(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GD&ĐT THANH HÓA -TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN Người thực hiện: Nguyễn Thị Tuyết Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Thị Lợi SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU .4 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .5 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN : 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) , y = f ( u ( x) ) 2.3.2 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) , tìm giá trị lớn y  f  x tập hợp D .8 y  f  x , tìm giá trị lớn tập hợp D 11 2.3.3 Vận dụng vào giải tốn có chứa tham số .16 2.3.4 Bài tập luyện tập 20 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .23 3.1 KẾT LUẬN 23 3.2 KIẾN NGHỊ 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO .24 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn Tốn mơn học rèn luyện khả tư cho học sinh để giải vấn đề, để làm điều học tốn học sinh cần phải hiểu rõ chất toán để vận dụng vào giải toán tương tự sáng tạo tốn Từ năm học 2016-2017 kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, việc thi trắc nghiệm mơn Tốn có ưu nhược điểm, nhược điểm có em học sinh chọn đáp án mà lời giải mang tính ngộ nhận mà khơng thể rõ chất tốn Ngồi ra, với học sinh sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải tốn mà khơng cần trải qua số bước quy trình giải lý thuyết tốn học Để không làm hay đẹp tốn người đề tìm cách chống bấm máy tính để giải, khâu bấm máy hỗ trợ quy trình giải tốn Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số xuất đề thi THPT Quốc gia năm gần Trong chương trình Giải tích lớp 12 tốn tìm GTLN-GTNN hàm số sử dụng công cụ đạo hàm Sách giáo khoa trình bày cách chi tiết, tập đưa vận dụng giải thường hàm số cụ thể nên học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh Tuy nhiên, tốn khơng cho hàm số cụ thể (hàm ẩn) việc tìm GTLN-GTNN hàm số trở nên khó khăn học sinh khơng nắm rõ định nghĩa quy tắc tìm mà vai trị máy tính cầm tay lúc trở nên mờ nhạt, toán kiểu thường xuyên xuất đề thi gần Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn, tơi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ẩn” với mong muốn trang bị cho học sinh số kỹ giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường nhiệt tình góp ý q trình thực tạo điều kiện hoạt động thực nghiệm 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn học sinh giải tốn tìm GTLN GTNN hàm ẩn Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải thơng ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống tập vừa sức, hướng dẫn học sinh tìm tịi, mở rộng vấn đề mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng tích luỹ kinh nghiệm cho thân 1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu cách giải tốn tìm GTLN GTNN hàm ẩn đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT, Sở GD&ĐT nước, đề thi THPT Quốc gia năm gần Bộ GD&ĐT Các vấn đề tơi trình bày đề tài nhằm rèn luyện kĩ giải tốn tìm GTLN-GTNN hàm ẩn cho đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia - Bước đầu làm sáng tỏ số khó khăn, vướng mắc học sinh việc tìm GTLN GTTN hàm ẩn - Nghiên cứu, đề xuất số giải pháp hướng dẫn học sinh khắc phục khó khăn - Đưa kết luận cần thiết 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài Điều tra tìm hiểu: tiến hành tìm hiểu khó khăn, vướng mắc học sinh qua việc trao đổi với học sinh, với giáo viên hoạt động dự Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số tiết lớp 12 để xem xét tính khả thi hiệu đề tài 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN Trong thực tiễn dạy học thân áp dụng đề tài vào giảng dạy thu kết khả quan, hầu hết sau em chủ động hứng thú tiếp cận với tốn tìm GTLN GTNN hàm ẩn Từ phát huy tính tích cực, tư sáng tạo học tập Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KING NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nắm vững vận dụng kiến thức vào trường hợp cụ thể, biết làm lại vấn đề tương tự với vấn đề biết, biết phân tích tốn phức tạp thành vấn đề đơn giản để vận dụng tốn biết yếu tố cần thiết để giải tốn khó Trong khn khổ đề tài chủ yếu tập trung vào việc phân tích tốn để học sinh nắm vững cách giải toán cụ thể, từ em biết làm tương tự Để làm điều xin nêu lại định nghĩa; quy tắc tìm số định lý áp dụng giải tập liên quan đến giá trị nhỏ nhất-giá trị lớn hàm số 2.1.1 Định nghĩa y = f ( x) Cho hàm số xác định tập D  Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x) ìïï f ( x) £ M , " x Ỵ D í M  max f ( x) ïïỵ $x0 Ỵ D, f ( x0 ) = M xD Kí hiệu:  Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x D nếu: D nếu:  f ( x)  m, x  D  f ( x) x0  D, f ( x0 )  m Kí hiệu: m = xỴ D Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, ta xét tập D cụ thể Cùng hàm số, xác định tập khác nhau, nói chung giá trị lớn giá trị nhỏ tương ứng khác 2.1.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách khảo sát trực tiếp f ¢x f x 0  Bước 1: Tính ( ) tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà   hàm số khơng có đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số  Bước 1: - Hàm số cho y = f ( x) y = f ( x) đoạn [ xác định liên tục đoạn  a; b a; b ] a; b ) f ¢( x ) = - Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng ( , f ¢( x) không xác định f a , f x , f x , , f ( xn ) , f ( b )  Bước 2: Tính ( ) ( ) ( ) max f ( x) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b) }  Bước 3: Khi đó: [ a ,b] f ( x ) = { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } [ a ,b ] Chú ý: ìï f ( x ) = f ( a ) ïï [ a ;b] í ïï max f ( x) = f ( b) y = f ( x) a; b ] [ - Nếu đồng biến ïỵ [ a;b] ìï f ( x ) = f ( b) ïï [ a;b] í ïï max f ( x ) = f ( a ) y = f ( x) a; b - Nếu nghịch biến [ ] ïỵ [ a;b] y = f ( x) + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (a; b)  Bước 1: Tính đạo hàm f ¢( x)  Bước 2: Tìm tất nghiệm xi Ỵ (a; b) phương trình f ¢( x) = tất điểm Ỵ ( a; b) làm cho f ¢( x) khơng xác định A = lim+ f ( x) B = lim- f ( x) , f ( x ) f (a ) x® a x®b i , i  Bước 3: Tính ,  Bước 4: So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x) m = f ( x ) ( a ;b ) ( a ;b ) , Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng 2.1.3 Một số định lý liên quan đến ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y = f ( x) a; b f x m - Định lý 1: Nếu hàm số liên tục [ ] bất phương trình   có a; b nghiệm x thuộc đoạn [ ] - Định lý 2: Nếu hàm số y = f ( x) max f ( x)  m  a ;b  liên tục a; b có nghiệm x thuộc đoạn [ ] [ a; b] bất phương trình f ( x) £ m f ( x) £ m [ a ;b ] - Định lý 3: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] bất phương trình f ( x) ³ m f ( x) ³ m a; b ] [ x nghiệm với thuộc đoạn [ a ;b] - Định lý 4: Nếu hàm số y = f ( x) a; b f x £m liên tục [ ] bất phương trình ( ) a; b nghiệm với x thuộc đoạn [ ] - Định lý 5: Nếu hàm số : +) Bất phương trình m £ f ( x ) xỴ [ a ;b] xỴ [ a ;b ] m £ f ( x ) xỴ [ a ;b] xỴ [ a ;b ] f ( x) ³ m a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( f ( x) £ m a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( f ( x) > m a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( f ( x) < m a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( - Định lý 6: Nếu hàm số [ a; b] f ¢( x) không đổi dấu ( a; b) +) Bất phương trình m ³ max f ( x ) +) Bất phương trình liên tục [ a ;b] +) Bất phương trình m ³ max f ( x ) y = f ( x) max f ( x) £ m y = f ( x) đạt giá trị giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) x0 Ỵ ( a; b) : +) Bất phương trình m > max f ( x ) xỴ ( a ;b) a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( f ( x) > m a; b ) nghiệm với x thuộc khoảng ( +) Bất phương trình f ( x) < m m < f ( x) xỴ ( a ;b) 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN Trong chương I Giải tích 12, “Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số” thể nội dung lý thuyết phần tập áp dụng cụ thể Học sinh giới thiệu định nghĩa, quy tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nên cho hàm số cụ thể em dễ dàng làm Tuy nhiên, đề không cho hàm số cụ thể ( xin gọi : hàm ẩn) mà giả thiết cho dạng đồ thị, bảng biến thiên tính chất hàm số em thấy lúng túng chưa gặp dạng tập nhiều Do em khơng cịn tự tin dẫn đến làm sai định hướng làm tốn kiểu Bài tốn tìm GTLN, GTNN hàm số có cơng thức cụ thể tài liệu tham khảo mơn Tốn trình bày nhiều số lượng toán hàm ẩn khiêm tốn, có trình bày rời rạc mà khơng có xếp theo hệ thống 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ y = f ( x) 2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số , tìm giá trị lớn giá y  f  x , y  f  u  x  trị nhỏ hàm số tập hợp D y = f ( x) Khi toán cho giả thiết đồ thị hàm số tập hợp D yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lúc học sinh phải có kỹ đọc đồ thị tốt Hơn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( có) tập hợp D1 Ì D Ví dụ 1: (Tương tự câu 16-Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [- 2;6] Giá trị biểu thức T = 2M + 3m bằng: A - B 18 C - D Lời giải: Hàm số số [ - 2; 6] y = f ( x) liên tục ¡ nên liên tục [- 2;6] Dựa vào đồ thị hàm , ta thấy: Giá trị lớn f ( x) [ - 2;6] , đạt x =- Suy M = Giá trị nhỏ f ( x) [ - 2;6] - , đạt x = Suy m =- Vậy T = M + 3m = 2.6 + 3.(- 4) = Chọn đáp án D *Nhận xét : - Đây toán kiểm tra kỹ đọc đồ thị hàm số mà ta không cần biết cụ thể công thức hàm số Do đó, học sinh mức độ trung bình rèn luyện kỹ đọc đồ thị làm ví dụ - Để kiểm tra mức độ thơng hiểu học sinh ví dụ ta thay - 2;6] 2; 4 1;  đoạn [ nửa khoảng  khoảng  , học sinh mắc sai lầm thừa nhận giá trị lớn nhỏ đồng thời tồn Do dạng tập kiểu khơng rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị mà cố lý thuyết giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ hàm số cách trực quan cho học sinh Ví dụ 2: Cho hàm số Gọi y  f  x liên tục   ;    có đồ thị hình vẽ bên m M , giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = f ( x - 3x +1) đoạn [- 2;0] Giá trị biểu thức S  2M  m A 11 B - C D Lời giải - Xét hàm số u  x   x3  3x   2;0 Hàm số xác định liên tục đoạn  2;0 Ta có : ộx =- ẻ (- 2;0) Â g x = Û ( ) ê u '  x   3x  ëx = Ï (- 2;0) Ta lại có : u ( - 2) =- ; u  1  ; ; u ( 0) = Suy ra: - Xét hàm số u ( x) =- xỴ [- 2;0] y  f  t với max u  x    1  u x  3, x  2;0     x 2;0  t = u ( x ) = x - 3x +1 [ - 1;3] m  f  x  x  1  f  t   5 x 2;0 Dựa vào đồ thị hàm số cho ta suy : M = max f ( x - x +1) = max f ( t ) =xỴ [- 2;0] tỴ [- 1;3] t 1;3  1 S  M  m      6  2 Vậy Chọn đáp án B *Nhận xét : - Trong ví dụ học sinh gặp khó khăn câu hỏi đặt lại tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số hàm hợp y = f ( u ( x )) x Ỵ [ a; b ] với Để sử dụng đồ thị cho cách thuận lợi ta phải đưa hàm số theo biến t với t = u ( x) , sử dụng tính chất khơng phụ thuộc vào biến số hai hàm min, max - Nếu ta đạo hàm theo công thức hàm số hợp áp dụng quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  f  x  x  1 đoạn  2;0 làm cách rườm rà phức tạp - Nếu ta thay đổi hàm số t = u ( x) ta có tốn tương tự, độ khó hay dễ lúc phụ thuộc vào công thức hàm số ta chọn thay Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình Gọi M m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1 g ( x ) = f ( x - x ) + x - 3x + x + 3 đoạn [1;3] Giá trị M - m bằng: 19 - f ( 3) A 17 - f ( 3) B C D 12 + f ( 3) Lời giải Dễ thấy hàm số y = g ( x) 1;3 liên tục ¡ , suy liên tục đoạn [ ] g '( x ) = ( - x ) f '( x - x ) + x - x + = ( - x ) é f '( x - x ) + - x ù ê ú ë û Ta có: f '  x  x2   x Î [1;3] £ x x £ 4 x > Với ; nên Suy Ta có : f '  x  x    x  0, x   1;3 Þ g '( x ) = Û x = g ( 1) = f ( 3) + 17 19 g ( 3) = f ( 3) + ; ; g ( 2) = f ( 4) + Kết hợp bảng biến thiên hàm số Þ g ( 1) < g ( 3) < g ( 2) Þ M - m= y = f ( x) ta suy ra: f ( 3) < f ( 4) = 17 M = g (2) = f ( 4) + =12, m = g ( 1) = f ( 3) + Suy ra: 19 - f ( 3) Chọn đáp án A *Nhận xét : - Trong ví dụ quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn áp dụng; việc giải phương trình g ' x   địi hỏi học sinh cần có tinh tế đánh giá kết hợp với kỹ đọc bảng biến thiên cho - Có thể sử dụng tính chất : “Nếu hàm số f ( u ( x) ) , h ( x) đạt giá trị lớn g ( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) (nhỏ nhất) x0 hàm số đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) x0 ” vào giải ví dụ y  f  x 2.3.2 Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số , tìm giá trị lớn giá y  f  x trị nhỏ hàm số tập hợp D Sử dụng đạo hàm vào giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x cụ thể khơng thể khơng có bước tính f  x Tuy nhiên, gặp toán hàm ẩn giả thiết tốn thường cho đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f  x , để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ta phải dựa vào bảng biến thiên để xác định tính chất hàm số Sau ta xét ví dụ minh họa cho trường hợp: y  f  x Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x hàm số có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y  f  x cho hình vẽ bên Biết f ( - 1) + f ( 0) < f ( 1) + f ( 2) Giá trị y = f ( x) nhỏ giá trị lớn hàm số đoạn A  1;2 là: f ( - 1) , f ( 2) B f  1 , f   C f  0 , f  2 D f ( 1) , f ( - 1) Lời giải Từ đồ thị hàm số đoạn ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  1;2 hình bên Từ BBT nhận thấy Để tìm y  f  x max f  x   1;2 f  2 f ( x ) = f ( 1) [ - 1;2 ] ta so sánh f  1 Theo giả thiết, f  1  f    f  1  f    f    f  1  f    f  1 f ( 2) - f ( - 1) > Þ f ( 2) > f ( - 1) f  f  1 Từ bảng biến thiên , ta có   Do max f ( x ) = f ( 2) f  x   f  1 max f ( x ) = f ( 2) Suy [- 1;2] Vậy  1;2 , [- 1;2] Chọn đáp án B *Nhận xét : - Trong ví dụ sau lập bảng biến thiên giá trị nhỏ hàm số f ( x) xác định dễ dàng, để tìm giá trị lớn hàm số phải khai thác giả thiết f ( - 1) + f ( 0) < f ( 1) + f ( 2) - Để so sánh f  1 - 1;1] kết hợp tính chất hàm số nghịch biến đoạn [ f  2 mà sử dụng tính chất ứng dụng tích phân việc so diện tích hai hình phẳng 10 S1   1 f   x  dx   f   x  dx  S khơng thuyết phục đồ thị khơng vẽ hệ trục ô lưới nên việc so sánh mang tính cảm giác Do giả thiết f ( - 1) + f ( 0) < f ( 1) + f ( 2) đưa hợp lý chặt chẽ cho tốn Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Biết f ( 0) + f ( 5) = f ( 3) + f (7) Giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn  0;7 B Từ đồ thị hàm số đoạn [ là: f  0 , f   A f ( x) 0;7 ] f ( 3) , f ( 0) y  f  x f 1,f C ( ) ( ) Lời giải D f ( 3) , f ( 7) ta lập bảng biến thiên hàm số y  f  x sau: max f  x   max  f   , f    f  x   f  3 Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có  0;7  0;7 Vì f  x đồng biến đoạn [ 3;7 ] nên f    f  3 Kết hợp giả thiết ta có : f    f  5  f  3  f (7)  f    f    f    f  3   f    f   Suy Vậy max f ( x) = max { f ( 0) , f ( 7) } = f ( 7) [ 0;7] f ( x ) = f ( 3) max f  x   f   [ 0;7] ,  0;7 Chọn đáp án : D *Nhận xét : 11 - Từ giả thiết f    f    f  3  f (7)  f    f    f    f (5) hợp với đồ thị hàm số f ( 7) Þ sau: ( ) (1) kết y = f ¢( x ) f cho ta so sánh ( ) 3 7 0   f   x  dx   f   x  dx   f   x  dx   f   x  dx Þ - ị f ¢( x)dx < ị f ¢( x )dx  f    f  3  f    f  3  f    f   y  f ' x  dụng đồ thị hàm số S1   f   x  dx   f   x  dx  S f    f  5  f  3  f (7) m  f  4 , M  f  2  f  0  f   C m  f   , M  f  1 B m  f  1 , M  f   D m  f  0 , M  f  2 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta có Hàm số đồng biến đoạn [ Hàm số nghịch biến đoạn y  f  x ta có bảng biến thiên M = f (2); m = min{ f ( 0) ; f ( 4) } 0;2] nên sử mà không sử dụng đến giả thiết cách làm khơng chặt chẽ Cịn so sánh diện tích hình phẳng ta suy y = f ( x) Ví dụ 6: Cho hàm số có có đạo hàm hàm y  f ' x y  f  x số ; đồ thị hàm số hình vẽ bên f + f ( 1) - f ( 2) = f ( 4) - f ( 3) ( ) Giá trị nhỏ m giá trị lớn M f ( x ) đoạn [ 0;4] là: A f    f  1  f    f  1   2; 4 nên f ( 2) > f ( 3) Þ f ( 2) - f ( 3) > 12 Kết hợp với giả thiết: f ( 0) + f ( 1) - f ( 2) = f ( 4) - f ( 3) Û f ( 0) - f ( 4) = f ( 2) - f ( 1) + f ( 2) - f ( 3) > Þ f ( 0) > f ( 4) Suy giá trị nhỏ *Nhận xét : m = f ( 4) m  f  4 , M  f  2 Vậy Chọn đáp án A - Tương tự hai ví dụ 4;5 ví dụ tập mà đồ thị hàm số y  f  x cho hệ trục tọa độ không vẽ dạng lưới việc so sánh diện tích hình phẳng để so sánh giá trị hàm số khơng chặt chẽ Ví dụ 7: Cho hàm số số f  x y  f  x có đạo hàm y  f  x liên tục ¡ đồ thị hàm - 2;6] đoạn [ hình vẽ bên Giá trị lớn hàm số A f  2  C f  6 y = f ( x) đoạn [ - 2;6] B f  2 D f ( - 1) : Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f  x ta có bảng biến thiên: f - > f ( - 2) f ( 6) > f ( 2) f - > f ( 2) Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy : ( ) , ( ) Suy max f ( x) = max { f ( - 1) , f ( 6) } [- 2;6] (1) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = - 1; x = 2, y = đồ thị y  f  x Þ S1 = ị - f ¢( x ) dx =- ị f ¢( x )dx = f ( - 1) - f ( 2) - 13 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x  2; x  6; y  đồ thị y = f Â( x) 6 2 ị S = ị f ¢( x) dx = ị f ¢( x)dx = f ( 6) - f ( 2) Từ hình vẽ ta thấy : S1 < S2 Û f ( - 1) - f ( 2) < f ( 6) - f ( 2) Þ f ( - 1) < f ( 6) (2) max f  x   f   Từ (1), (2) ta suy ra: x 2;6 Vậy đáp án C *Nhận xét : - Giả thiết ví dụ không cần đến biểu thức liên hệ giá trị hàm số ví dụ trước việc so sánh diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = a; x = b, y = đồ thị y = f ¢( x) thực cách trực quan hệ trục tọa độ vẽ mặt phẳng có dạng lưới vng Ví dụ 8: (Tương tự đề thi THPT Quốc gia năm 2017 Bộ GD & ĐT) Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ¢( x) cho hình Đặt g ( x ) = f ( x ) - ( x +1) , giá trị nhỏ - 3;3] hàm số y = g ( x) đoạn [ : A g ( - 1) C g ( 3) B g ( 1) g - D ( ) Lời giải Dễ dàng chứng minh hàm số g ( x ) = f ( x ) - ( x +1) liên tục đoạn [- 3;3] g '( x ) = f ¢( x ) - 2( x +1) = Û f ¢( x ) = ( x +1) y  f  x +) Nhận thấy đường thẳng y = x +1 cắt đồ thị hàm số điểm phân M - 3; - 2) N ( 1; 2) P 3;4 biệt có tọa độ ( , ( ) 14 éx =- ê g '( x ) = Û êx = ê êx = ë Suy phương trình nghiệm phân biệt đoạn [ - 3;3] có [- 3;3] ta thấy : f ¢( x) > ( x +1) , " x Ỵ ( - 3;1) f ¢( x) < ( x +1) , " x Ỵ ( 1;3) g ' x > 0, nên suy ( ) +) Hơn " x ( - 3;1) Do g '( x) < 0, " x ( 1;3) Ta có bảng biên thiên: g ( x) = { g ( - 3) ,g ( 3) } [- 3;3] +) Để so sánh g ( - 3) g ( 3) từ hình vẽ ta suy diện tích hình hình 3;1 phẳng giới hạn bới đường thẳng y  x  đồ thị hàm số y  f ( x) miền  1;3   ta có: S1 = ị f ¢( x ) - ( x +1) dx > S = ị f ¢( x ) - ( x +1) dx - 3 Þ ị g ¢( x) dx > ị g ¢( x ) dx Û - 3 1 ò g ¢( x) dx >- Û g (1) - g ( - 3) > g (1) - g ( 3) Û g  3  g  3 ò g ¢( x) dx Suy g ( x ) = g ( - 3) [- 3;3] Vậy đáp án : D *Nhận xét : Ví dụ thể sử dụng kết hợp hài hòa việc so sánh giá trị hai hàm số dựa vào đồ thị chúng ứng dụng tích phân để so sánh hai giá trị hàm số thơng qua so sánh diện tích hình phẳng 2.3.3 Vận dụng vào giải tốn có chứa tham số Các tập tìm điều kiện tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc miền D để bất phương trính ln có nghiệm thuộc miền D, ta thường phải quy tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Sau ta xét vài ví dụ minh họa : 15 Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x) liên tục [- 1;3] có đồ thị hình vẽ Điều kiện cần đủ để bất phương trình f ( x ) + x +1 + - x ³ m có nghiệm thuộc đoạn [- 1;3] : B m £ A m ³ 2 - C m £ 2 - D m £ Lời giải f ( x) + x +1 + - x ³ m Bất phương trình ( m £ max f ( x ) + x +1 + - x Xét hàm số xỴ [- 1;3] g ( x ) = x +1 + - x ) - 1;3] có nghiệm thuộc đoạn [ đoạn [ - 1;3] Ta có 1 - x - x +1 = x +1 - x x +1 - x Suy : g ¢( x) = Û x +1 = Û x = Ta có : g ( - 1) = 2, g ( 3) = g ¢( x ) = 7- x - max g ( x) = Suy xỴ [ - 1;3] x = (1) Mặt khác, dựa vào đồ thị Từ (1) (2) suy f  x max f ( x) = ta có xỴ [ - 1;3] ( max f ( x ) + x +1 + - x xỴ [- 1;3] ) x = (2) x = - 1;3] Vậy bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [ m £ Suy đáp án là: D *Nhận xét : Áp dụng định lý phương pháp tìm giá trị lớn hàm số ẩn vào việc giải ví dụ cách giải rõ ràng chặt chẽ Do học sinh luyện tập nhiều tốn kiểu em tự tin giải toán, đặc biệt biết kết hợp nhiều kiến thức vào giải tốn Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ¢( x ) 16 có bảng biến thiên sau: f ( x) ³ Bất phương trình x2 + e + m A m £ f ( - 3) - e +9 C m < f ( - 3) - e +9 với x Ỵ ( - 3;0) B m £ f ( 0) - e D m < f ( 0) - e Lời giải f x ³ Ta có ( ) Xét hàm số x + e + m " x Ỵ ( - 3;0)  f ( x ) , g ( x) = f ( x) - Dễ thấy hàm số x2 + e g ( x) = f ( x) - g ¢( x ) = f ¢( x ) Hơn : f Â( x ) > 0, " x ẻ ( - 3;0) - Từ (2) (3) ta suy : (1) ( x2 + e x x +e x x +e - 3;0) x + e ³ m " x Ỵ ( - 3;0) , (1) - 3;0] liên tục khoảng [ (2) , " x Ỵ ( - 3;0) Từ bảng biến thiên cho ta thấy: > 0, " x < Suy ra: g ¢( x ) > 0, " x Ỵ ( - 3;0) Û m £ g ( x ) Û m £ g ( - 3) = f ( - 3) xỴ [- 3;0] e +9 (3) Vậy đáp án A *Nhận xét : Áp dụng định lý vào ví dụ 10 vận dụng kỹ tìm giá trị nhỏ hàm số g ( x) = f ( x) - x2 + e ta đến kết cần tìm, xét khoảng tồn giá trị nhỏ hàm số y = g ( x) ( - 3;0) khơng - 3;0 ] chuyển qua xét đoạn [ g ( x ) = g ( - 3) = f ( - 3) ta dễ tìm xỴ [- 3;0] e +9 Ví dụ 11: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 Bộ GD & ĐT-Mã đề 102) 17 Cho hàm số f  x y = f ¢( x ) , hàm số liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x  x  m m ( tham số thực) nghiệm với x Ỵ ( 0;2) A C m  f  2  m  f  2  m  f  0 B D m  f  0 Lời giải f ( x ) < x + m, " x Ỵ ( 0;2) Û m < f ( x ) - x, " x Ỵ ( 0;2) g x = f ( x) - x 0;2  g x  f  x  1 Xét hàm số ( ) khoảng  Ta có :   y  f  x x Ỵ ( 0;2) f  x 1 Dựa vào đồ thị hàm số , ta có với   Ta có g ¢ x = f ¢( x ) - < 0, " x Ỵ ( 0;2) Do : ( ) Bảng biến thiên: f x  xm Dựa vào bảng biến thiên suy bất phương trình   nghiệm với x   0;2  Û m £ g ( 2) = f ( 2) - Vậy đáp án là: A y = f ¢( x ) Ví dụ 12: Hàm số liên tục ¡ có bảng xét dấu sau: Bất phương trình A m  f  0  f ( x) < e x + m B nghiệm với m  f  1  e C Lời giải 18 x Ỵ ( - 1;1) m > f ( 0) - D khi: m ³ f ( - 1) - e 2 f x < e x + m, " x Ỵ ( - 1;1) Û f ( x ) - e x < m, " x Ỵ ( - 1;1) Ta có ( ) Xét hàm số g  x  f  x  ex Từ bảng xét dấu 1;1 g   x   f   x   xe x  khoảng Ta có : y = f ¢( x ) ta suy ra: ìï f ¢( x) > ù ị g Â( x) > 0, " x ẻ ( - 1;0) í x2 ï - 1;0) +) Trên khoảng ( ïỵ - xe > ùỡù f Â( x ) < ị g Â( x) < 0, " x Ỵ ( 0;1) í ïï - xe x2 < 0;1) ( +) Trên khong thỡ ợ ỡù f Â( x) = ù ị g Â( x ) = ùù - xe x2 = +) Tại x = ỵ Do ta có bảng biến thiên hàm số Từ bảng thiên suy g  x  f  x   ex max g ( x ) = g ( 0) = f ( 0) - xỴ ( - 1;1) - 1;1) khoảng ( là: f ( x) < e x + m Suy bất phương trình nghiệm với Û m > f ( 0) - Vậy đáp án là: C *Nhận xét : x Ỵ ( - 1;1) Ở hai ví dụ 11 ví dụ 12 từ câu hỏi đặt ta thấy chất tốn học tương tự chỗ kết luận cuối lại khác dấu “=”, học sinh phân vân khơng biết kết luận có dấu “=” Trong trình tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số ẩn hai ví dụ bộc lộ khác để đến kết luận riêng cho ví dụ, việc áp dụng định lý hai ví dụ thể cách rõ ràng 2.3.4 Bài tập luyện tập Bài 1: ( Đề tham khảo năm 2019 Bộ GD&ĐT )Cho hàm số  1;3 f  x liên tục đoạn có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho  1;3 Giá trị M  m ? B 19 A D C y = f ( x) Bài 2:Cho hàm số liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( - 2cos x ) é 3p ù ê0; ú ë 2ú û Giá trị M + m bằng: ê A C B Bài 3:Cho hàm số y = f ( x) D có bảng biến thiên sau: g ( x ) = f ( x - x) - Giá trị lớn hàm số x - x + 3x 15 đoạn [- 1; 2] bằng: A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 Bài 4: (Đề thi thử THPT QG Sở GD&ĐT Thanh Hóa–năm 2018) Cho hàm số y  f  x y  f  x Đồ thị hàm số hình vẽ M  max f  x   2; 6 m  f  x  bên Đặt , Mệnh đề đúng? T  f    f  2  A T  f    f  2  B T  f  5  f   C T  f  0  f  2 D  2; 6 , T  M m 20 Bài 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 Bộ GD & ĐTMã đề 101) Cho hàm số f  x , hàm số y = f ¢( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x  x  m x   0;2  A ( m tham số thực) nghiệm với m ³ f ( 2) - Bài 6:Cho hàm số y  f  x trình B y  f  x C m  f  2  D m  f  0 liên tục ¡ Hàm số có đồ thị hình Bất phương f ( x) < x3 - x + m thuộc khoảng A m  f  0 nghiệm với x ( - 1;3) m > f ( 3) B m ³ f ( 3) C m > f ( - 1) + D m ³ f ( - 1) + 2.4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.4.1 Mục đích : Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài 2.4.2 Nội dung thực nghiệm: - Tiến hành giao trước chuyên đề cho em tham khảo tiến hành dạy thử lớp 12 với thời gian buổi (12 tiết) cho đối tượng học sinh trung bình trở lên, đó: +) buổi (3 tiết) hướng dẫn học sinh ôn tập kỹ đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị hàm số +) buổi (6 tiết) thực hành ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x y  f  x , +) buổi (3 tiết) thực hành với ví dụ cịn lại Bài tập chun đề Tìm tịi thêm tập đề thi thử THPT Quốc gia Rút kinh nghiệm - Trao đổi với đồng nghiệp tổ vận dụng dạy kiểm tra kết học tập 21 2.4.3 Kết Tôi phân công dạy ôn thi THPT Quốc gia nhiều năm nên có điều kiện áp dụng chuyên đề nhiều lần Sau áp dụng đề tài vào dạy học thu kết khả quan, cụ thể sau : - Đa số học sinh hứng thú khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ẩn - Hầu hết em học sinh học lớp 12 dạy sau học xong chuyên đề làm toán tương tự cách tự tin - Một số em học sinh hào hứng xin thêm tập nhà để vận dụng thử sức Qua thực nghiệm, bước đầu nhận thấy đề tài giúp học sinh ôn tập tốt hơn, khả giải vấn đề tương tự có tiến KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Qua nghiên cứu đề tài đến số kết luận sau: - Học sinh khó khăn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ẩn giáo viên sâu tìm hiểu, có tầm nhìn hệ thống, biết cách khắc sâu cho em kiến thức lại vận dụng thường xuyên kết đạt khơng ngờ; - Qua việc hướng dẫn em áp dụng đề tài, tơi nhận thấy rằng, dạy học tốn, điều quan trọng dạy cho em phương pháp tư duy, vận dụng kiến thức biết vào giải vấn đề mới; - Trong trình lên lớp, người giáo viên cần bao quát lớp thật tốt, kịp thời phát hiện, nhắc nhở lỗi sai có hoạt động giúp đỡ hợp lí em cịn gặp khó khăn - Bên cạnh việc vận dụng dạy lớp, nhận thấy đề tài cịn tài liệu tự học thích hợp cho em tự ôn tập nhà; 3.2 KIẾN NGHỊ Qua q trình nghiên cứu thực nghiệm đề tài tơi mạnh dạn nêu số kiến nghị sau: 22 - Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học để phù hợp với đối tượng, nội dung học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi - Nhà trường, tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm học sinh theo hướng dẫn giáo viên, từ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi minh hoạ, đề tham khảo, đề thức kì thi THPT Quốc gia năm 2017, năm 2018, năm 2019.năm 2020,năm 2021 Đề thi thử Đại học, thi thử THPT Quốc gia trường THPT, Sở GD&ĐT, diễn đàn toán số năm gần đây; Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 12 Sách giáo khoa Giải tích 12 ban Cơ Sách tập Giải tích 12 ban Cơ 23 ... Cùng hàm số, xác định tập khác nhau, nói chung giá trị lớn giá trị nhỏ tương ứng khác 2.1.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm. .. ) tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà   hàm số khơng có đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số  Bước 1: - Hàm. .. , học sinh mắc sai lầm thừa nhận giá trị lớn nhỏ đồng thời tồn Do dạng tập kiểu khơng rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị mà cố lý thuyết giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ hàm số cách trực quan cho