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ′ ( x ) , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) tập hợp D .10 2.3.3 Vận dụng vào giải tốn có chứa tham số 16 2.3.4 Bài tập luyện tập 20 2.4 Hiệu sáng kiến 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .23 3.1 Kết luận 23 3.2 Kiến nghị 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO .25 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn Tốn mơn học rèn luyện khả tư cho học sinh để giải vấn đề, để làm điều học tốn học sinh cần phải hiểu rõ chất toán để vận dụng vào giải toán tương tự sáng tạo toán Từ năm học 2016-2017 kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, việc thi trắc nghiệm môn Tốn có ưu nhược điểm, nhược điểm có em học sinh chọn đáp án mà lời giải mang tính ngộ nhận mà rõ chất tốn Ngồi ra, với học sinh sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải tốn mà không cần trải qua số bước quy trình giải lý thuyết tốn học Để khơng làm hay đẹp tốn người đề tìm cách chống bấm máy tính để giải, khâu bấm máy hỗ trợ quy trình giải tốn Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số xuất đề thi THPT Quốc gia năm gần Trong chương trình Giải tích lớp 12 tốn tìm GTLN-GTNN hàm số sử dụng công cụ đạo hàm Sách giáo khoa trình bày cách chi tiết, tập đưa vận dụng giải thường hàm số cụ thể nên học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh Tuy nhiên, tốn khơng cho hàm số cụ thể (hàm ẩn) việc tìm GTLN-GTNN hàm số trở nên khó khăn học sinh không nắm rõ định nghĩa quy tắc tìm mà vai trị máy tính cầm tay lúc trở nên mờ nhạt, toán kiểu thường xuyên xuất đề thi gần Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn, tơi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ẩn” với mong muốn trang bị cho học sinh số kỹ giải dạng toán nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường nhiệt tình góp ý q trình thực tạo điều kiện hoạt động thực nghiệm 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn học sinh giải tốn tìm GTLN GTNN hàm ẩn Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải thông ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống tập vừa sức, hướng dẫn học sinh tìm tịi, mở rộng vấn đề mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng tích luỹ kinh nghiệm cho thân 1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu cách giải tốn tìm GTLN GTNN hàm ẩn đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT, Sở GD&ĐT nước, đề thi THPT Quốc gia năm gần Bộ GD&ĐT Các vấn đề tơi trình bày đề tài nhằm rèn luyện kĩ giải tốn tìm GTLN-GTNN hàm ẩn cho đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài Điều tra tìm hiểu: tiến hành tìm hiểu khó khăn, vướng mắc học sinh qua việc trao đổi với học sinh, với giáo viên hoạt động dự Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số tiết lớp 12 để xem xét tính khả thi hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Nắm vững vận dụng kiến thức vào trường hợp cụ thể, biết làm lại vấn đề tương tự với vấn đề biết, biết phân tích tốn phức tạp thành vấn đề đơn giản để vận dụng toán biết yếu tố cần thiết để giải tốn khó Trong khn khổ đề tài tơi chủ yếu tập trung vào việc phân tích toán để học sinh nắm vững cách giải tốn cụ thể, từ em biết làm tương tự Để làm điều xin nêu lại định nghĩa; quy tắc tìm số định lý áp dụng giải tập liên quan đến giá trị nhỏ nhất-giá trị lớn hàm số 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu: ïìï f ( x) £ M , " x Ỵ D f ( x) í Kớ hiu: M = max xD ùùợ $x0 ẻ D, f ( x0 ) = M • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu:  f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D f ( x) Kí hiệu: m =  xỴ D ∃ x ∈ D , f ( x ) = m  Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, ta xét tập D cụ thể Cùng hàm số, xác định tập khác nhau, nói chung giá trị lớn giá trị nhỏ tương ứng khác 2.1.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) cách khảo sát trực tip  ã Bc 1: Tớnh f ( x ) tìm điểm x1 , x2 , , xn ∈ D mà f ′ ( x ) = hàm số khơng có đạo hàm • Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] • Bước 1: - Hàm số cho y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [ a; b ] - Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng ( a; b) , f ¢( x ) = f ¢( x ) khơng xác định • Bước 2: Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( b) f ( x) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } • Bước 3: Khi đó: max [ a ,b ] f ( x ) = { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } [ a ,b ] Chú ý: ìï f ( x) = f ( a ) ïï [ a ;b] y = f x a ; b ( ) [ ] - Nếu đồng biến íï f ( x ) = f ( b) ïï max ỵ [ a ;b] ìï f ( x) = f ( b) ïï [ a ;b] y = f x a ; b ( ) [ ] - Nếu nghịch biến íï max f ( x ) = f a ( ) ïï [ a ;b] ỵ c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) khoảng (a; b) • Bước 1: Tớnh o hm f Â( x ) ã Bc 2: Tìm tất nghiệm xi Ỵ (a; b) phương trình f ¢( x) = tất điểm Ỵ (a; b) làm cho f ¢( x) khơng xác định • Bước 3: Tính A = lim f ( x) , B = lim f ( x) , f ( x ) , f (a ) i i xđ a + xđb- ã Bc 4: So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x) , m = f ( x) ( a ;b ) ( a ;b ) Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng 2.1.3 Một số định lý liên quan đến ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ - Định lý 1: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] bất phương trình f ( x) ≥ m f ( x ) ≥ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b ] max [ a ;b] - Định lý 2: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] bất phương trình f ( x) £ m f ( x) £ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b ] [ a ;b ] - Định lý 3: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b] bất phương trình f ( x) ³ m f ( x) ³ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b ] [ a ;b ] - Định lý 4: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] bất phương trình f ( x) £ m f ( x) £ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b ] max [ a ;b] - Định lý 5: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] f ¢( x ) khơng đổi dấu ( a; b) : +) Bất phương trình f ( x) ³ m nghiệm với x thuộc f ( x) khoảng ( a; b) m £ xmin Ỵ [ a ;b ] +) Bất phương trình f ( x) £ m nghiệm với x thuộc khoảng ( a; b) f ( x) m ³ max xỴ [ a ;b ] +) Bất phương trình f ( x) > m nghiệm với x thuộc khoảng ( a; b) f ( x) m £ xmin Ỵ [ a ;b ] +) Bất phương trình f ( x) < m nghiệm với x thuộc khoảng ( a; b) f ( x) m ³ max xỴ [ a ;b ] - Định lý 6: Nếu hàm số y = f ( x ) đạt giá trị giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) x0 Ỵ ( a; b) : +) Bất phương trình f ( x) < m nghiệm với x thuộc khoảng ( a; b) f ( x) m > xmax Ỵ ( a ;b) +) Bất phương trình f ( x) > m nghiệm với x thuộc khoảng ( a; b) f ( x) m < xmin Ỵ ( a ;b) 2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong chương I Giải tích 12, “Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số” thể nội dung lý thuyết phần tập áp dụng cụ thể Học sinh giới thiệu định nghĩa, quy tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nên cho hàm số cụ thể em dễ dàng làm Tuy nhiên, đề không cho hàm số cụ thể ( xin gọi : hàm ẩn) mà giả thiết cho dạng đồ thị, bảng biến thiên tính chất hàm số em thấy lúng túng chưa gặp dạng tập nhiều Do em khơng cịn tự tin dẫn đến làm sai khơng biết định hướng làm toán kiểu Trước làm chuyên đề khảo sát lớp 12A 12B với tống số 90 học sinh, kết đạt sau Số lượng Tỉ lệ ( %) Không nhận Nhận biết, Nhận biết biết vận dụng, biết vận dụng chưa giải hoàn chỉnh 60 20 10 66,7 22,2 11,1 Nhận biết biết vận dụng, giải hoàn chỉnh 0 Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần u thích mơn, nhằm giúp em không ngại lùng túng gặp toán hàm ẩn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi mạnh dạn viết chuyên đề: “Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ẩn” 2.3 CÁC GIẢI PHÁP 2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) tập hợp D Khi toán cho giả thiết đồ thị hàm số y = f ( x ) tập hợp D yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lúc học sinh phải có kỹ đọc đồ thị tốt Hơn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( có) tập hợp D1 Ì D Ví dụ 1: (Tương tự câu 16-Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [- 2;6] Giá trị biểu thức T = 2M + 3m bằng: A - B 18 C - D Lời giải: Hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ nên liên tục [- 2;6] Dựa vào đồ thị hàm số [- 2;6] , ta thấy: Giá trị lớn f ( x) [- 2;6] , đạt x =- Suy M =6 Giá trị nhỏ f ( x) [- 2;6] - , đạt x = Suy m =- Vậy T = 2M + 3m = 2.6 + 3.(- 4) = Chọn đáp án D *Nhận xét : - Đây toán kiểm tra kỹ đọc đồ thị hàm số mà ta không cần biết cụ thể cơng thức hàm số Do đó, học sinh mức độ trung bình rèn luyện kỹ đọc đồ thị làm ví dụ - Để kiểm tra mức độ thơng hiểu học sinh ví dụ ta thay đoạn [- 2;6] nửa khoảng ( −2; 4] khoảng ( −1; ) , học sinh mắc sai lầm thừa nhận giá trị lớn nhỏ đồng thời tồn Do dạng tập kiểu rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị mà cố lý thuyết giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ hàm số cách trực quan cho học sinh Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( −∞ ; + ∞ ) có đồ thị hình vẽ bên.Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = f ( x - 3x +1) đoạn [- 2;0] Giá trị biểu thức S = 2M + m A −11 B - C D Lời giải - Xét hàm số u ( x ) = x − 3x + [ −2;0] Hàm số xác định liên tục đoạn [ −2;0] Ta có : éx =- Ỵ (- 2;0) u ' ( x ) = x − ; g ¢( x ) = Û ê Ta lại có : u ( - 2) =- ; u ( −1) = ; ê ëx = Ï (- 2;0) u ( 0) = Suy ra: u ( x ) =- max u ( x ) = ⇒ −1 ≤ u ( x ) ≤ 3, ∀x ∈ [ −2;0] x∈[ −2;0] xỴ [- 2;0] - Xét hàm số y = f ( t ) với t = u ( x) = x - 3x +1 [- 1;3] f ( x − x + 1) = f ( t ) = −5 Dựa vào đồ thị hàm số cho ta suy : m = xmin ∈[ −2;0] t∈[ −1;3] f ( x - 3x +1) = max f ( t ) =và M = xmax Ỵ - 2;0 t Ỵ - 1;3 [ ] [ ]  1   Vậy S = 2M + m =  − ÷− = −6 Chọn đáp án B Lời giải y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số Từ đồ thị hàm số y = f ( x) đoạn [ −1;2] hình f ( x ) = f ( 1) bên.Từ BBT nhận thấy [ - 1;2 ] f ( x ) ta so sánh f ( −1) Để tìm max [ −1;2] f ( ) Theo giả thiết, f ( −1) + f ( ) < f ( 1) + f ( ) ⇒ f ( ) − f ( −1) > f ( ) − f ( 1) Từ bảng biến thiên , ta có f ( ) > f ( 1) Do f ( 2) - f ( - 1) > Þ f ( 2) > f ( - 1) f ( x ) = f ( 2) Suy max [- 1;2] f ( x ) = f ( 1) , max f ( x) = f ( 2) Chọn đáp án B Vậy [ - 1;2 ] [ −1;2] *Nhận xét : - Trong ví dụ sau lập bảng biến thiên giá trị nhỏ hàm số f ( x) xác định dễ dàng, để tìm giá trị lớn hàm số phải khai thác giả thiết f ( - 1) + f ( 0) < f ( 1) + f ( 2) kết hợp tính chất hàm số nghịch biến đoạn [- 1;1] - Để so sánh f ( −1) f ( ) mà sử dụng tính chất ứng dụng tích phân S1 = −1 ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx = S việc so diện tích hai hình phẳng khơng thuyết phục đồ thị khơng vẽ hệ trục lưới nên việc so sánh mang tính cảm giác Do giả thiết f ( - 1) + f ( 0) < f ( 1) + f ( 2) đưa hợp lý chặt chẽ cho toán Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Biết 12 f ( 0) + f ( 5) = f ( 3) + f (7) Giá trị nhỏ giá trị lớn f ( x) đoạn [ 0;7 ] là: A f ( ) , f ( ) B f ( 3) , f ( 0) C f ( 1) , f ( 7) Lời giải D f ( 3) , f ( 7) Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) đoạn [ 0;7 ] sau: f ( x ) = f ( 3) Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có [ 0;7] max f ( x ) = max { f ( ) , f ( ) } [ 0;7 ] Vì f ( x ) đồng biến đoạn [ 3;7 ] nên f ( ) > f ( 3) Kết hợp giả thiết ta có : f ( ) + f ( ) = f ( 3) + f (7) ⇒ f ( ) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) > ⇒ f ( ) > f ( ) f ( x) = max { f ( 0) , f ( 7) } = f ( 7) Suy max [ 0;7] f ( x ) = f ( 3) , max f ( x ) = f ( ) Chọn đáp án : D Vậy [ 0;7] [ 0;7] *Nhận xét : - Từ giả thiế f ( ) + f ( ) = f ( 3) + f (7) ⇔ f ( ) − f ( 3) = f ( ) − f (5) (1) kết hợp với đồ thị hàm số y = f ¢( x) cho ta so sánh 3 7 0 f ( 0) f ( 7) sau: ( 1) Þ − ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx 13 Þ - ị f ¢( x)dx < ị f ¢( x)dx ⇔ f ( ) − f ( 3) < f ( ) − f ( 3) ⇔ f ( ) < f ( ) Còn sử dụng đồ thị hàm số y = f ' ( x ) so sánh diện tích hình phẳng ta suy S1 = ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx = S ⇒ f ( ) < f ( ) mà không sử dụng đến giả thiết f ( ) + f ( ) = f ( 3) + f (7) cách làm khơng chặt chẽ.( chị thấy lủng cũng) Ví dụ 6: Cho hàm số có y = f ( x ) có đạo hàm hàm số y = f ' ( x ) ; đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên f ( 0) + f ( 1) - f ( 2) = f ( 4) - f ( 3) Giá trị nhỏ m giá trị lớn M f ( x) đoạn [ 0;4] là: A m = f ( ) , M = f ( ) B m = f ( 1) , M = f ( ) C m = f ( ) , M = f ( 1) D m = f ( ) , M = f ( ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có M = f (2); m = min{ f ( 0) ; f ( 4) } Hàm số đồng biến đoạn [ 0;2] nên f ( ) > f ( 1) ⇒ f ( ) − f ( 1) > Hàm số nghịch biến đoạn [ 2;4] nên f ( 2) > f ( 3) Þ f ( 2) - f ( 3) > Kết hợp với giả thiết: f ( 0) + f ( 1) - f ( 2) = f ( 4) - f ( 3) Û f ( 0) - f ( 4) = f ( 2) - f ( 1) + f ( 2) - f ( 3) > Þ f ( 0) > f ( 4) Suy giá trị nhỏ m = f ( 4) Vậy m = f ( ) , M = f ( ) Chọn đáp án A 14 *Nhận xét : - Tương tự hai ví dụ 4;5 ví dụ tập mà đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hệ trục tọa độ không vẽ dạng lưới việc so sánh diện tích hình phẳng để so sánh giá trị hàm số khơng chặt chẽ Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ′ ( x ) liên tục ¡ đồ thị hàm số f ′ ( x ) đoạn [- 2;6] hình vẽ bên Giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [- 2;6] : A f ( −2 ) B f ( ) C f ( ) D f ( - 1) Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy : f ( - 1) > f ( - 2) f ( x) = max { f ( - 1) , f ( 6) } f ( - 1) > f ( 2) Suy max [- 2;6] , f ( 6) > f ( 2) (1) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x =- 1; x = 2, y = đồ thị y = f ′ ( x ) ị S1 = ũ f Â( x ) dx =- ị f ¢( x)dx = f ( - 1) - f ( 2) - Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 2; x = 6; y = đồ thị y = f ¢( x) Þ S2 = ị f ¢( x ) dx = ị f ¢( x )dx = f ( 6) - f ( 2) Từ hình vẽ ta thấy : S1 < S2 Û f ( - 1) - f ( 2) < f ( 6) - f ( 2) Þ f ( - 1) < f ( 6) 15 (2) Từ (1), (2) ta suy ra: max f ( x ) = f ( ) x∈[ −2;6] Vậy đáp án C *Nhận xét : - Giả thiết ví dụ khơng cần đến biểu thức liên hệ giá trị hàm số ví dụ trước việc so sánh diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = a; x = b, y = đồ thị y = f ¢( x) thực cách trực quan hệ trục tọa độ vẽ mặt phẳng có dạng lưới vng Ví dụ 8: (Tương tự đề thi THPT Quốc gia năm 2017 Bộ GD & ĐT) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ¢( x) cho hình Đặt g ( x) = f ( x ) - ( x +1) , giá trị nhỏ hàm số y = g ( x) đoạn [- 3;3] : A g ( - 1) B g ( 1) C g ( 3) D g ( - 3) Lời giải Dễ dàng chứng minh hàm số g ( x) = f ( x ) - ( x +1) liên tục đoạn [- 3;3] g '( x ) = f ¢( x ) - ( x +1) = Û f ¢( x) = ( x +1) +) Nhận thấy đường thẳng y = x +1 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) điểm phân biệt có tọa độ M ( - 3; - 2) , N ( 1;2) P ( 3;4) éx =- ê x =1 Suy phương trình g '( x) = Û ê ê êx = ë có nghiệm phân biệt đoạn [- 3;3] +) Hơn [- 3;3] ta thấy : f ¢( x ) > ( x +1) , " x ẻ ( - 3;1) v f Â( x ) < ( x +1) , " x Ỵ ( 1;3) nên suy g '( x ) > 0, 16 " x ( - 3;1) g '( x ) < 0, " x ( 1;3) Ta có bảng biên thiên: g ( x ) = { g ( - 3) ,g ( 3) } Do [- 3;3] +) Để so sánh g ( - 3) g ( 3) từ hình vẽ ta suy diện tích hình hình phẳng giới hạn bới đường thẳng y = x + đồ thị hàm số y = f ′( x) miền [ −3;1] [ 1;3] ta có: S1 = ị f ¢( x ) - ( x +1) dx > S = ò f ¢( x ) - ( x +1) dx - ị 3 ũ g Â( x) dx > ị g ¢( x) dx Û ị g ¢( x) dx >- ị g ¢( x ) dx - - g ( x ) = g ( - 3) Û g (1) - g ( - 3) > g (1) - g ( 3) Û g ( −3) < g ( 3) Suy [- 3;3] Vậy đáp án : D *Nhận xét : Ví dụ thể sử dụng kết hợp hài hòa việc so sánh giá trị hai hàm số dựa vào đồ thị chúng ứng dụng tích phân để so sánh hai giá trị hàm số thông qua so sánh diện tích hình phẳng 2.3.3 Vận dụng vào giải tốn có chứa tham số Các tập tìm điều kiện tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc miền D để bất phương trính ln có nghiệm thuộc miền D, ta thường phải quy tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Sau ta xét vài ví dụ minh họa : Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [- 1;3] có đồ thị hình vẽ 17 Điều kiện cần đủ để bất phương trình f ( x) + x +1 + - x ³ m có nghiệm thuộc đoạn [- 1;3] : A m ³ 2 - B m £ C m £ 2 - D m £ Lời giải Bất phương trình f ( x) + x +1 + - x ³ m có nghiệm thuộc đoạn ( f ( x) + x +1 + - x ) [- 1;3] m £ xmax Ỵ [- 1;3] Xét hàm số g ( x) = x +1 + - x đoạn [- 1;3] Ta có g ¢( x ) = Û 7- x - 1 - x - x +1 = Suy : g ¢( x ) = x +1 - x x +1 - x x +1 = Û x = Ta có : g ( - 1) = 2, g ( 3) = g ( x) = x = (1) Suy xỴmax [- 1;3] Mặt khác, dựa vào đồ thị f ( x ) ta có max f ( x) = x = (2) xỴ [ - 1;3] ( f ( x) + x +1 + - x ) x = Từ (1) (2) suy xmax Ỵ [- 1;3] Vậy bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [- 1;3] m £ Suy đáp án là: D *Nhận xét : Áp dụng định lý phương pháp tìm giá trị lớn hàm số ẩn vào việc giải ví dụ cách giải rõ ràng chặt chẽ Do học sinh luyện tập nhiều toán kiểu em tự tin giải tốn, đặc biệt biết kết hợp nhiều kiến thức vào giải tốn Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ¢( x) có bảng biến thiên sau: 18 x + e + m với x Î ( - 3;0) Bất phương trình f ( x) ³ A m £ f ( - 3) - e +9 B m £ f ( 0) - e C m < f ( - 3) - e +9 D m < f ( 0) - e Lời giải Ta có f ( x) ³ x + e + m , " x Î ( - 3;0) ⇔ f ( x) - Xét hàm số g ( x) = f ( x ) - x + e ( - 3;0) Dễ thấy hàm số g ( x) = f ( x ) Hơn : g ¢( x ) = f ¢( x ) - x + e ³ m , " x Ỵ ( - 3;0) (1) x + e liên tục khoảng [- 3;0] x x +e (2) , " x Ỵ ( - 3;0) Từ bảng biến thiên cho ta thy: f Â( x ) > 0, " x ẻ ( - 3;0) - x x2 + e > 0, " x < Suy ra: g ¢( x ) > 0, " x Ỵ ( - 3;0) (3) g ( x ) Û m £ g ( - 3) = f ( - 3) Từ (2) (3) ta suy : (1) Û m £ xmin Î [- 3;0] e +9 Vậy đáp án A *Nhận xét : Áp dụng định lý vào ví dụ 10 vận dụng kỹ tìm giá trị nhỏ hàm số g ( x) = f ( x ) - x + e ta đến kết cần tìm, xét khoảng ( - 3;0) khơng tồn giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) chuyển qua xét g ( x ) = g ( - 3) = f ( - 3) đoạn [- 3;0] ta dễ tìm xmin Ỵ [ - 3;0] e +9 Ví dụ 11: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 Bộ GD & ĐT-Mã đề 102) 19 Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ¢( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) > x + m ( m tham số thực) nghiệm với x Ỵ ( 0;2) A m ≤ f ( ) − C m < f ( ) − B m ≤ f ( ) D m < f ( ) Lời giải Ta có f ( x) < x + m, " x Ỵ ( 0;2) Û m < f ( x ) - x, " x Ỵ ( 0;2) Xét hàm số g ( x) = f ( x ) - x khoảng ( 0;2 ) Ta có : g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta có với x Ỵ ( 0;2) f ′ ( x ) < Do : g ¢( x ) = f ¢( x ) - < 0, " x Ỵ ( 0;2) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy bất phương trình f ( x ) > x + m nghiệm với x ∈ ( 0; ) Û m £ g ( 2) = f ( 2) - Vậy đáp án là: A Ví dụ 12: Hàm số y = f ¢( x) liên tục ¡ có bảng xét dấu sau: Bất phương trình f ( x) < e x + m nghiệm với x Ỵ ( - 1;1) khi: A m ≥ f ( ) − B m > f ( −1) − e 20 C m > f ( 0) - D m ³ f ( - 1) - e Lời giải 2 Ta có f ( x) < e x + m, " x Ỵ ( - 1;1) Û f ( x) - e x < m, " x Ỵ ( - 1;1) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − e x khoảng ( −1;1) Ta có : g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − xe x 2 Từ bảng xét dấu y = f ¢( x) ta suy ra: ìï f ¢( x) > ù ị g Â( x ) > 0, " x Ỵ ( - 1;0) +) Trên khoảng ( - 1;0) í x ïï - xe > ợ ùỡù f Â( x) < ị g Â( x) < 0, " x ẻ ( 0;1) +) Trên khoảng ( 0;1) í ïï - xe x2 < ỵ ìï f ¢( x ) = ï Þ g ¢( x) = +) Tại x = í ïï - xe x2 = ỵ Do ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) = f ( x ) − e x khoảng ( - 1;1) là: g ( x ) = g ( 0) = f ( 0) - Từ bảng thiên suy xmax Ỵ ( - 1;1) Suy bất phương trình f ( x) < e x + m nghiệm với x Ỵ ( - 1;1) Û m > f ( 0) - Vậy đáp án là: C *Nhận xét : Ở hai ví dụ 11 ví dụ 12 từ câu hỏi đặt ta thấy chất toán học tương tự chỗ kết luận cuối lại khác dấu “=”, học sinh phân vân kết luận có dấu “=” Trong q trình tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số ẩn hai ví dụ bộc lộ khác để đến kết luận riêng cho ví dụ, việc áp dụng định lý hai ví dụ thể cách rõ ràng 2.3.4 Bài tập luyện tập Bài 1: ( Đề tham khảo năm 2019 Bộ GD&ĐT )Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −1;3] có đồ thị 21 hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho [ −1;3] Giá trị M − m ? C A B D Bài 2:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số é 3p ù y = f ( 1- 2cos x ) ê0; ú Giá trị M + m bằng: ê ë 2ú û A C B D Bài 3:Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Giá trị lớn hàm số g ( x) = f ( x - 3x) - x - x + 3x 15 đoạn [- 1;2] bằng: A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 Bài 4: (Đề thi thử THPT QG Sở GD&ĐT Thanh Hóa–năm 2018) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đặt M = max f ( x ) , [ −2; 6] m = f ( x ) , [ −2; 6] T = M + m Mệnh đề đúng? A T = f ( ) + f ( −2 ) B T = f ( ) + f ( −2 ) C T = f ( ) + f ( ) D T = f ( ) + f ( ) 22 Bài 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 Bộ GD & ĐT-Mã đề 101) Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ¢( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m tham số thực) nghiệm với x ∈ ( 0; ) B m ≥ f ( ) A m ³ f ( 2) - C m > f ( ) − D m > f ( ) Bài 6:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình Bất phương trình f ( x) < x - 3x + m nghiệm với x thuộc khoảng ( - 1;3) A m > f ( 3) B m ³ f ( 3) C m > f ( - 1) + D m ³ f ( - 1) + 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Để kiểm tra tính hiệu sáng kiền tiến hành thực nghiệm Nội dung thực nghiệm: - Giao trước chuyên đề cho em tham khảo tiến hành dạy thử lớp 12A 12B với thời gian buổi lớp (12 tiết) đó: +) buổi (3 tiết) hướng dẫn học sinh ôn tập kỹ đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị hàm số +) buổi (6 tiết) thực hành ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) +) buổi (3 tiết) thực hành với ví dụ cịn lại Bài tập chun đề Tìm tịi thêm tập đề thi thử THPT Quốc gia Rút kinh nghiệm Kết thực nghiệm Khảo sát lại cho em học sinh lớp 12A,12B Kết sau: 23 Không Nhận biết, Nhận biết Nhận biết nhận vận dụng, biết vận dụng , chưa giải giải hoàn chỉnh 27 30 hoàn chỉnh 60 66,7 biết biết vận dụng Số lượng Tỉ lệ ( %) 0.0 3.3 Rõ ràng em có tiến Như chắn phương pháp mà nêu đề tài giúp em phân loại tập nắm vững phương pháp làm trình bầy giúp em tự tin học tập thi Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trị làm tốt tốn: “ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ẩn” KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Qua nghiên cứu đề tài đến số kết luận sau: - Học sinh khó khăn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ẩn giáo viên sâu tìm hiểu, có tầm nhìn hệ thống, biết cách khắc sâu cho em kiến thức lại vận dụng thường xuyên kết đạt không ngờ; - Qua việc hướng dẫn em áp dụng đề tài, nhận thấy rằng, dạy học toán, điều quan trọng dạy cho em phương pháp tư duy, vận dụng kiến thức biết vào giải vấn đề mới; - Trong trình lên lớp, người giáo viên cần bao quát lớp thật tốt, kịp thời phát hiện, nhắc nhở lỗi sai có hoạt động giúp đỡ hợp lí em cịn gặp khó khăn - Bên cạnh việc vận dụng dạy lớp, nhận thấy đề tài tài liệu tự học thích hợp cho em tự ơn tập nhà; 3.2 KIẾN NGHỊ 24 Qua trình nghiên cứu thực nghiệm đề tài mạnh dạn nêu số kiến nghị sau: - Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học để phù hợp với đối tượng, nội dung học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi - Nhà trường, tổ chun mơn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm học sinh theo hướng dẫn giáo viên, từ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng5 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Hà Hồ Thị Mai 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi minh hoạ, đề tham khảo, đề thức kì thi THPT Quốc gia năm 2017, năm 2018, năm 2019 năm2020 Đề thi thử Đại học, thi thử THPT Quốc gia trường THPT, Sở GD&ĐT, diễn đàn toán số năm gần đây; Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 12 Sách giáo khoa Giải tích 12 ban Cơ Sách tập Giải tích 12 ban Cơ 26 ... định tập khác nhau, nói chung giá trị lớn giá trị nhỏ tương ứng khác 2.1.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) cỏch kho sỏt... chuyên đề: ? ?Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ẩn? ?? 2.3 CÁC GIẢI PHÁP 2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x... , học sinh mắc sai lầm thừa nhận giá trị lớn nhỏ đồng thời tồn Do dạng tập kiểu khơng rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị mà cố lý thuyết giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ hàm số cách trực quan cho